分组分解法因式分解

把下列多项式因式分解

(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)

(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y)

（二）新课讲解

1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？

分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：

am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)

利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。

练习：

把下列各式分解因式

(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)

2．应用举例

例1．把a2-ab+ac-bc分解因式

分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。

解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)

例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式

分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）

=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)

提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式

(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz

(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n

(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2

四、课外作业把下列各式分解因式

1． a(m＋n)－b(m＋n) ⒉ xy(a－b)＋x(a－b)

3． n(x＋y)＋x＋y ⒋ a－b－q(a－b)

5． p(m－n)－m＋n ⒍ 2a－4b－m(a－2b)

7． a2＋ac－ab－bc ⒏ 3a－6b－ax＋2bx

9． 2x3－x2＋6x－3 ⒑ 2ax＋6bx＋7ay＋21by

⒒ xy＋x－y－1 ⒓ ax2＋bx2 －ay2－by2

⒔ x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕ 3m－3y－ma＋ay

⒖ 4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗ x3y－3x2－2x2y2＋6xy

分组分解法（第二教时）

1．提问：什么是分组分解法？分组时有什么要求？

2．用分组分解法因式分解：

(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc

(4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4

（二）新课讲解

1．例题分析

例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式

分析：如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。

解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交换律

=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分组

=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式

=(3x+4y)(a+b) 再提公因式

练习:用分组分解法因式分解：

(1)ac+2b+2a+bc (2)ad-bc+ab-cd

(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx

例4：把m2+5n-mn-5m分解因式

分析：如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组之间却没有公因式，不好继续分解。如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。

解：m2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)

=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)

练习：把下列各式分解因式

(1)x2+y-xy-x (2)5ax2-b2-b2x+5ax

(3)x2+yz-xy-xz (4)4x2+3z-3xz-4x

(5)5am+b-a-5bm (6)x2-yz+xy-xz

四、课外作业把下列各式分解因式

1． mn＋m－n－1 2．3mx＋4ny＋4my＋3nx

3． m3－m2＋m－1 4．m3＋m2－m－1

5． a2－2b＋ab－2a 6．ax＋by＋ay＋bx

7． xy－z＋y－xz 8．a2x＋by－ay－abx

9．mx3－mx2－mx＋m 10．a2b－a2c＋a3－abc

分组分解法（第三教时）

（一）复习

1．什么是分组分解法？

2．把下列各式分解因式

(1)ac-ad+bc-bd (2)ay2-ax+bx-by2

(3)5ax+6by+10ay+3bx (4)5x2+7a-7ax-5x

3.填空(1)a2-b2=__________ (2)a2+2ab+b2=__________ (3)a2-2ab+b2=___________

（二）新课讲解

1．例题与练习例5：把x2-y2+ax+ay分解因式

分析：显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？不是。由于第一、二两项满足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四两项有公因式a,而ax+ay=a(x+y).这时可以看出(x+y)(x-y)与a(x+y)有公因式(x+y)。

解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay）=(x+y)(x-y)+a(x+y)

=(x+y)+[(x-y)+a]=(x+y)(x-y+a)

练习：把下列各式分解因式

(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2

(3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd

例6：把a2-2ab+b2-c2分解因式

分析：用刚才的方法不能见效。我们发现a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此时，原式就变为(a-b)2- c2，再用平方差公式。

解：a2-2ab+b2-c2=( a2-2ab+b2)- c2 分组

=( a-b)2- c2 运用完全平方公式

=[(a-b)+c][(a-b)-c]运用平方差公式

=(a-b+c)(a-b-c)

练习：把下列各式分解因式

(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2

(3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1

四、课外作业把下列各式分解因式

⒈4x2－y2－4x＋2y ⒉b2－a2＋ax＋bx

⒊m－2n＋m2－4n2⒋p＋3q－9q2＋p2

⒌s2－t2＋3s－3t ⒍x2－2x＋2y－y2

⒎4a2－b2－2a－b ⒏9a2－6a＋2b－b2

⒐x2－2x＋1－y2⒑m2＋2mn＋n2－p2

⒒4x2－4xy＋y2－16z2⒓a2－b2－2bc－c2

⒔x2－4y2＋4y－1 ⒕x2－y2－z2－2yz

分组分解法（第四教时）

（一）复习

把下列各式分解因式