第五章第五讲反常积分

12
1 时收敛， 例 5 证明反常积分 ∫ q dx 当 q < 1时收敛，当q ≥ 1 0 x
1
时发散. 时发散.
11 1 1 证 (1) q = 1, ∫ q dx = ∫ dx = [ln x ]0 = +∞ , 0 x 0 x + ∞, q > 1 1− q 1 1 1 x ( 2) q ≠ 1, ∫ q dx = = 1 ,q<1 0 x 1 − q 0 1 − q 1 时反常积分收敛， 因此当 q < 1时反常积分收敛 ，其值为 ；当 1− q q ≥ 1时反常积分发散. 时反常积分发散.
ε → +0
+ε
存在， f ( x )dx 存在，
上的反常积分， 则称此极限为函数 f ( x ) 在区间(a , b]上的反常积分，记 作 ∫ f ( x )dx . a
b
∫a f (x)dx
b
= lim∫a+ε f (x)dx
ε →+0
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时， 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称 反常积分发散. 反常积分发散.
定义中C 瑕点，以上积分称为瑕积分. 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分. 瑕积分
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例4 解
计算反常积分
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
Q lim
x →a −0
1 = +∞ , 2 2 a −x
∴ x = a 为被积函数的无穷间断点. 为被积函数的无穷间断点.
第五章第四讲反常积分
重点：定义及性质 难点：定义及性质及反常积分的求法。
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第四节
一、无穷限的反常积分
反常积分
二、无穷函数的反常积分
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一、无穷限的反常积分
上连续， 定义 1 设函数 f ( x ) 在区间[a ,+∞ ) 上连续，取b > a ， 如果极限 lim 存在， ∫a f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x ) b→ +∞
∫−∞ f (x)dx = alim ∫a f (x)dx → −∞
b
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时， 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反 常积分发散. 常积分发散.
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设 函 数 f ( x ) 在 区 间 ( −∞ ,+∞ ) 上 连 续 , 如 果 反 常 积 分
类似地， 上连续， 类似地，设函数 f ( x ) 在区间( −∞ , b]上连续，取 a < b ， 如果极限 lim 存在， ∫a f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x ) a → −∞
b −∞
b
上的反常积分， 在无穷区间( −∞ , b]上的反常积分，记作 ∫
f ( x )dx .
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(比较审敛原理 ) 设函数 f ( x )、g ( x ) 在 定理2 区间[a ,+∞ ) 上连续，如果 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) (a ≤ 上连续， x < +∞ ), 并且 ∫ g ( x )dx 收敛，则 ∫ f ( x )dx 收敛，
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类似地， 在上连续， 类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b ) 在上连续，而点b 的 左邻域内无界. 左邻域内无界.取ε
> 0 ，如果极限 lim ∫a
ε → +0
b −ε
b −ε
f ( x )dx 存
则称此极限为函数 f ( x ) 在区间[a , b) 上的反常积分， 上的反常积分， 在， 记作 ∫ f ( x )dx = lim ∫ a a
b 1 1 dx + lim ∫0 dx = lim ∫a 2 2 a → −∞ 1 + x b→ +∞ 1+ x 0
[arctan x ]b = lim [arctan x ] + blim 0 → +∞ a → −∞
0 a
− π + π = π. = − lim arctan a + lim arctan b = − b → +∞ a → −∞ 2 2
b
ε → +0
f ( x )dx .
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时， 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称 反常积分发散. 反常积分发散.
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外连续， 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点c (a < c < b) 外连续，而 的邻域内无界. 在点 c 的邻域内无界.如果两个反常积分 ∫ c f ( x )dx 和
+∞
a
时收敛； 当 p > 1 时收敛； dx ( a > 0 ) p x 时发散． 当 P ≤ 1 时发散．
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(比较审敛法１ 设函数 f ( x ) 在区间 ) 比较审敛法１ 定理3 [a ,+∞ ) (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果 上连续， M 存在常数 M > 0 及 p > 1，使得 f ( x ) ≤ p x (a ≤ x < +∞ ), 则 ∫a f ( x )dx收敛；如果存在 收敛； N 常数 N > 0 ，使得 f ( x ) ≥ (a ≤ x < +∞ )， x 发散． 则 ∫a f ( x )dx 发散．
定理１ 上连续， 定理１ 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续， 且 f ( x ) ≥ 0．若函数 F ( x ) = ∫ f ( t )dt
a x
上有界， 在 [a ,+∞ ) 上有界，则广义积分
∫
+∞
a
f ( x )dx 收敛． 收敛．
由定理1， 由定理 ，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理． 分有以下比较收敛原理．
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例 2 证明反常积分 ∫ 时发散. 当 p ≤ 1时发散.
+∞
1
1 时收敛， dx 当 p > 1时收敛， p x
证 (1) p = 1,
∫1
+∞
1 +∞ 1 + dx = ∫ dx = [ln x ]1 ∞ = +∞ , 1 xp x
( 2) p ≠ 1,
例 3 证明反常积分 ∫ 时发散. 当 p < 0 时发散.
证
+∞
a
时收敛， e − px dx ， 当 p > 0 时收敛，
∫a
+∞
e
− px
dx = lim ∫ e a
b→ +∞
b − px
e dx = lim − b→ +∞ p a
− px
b
e − ap , p>0 e − pa e − pb = p = lim − b→ +∞ p p p<0 ∞ ,
1
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例6 解
计算反常积分
∫
2
1
dx . x ln x
∫1
2
dx 2 dx = lim ∫1+ε x ln x ε →0+ x ln x
2
= lim ∫1+ε
ε → 0+
ε → 0+
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d (ln x ) 2 = lim [ln(ln x )]1+ε ε → 0+ ln x
∫1
+∞
1 x dx = p x 1 −
1− p
p 1
+∞
+ ∞, p < 1 = 1 p − 1, p > 1
反常积分收敛 积分收敛， 因此当 p > 1时反常积分收敛，其值为 1 ；当 p−1 时反常积分发散. p ≤ 1时反常积分发散.
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= 3(1 + 3 2 ).
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小节：反常积分的定义、计算方法 作业：CT5-4 1 2 3 P260
7) 8) 9 ) 10 )
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***第五节反常积分的审敛法 Γ 函数 一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法. 敛性的判定方法
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx a2 − x2
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a−ε x − 0 = lim arcsin = lim arcsin ε → +0 ε → +0 a 0 a π = . 2
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时收敛， 时发散. 即当 p > 0 时收敛，当 p < 0 时发散 .
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二、无界函数的反常积分
上连续， 定义 2 设函数 f ( x ) 在区间(a , b]上连续，而在点a 的 右邻域内无界． 取 右邻域内无界． ε
b > 0， 如果极限 lim ∫ a +ε
+∞ a
b
上的反常积分， 在无穷区间[a ,+∞ ) 上的反常积分，记作 ∫
f ( x )dx .
∫a
+∞
f ( x)dx = lim ∫a f ( x)dx
b→ +∞
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时， 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称 反常积分发散. 反常积分发散.
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a a +∞ +∞
也收敛； 也收敛；如果 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) (a ≤ x < +∞ ), 并 发散， 也发散． 且 ∫ g ( x )dx 发散，则 ∫ f ( x )dx 也发散．
a a +∞ +∞
证 设 a < b < +∞ ，由 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x )及 ∫ g ( x )dx
= (∫ + ∫ )
dx ( x − 1)
2 3
∫0 ( x − 1) ∫1
3
= lim ∫0
ε → 0+ ε →0+
1−ε
dx ( x − 1) dx ( x − 1)
2 3
=3
= 3 ⋅ 3 2,
dx ( x − 1) 3 dx
2 3
= lim ∫1+ε
2 3
3
2 3
∴ ∫0
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( x − 1)
= lim
+∞
f ( x )dx
∫a f ( x )dx + blim ∫0 → +∞ a → −∞
0
b
f ( x )dx
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例1 解
计算反常积分
+∞
∫
+∞
−∞
dx . 2 1+ x
0 +∞ dx dx dx ∫−∞ 1 + x 2 = ∫−∞ 1 + x 2 + ∫0 1 + x 2
a
+∞
收敛， 收敛，得
b a
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx .
a a
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b
+∞
上有上界． 即 F (b ) = ∫ f ( x )dx 在 [a ,+∞ ) 上有上界．
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由定理１ 由定理１知
∫
+∞
a
f ( x )dx 收敛． 收敛．
+∞ a
如果 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ), 且 ∫ g ( x )dx发散, 则 ∫ f ( x )dx 必定发散 .
a +∞
+∞ a
Q 如果
∫
f ( x ) dx 收敛，由第一部分知 ．
∫
+∞ a
g ( x ) dx 也收敛，这与假设矛盾
例如， 例如， 广义积分 ∫
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= lim [ln(ln 2) − ln(ln(1 + ε ))]
= ∞.
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故原反常积分发散. 故原反常积分发散.
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例7
计算反常积分
3
∫
1 0
3
dx ( x − 1)
3 1
2 3
0
.
间断点 x =1
解
∫0
1
dx ( x − 1) dx
2 3 2 3
∫−∞ f ( x )dx 和 ∫0
作∫
+∞ −∞
0
+∞
都收敛， 则称上述两反常积分 f ( x )dx 都收敛，
之和为函数 f ( x ) 在无穷区间( −∞ ,+∞ ) 上的反常积分，记 上的反常积分，
f ( x )dx .
0
+∞
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
a
∫c
b
都收敛， f ( x )dx 都收敛，则定义
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
= lim ∫a
ε → +0
c −ε
b
c
b
f ( x )dx
b
f ( x )dx + lim
b
ε ′ → +0 c + ε ′
∫
f ( x )dx
否则， 否则，就称反常积分
发散. ∫a f ( x )dx 发散.