反常积分详解

(1)f (x)在x a无界,
b a
f
(x)dx
F(x)
|ba
F(b)
lim
xa
F(x)
(2)f (x)在x b无界,
b
f (x)dx
a
F(x) |ba
lim F(x) F(a)
xb
(3) f(x)在x c(a c b)无界,
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
lim F(x) F(a) F(b) lim F(x)
xc
xc
a dx
例5 计算反常积分 0
a2 x2
解
lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx lim a dx
0 a 2 x 2 0 0
a2 x2
lim0arcsin
0 a
f ( x)dx 存在，则称此极限为函数
f (x)
在区间(a
,
b]上的反常积分，记作
b
a
f
(
x
)dx
.
b f ( x)dx lim b f ( x)dx
a
0 a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在
时，称反常积分发散.
类似地可定义:
(2)
f (x)在x b时无界,
b
f (x)dx lim
b
f (x)dx,
a
0 a
(3) f(x)在x c(a c b)无界,
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0 a
0 c
注意 : 和可以有不同的收敛速度 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
记号:
设f(x)的一个原函数为F(x),
f (x)dx
中有一个不存在,则称
c
反常积分 f ( x)dx 不存在
dx
例1 计算反常积分 1 x2 .
解
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
若 fal(imx)的a0一1 个1x原2 d函x数 b为limF(x0b)1,则1x2 dx
aalimafli(mxa)radcrxtcatnablnixma0aabblblifimm(xaa)drrcxcttaannblibmxb0F(b)F2(a) 2F(x).|a 可替换为
b
f ( x)dx
a
b a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在
时，称反常积分发散.
类似地可定义:
b
f ( x)dx
lim b f ( x)dx a a
f
( x)dx
c
f (x)dx
f (x)dx
c
c
b
lim f (x)dx lim f (x)dx
a a
b c
源自文库 若
c
f (x)dx ,
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 1 ； p1
当 p 1时广义积分发散.
例4
计算
sinxdx
解 :
sin xdx
0
sin xdx
sin xdx
0
sin
0
xdx
cos x
|0
lim cosx 1不存在 x
1 ；当q 1时反常积分发散. 1q
例7 1 1 dx 0 1 dx 1 1 dx
-1 x
1 x
0x
11 dx
0x
ln
x
|10
lim
x0
ln
x不存在
1 1 dx发散 1 1 dx发散
0x
1 x
arctanx |0 arctanx |0
[arctan0 lim arctanx] [ lim arctanx arctan0]
x
x
( ) 22
例2 dx
1 x x2
例3
证明反常积分
1
1 xp
dx
当
p
1时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
sin xdx发散 sinxdx发散
0
说明: 若f (x)为奇函数,反常积分
f
(x)dx未必为0
但若f (x)为偶函数,则
f (x)dx 2
f (x)dx
0
二、无界函数的反常积分
定义 2 设函数 f ( x)在区间(a, b]上连续，而在
点a的右邻域内无界．取 0，如果极限
b
lim
第六节 反常积分与Γ-函数
• 无穷限的反常积分 • 无界函数的反常积分 • 小结
一、无穷限的反常积分
定义 1 设函数 f ( x)在区间[a,)上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷区间[a,)上的反常积
分，记作 a
f
( x)dx.
f ( x)dx lim
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
. 2
例6
证明反常积分
1
0
1 xq
dx 当 q
1时收敛，当
q 1时发散.
证 (1) q 1,
1
0
1 xq
dx
1
0
1 dx x
ln
x
1 0
,
(2) q 1,
1
0
1 xq
dx
x1q 1 1 q0
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q 1时反常积分收敛，其值为