反常积分与函数课件

计算方法：
一般地： 若F ( x)是 f ( x)的原函数， 则
b f (x)dx F ( x) b F(b) lim F(x)


x
f ( x)dx F( x) lim F(x) lim F(x)

x
x
例4
计算
1 1 x2 dx.
表示的 f就( x是)d由x 曲线y=f(x),直线x＝a和x轴a 围成的无穷
a
区域的面积,若
发散 ,f则( x该)d无x 穷区域没有有限
a
面积.
例1计算反常积分
1
1 dx . x
解 由定义知： 1dx lim
1x
t
t 1dx lim ln x
dx
1
d(1 x2 )
1 x2
2 1 x2

1 x2 -
lim 1 x2 lim 1 x2
x
x
因为 lim 1 x2不存在， x
所以反常积分 x dx 发散.
1 x2
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用
t1 1 x2 dx
1 1 x2 dx
y
1
lim(1 1) 1
y x2
t
t
o1 t
x
一、无穷区间上的反常积分
定义：设 f ( x) 在 [a, )内连续，取t a，如果极限
lim t f ( x)dx存在，则此极限叫函数f ( x) 在无穷区
t a
间 [a, )内的反常积分.
复习
定积分的几何意义：
b f (x)dx 表示 由一条连续曲线 y f (x) ( f (x) 0) a
和三条直线 x=a, x=b, y=0 所围成的曲边梯形的面积
b
定积分 a f ( x)dx 有 :
1.积分区间[a, b] 是有限区间,
y f(x)
2.被积函数 f (x)是有界函数.
oa
bx
第六章
第五节 反常积分与函数
一、无穷限上的反常积分 二、无界函数的反常积分 三、 函数
一、无穷区间上的反常积分
引例：求由曲线y=1/x2 ，直线 y
x=1和y=0围成图形的面积.
因
t 1
1 x2
dx

[
1 x
]
t 1

1 1. t
y

1 x2
o1
x
s lim t
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx

t t
此时称反常积分 b f (x)dx收敛，否则称反常积分发散.
定义3 设 f ( x) 在(,) 内连续，如果 0 f ( x)dx与
f ( x)dx 都收敛，则称两反常积分之和为f ( x)在无穷 0

F(a)

lim
x
F(
x)

F(a)
另解
原式
[cos
1 x
]2

lim cos x
1 cos
x2

1.
例3
证明反常积分
a
1 x pdx,
当p>1时收敛，当
p1
发散.
证
(1)
p

1,
a
1 xp
dx

1 dx ax
ln x

1x
t
t 1
lim(lnt ln1) lim ln t,
t
t
显然 lim ln t 不存在. 故 1dx 发散.
t
1x
例2
计算反常积分
1 1
2
x2 sin x dx.
解
1 1
sin dx
x 2
2

x
lim t
a
lim ln x ln a
x
,
(2)
p Leabharlann Baidu1,
1 a x p dx
x1 p
x1 p a1 p


1

p

a
lim x 1 p 1 p
, p 1


a1 p ,
p1
p

1
故当p>1时，该反常积分收敛于
+
区间(,) 上的反常积分.记作 f (x)dx.
即
+
f (x)dx
0

f ( x)dx f (x)dx


0
0
t
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
t t
t 0
此时也称反常积分 + f (x)dx收敛，否则称反常积分发散.
t1 1
2
x2
sin
x
dx

lim t
t 11
2
sin
x
d
x

lim[cos
t
1 x
]t2

lim[cos1 cos ] 1.
t
t
2
注意: 为了简便起见, 若 F( x) f ( x)
记
a
f
( x)dx

[F
(
x)]
a

F ()
y
y

1 1 x2
解

1
1 x2
dx

arctan x

o
x
lim arctan x lim arctan x
x
x
( ) .
22
x
例5 讨论反常积分
dx 的敛散性. 1 x2
解

x

a1 p ;
p1
当 p 1时，该反常积分发散.
定义2 设 f ( x) 在 (, b]内连续，取 t b，如果极限
lim b f ( x)dx存在，则此极限称为函数 f ( x)在无穷区
t t b
间 (, b] 内的反常积分. 记作 f (x)dx.
即
记作

f (x)dx.
a
即

f (x)dx lim
t
f ( x)dx
a
t a
此时也称反常积分收敛. 否则称反常积分发散.

注意：反常积分发散时，仍用记号 f ( x)dx表示. a 但只是形式上写出，不表数值.
无穷积分的几何意义
若对一切x∈[a,+∞),有f(x)≥0,且 f ( x)d收x 敛,则
“偶倍奇零” 的性质否, 则会出现错误 .
二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分).
引例：求由曲线 y
1 ，及
1 x2
y
y
1 1 x2
x=0、 x=1和y=0围成图形的面积.
解：取充分小 0,
1
因 1 0
1 1
x2
dx

arcsin
x 1 0
o y
y
1
1
1 x2
x
故s lim 1 1 dx 1