平面的投影同济大学课件

实 例
立 体 图
非
迹
投影 线
图
表
示
法
投影面平行面
水平面
正平面 侧平面
水平面
V
a b c b a c
a
b c
b
AB
a W
c
C
b
b
a
a
c
投影特性： H
c
1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
2 、 水平投影abc反映 ABC实形
正平面
V
b
b
b
a
B
b
c
W
A a
c
a
a
c
C
c
c
ba
c
a
实形性
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
水平面
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行 的直线。
3、 一般位置平面
一般位置平面
b
a
B
b
b a
b
a
c
c
A
a
b
C c
b
a
c
c
a
投影特性
1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
2 、 不反映、、 的真实角度
三、平面上的直线和点
5.1 平面的投影
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
● c
● c
c
●
● b ●b
●c
d a●
●
●
d
a●
c ● a●
● b ●b
a●
●c
c
●
● b ●b
●c
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 两平行直线 两相交直线 平面图形 外一点
2、平面的迹线表示法
（3）对W面的最大斜度线——平面内垂直于侧平线的直线
平面内的最大斜度线
平面内最大斜度线对投影面的倾角等于 该平面对相应投影面的倾角。
AB为平面P内对H 面的最大斜度线
PA C
c
D
α
d B H
AB对H面的倾角等于 平面P对H面的倾角
为什么？
类似性
是什么位置 的平面？ a
积聚性
γ
投影特性： a
b
b
类似性
c c
βc b
a
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
⒉ 投影面平行面
名称
水平面（∥ H ）
正平面（ ∥ V）
侧平面（∥ W ）
a
H
投影特性：1、 abc 积聚为一条线
b
2 、 abc、abc ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
侧垂面
b
V
S B
SW
b
a
W
b c β c
α a
c
b
C
a
c
A
H
a
投影特性：1、 abc积聚为一条线
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
平面内的最大斜度线
A
A
P
L
L是平面P内的水平线 AB属于P，AB垂直L，
α1 α
AB即是平面P内对H面 的最大斜度线。
C BB
PH
实际上α角即是平
H 面P对平面H的倾角
平面内的最大斜度线
平面内垂直于各投影面平行线的的直线。
在三面投影体系中有三个投影面，所以平面内的最 大斜度线也有三种： （1）对H面的最大斜度线——平面内垂直于水平线的直线 （2）对V面的最大斜度线——平面内垂直于正平线的直线
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
b d
●k
c
a’
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是 否属于该平面。
b
e d c
a
c a
e
d
b
例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一
投影特性：H
b
a
1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、正平面投影abc反映 ABC实形
侧平面
b
V
c
B
b
a
b a
b
W c
c
a
A
a
a
a bC
b
c
投影特性： H c
c
1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
积聚性
积聚性
a b c a c b
V
PV
P
H PH
V
QV
Q H QH
PV PH QV
QH
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影特性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
实形性 积聚性 类似性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
d b
c
mb a
b d
a
n c 有多少解？
c
有无数解。
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距 离为10mm。
10
a
m b b
m a
有多少解？ n
c 唯一解！
c n
⒉ 平面上取点
面上取点的方法： 首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线， 然后再在该直线上确定点的位置。
侧垂面（⊥ W ）
投影面垂直面
铅垂面
正垂面 侧垂面
铅垂面
V P B
c a
b
W
c a
b
A a
a b
H
C PH c
投影特性：1、 abc积聚为一条线
c
b
2 、 abc、 abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
正垂面
V
b
QV
a
A
c
C
b c
a α
W B
c
Q
a
b c
b
解法二 b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
4、平面上的投影面平行线
一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行 线，不存在投影面垂直线。
例题 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，
过点A作属于该平面 的水平线。
b
m
a
n
b m
c
n c
a
四、平面内的最大斜度线
平面内对投影面的最大斜度线：平面内 对该投影面最大倾角的某一条直线。最大 斜度线必垂直于平面内的该投影面的平行 线。
⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平 面内的方法
定 理一
若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。
定 理二
若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任 作一条直线。
解法一
根据定理一
b
m a
n c
解法二
a
根据定理二
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面
平行于某一投影面，垂 直于wenku.baidu.com两个投影面
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
⒈ 投影面垂直面
名称
铅垂面（⊥ H ）
正垂面（ ⊥ V）
实例
立 体 图
投 影 图