平面的投影同济大学课件
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平面的投影PPT课件
（一）平面上的点和直线 （二）平面上的特殊直线 （三）例 题
V
b´
B
n´
a´
N
XA
b
an
H
Z
b"
W
n" a" C c"
c
Y
第15页/共31页
（一）平面上的点和直线的几何条件
1、点在平面上的几何条件： 若点在平面上，则该点必定位于平面上的某一直线上。反之，若一点位于平面上
的某一直线上，则该点必定位于平面上。
V
Z SV
Z SV
β SW
X
SW
X
S OW
α
O
YW
H
SH
Y
SH
YH
第11页/共31页
投影面平行面——水平面
V
z
a′
A
b′ c′
b″
B
a″
cW″
x
C
O
a
b
z a ′ b ′ c ′ b a ″ c ″
″
X
o
YW
b
a
c
H
Y
c YH
水平面的投影特性：
1、a′b′c′、a″b″c″积聚为一条线，具有积聚性。
c d
2、平面上对投影面的最大倾斜线
平面内与某一投影面成最大倾角的直线，称为 平面上对该投影面的最大倾斜线。在平面内有无 数条最大倾斜线，是一组互相平行的直线。
最大倾斜线的投影特性：
E
1.对投影面倾角最大的直线；
A
2.最大倾斜线垂直于平面内的
P
F
投影面平行线；
θ
3.平面对投影面的夹角等于平
土木工程制图第三章点-直线和平面的投影PPT课件
① 铅垂线与H面垂直同时与V面、W面平行。 ② 正垂线与V面垂直同时与H面、W面平行。 ③ 侧垂线与W面垂直同时与H面、V面平行。
(3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
可编辑课件PPT
24
投影面垂直线
土木工程制图
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
可编辑课件PPT
7
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意可编两辑面课件投PPT影可以求出第三投影。 8
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影
(b) 正平线
21
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ b YH
实长
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
a
Z a
β
b
α
YW X a
a
b
YH
YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
O b
a AB实长
△Z
△Z
A0 a′
OX
B0
a
YH
(3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
可编辑课件PPT
24
投影面垂直线
土木工程制图
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
可编辑课件PPT
7
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意可编两辑面课件投PPT影可以求出第三投影。 8
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影
(b) 正平线
21
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ b YH
实长
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
a
Z a
β
b
α
YW X a
a
b
YH
YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
O b
a AB实长
△Z
△Z
A0 a′
OX
B0
a
YH
平面的投影特性精品PPT课件
3
一般位置面用迹线如何表示？
V
X Px
Z
PzWΒιβλιοθήκη PVPPW
Px
O
PH
Py
H
Y
PZ
PV
Pw
Py
PH
Py
4
V
H V
H
V
W
W
H
V 正垂面
H 铅垂面
W
平面某一投影面
投影面垂直面
W 侧垂面
5
铅垂面用迹线如何表示？
Z
V
PV
Pw
PV
P
W Px
Py
X Px
PW
O
PH
PH
Py
Py
H
Y
6
V
H V
H
V
W
W
H
// V 正平面
1.4.2 平面的投影特性
平面对一个投影面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性
1
平面对一个投影面的投影特性
P
平面//P 反映实形
实形性
平面P 积聚成直线
积聚性
平面 P 类似图形 类似性
2
平面在三投影面体系中的投影特性 平面相对于三投影面的位置
V
平面相于投影
面的位置可归 纳为几类？
W
H
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置面
11
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
一般位置面用迹线如何表示？
V
X Px
Z
PzWΒιβλιοθήκη PVPPW
Px
O
PH
Py
H
Y
PZ
PV
Pw
Py
PH
Py
4
V
H V
H
V
W
W
H
V 正垂面
H 铅垂面
W
平面某一投影面
投影面垂直面
W 侧垂面
5
铅垂面用迹线如何表示？
Z
V
PV
Pw
PV
P
W Px
Py
X Px
PW
O
PH
PH
Py
Py
H
Y
6
V
H V
H
V
W
W
H
// V 正平面
1.4.2 平面的投影特性
平面对一个投影面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性
1
平面对一个投影面的投影特性
P
平面//P 反映实形
实形性
平面P 积聚成直线
积聚性
平面 P 类似图形 类似性
2
平面在三投影面体系中的投影特性 平面相对于三投影面的位置
V
平面相于投影
面的位置可归 纳为几类？
W
H
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置面
11
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
《平面的投影》课件
平面的投影
这份PPT课件将帮助您全面了解平面的投影，包括它的定义、分类、特点、 投影方法、应用场景和错误类型等内容。
什么是投影？
投影的定义
投影是指由于光线或任何其他射线在遇到物体 后向另一个表面传导所形成的图形。
常见的投影方式
包括平面投影、立体投影、透视投影、等角投 影等。这里我们重点介绍平面投影。
投影中的错误
1
投影中常见的错误
包括形状、尺寸、位置、比例和方向等方面，容易导致误解或产生错误的结果。
2
如何避免投影中的错误
遵循标准规范，加强沟通和理解，注重细节，确保投影结果准确无误。
结语
总结
本课程介绍了平面投影的定义、分类、特点、投影 方法、应用场景和错误类型。了解平面投影对提高 工作效率和准确性十分必要。
学习平面投影重要性
针对工程制图、建筑设计和工业生产等行业，掌握 平面投影技术可以提高工作效率和准确性，具有十 分重要的价值。
3 正交投影的应用举例
建筑设计、机械加工图、工程制图等领域广泛应用。
斜投影
斜投影的特点 斜投影的投影方法
斜投影的应用举例
图形投影后有较强的视觉效果，与投影方向有关。
平移图形使其重心处于投影平面上，之后向该平 面引垂线，再由垂线顶点进行投影，得到图形的 斜投影。 室内设计、漫画插画、动画制作等领域中常见。
平面的投影
பைடு நூலகம்
平面投影的定义
当一个平面被光源所照射，它在投影平面上所成的 图形称为该平面的平面投影。
平面投影的分类
包括正交投影和斜投影两种。
正交投影
1 正交投影的特点
图形投影后呈现平行四边形或矩形，与投影方向无关。
2 正交投影的投影方法
这份PPT课件将帮助您全面了解平面的投影，包括它的定义、分类、特点、 投影方法、应用场景和错误类型等内容。
什么是投影？
投影的定义
投影是指由于光线或任何其他射线在遇到物体 后向另一个表面传导所形成的图形。
常见的投影方式
包括平面投影、立体投影、透视投影、等角投 影等。这里我们重点介绍平面投影。
投影中的错误
1
投影中常见的错误
包括形状、尺寸、位置、比例和方向等方面，容易导致误解或产生错误的结果。
2
如何避免投影中的错误
遵循标准规范，加强沟通和理解，注重细节，确保投影结果准确无误。
结语
总结
本课程介绍了平面投影的定义、分类、特点、投影 方法、应用场景和错误类型。了解平面投影对提高 工作效率和准确性十分必要。
学习平面投影重要性
针对工程制图、建筑设计和工业生产等行业，掌握 平面投影技术可以提高工作效率和准确性，具有十 分重要的价值。
3 正交投影的应用举例
建筑设计、机械加工图、工程制图等领域广泛应用。
斜投影
斜投影的特点 斜投影的投影方法
斜投影的应用举例
图形投影后有较强的视觉效果，与投影方向有关。
平移图形使其重心处于投影平面上，之后向该平 面引垂线，再由垂线顶点进行投影，得到图形的 斜投影。 室内设计、漫画插画、动画制作等领域中常见。
平面的投影
பைடு நூலகம்
平面投影的定义
当一个平面被光源所照射，它在投影平面上所成的 图形称为该平面的平面投影。
平面投影的分类
包括正交投影和斜投影两种。
正交投影
1 正交投影的特点
图形投影后呈现平行四边形或矩形，与投影方向无关。
2 正交投影的投影方法
3建筑学§2-4平面的投影(平面内的点和直线)PPT课件
2、平面内的点： 几何条件：点在面内的直 线上
例1 在平面内定线
例2 在平面内定点
例3 判定K点是否在平面内？
例4 完成平面四边形的投影。
3、平面内的投影面平行线
水平线 正平线 侧平线
例5 在面内作距离H面15的水平线。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
平面与H面的夹角--水平倾角α 平面与V面的夹角--正面倾角β 平面与W面的夹角--侧面倾角γ
二、各种位置的平面及投影特性
1、投影面平行面 2、投影面垂直面 3、一般位置平面
详见↓
1、 投 影 面 平 行2、 投 影 面 垂 直 面
迹线 表示
投 影 面 垂 直 面
§2-4 平面的投影
一、平面的投影表示法 二、各种位置的平面及投影特性 三、平面内的点和直线
一、平面投影的表示法
1、用几何元素表示法
• 从空间 投影图 • 强调：五种方式，可相互转换。
2、用平面的迹线表示法
要求：弄清其概念 (平面的迹线---平面与投影面的交线)
3、平面的倾角
（1） 平面与单个投影面的 三种位置关系： 斜交、平行、垂直 （2）平面的倾角
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
3、一般位置平面
投影特性：三投影为实形的同类图形，不 反映真实大小。也不反映倾角大小。
工程制图课件 第3章 平面的投影
第三章、平 面 的 投 影
一、平面的投影 二、各种位置平面的投影特性 三、平面上的点和直线
返回
一、平面的投影
平面的表示法 (1) (2)
b’ a’ a b c’ a’ a b’ a’ a b c’ b d’ b’
(3)
c’ a’ a b
b’ c’
(4)
a’ a
b’ c’
c
c
c
b
c
(5)
各种形式可相互转换
Z V A a b a
z
c
a
β
c
α
SW
X B
O c C
W
xaoຫໍສະໝຸດ byWbc b
投影特性： Y 1. abc积聚为一条线。 2 . abc , abc为 ABC的类似形。 3. abc与OZ, OYw的夹角反映α、角的实大小。
yH
投影面垂直面的投影特性
Z V
c C b
QV
Q a W
（二）投影面平行面——正平面
b’
Z
b’’
a’
c’
X
a’’
c’’ Y
o
b a
Y
c
投影特性： 1.正面投影abc 反映 ABC实形 。 2. abc 、abc积聚为直线，且分别平行于OX和OZ轴。
（二）投影面平行面——侧平面
投影特性： 1. 侧面投影abc 反映 ABC实形。 2. abc 、abc 积聚为直线，且分别平行于OYH和OZ轴。
d
c
二、各种位置面的投影 投影面平行面
水平面//H面 正平面//V面 侧平面//W面
投影面垂直面
铅垂面H面 正垂面V面 侧垂面W面
特 殊 位 置 平 面
一、平面的投影 二、各种位置平面的投影特性 三、平面上的点和直线
返回
一、平面的投影
平面的表示法 (1) (2)
b’ a’ a b c’ a’ a b’ a’ a b c’ b d’ b’
(3)
c’ a’ a b
b’ c’
(4)
a’ a
b’ c’
c
c
c
b
c
(5)
各种形式可相互转换
Z V A a b a
z
c
a
β
c
α
SW
X B
O c C
W
xaoຫໍສະໝຸດ byWbc b
投影特性： Y 1. abc积聚为一条线。 2 . abc , abc为 ABC的类似形。 3. abc与OZ, OYw的夹角反映α、角的实大小。
yH
投影面垂直面的投影特性
Z V
c C b
QV
Q a W
（二）投影面平行面——正平面
b’
Z
b’’
a’
c’
X
a’’
c’’ Y
o
b a
Y
c
投影特性： 1.正面投影abc 反映 ABC实形 。 2. abc 、abc积聚为直线，且分别平行于OX和OZ轴。
（二）投影面平行面——侧平面
投影特性： 1. 侧面投影abc 反映 ABC实形。 2. abc 、abc 积聚为直线，且分别平行于OYH和OZ轴。
d
c
二、各种位置面的投影 投影面平行面
水平面//H面 正平面//V面 侧平面//W面
投影面垂直面
铅垂面H面 正垂面V面 侧垂面W面
特 殊 位 置 平 面
机械制图 1.3 平面的投影.ppt
§1.3 平面的投影
一. 平面表示法
用几何元素表示
b'
b'
b'
a'
a' c'
a' c'
c'
bc
bc
bc
a
a
b'
a b'
a'
a'
c'
c'
bc a
bc a
无轴投影图的画法
只强调形状、大小，不考虑其相对于投影面的 位置。作图时，利用几何元素之间的相互位置关系。
例： 完成△ABC
的侧面投影。
二. 平面的投影特性 1.平面在单一投影面上的投影a'
e'
d' b
a
e
c
d
作业：
P28 16(a) 17(a) P29 19、20
P
平面//P 平面P 平面 P 反映实形 积聚成直线 类似图形
实形性
积聚性
类似性
2.平面在三投影面体系中的投影特性
一般位置平面
V W
H
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
一般位置平面 对H、V、W均倾斜的平面
b'
b"
a' c'
b
a" c"
c a
投影特性 在H、V、W面上的投影皆为
空间平面图形的类似图形
平行于平面上的另一直线，则此直线必在该 平面上。（一点一方向法）
例1 已知平面有两个相交直线AB、CD给
定，试在平面上任意引一直线。
(2)在平面上作点
定理：若点在属于平面的直线上，则 点必在该面上。 因此，要在平面上作点，必须先在平 面上作一直线，然后在此直线上取点。
一. 平面表示法
用几何元素表示
b'
b'
b'
a'
a' c'
a' c'
c'
bc
bc
bc
a
a
b'
a b'
a'
a'
c'
c'
bc a
bc a
无轴投影图的画法
只强调形状、大小，不考虑其相对于投影面的 位置。作图时，利用几何元素之间的相互位置关系。
例： 完成△ABC
的侧面投影。
二. 平面的投影特性 1.平面在单一投影面上的投影a'
e'
d' b
a
e
c
d
作业：
P28 16(a) 17(a) P29 19、20
P
平面//P 平面P 平面 P 反映实形 积聚成直线 类似图形
实形性
积聚性
类似性
2.平面在三投影面体系中的投影特性
一般位置平面
V W
H
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
一般位置平面 对H、V、W均倾斜的平面
b'
b"
a' c'
b
a" c"
c a
投影特性 在H、V、W面上的投影皆为
空间平面图形的类似图形
平行于平面上的另一直线，则此直线必在该 平面上。（一点一方向法）
例1 已知平面有两个相交直线AB、CD给
定，试在平面上任意引一直线。
(2)在平面上作点
定理：若点在属于平面的直线上，则 点必在该面上。 因此，要在平面上作点，必须先在平 面上作一直线，然后在此直线上取点。
第三章-第三节-平面的投影PPT课件
面上取点的方法：
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
①
b
②
b d
k ●
c
a
a
k● b c
利用平面的积聚性求解 .
●
k
c
a
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
25
例：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
平行于投影面
特殊位置平面
一般位置平面
.
4
二 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
.
5
铅垂面的投影
.
6
铅垂面
.
7
正垂面
.
8
侧垂面
.
9
正平面的投影
.
10
正平面
.
11
水平面
.
12
侧平面
.
13
一般位置平面的投影
.
14
⒈ 投影面垂直面
类为似什么性？
是什么位置 的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面
第一章(4)同济大学工程制图课件
影表示。
平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影表示。
上述5种方式中，平面图形是最常用的表示方式。
平面对投影面的各种相对位置
平面按对投影面的相对位置，可以分为三类：
平面分类平面对投影面的相对位置
特殊位置平面
投影面平行面
平行于一个投影面，
垂直于另外两个投影
面
正平面（∥V 面）
水平面（∥H 面）
侧平面（∥W 面）投影面垂直面只垂直于一个投影面，
正垂面（⊥V 面）
铅垂面（⊥H 面）
侧垂面（⊥W 面）一般位置平面
与三个投影面都倾斜
（∠V 面、∠H 面、∠W 面）
一般位置平面
平面主要用几何元素表示，也可以用迹线表示，迹线是平面与投影面的交线。
平面主要用几何元素表示，也可以用迹线表示，迹线是平面与投影面的交线。
平面上的点和直线
求平面上点的投影
§1-4 平面的投影
特殊位置平面上的点、直线和图形
因为特殊位置平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成直线，所以特殊位置平面上的点、直线和平面图形在该平面所垂直的投影面上的投
影，都位于这个平面的有积聚性的同面投影或迹线上。
根据已知点作平面
圆的投影
用换面法求真形
用换面法补全△ABC的两面投影。
《平面立体的投影》课件
建筑设计
在建筑设计中，通过正投 影法绘制建筑立面图、平 面图和剖面图等。
动画制作
在动画制作中，通过中心 投影法制作立体感强的动 画效果。
PART 02
平面投影
平面投影的原理
平行投影
光线与投影面平行时，物体在投 影面上形成的影子。
中心投影
光线通过一点与投影面垂直时， 物体在投影面上形成的影子。
斜投影
全息投影
全息投影技术利用光的干涉和衍射原理，将三维物体以全息图像的形式 呈现出来，具有极高的真实感和立体感。这种技术需要使用特殊的全息 投影设备和材料。
立体投影的应用
立体投影在娱乐产业中应用广泛，如电影、电视、游戏等。通过立体投 影技术，观众可以获得更加沉浸式的观影和游戏体验。
立体投影在建筑和工业设计中也得到了广泛应用，设计师可以利用立体 投影技术将设计方案以更加直观和真实的方式呈现出来，方便客户理解
和评估。
立体投影在教育和科学演示中也有着重要的应用价值，通过立体投影技 术，可以将复杂的科学现象和概念以更加生动和易懂的方式呈现出来， 帮助学生和观众更好地理解和学习。
PART 04
投影变换
投影变换的原理
投影变换是指将三维物体通过某种方式投影到二维平面上，以实现三维到二维的转 换。
投影变换的原理基于几何学和线性代数的相关知识，通过矩阵变换和线性变换实现 三维到二维的映射。
投影变换可以分为正交投影、透视投影和斜投影等不同类型，每种类型都有其特定 的应用场景。
投影变换的方法
正交投影
正交投影是将物体按照平行投影的方式投影到二维平面上 ，不考虑视觉角度，只考虑物体的几何形状和大小。
透视投影
透视投影是根据人的视觉习惯，将物体按照透视关系好地模拟人眼的视觉效果。
画法几何之平面的投影基本知识演示文稿(共49张PPT)
c' e' d'
b' a' X
a
O c d
e
结论：点D在△ABC平 面上，点E和直线DE不在 △ABC平面上。
b
[例2.12] 如下图，△ABC和点D的两面投影，以及△ABC 平面上的直线EF的正面投影e'f'，检验点D是否在△ABC平面上， 并作出直线EF的水平投影ef。
b'
f'
e' d'
X
a'
X
O
c
ba
c
ba
YH
投影特性： (1) abc、abc积聚为一条直线。 (2)正面投影abc反映ABC实形。
b"
c"
a" YW
〔3〕 投影面平行面
3〕侧平面—平行于侧立投影面
b' B
b'
a' b"
Z
b"
a"
侧平面
c'
a'
a"
A
c'
X
O
a
a
C
c"
b
b
c
c
YH
投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条直线。
(2)侧面投影abc反映ABC实形。
c" YW
〔3〕投影面平行面汇总
投影面平行面的投影特性： ①在平行的投影面上的投影，反映真形。
②在另两投影面上的投影，分别积聚成直线，且平行于 相应的投影轴。
投影面平行面必定垂直于另两个投影面，在另两个投影面上 的投影有积聚性。可以用一条或两条有积聚性的迹线表示这个投影 面平行面。
平面的投影课件(共20张PPT)《土木工程识图》同步教学(中国建筑工业出版社)
识 别 面 的 投 影 Identify the projection surface
2.6 平面的投影
在投影中，平面与投影面之间按相对位置的不同，可分为三种， 即：投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面。 一、一般位置平面 ① 空间位置：对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，简称一般平面。 ② 投影及其规律：一般位置平面的投影，既不反映实形，也无积聚性，均为小于实形的类似形。
例题8,根据两面投影、补全第三面投影。
Z
c' b'
a'
xc
YW
b a
YH
识 别 面 的 投 影 Identify the projection surface
例题8,根据两面投影、补全第三面投影。 解：
Z
c' b'
a'
xc
b a
a''
YW
YH
（a） 作点A的投影
Z
c'
b'
b''
a'
xc
b a
a''
2.6 平面的投影
例8 如图所示，从房屋的投影图中，找出投影面垂直面来，将其填到表中和立体图上。
识 别 面 的 投 影 Identify the projection surface
2.6 平面的投影
例9 如图所示，该形体是一六角亭，下为六棱柱，上是六棱锥，试将其中哪些表面是铅 垂面和一般位置平面读出来，填到表中和标到立体图上。
识 别 面 的 投 影 Identify the projection surface
2.6 平面的投影
铅垂面
V
平面的投影公开课PPT课件
A面的三面投影中
实形。
2021
10
5
平面对一个投影面的投影特征
★平面垂直投影面——投影积聚成直线 ★平面平行投影面——投影就把实形现 ★平面倾斜投影面——投影类似原平面
平面对三个投影面的投影特征
平面种类
平面位置
平面投影
投影面垂直面
正垂面 ⊥V 、∠ H、 ∠ W 侧垂面 ⊥W 、∠ V、 ∠ H 铅垂面 ⊥H 、∠V、 ∠ W
与正面：倾斜 与侧面：倾斜
投影 投影
收缩性 收缩性
投影 与水平面：垂直
积聚性
投影特性：在水平面投影积聚成一条直线，
其他两面投影为类似形 。
2021
9
4
1、下列平面属于哪种位置平面。
2、判断平面A与三投影面的关系、属于 哪种位置平面以及三面投影中有无实形。
A面与V面
，A面与H面
，
A面与W面
，A面是
面，
平面对一个投影面的投影特性平行垂直投影面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜积聚性收缩性收缩性投影投影投影与侧面
2021
1
1
直线对一个投影面的投影特性
B
●
A● ●b
a●
真实性
A● M● B●
●
a≡b≡m
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
2021
6
4
积聚性
x
z
收缩性
正垂面
与投影面位置关系以及投影特征
投影 与正面： 垂直
积聚性
o
5平面的投影精品PPT课件
(c')
长40
d'
(b')
30
a'
b
c
长25
a
d
化环系
[例] 过A点作平行于V面的正例：作正方形的投影 方形ABCD,边长为25, 对角 线AC垂直于H面。
a'
长25
45
d'
b'
c'
a d
b
(c)
平面的投影—应用题1
[例] 已知正方形ABCD的一 边 BC的H、V投影，另一边 AB的V投影方向，求作此 正方形ABCD的投影。
2. H投影积聚为一平行 于OX轴的水平线；
3. W投影积聚为一平行 于OZ轴的铅直线。
投影图
投影面垂直面（侧平面）
化环系
侧 平 面
空间位置
Vb'(a')
d'(c') e'(f')
A F
B C
D
a(f) E b(c) d(e)
a"
b"
f"
c" d"
e"
W H
b'(a')
d'(c') e'(f') X
a' k'
作图步骤
1.过b作bc的垂线,此即为AB b'
a
边的H投影方向。
2.在AB边上任取一点K，用
直角三角形法求出其实长。
k
3.在直角三角形的斜边上量取 bc长（反映了正方形边长），
b
用等比性即可确定A点.
4.用平行性画出正方形其余
的投影。
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5.1 平面的投影
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
● c
● c
c
●
● b ●b
●c
d a●
●
●
d
a●
c ● a●
● b ●b
a●
●c
c
●
● b ●b
●c
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 两平行直线 两相交直线 平面图形 外一点
2、平面的迹线表示法
侧垂面（⊥ W ）
投影面垂直面
铅垂面
正垂面 侧垂面
铅垂面
V P B
c a
b
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c a
b
A a
a b
H
C PH c
投影特性：1、 abc积聚为一条线
c
b
2 、 abc、 abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
正垂面
V
b
QV
a
A
c
C
b c
a α
W B
c
Q
a
b c
b
解法二 b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
4、平面上的投影面平行线
一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行 线，不存在投影面垂直线。
例题 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，
过点A作属于该平面 的水平线。
b
m
a
n
b m
c
n c
a
四、平面内的最大斜度线
平面内对投影面的最大斜度线：平面内 对该投影面最大倾角的某一条直线。最大 斜度线必垂直于平面内的该投影面的平行 线。
（3）对W面的最大斜度线——平面内垂直于侧平线的直线
平面内的最大斜度线
平面内最大斜度线对投影面的倾角等于 该平面对相应投影面的倾角。
AB为平面P内对H 面的最大斜度线
PA C
c
D
α
d B H
AB对H面的倾角等于 平面P对H面的倾角
a
实形性
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
水平面
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行 的直线。
3、 一般位置平面
一般位置平面
b
a
B
b
b a
b
a
c
c
A
a
b
C c
b
a
c
c
a
投影特性
1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
2 、 不反映、、 的真实角度
三、平面上的直线和点
为什么？
类似性
是什么位置 的平面？ a
积聚性
γ
投影特性： a
b
b
类似性
c c
βc b
a
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
⒉ 投影面平行面
名称
水平面（∥ H ）
正平面（ ∥ V）
侧平面（∥ W ）
⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平 面内的方法
定 理一
若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。
定 理二
若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任 作一条直线。
解法一
根据定理一
b
m a
n c
解法二
a
根据定理二
V
PV
P
H PH
V
QV
Q H QH
PV PH QV
QH
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影特性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
实形性 积聚性 类似性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
投影特性：H
b
a
1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、正平面投影abc反映 ABC实形
侧平面
b
V
c
B
b
a
b a
b
W c
c
a
A
a
a
a bC
b
c
投影特性： H c
c
1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
积聚性
积聚性
a b c a c b
a
H
投影特性：1、 abc 积聚为一条线
b
2 、 abc、abc ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
侧垂面
b
V
S B
SW
b
a
W
b c β c
α a
c
b
C
a
c
A
H
a
投影特性：1、 abc积聚为一条线
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
平面内的最大斜度线
A
A
P
L
L是平面P内的水平线 AB属于P，AB垂直L，
α1 α
AB即是平面P内对H面 的最大斜度线。
C BB
PH
实际上α角即是平
H 面P对平面H的倾角
平面内的最大斜度线
平面内垂直于各投影面平行线的的直线。
在三面投影体系中有三个投影面，所以平面内的最 大斜度线也有三种： （1）对H面的最大斜度线——平面内垂直于水平线的直线 （2）对V面的最大斜度线——平面内垂直于正平线的直线
d b
c
mb a
b d
a
n c 有多少解？
c
有无数解。
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距 离为10mm。
10
a
m b b
m a
有多少解？ n
c 唯一解！
c n
⒉ 平面上取点
面上取点的方法： 首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线， 然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
b d
●k
c
a’
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是 否属于该平面。
b
e d c
a
c a
e
d
b
例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一
实 例
立 体 图
非
迹
投影 线
图
表
示
法
投影面平行面
水平面
正平面 侧平面
水平面
V
a b c b a c
a
b c
b
AB
a W
c
C
b
b
a
a
c
投影特性： H
c
1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
2 、 水平投影abc反映 ABC实形
正平面
V
b
b
b
a
B
b
c
W
A a
c
a
a
c
C
c
c
ba
c
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面
平行于某一投影面，垂 直于另两个投影面
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
⒈ 投影面垂直面
名称
铅垂面（⊥ H ）
正垂面（ ⊥ V）
实例
立 体 图
投 影 图
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
● c
● c
c
●
● b ●b
●c
d a●
●
●
d
a●
c ● a●
● b ●b
a●
●c
c
●
● b ●b
●c
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 两平行直线 两相交直线 平面图形 外一点
2、平面的迹线表示法
侧垂面（⊥ W ）
投影面垂直面
铅垂面
正垂面 侧垂面
铅垂面
V P B
c a
b
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c a
b
A a
a b
H
C PH c
投影特性：1、 abc积聚为一条线
c
b
2 、 abc、 abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
正垂面
V
b
QV
a
A
c
C
b c
a α
W B
c
Q
a
b c
b
解法二 b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
4、平面上的投影面平行线
一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行 线，不存在投影面垂直线。
例题 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，
过点A作属于该平面 的水平线。
b
m
a
n
b m
c
n c
a
四、平面内的最大斜度线
平面内对投影面的最大斜度线：平面内 对该投影面最大倾角的某一条直线。最大 斜度线必垂直于平面内的该投影面的平行 线。
（3）对W面的最大斜度线——平面内垂直于侧平线的直线
平面内的最大斜度线
平面内最大斜度线对投影面的倾角等于 该平面对相应投影面的倾角。
AB为平面P内对H 面的最大斜度线
PA C
c
D
α
d B H
AB对H面的倾角等于 平面P对H面的倾角
a
实形性
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
水平面
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行 的直线。
3、 一般位置平面
一般位置平面
b
a
B
b
b a
b
a
c
c
A
a
b
C c
b
a
c
c
a
投影特性
1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
2 、 不反映、、 的真实角度
三、平面上的直线和点
为什么？
类似性
是什么位置 的平面？ a
积聚性
γ
投影特性： a
b
b
类似性
c c
βc b
a
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
⒉ 投影面平行面
名称
水平面（∥ H ）
正平面（ ∥ V）
侧平面（∥ W ）
⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平 面内的方法
定 理一
若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。
定 理二
若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任 作一条直线。
解法一
根据定理一
b
m a
n c
解法二
a
根据定理二
V
PV
P
H PH
V
QV
Q H QH
PV PH QV
QH
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影特性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
实形性 积聚性 类似性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
投影特性：H
b
a
1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、正平面投影abc反映 ABC实形
侧平面
b
V
c
B
b
a
b a
b
W c
c
a
A
a
a
a bC
b
c
投影特性： H c
c
1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
积聚性
积聚性
a b c a c b
a
H
投影特性：1、 abc 积聚为一条线
b
2 、 abc、abc ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
侧垂面
b
V
S B
SW
b
a
W
b c β c
α a
c
b
C
a
c
A
H
a
投影特性：1、 abc积聚为一条线
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
平面内的最大斜度线
A
A
P
L
L是平面P内的水平线 AB属于P，AB垂直L，
α1 α
AB即是平面P内对H面 的最大斜度线。
C BB
PH
实际上α角即是平
H 面P对平面H的倾角
平面内的最大斜度线
平面内垂直于各投影面平行线的的直线。
在三面投影体系中有三个投影面，所以平面内的最 大斜度线也有三种： （1）对H面的最大斜度线——平面内垂直于水平线的直线 （2）对V面的最大斜度线——平面内垂直于正平线的直线
d b
c
mb a
b d
a
n c 有多少解？
c
有无数解。
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距 离为10mm。
10
a
m b b
m a
有多少解？ n
c 唯一解！
c n
⒉ 平面上取点
面上取点的方法： 首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线， 然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
b d
●k
c
a’
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是 否属于该平面。
b
e d c
a
c a
e
d
b
例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一
实 例
立 体 图
非
迹
投影 线
图
表
示
法
投影面平行面
水平面
正平面 侧平面
水平面
V
a b c b a c
a
b c
b
AB
a W
c
C
b
b
a
a
c
投影特性： H
c
1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
2 、 水平投影abc反映 ABC实形
正平面
V
b
b
b
a
B
b
c
W
A a
c
a
a
c
C
c
c
ba
c
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面
平行于某一投影面，垂 直于另两个投影面
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
⒈ 投影面垂直面
名称
铅垂面（⊥ H ）
正垂面（ ⊥ V）
实例
立 体 图
投 影 图