《常微分方程》课程教学大纲
常微分方程教学大纲
常微分方程教学大纲1. 引言1.1 课程背景1.2 课程目标2. 基本概念与分类2.1 常微分方程的定义2.2 一阶常微分方程与高阶常微分方程2.3 线性与非线性常微分方程2.4 齐次与非齐次常微分方程3. 解常微分方程的基本方法3.1 可分离变量法3.2 齐次方程法3.3 线性方程法3.4 变量替换法3.5 常系数线性齐次方程法3.6 常系数线性非齐次方程法4. 常微分方程的应用领域4.1 数学建模与科学研究4.2 物理学中的应用4.3 生物学中的应用4.4 工程学中的应用5. 常微分方程的求解工具5.1 MATLAB在求解常微分方程中的应用5.2 WolframAlpha在求解常微分方程中的应用5.3 相关软件与工具的介绍6. 常微分方程的数值解法6.1 欧拉法6.2 改进的欧拉法6.3 龙格-库塔法6.4 迭代法6.5 数值解法的误差分析7. 常微分方程的稳定性与解的存在唯一性7.1 稳定性的定义与判定7.2 解的唯一性的定理与证明7.3 线性方程与非线性方程的稳定性比较8. 常微分方程教学的案例与实例8.1 简单案例的解析解与数值解比较8.2 复杂案例的数值解求解8.3 应用案例的数学建模与解决9. 课堂教学安排与评估方式9.1 教学活动与教学资源准备9.2 课堂教学流程设计9.3 学习目标与评估方式10. 总结与展望10.1 课程内容总结10.2 教学方法总结10.3 未来发展与深化的方向通过本门课程的学习，学生将了解常微分方程的基本概念与分类，掌握常微分方程的基本解法，并能够运用所学知识解决实际问题。
课程还将介绍常微分方程在数学建模、物理学、生物学和工程学中的应用，并通过案例与实例帮助学生更好地理解和掌握所学内容。
课程中将介绍常微分方程的基本解法，包括可分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、常系数线性齐次方程法和常系数线性非齐次方程法。
此外，还将介绍常微分方程的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法和迭代法，并讨论数值解法的误差分析。
《 常微分方程 》课程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110044课程名称：常微分方程英文名称：Ordinary Differential Equation课程类别：专业必修课学时：45学 分：2.5适用对象: 信息与计算科学本科考核方式：考试先修课程：数学分析、高等代数二、课程简介本课程是信息与计算科学专业的专业必修课程。
常微分方程（ODE）涉及经济学、管理学、生物学、工程技术等很多学科，是各学科紧密相连综合交叉的一门新学科。
This course is information and the professional professional required course of calculation science. Often the differential calculus square distance(ODE) involve economics, management to learn, biology, engineering technique's etc. is a lot of academicses, is each academics is close and conjoint comprehensive cross of a new academics.三、课程性质与教学目的通过本课程的理论学习和实践训练，提高学生的常微分方程水平，加深微积分训练，加强与其他数学课、物理、化学、生态学等方面的横向联系，能够全面正确地分析常微分方程在几何、物理、化学等学科应用过程中所出现的问题。
培养学生初步建模的能力，为后续课程的学习打下良好的基础，将来能综合运用所学知识解决问题。
四、教学内容及要求第一章初等积分法（一）目的与要求介绍常微分方程的相关概念，阐述其基本功能、相应的解法和应用等。
1．掌握常微分方程的基本概念；2．掌握可分离变量方程、齐次方程的概念及它们的联系和解法；3．掌握一阶线性微分方程、伯努利方程的概念及它们的联系和解法；4. 掌握全微分方程与积分因子的概念和解法；5. 掌握可降阶的二阶微分方程的解法；6. 掌握微分方程的应用方法，能建立一些简单的模型。
《常微分方程》教学大纲
教学大纲1、课程基础：本课程是数学学科的专业基础课，需要数学分析，线性代数和普通物理中的力学部分作为学习基础。
2、教材及主要参考书：教材：[1] 常微分方程，伍卓群、李勇，高等教育出版社, 2004。
主要参考书：[2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，1963。
[3] 常微分方程讲义(第二版)，叶彦谦，人民教育出版社，1982。
[4] 常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991。
3、教学内容和要点：第一章初等积分法一、学习目的要求掌握微分方程的相关概念；能熟练应用初等积分法求解典型类型方程；能灵活应用各种变换求方程的解；掌握一阶隐方程的解法。
二、主要教学内容1. 例子与概念2. 典型方程的解法3. 解题的灵活性4. 一阶隐方程，高阶方程与黎卡提方程第二章线性方程一、学习目的要求理解并掌握线性方程的一般理论，包括初值问题解的存在与唯一性、齐次和非齐次线性方程的通解的结构、边值问题解的存在性和马赛拉准则，掌握求解高阶线性微分方程的降阶法和复值解的概念。
二、主要教学内容1. 解的存在性与唯一性2. 齐次线性方程的通解的结构3. 非齐次线性方程的通解的结构4. 边值问题和周期解5. 线性微分方程的一些求解方法6. 线性方程的复值解第三章常系数线性方程一、学习目的要求掌握常系数齐次线性方程（组）的解法；能熟练应用算子解法求解非齐次线性方程；了解拉氏变换法；二、主要教学内容1. 常系数齐次线性方程的解法2. 常系数齐次线性方程组的解法3. 算子解法4. 拉氏变换法*第四章一般理论一、学习目的要求理解并掌握一般非线性微分方程的一般理论：包括初值问题的皮卡存在与唯一性定理、皮亚诺存在定理、柯西存在与唯一性定理、解的延展与解的整体存在性以及解对初值与参数的连续性与可微性，了解求解非线性方程的连续性方法。
二、主要教学内容1. 皮卡存在与唯一性定理2. 皮亚诺存在定理3. 柯西存在与唯一性定理*4. 解的延展与解的整体存在性5. 解对初值与参数的连续性6. 解对初值与参数的可微性7. 解非线性方程的连续性方法*第五章定性理论一、学习目的要求理解李雅普诺夫意义下解的稳定性定义，会运用第一近似方法和李雅普诺夫第二方法判别方程平衡解的稳定性；掌握一般定性理论的基本概念；掌握平面动力系统的奇点类型和闭轨附近的动力学行为；了解系统的结构稳定性，分支与浑沌等概念；掌握首次积分的定义和性质；了解守恒系统的基本性质。
《常微分方程》课程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲（Ordinary Differential Equation）一、课程说明课程编码：07100090、课程总学时（理论总学时/实践总学时）60（45/15）、周学时（理论学时/实践学时）4（3/1）、学分4、开课学期四。
1．课程性质：学科公共必修课2．适用专业与学时分配：适用于数学与应用数学专业。
教学内容与时间安排表3．课程教学目的与要求：本课程是数学类专业一门学科专业必修课，授课对象为数学专业二年级本科生。
通过常微分方程的教学，要求学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解。
开设此课程的目的是在学生学习与掌握常微分方程的基本理论与方法的基础上，培养学生逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。
4．本门课程与其它课程关系：先修课程为数学分析，高等代数。
学生应掌握数学分析，高等代数的基本理论和方法；并为数学物理方法奠定基础。
5．推荐教材及参考书：[1]东北师范大学微分方程教研室编，常微分方程。
北京，高等教育出版社，2005[2]周义仓等编，《常微分方程及其应用》，科学出版社，2003年。
[3]张晓梅等编，《常微分方程》，复旦大学出版社，2010年6．课程教学方法与手段：传统教学与现代多媒体技术相结合。
7．课程考试方法与要求：平时成绩与期末成绩相结合。
总成绩=平时成绩*20%+期末考试（闭卷）试卷成绩*80%。
平时成绩满分100（出勤60%+平时作业20%+平时测验20%）8．实践教学内容安排：学生分组讨论解决相关的课程内容及习题。
二、教学内容纲要第一章初等积分法（20学时）1.教学目的与要求熟练掌握变量分离方程、齐次方程及可化为齐次方程的方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程、几种特殊类型的一阶隐方程和可降阶的高阶方程的求解方法。
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《常微分方程》课程教学大纲
一、课程基本信息
二、课程教学目标
常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。
通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。
1．学好基础知识。
理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。
2．掌握基本技能。
能够根据法则、公式正确地进行运算。
能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
3．培养思维能力。
能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。
能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。
能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。
对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。
三、教学学时分配
《常微分方程》课程理论教学学时分配表
＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求
第一章绪论（4学时）
（一）教学要求
1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；
2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；
3. 理解微分方程的基本概念；
4. 掌握如何由通解求特解。
（二）教学重点与难点
教学重点：微分方程的基本概念；
教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。
（三）教学内容 第一节 常微分方程模型
第二节 基本概念和常微分方程的发展历史
1．常微分方程基本概念
本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。
第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）
（一）教学要求
1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；
4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算
公式,并用于解相应的微分方程；
5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；
6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；
7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。
（二）教学重点与难点
教学重点：五种类型的方程（可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程及恰
当方程）及已解出y （或x ）的方程的初等解法,了解一阶方程的参数表示。
教学难点：根据方程的特点,引进适宜的变换,将方程化为能求解的方程去求解。
（三）教学内容
第一节 变量分离方程与变量变换 1.变量分离方程
2.可化为变量分离方程的类型
3.应用举例
第二节线性微分方程与常数变易法
第三节恰当微分方程与积分因子
1.恰当微分方程
2.积分因子
第四节一阶隐式微分方程与参数表示
1.可以解出y（或x）的方程
2.不显含y（或x）的方程
本章习题要点：求解方程：可分离变量方程、可化为变量分离方程的方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程、已解出y（或x）的方程。
第三章一阶微分方程的解的存在定理（10学时）
（一）教学要求
1. 掌握解的存在唯一性定理和逐步逼近法并会求初值问题的近似解及估计误差；
2. 了解解的延拓定理，了解解对初值的连续依赖性和可微性；
3. 了解包络和奇解的概念和求解方法。
（二）教学重点与难点
教学重点：解的存在唯一性定理与逐步逼近法。
教学难点：解的存在唯一性定理与逐步逼近法。
（三）教学内容
第一节解的存在唯一性定理与逐步逼近法
1.存在唯一性定理
2.近似计算和误差估计
第二节解的延拓
第三节解对初值的连续性和可微性定理
1.解关于初值的对称性
2.解对初值的连续依赖性
3.解对初值的可微性
第四节奇解
1.包络和奇解
2.克莱罗微分方程
本章习题要点：计算解的存在唯一性区间；近似计算和误差估计；求奇解和包络；克莱
罗微分方程的求解。
第四章 高阶微分方程（14学时）
（一）教学要求
1. 了解高阶线性微分方程解的存在唯一性,理解函数组线性相（无）关与Wronsky 行列式的关系；
2. 掌握线性微分方程解的性质与结构,了解高阶线性方程的常数变易法；
3. 掌握求常系数齐次线性微分方程基本解组的特征根法及求常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法；
4. 掌握Euler 方程的解法；
5. 了解拉普拉斯变换法求解高阶微分方程的初值问题；
6. 掌握用降阶法处理下列类型的方程：
()(1)()(,,,,)0(1)k k n F x y y y k n +=≤≤L ,()(,',,)0n F y y y =L ,二阶变系数齐次线
性微分方程；
7.了解用幂级数解二阶线性微分方程；
8.了解高阶微分方程的应用,能对简单的应用问题建立模型进行简单分析。
（二）教学重点与难点
教学重点：常系数线性微分方程的基本理论和求解方法；高阶方程的降阶法。
教学难点：高阶线性微分方程的各种求解方法。
（三）教学内容
第一节 线性微分方程的一般理论
1.引言（齐次与非齐次微分方程的定义,线性微分方程解的存在唯一性定理）
2.齐次线性微分方程的解的性质与结构
3.非齐次线性微分方程与常数变易法 第二节 常系数线性微分方程的解法 1.复值函数与复值解
2.常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
3.非齐次线性微分方程与拉普拉斯变换法
4.质点振动
第三节高阶微分方程的降阶和幂级数解法
1.可降阶的一些方程类型
2.二阶线性微分方程的幂级数解法
3. 第二宇宙速度计算
本章习题要点：线性微分方程解的结构及求解高阶线性微分方程
第五章线性微分方程组（12学时）
（一）教学要求
1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理；
2. 掌握线性微分方程组的一般理论,掌握基本解矩阵的基本性质；
3. 掌握常系数线性微分方程组基解矩阵的计算方法,特别是expAt的定义、性质及计算
方法；
4. 理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系；
5. 会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。
（二）教学重点与难点
教学重点：线性微分方程组的基解矩阵及求法；高阶线性微分方程与微分方程组的关系。
教学难点：线性微分方程组的基解矩阵的求法；高阶线性微分方程与微分方程组的关系。
（三）教学内容
第一节存在唯一性定理
1.记号和定义
第二节线性微分方程组的一般理论
1.齐次线性微分方程组
2.非齐次线性微分方程组
第三节常系数线性微分方程组
1.矩阵指数expA的定义和性质
2.基解矩阵的计算公式
本章习题要点：求解一阶常系数线性微分方程组的基解矩阵及初值问题的解。
五、教学方法或手段
1、教学方法方面，体现以学生为本、因材施教、个性发展、素质教育等现代教育理念而采取的讲授方法和教学活动。
如讲授法、启发式、讨论式、案例式、探究式、互动式、自学辅导式、网上助学式。
2、教学手段方面，采用板书与多媒体、网络相结合及使用MOOC教学。
六、考核方式及评价要求
本课程教学严格按照理论课程教学大纲、课程教学进程安排进行日常教学，采取课堂讲授、课堂讨论、课外自主实践等多种形式完成教学任务。
课程总评成绩由以下两部分构成，各部分分数分布情况如下：
1. 平时成绩（20％）:平时上课情况、课堂练习、课后作业及笔记等。
2. 阶段测试成绩（20%）：期中考试（闭卷）、课堂小测试或小论文。
以期中考试成
绩为主
3. 期末理论考试（60%）：闭卷考试。
七、教材及教学主要参考书
推荐教材：
《常微分方程》，王高雄等编，高等教育出版社，2012年5月第3版。
参考书目：
1.《常微分方程》，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005年4月
第2 版。
2.《常微分方程》，蔡燧林编，浙江大学出版社，2013年11月第3版。
3.《常微分方程基础》,(美)爱德华兹，彭尼编，机械工业出版社，2015年7月第5版。
4.《常微分方程》，张祥编，科学出版社，2015年6月第1版。
八、说明。