人教版八年级数学上册《因式分解》课件
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“首平方，尾平方，积的二倍在中央” 灿若寒星
做一做
把下列多项式分解因式 (1)4a2+12a+9 =(2a+3)2
(2)(a+b)2-6(a+b)+9 =(a+b-3)2
解题策略：公式中的a、b既可以由 单项式充当，也可以由多项式充当。
灿若寒星
例题选讲
1.优先考虑
1.把下列各式分解因式提公因式.
(1)4a(x-y)2-2b(y-x)2
(2)m4-4m2
分解必 须彻底
解:原式= 4a(x-y)2-2b(x-y)2 解:原式= m2(m2-4)
=m2(m+2)(m-2)
=2(x-y)2(2a-b)
互为相反两数
(3)4ab2-4a2b-b3
解:原式= b(4ab-4a2-b2)
的奇次幂相反， 偶次幂相等,
做一做
用提公因式法分解因式：
(1)8a3b2－12ab3c =4ab2(2a2-3bc)
(2)a(p-q)-4b(q-p) =(p-q)(a+4b)
公因式既可以由单 项式充当，也可以
由多项式充当。
灿Baidu Nhomakorabea寒星
思考与回顾
多项式x2+y2、x2-y2、-x2+y2、-x2-y2能否
分解因式?
平方差公式a2-b2=(a+b)(a–b)的结构特征： ①两项——由两项组成； ②两个平方——每项除符号外都是 某数或某式的平方； ③符号相反——两项的符号为异号.
∴x2-y2、-x2+y2能用平方差公式分解因式
灿若寒星
做一做
把下列各式分解因式：
1.x2y2-z2 =(xy+z)(xy-z)
2.(x+p)2-(x+q)2 =(2x+p+q)(p-q)
解题策略：公式中的a、b既可以由 单项式充当，也可以由多项式充当。
灿若寒星
思考与回顾
下列两个多项式能因式分解吗
=-b(-4ab+4a2+b2)
=-b(4a2-4ab+b2) =-b(2a-b)2
提取负号 各项改号
灿若寒星
灵活选 择公式
拓展运用
2.已知:a+b=3,ab=4, 求多项式a3b+2a2b2+ab3的值.
解：a3b+2a2b2+ab3 =a3b+2a2b2+ab3 =ab(a2+2ab+b2) =ab(a+b)2.
当a+b=3,ab=4时 原式=4×32=36. ∴多项式a3b+2a2b2+ab2的值是36.
解题策略 ——借助因式分解的方法
将原式用a灿+若b寒和星 ab来表达
牛刀小试
1.把下列各式分解因式 (1)4a2b-8ab2+4b3 =4b(a-b)2
(2)x4-18x2+81 (3)m4-1 (4)2(a-3)2-a+3
=(x+3)2(x-3)2 =(m2+1)(m+1)(m-1) =(a-3)(2a-7)
2.已知4x2+m+9y2是一个完全平方式， 试求m的值.
3.已知,2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. 灿若寒星
有感而发
我学会了…… 我明白了…… 我会用…… 我认为……
灿若寒星
灿若寒星
空白演示
在此输入您的封面副标题
灿若寒星
板块梳理
定义
把一个多项式化为几个整式的积的 形式，叫做多项式的因式分解。
因式分解
与整式乘法的关系 互为相反的变形
方法
提公因式法 公式法
步骤
1.提公因式法 2.运用公式法
注意事项
灿若寒星
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
优先提公因式 灵活选择合适的方法 检查结果是否彻底 检查分解是否正确
现有甲乙丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
甲同学： 解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)
乙同学： 解:-x2+xy-xz =-x(x+y-z)
丙同学： 解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x)
公因式 未提尽
括号内 后两项未变号
漏掉了 1
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。 灿若寒星
(1)4x2+4x-1
（×）
(2)25x2+y2-10xy 完全平方公式
（√）
a2＋2ab＋b2=（a＋b)2
a2－2ab＋b2=（a－b)2
把多项式a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2
称为完全平方式
灿若寒星
思考与回顾 ▲完全平方式——a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2 ▲完全平方式的结构特征： 完全平方式是一个三项式，由两部分组成： 一是平方和（a2＋b2） 一是积的2倍（2ab）
辨一辨
判断下列等式从左至右的变形是否 因式分解
(1)x2-3x-1=x(x-3)-1 ………(×) (2)(x-3)(x+2)=x2-x-6 ………(×) (3)x2+1=x(x+) …………(×) (4)a2－4ab+4b2=(a－2b)2 …(√)
灿若寒星
议一议
把下列多项式因式分解：
(1)12x2y+18xy2；(2)-x2+xy-xz；(3)2x3+6x2+2x
做一做
把下列多项式分解因式 (1)4a2+12a+9 =(2a+3)2
(2)(a+b)2-6(a+b)+9 =(a+b-3)2
解题策略：公式中的a、b既可以由 单项式充当，也可以由多项式充当。
灿若寒星
例题选讲
1.优先考虑
1.把下列各式分解因式提公因式.
(1)4a(x-y)2-2b(y-x)2
(2)m4-4m2
分解必 须彻底
解:原式= 4a(x-y)2-2b(x-y)2 解:原式= m2(m2-4)
=m2(m+2)(m-2)
=2(x-y)2(2a-b)
互为相反两数
(3)4ab2-4a2b-b3
解:原式= b(4ab-4a2-b2)
的奇次幂相反， 偶次幂相等,
做一做
用提公因式法分解因式：
(1)8a3b2－12ab3c =4ab2(2a2-3bc)
(2)a(p-q)-4b(q-p) =(p-q)(a+4b)
公因式既可以由单 项式充当，也可以
由多项式充当。
灿Baidu Nhomakorabea寒星
思考与回顾
多项式x2+y2、x2-y2、-x2+y2、-x2-y2能否
分解因式?
平方差公式a2-b2=(a+b)(a–b)的结构特征： ①两项——由两项组成； ②两个平方——每项除符号外都是 某数或某式的平方； ③符号相反——两项的符号为异号.
∴x2-y2、-x2+y2能用平方差公式分解因式
灿若寒星
做一做
把下列各式分解因式：
1.x2y2-z2 =(xy+z)(xy-z)
2.(x+p)2-(x+q)2 =(2x+p+q)(p-q)
解题策略：公式中的a、b既可以由 单项式充当，也可以由多项式充当。
灿若寒星
思考与回顾
下列两个多项式能因式分解吗
=-b(-4ab+4a2+b2)
=-b(4a2-4ab+b2) =-b(2a-b)2
提取负号 各项改号
灿若寒星
灵活选 择公式
拓展运用
2.已知:a+b=3,ab=4, 求多项式a3b+2a2b2+ab3的值.
解：a3b+2a2b2+ab3 =a3b+2a2b2+ab3 =ab(a2+2ab+b2) =ab(a+b)2.
当a+b=3,ab=4时 原式=4×32=36. ∴多项式a3b+2a2b2+ab2的值是36.
解题策略 ——借助因式分解的方法
将原式用a灿+若b寒和星 ab来表达
牛刀小试
1.把下列各式分解因式 (1)4a2b-8ab2+4b3 =4b(a-b)2
(2)x4-18x2+81 (3)m4-1 (4)2(a-3)2-a+3
=(x+3)2(x-3)2 =(m2+1)(m+1)(m-1) =(a-3)(2a-7)
2.已知4x2+m+9y2是一个完全平方式， 试求m的值.
3.已知,2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. 灿若寒星
有感而发
我学会了…… 我明白了…… 我会用…… 我认为……
灿若寒星
灿若寒星
空白演示
在此输入您的封面副标题
灿若寒星
板块梳理
定义
把一个多项式化为几个整式的积的 形式，叫做多项式的因式分解。
因式分解
与整式乘法的关系 互为相反的变形
方法
提公因式法 公式法
步骤
1.提公因式法 2.运用公式法
注意事项
灿若寒星
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
优先提公因式 灵活选择合适的方法 检查结果是否彻底 检查分解是否正确
现有甲乙丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
甲同学： 解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)
乙同学： 解:-x2+xy-xz =-x(x+y-z)
丙同学： 解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x)
公因式 未提尽
括号内 后两项未变号
漏掉了 1
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。 灿若寒星
(1)4x2+4x-1
（×）
(2)25x2+y2-10xy 完全平方公式
（√）
a2＋2ab＋b2=（a＋b)2
a2－2ab＋b2=（a－b)2
把多项式a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2
称为完全平方式
灿若寒星
思考与回顾 ▲完全平方式——a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2 ▲完全平方式的结构特征： 完全平方式是一个三项式，由两部分组成： 一是平方和（a2＋b2） 一是积的2倍（2ab）
辨一辨
判断下列等式从左至右的变形是否 因式分解
(1)x2-3x-1=x(x-3)-1 ………(×) (2)(x-3)(x+2)=x2-x-6 ………(×) (3)x2+1=x(x+) …………(×) (4)a2－4ab+4b2=(a－2b)2 …(√)
灿若寒星
议一议
把下列多项式因式分解：
(1)12x2y+18xy2；(2)-x2+xy-xz；(3)2x3+6x2+2x