期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
,为独立同分布的随机变量序列，若μ<∞=则有pk,1,2,ξ是由同一总体中得到的抽样，那么由,,n此大数定律可知样本均值,为独立同分布的随机变量序列，若∑2,则有k=η，并计算样本均值,,n,,)]T S ，为期权的到期,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期n t T <<=2,)n，1,2,n），则如果用日数据计算波动率，+)()(f x x '+2,)2,,}k，跳跃尺度的最终观测值，()2()(,)N t W S r λτλτσ-exp(λλμ=，(exp(r r λ=-1σσστ=+新产品发明专利池的市场价值V=8050在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=5450。
●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情(,NμσSY期权的价格公式：在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。
§6. 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。
其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。
选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。
最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首*,,,,)]T t S S *,,,,T t S S 为标的资产价格的路径，*(,,,,)T t f S S S 是在最优执行时刻*t 的期权价值。
上式定义的{0,1,,}N ，随机变量用生成随机数模拟得到标的资产价格,,N S ，重复执行(1)N ⨯+。
期权定价的蒙特卡罗模拟方法精选 课件
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计算模拟所得的期权价值的平均值后， 再计算现值得期权价格的一个估计
C E[CT ]erT 7.000053 e0.11 6.27 用布莱克—舒尔斯模型计算期权的价格
从 S0开始模拟得 ST Sn
CT max{ST SX ,0} 或 PT max{ S X ST ,0}
(3)计算 E[CT ]或 E[PT ]及期权的价格.
4). 注意事项
A. 模拟次数和计算精度之间的考量。 理论上的要求，在模拟时，时段的长度 应小，模拟次数应尽可能的多，以便使 所得的资产价格估计尽可能涵盖资产价 格的真实分布，这会大大增加模拟的计 算工作量。
2). 基本过程
例：设有这样一个股票，其现行的市场 价格为80元，已知该股票对数收益的均 值为8%，对数收益的波动性为25%， 无风险资产的收益率为11%。现在有以 该股票为标的资产, 执行期限为1年的买 入期权，确定的股票执行价格为88元， 用模拟法确定该期权的价格。
设一年有250个工作日，将其分为250
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期权定价数值方法
期权定价数值方法期权定价是金融学和衍生品定价的重要研究领域之一。
相对于传统的基于解析公式的定价方法，数值方法在期权定价中发挥了重要作用。
本文将介绍几种常用的期权定价数值方法。
第一种方法是蒙特卡洛模拟法。
这种方法通过生成大量的随机路径，从而模拟出期权的未来价格演化情况。
蒙特卡洛模拟法能够处理各种复杂的衍生品，尤其适用于路径依赖型期权的定价。
其基本思想是通过随机游走模拟资产价格的变化，并在到期日计算期权的收益。
蒙特卡洛方法的优点在于简单易懂，适用于任意的收益结构和模型。
缺点是计算复杂度高，需要大量的模拟路径，同时计算结果存在一定的误差。
第二种方法是二叉树模型。
二叉树模型将时间离散化，并用二叉树结构模拟资产价格的变化。
每一步的价格变动通过建立期权价格的递归关系进行计算。
二叉树模型适用于欧式期权的定价，特别是在波动率较低或资产价格较高时效果更好。
二叉树模型的优点在于计算速度快，容易理解，可以灵活应用于各种不同类型的期权。
缺点是对期权到期日的分割存在一定的限制，复杂的期权结构可能需要更多的分割节点。
第三种方法是有限差分法。
有限差分法将连续时间和连续空间离散化，通过有限差分近似式来计算期权价格。
其基本思想是将空间上的导数转化为有限差分的形式，然后通过迭代的方法求解有限差分方程。
有限差分法适用于各种不同类型的期权定价，特别是美式期权。
它是一种通用的数值方法，可以处理多种金融模型。
缺点是计算复杂度高，特别是对于复杂的期权结构和高维度的模型，需要更多的计算资源。
综上所述，期权定价的数值方法包括蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法。
不同的方法适用于不同类型的期权和市场情况。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的数值方法进行期权定价。
期权定价是金融学中一个重要的研究领域，它的核心是确定期权合理的市场价值。
与传统的基于解析公式的定价方法相比，数值方法在期权定价中有着重要的应用。
本文将进一步介绍蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法，并探讨它们的优缺点及适用范围。
期权定价的蒙特卡罗模拟方法
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100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 价格 40 50 60 70
3). 模拟步骤
用蒙特卡罗模拟方法计算期权价格的过程： (1) 输入资产及期权的有关参数 S 0 , S X , T , , , r, 时 n 段数n和模拟次数m，并计算 t T /； (2) 关于 i 1,2,, m 作下列模拟和计算：
13 14 15 16 17 18 19 20
130.7688 87.83761 62.89268 79.57162 91.73871 66.88669 75.17505 70.62426
42.76877 0 0 0 3.738708 0 0 0
38 39 40 41 42 43 44 45
87.75519 78.61444 86.31097 91.21032 77.66045 93.91685 81.63916 81.54932
S k 1 S k exp( t z t ), k 0,1,, n 1
从 S 0开始模拟得 S T S n CT max{ ST S X ,0} 或 PT max{ S X ST ,0}
增加模拟次数，使得模拟所得的股票在 期权到期日的价格尽可能好地复盖实际 的价格分布。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。
近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。
下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。
蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。
在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。
常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。
然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。
通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。
路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。
路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。
例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。
在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。
此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。
总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。
它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。
首先是欧式期权定价。
欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。
蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。
蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法在期权定价中应用的比较研究
σ2 ) T lg ( S0 / K ) + ( r + 1 / 2 σ T σ T
[5 ]
; ;
σ2 ) T lg ( S0 / K ) + ( r - 1 / 2 。
2 期权定价
期权按照买者的权利划分 , 期权可分为看涨期 权和看跌期权 。凡是赋予期权买者购买标的资产 权利的合约 , 就是看涨期权 ; 而赋予期权买者出售 标的资产权利的合约就是看跌期权 。显然看涨期 权的购买者预期标的资产价格上涨 , 而看跌期权的 购买者预期标的资产价格下跌 。期权按照买者执 行期权的时限划分 , 期权可分为欧式期权和美式期 权 . 欧式期权的买者只能在期权到期日才能执行期 权 。而美式期权允许买者在期权到期前的任何时 间执行期权 。尽管欧式期权更易于定价 , 但实际交 易的期权大多都是美式期权
63180图1欧式看涨期权模拟结果误差比较从表1和图1中所示的实验结果可以清晰的看出传统的伪随机数模拟的方法产生的结果误差远远大于低差异序列模拟的结果虽然增加模拟次数可以提高精确度但同时计算时间也相应的延长从精确度上来看拟随机序列的表现要远远优于伪随机序列的表现用超均匀序列来修正蒙特卡洛模拟改进效果是明显的
1926
科 学 技 术 与 工 程
32 32
9卷
的值有 m = 2 或者 M ersenne 素数 m = 2 - 1。为满
1 基本概念与随机数的生成原理
蒙特卡洛方法 (Monte Carlo method 又称 MC ) , 也称统计模拟方法 , 是 20 世纪 40 年代中期由于科 学技术的发展和电子计算机的发明 , 而被提出的一 种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值 计算方法 。它把问题看成一个黑箱 , 输入伪随机数 流 ,通过分析输出 ,得到感兴趣的估计值 。 随着拟随机序列的出现 , 蒙特卡洛方法也已经 发展到拟蒙特卡洛方法 ( Quasi2 Monte Carlo m ethod 又称 QMC ) 。两者虽然方法相似但理论基础不同 。 拟蒙特卡洛方法对估计效果的改进取决于拟随机 序列在抽样样本空间中分布的均匀性 。序列分布 得越均匀 ,其改进效果越明显 。通常用偏差率来表 示这种均匀性 , 均匀程度越高 , 其偏差率越低 。因 此拟随机序列有时也称为低偏差率序列 , 拟随机序 列的模拟也可称为低偏差率序列的模拟 。 蒙特卡洛方法成功与否 , 很大程度上取决于随 机数序列的选取 。产生随机数序列有多种不同的 方法 。这些方法被称为随机数发生器 。随机数最 重要的特性是它产生的后面的那个数与前面的那 个数毫无关系 。现实生活中不可能产生绝对随机 的随机数 , 计算机也只能生成相对的随机数 , 即伪 随机数 。
5蒙特卡洛方法模拟期权定价
材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价利用风险中性的方法计算期权定价：ˆ()rt Tf e E f -= 其中，f 是期权价格，T f 是到期日T 的现金流，ˆE是风险中性测度 如果标的资产服从几何布朗运动：dS Sdt sdW μσ=+则在风险中性测度下，标的资产运动方程为：20exp[()]2T S S r T σ=-+对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下：2(/2)max{0,(0)}r T S e K σ-+-其中，K 是执行价，r 是无风险利率，σ是标准差， ε是正态分布的随机变量。
对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。
例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。
下面用MATLAB 编写一个子程序进行计算：function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)%蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格%输入参数%s0 股票价格%K 执行价%r 无风险利率%T 期权的到期日%sigma 股票波动标准差%Nu 模拟的次数%输出参数%eucall 欧式看涨期权价格%varprice 模拟期权价格的方差%ci 95%概率保证的期权价格区间randn('seed',0); %定义随机数发生器种子是0,%这样保证每次模拟的结果相同nuT=(r-0.5*sigma^2)*Tsit=sigma*sqrt(T)discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1))-K)%期权到期时的现金流[eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff)%在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000)2． 蒙特卡洛方法模拟障碍期权定价障碍期权，就是确定一个障碍值b S ，在期权的存续期有可能超过该价格，也可能低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终止执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。
拟蒙特卡罗方法在期权定价中的应用
拟蒙特卡罗方法在期权定价中的应用
随着金融系统的复杂性持续增加，研究人员开发出了新的方法来解决期权定价问题。
其中最有效的方法就是拟蒙特卡罗方法（MCP）。
MCP可以计算复杂的收益潜力和风险，以及将投资行为的分析数据转换为令人信服的价格预测。
MCP的主要作用是预测期权有效价格水平，主要通过仿真的方式，计算不同的期权行为的潜在风险和收益。
MCP把所有发生的期权行为收缩成一个称为风险限制的模型，这个模型将偏序关系定义为一种数学对象，可以实现在任何时间点都能计算出最优收益价格，也可以使研究人员在期权定价中建立自己的价格表现规则。
MCP同样也可以用来验证和估计多个变量之间的线性关系，并确定投资组合中的风险因素。
MCP可以用来评估复杂的期权定价模型，并为定价提供准确的参数估计，还可以利用MCP来调整期权行为的模型，而不会受到任何金融和市场模型的有效性约束。
总而言之，拟蒙特卡罗方法在期权定价中有着广泛的应用，并为金融工程师提供了一种更有效的期权定价方法。
蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用研究
蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用研究蒙特卡罗模拟是一种重要的金融工程方法，广泛应用于期权定价、风险管理、金融衍生品估值等领域。
蒙特卡罗模拟的核心思想是通过随机模拟，计算所需的数学期望值，从而得出目标结果。
在期权定价领域，蒙特卡罗模拟能够帮助投资者更好地理解市场风险与收益，减少不确定性，提高投资收益。
一、期权定义与定价模型期权是一种金融工具，它赋予购买者在未来某个时间内买入或卖出某种资产的权利，而不是义务。
期权的价格由多种因素决定，如股票价格、剩余到期时间、波动率等。
根据期权价格与未来股票价格的关系，期权被分为两类，即认购期权和认沽期权。
认购期权是指购买者有权在未来固定时间内以固定价格购买股票，认沽期权则是指购买者有权在未来固定时间内以固定价格出售股票。
根据期权定价的模型，我们可以将其分为两类：基于风险中性定价理论的模型和基于实证数据的模型。
前者通过假设市场上不存在套利空间，以确定的无风险利率对期权进行定价；后者则基于市场实际数据，逐步优化模型参数，通过历史数据预测未来。
二、蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用较为广泛。
它通过生成大量随机序列，利用随机样本点的模拟结果，来计算期权的价值。
具体来说，这个过程可以分为以下几步：1. 生成随机序列随机序列是蒙特卡罗模拟的核心。
在期权定价中，我们常常采用随机变量模拟股票价格随时间变化的情况，从而得出期权价格。
以欧式期权为例，我们可以根据股票的风险中性测度构造几何布朗运动随机过程，通过此过程生成随机序列。
2. 计算随机路径下的收益/损失随机序列产生后，我们需要计算每个随机路径下对应的期权价格。
具体来说，也依靠几何布朗运动过程，计算在这一路径下期权实际收益/损失的数值。
3. 取期望值估算期权价格我们通过模拟得到多个随机序列的期权收益/损失，然后将所有结果求和取平均值，得出期望值。
而期望值即为期权在当前股票价格等因素下的市场价格，也是蒙特卡罗模拟得出的期权价格。
蒙特卡洛定价方法
蒙特卡洛定价方法蒙特卡洛定价方法是一种金融工程中常用的定价方法，广泛应用于期权定价、风险管理等领域。
它基于蒙特卡洛模拟，通过大量的随机模拟来计算出期权的预期价值，从而得出期权的定价结果。
蒙特卡洛定价方法的原理是通过随机模拟资产价格的未来走势，然后根据这些模拟结果计算出期权的预期收益，最终通过对这些预期收益进行加权平均来得到期权的定价。
具体步骤如下：1. 建立资产价格模型：首先，需要根据所研究的资产类型，建立一个适当的资产价格模型。
常见的资产价格模型包括布朗运动模型、几何布朗运动模型等。
2. 随机模拟价格路径：根据资产价格模型，使用随机数生成器模拟资产价格的未来走势。
一般情况下，可以根据资产价格的历史波动率和随机数生成器生成一系列符合资产价格模型的随机价格路径。
3. 计算期权收益：对于每条随机价格路径，根据期权的执行条件和收益规则，计算出期权在该价格路径下的收益。
4. 加权平均：对所有随机价格路径下计算得到的期权收益进行加权平均，得到期权的预期收益。
5. 折现：将期权的预期收益折现到当前时点，得到期权的预期价值。
蒙特卡洛定价方法的优点是可以考虑多种不确定性因素，并且相对于传统的解析解方法，它更加灵活，适用于各种复杂的金融产品。
然而，蒙特卡洛定价方法也存在一些缺点，比如计算量大、收敛速度慢等。
在实际应用中，蒙特卡洛定价方法可以用于期权定价、风险管理等领域。
例如，在期权定价中，可以使用蒙特卡洛定价方法来计算欧式期权的价格；在风险管理中，可以使用蒙特卡洛模拟来评估投资组合的风险暴露度。
蒙特卡洛定价方法是一种重要的金融工程方法，通过随机模拟和加权平均的方式，可以较为准确地计算出期权的预期价值。
它在期权定价、风险管理等领域有着广泛的应用前景。
随着计算机技术的不断进步，蒙特卡洛定价方法将会在金融领域发挥更加重要的作用。
(定价策略)期权定价中的蒙特卡洛模拟方法最全版
（定价策略）期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。
而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。
蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。
蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。
§1.预备知识◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。
大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。
在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：设为独立同分布的随机变量序列，若则有显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。
中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。
设为独立同分布的随机变量序列，若则有其等价形式为。
◆Black-Scholes期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。
2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。
3、不考虑交易费用或税收等交易成本。
4、在衍生证券的存续期内不支付红利。
5、市场上不存在无风险的套利机会。
6、无风险利率为一个固定的常数。
下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。
首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。
伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足如下的随机微分方程则有根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为现在构造无风险资产组合，即有，经整理后得到这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes 偏微分方程。
《金融衍生品》课件_第11章_期权定价数值方法
美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
20
美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
u e t 1.1224
以算出
d e
t
0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
ud
专利实物期权定价的蒙特卡罗模拟方法及其改进技术
马俊海等 专利实物期权定价的蒙特卡罗模拟方法及其改进技术 C i - K+ e
- r
i, j+ 1
t
VROi+ 1
( 1)
若 C i - K< 0, 则企业不会于当期实施专利, 而是持有专利等待更好的时机。 对时间轴上的三个特殊时点, 我们需要作一下补充说明: 对于决策树的起始点 t0 , 专利价值 VOP= VRO0 ; 在专利最大有效期限的前一年 , 也是最后一个决策点 tn- 1 , 持有人要么实施专利要么 放弃 , 不存在等待期权。在专利到期时点 tn , 专利权已经不复存在 , 但原专利技术的生命周期尚未 终结 , 继续使用该技术仍可以在一段时间内获得收益。根据上面分析 , 专利到期时点 tn 之后 , 应 用原专利技术的收益可以作为永续年金折现 , 专利在到期时点 tn 依然有实物期权价值: VROn = TV= NCFn Ri + Rd ( 2)
53
财经论丛
2011 年第 2 期
Philipp N. Baecker ( 2007) 同样以生物医药技术专利举例, 说明了在非完美专利保护环境下, 与专 利相关的诉讼成本对自主研发构成激励从而降低了专利的交易价值 , 其创新在于首次将诉讼概率作 为模型内生变量而非外生参数 , 比较好地表达和解决了专利估值中甚为重要的法律风险问题。我国 国内的期权定价理论起步较晚 , 在专利资产定价领域引进实物期权思想也还是近年的事情, 有关专 利定价的研究大部分都是 建立在 Black Scholes 模型的基础上的。范银华和粟 娟 ( 2004) 对 Black Scholes 模型在专利中的应用进行了进一步的探讨, 他们将专利看作基于其风险投资公司资产的经 营性看涨期权来处理 , 但仍然没有考虑专利作为期权的美式特征 , 而且其参数均为给定外生变量, 模型十分粗糙。马忠明、刘康泽 ( 2006) 在充分考虑专利技术的生命周期特征基础上, 运用实物期 权方法中的动态规划方法倒推计算出任意时点的专利价值和专利实施临界值, 并给出了具体的计算 方法 , 开辟了国内采取数值方法解决专利定价的先河 , 但其模型过于简单 , 使用固定折现率的方式 说明作者没有对专利的特殊性质进行深入研究, 模拟实证的设定也不令人信服。周英男等 ( 2009) 提出了专利初始静态价值的概念, 将专利具体划分为可交易、不可交易、完全不可交易三种类型, 利用随机微分方程推导出专利初始静态价值评估的一般形式 期权评估模型。 不可交易专利初始静态价格的实物
基于蒙特卡罗模拟的期权定价研究
基于蒙特卡罗模拟的期权定价研究期权是金融市场中的一种交易合约，它给予持有人在未来特定时间内以特定价格买入或卖出一种资产的权利。
期权的定价是金融领域的核心问题之一，而基于蒙特卡罗模拟的期权定价方法是当前越来越受到研究者的关注。
一、蒙特卡罗模拟简介蒙特卡罗模拟是一种基于概率和统计学的一种计算方法。
在金融领域中，蒙特卡罗模拟通常用于期权定价等问题。
蒙特卡罗模拟的基本思想是：在随机生成的数据下不断模拟某个事件的过程，并在这些样本中找到期望值。
通过大量的模拟，我们可以得到一个逼近真实价格的某种估计值。
由于计算机性能的不断提高，在模拟过程中采用的样本越多，计算出来的结果越精确。
二、基于蒙特卡罗模拟的期权定价方法基于蒙特卡罗模拟的期权定价方法可以比较好地解决期权的定价问题。
该方法的基本思路是：在某个时间段内随机生成多个股价随机路径，并计算出到期收益的平均值，该平均值就是期权的某种估计值。
通过大量的模拟，可以得到一个较为准确的期权价格。
具体地，基于蒙特卡罗模拟的期权定价方法包括以下几个步骤：1、随机生成价格路径通过模拟股票价格的随机漫步，我们可以得到一些随机价格路径，这些路径可以视为股票在未来一段时间内的未知走势。
在这个过程中，我们需要考虑股票价格的波动率、股票价格的趋势以及某个时间段内股票价格的概率分布等因素。
2、计算到期收益通过对价格路径进行模拟，我们可以得到多组股票价格在期权到期时的收益情况。
收益一般是由期权的套利策略和股票价格之间的关系所确定的。
这里需要考虑到期权的行权价格、到期时间、标的资产价格的走势等因素。
3、计算期权价格最后，我们可以通过计算到期收益的期望值来估算期权的价格。
前面所提到的股票价格和期权套利策略的随机漫步，可以通过蒙特卡罗模拟产生大量的样本，加权平均就能得到一个逼近于真实价格的估算值。
三、蒙特卡罗模拟方法的优缺点通过蒙特卡罗模拟方法计算期权价格具有以下优点：1、能够处理非常复杂的期权类型与传统的期权定价方法相比，蒙特卡罗模拟方法不需要对期权类型进行任何假设。
标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟实验报告
陕西科技大学实验报告一、实验预习：1.标准欧式看涨期权的定价模型。
2.标的资产到期日价格的运动轨迹或分布.3.蒙特卡洛模拟的过程二、实验的目的和要求：通过对标准的欧式期权进行定价模拟，掌握标的资产到期日价格的分布，会熟练运用蒙特卡洛模拟进行期权的定价模拟，并学会分析模拟次数、模拟精度之间的关系，最后和标准的欧式期权的解析解比较给出相对误差。
三、实验过程：（实验步骤、原理和实验数据记录等）参数：S取学号后3位除以10取整，然后加上学号最后一位（例如：200912010119，S=[119/10]+9=20）；X取S加3；r取0.03；T取0.25；σ取0.5。
注意：实验为标准的欧式看涨期权。
1.实验步骤：1）根据学号200912010104，计算出：S=14，X=17；且r=0.03，T=0.25，σ取0.5；2）编写蒙特卡洛模拟matlab程序代码；3）调试正确之后，输入相对应的数据，并运行；4）整理实验数据，并做相关分析与总结。
2.实验原理蒙特卡洛模拟方法亦称随机模拟方法，其基本思想是，求解科学、工程技术和经济金融等方面的问题。
首先建立一个概率模型后随机过程，使其参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察计算所求的统计特征，最后给出所求问题的近似值，解的精度可用估计值的标准差表示。
应用此方法求解可以分为两类：确定性问题和随机问题。
原理实验步骤如下：1）针对实际问题建立一个简单且便于实现概率统计模型，使所求的解恰好是所建模型概率分布或某个数值特征，如某个事件的概率，或该模型的期望值；2）对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟实验，抽取足够的随机数，并对有关的时间进行统计；3）对模拟实验结果加以分析，给出所求解的估计及其精确度（方差）的估计；4）必要时，还应该改进模型以提高估计精度和模拟计算的效率。
四、实验总结：（实验数据处理和实验结果讨论等）1、实验数据处理1)下表为一般技术（AC ）、对偶变量技术（MC ）、控制变量技术(MCCV)及2）三种MC 法的置信区间变化图x 105Number of simuationa b s o l u t e c o n f i d e n c e i o n t e r v a lComparing different Monte Carlo methods3）控制变量法的期权价格波动图x 105Monte Carlo with Control VariableNumber of simulationV a n i l l a o p t i o n P r i c e4）解析式为：BLprice= 0.50466； 2、实验结果讨论蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。
蒙特卡罗模拟方法在期权定价中的应用
蒙特卡罗模拟方法在期权定价中的应用１一【－１—＿＿＿—一Ｉ一摘要：蒙特卡罗模拟作为金融衍生证券定价的一种有效的数值方法之一，近年来得到了不断的应用和发展。
本文简要介绍了蒙特卡罗模拟在金融衍生证券定价的应用，评价了蒙特卡罗模拟的三个改进方向：基本方差减少技术、拟蒙特卡罗模拟、随机化的拟蒙特卡罗模拟，提出了利用超均匀序列Ｈａｌｔｏｎ序列的拟蒙特卡罗模拟技术，以欧式看涨期权定价为例，比较了三种蒙特卡罗模拟结果。
关键词：金融衍生证券，期权定价、蒙特卡罗模拟其它数值方法相比，蒙特卡罗模拟具有两大优势：一是比较灵活，易于实现和改进；二是模拟估计的误差及收敛速度与所解决问题的维数具有较强的独立性，从而能够较好地解决基于多标的变量的高维衍生证券的定价问题。
所以，随着高维衍生证券发展越来越快，交易规模迅速增加，二叉树分析技术和有限差分技术应用将会受到越来越大的限制，蒙特卡罗模拟必将在金融衍生证券定价中发挥更为重要的作用。
与此同时，金融衍生证券定价理论与方法在社会经济发展中也得到日益广泛的应用，特别是在高新技术企业投资决策方面体现出更为重要的价值。
近年来，蒙特卡罗模拟方法在金融衍生证券定价中的应用越来越广泛，以此理论为基础的企业投资决策实物期权分析方法，也越来越成为多方人士关注的焦点。
一、颤特卡罗模拟的改进技术（一）基本方差减少技术用于衍生证券价格的蒙特卡罗模拟的方差减少技术主要有五种，根据其应用特点的不同，将它们分为通用性技术与特殊性技术两类：１．通用性方差减少技术。
这类技术指适合一般性金融定价分析，不依赖所估计证券结构性质的方法，主要包括对偶变量技术、控制变量技术以及分层抽样技术等方面。
（１）对偶变量技术。
这种技术在定价分析中应用最广泛。
应用该技术，每次模拟计算衍生证券的两个值之和，其中一个由通常方法得到，另一个则通过改变所有抽样样本的符号而得到，模拟结果为二者的平均。
对偶变量技术能对许多衍生证券的价格模拟有明显的改进效果，但也存在着一定的局限性。
美式期权价格公式
美式期权价格公式美式期权是一种可以在到期日前任意时间行使的期权合约，与欧式期权相比，具有更高的灵活性。
因此，为了计算美式期权的价格，我们需要使用不同的公式。
美式期权的价格可以通过两种方法进行计算：理论定价方法和模拟方法。
下面我们将介绍具体的美式期权定价公式，包括Black-Scholes期权定价模型、树模型（二叉树和三叉树）和蒙特卡洛模拟方法。
1. Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是最常见的对欧式期权进行定价的模型。
然而，对于美式期权，Black-Scholes模型并不适用。
美式期权的特点是可以在到期日前任意时间行使，因此在到期前，股价可能会有剧烈波动。
这种情况下，使用Black-Scholes模型来计算美式期权的价格会导致低估。
2.树模型（二叉树和三叉树）树模型是一种常用的计算美式期权价格的方法。
树模型基于假设股价会按照指数过程增长，并根据风险中性概率构建一个期权价格的二叉或三叉树。
对于二叉树模型，可以根据不同的参数（股价、期权价格、无风险利率等）构建一棵二叉树，并通过回溯计算每个节点的期权价格。
通过比较每个节点的预期回报和早期执行的收益，可以决定何时行使期权。
类似地，三叉树模型也是一种计算美式期权价格的有效方法。
三叉树模型在二叉树模型的基础上增加了一个附加节点，使得股价有三种可能的变动。
这样可以更准确地估计股价的变动范围，提高美式期权价格的准确性。
3.蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的计算美式期权价格的方法。
该方法通过生成大量的随机路径，以确定期权价格的期望值。
在蒙特卡洛模拟中，我们首先需要设定一个股价的路径模型，如几何布朗运动模型。
然后，通过生成多条随机路径，计算每条路径对应的期权价格，并取平均值作为期权价格的估计值。
蒙特卡洛模拟方法的优点在于可以处理复杂的期权合约和多种因素的影响，但由于需要生成大量路径进行模拟，计算速度可能较慢。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法引言在金融市场中，期权定价一直是投资者和金融机构关注的焦点之一。
为了准确地定价期权，需要采用一种能够模拟市场价格变动的方法。
蒙特卡洛模拟方法便是一种常用的期权定价方法。
本文将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用以及实施细节。
蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于统计学原理的随机模拟方法。
在金融领域，蒙特卡洛模拟方法常用于模拟金融资产价格的随机变动。
通过生成大量的随机样本，可以近似地计算出金融产品的价格和风险。
期权定价的基本原则在介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用之前，首先了解一些期权定价的基本原则。
期权定价的基本原则包括：1.买卖期权的对冲操作可以消除风险。
2.根据期权的到期日、执行价和标的资产价格的关系，可以判断期权的内在价值。
3.期权的时间价值取决于波动性等因素，需要通过计算推导或模拟计算得出。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用蒙特卡洛模拟方法广泛应用于期权定价中，其主要步骤包括：1.设定模型：选择一种适合的金融模型来描述标的资产价格的变动。
2.模拟价格路径：使用随机数生成器来模拟标的资产的价格变动路径。
通过设定模型的参数以及随机数发生器的特性，可以生成一系列的价格路径。
3.计算期权价格：对每条价格路径，使用期权定价公式来计算期权的价格。
这要求对期权的到期日、执行价以及标的资产价格有所了解。
4.统计分析：对生成的所有价格路径进行统计分析，计算期权的均值、方差和置信区间等统计指标。
5.结果输出：将统计分析的结果输出，得到期权的定价和风险指标。
蒙特卡洛模拟方法的实施细节在实施蒙特卡洛模拟方法时，需要注意以下几个细节：1.模型选择：根据实际情况选择合适的金融模型。
常用的金融模型包括布朗运动模型和几何布朗运动模型。
2.随机数生成器：选择一个高质量的随机数生成器，确保生成的随机数具有良好的随机性和均匀分布性。
3.模拟路径数：为了得到准确的结果，需要生成足够数量的价格路径。
蒙特卡罗模拟法在期权定价中的应用
5152010金融FINANCE蒙特卡罗模拟法在期权定价中的应用■徐保震武汉理工大学理学院中图分类号：F832文献标识：A文章编号：1006-7833(2010)05-051-02摘要在金融期权的定价尤其是对美式期权的定价中有很多数值方法。
本文简要介绍了期权定价中标的资产的运动模型及其推广，并对欧式期权和美式期权分别用蒙特卡罗模拟法进行定价，并在Matla b 中编程实现，在Excel 软件中运行，给出了详细的实证分析过程。
关键词维纳过程期权定价蒙特卡罗模拟一、维纳过程期权的价格与相应标的资产的价格密切相关，最典型的是股票期权。
研究股票期权首先要考虑股票价格变动模式。
如果某变量以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。
随机过程分为离散时间和连续时间两种。
离散时间随机过程是变量只能在某些确定的时间点上变化的过程，而一个连续时间随机过程是变量的值的变化可以在任何时刻发生。
连续时间随机过程中，时间变量可在某一范围内取任意值，而在离散随机过程中，时间变量只能取某些离散值。
股票行为可用著名的维纳过程来表达。
（一）维纳过程极其性质设随机过程()Z Z t ，在一个很小的时间间隔t 的变化用t z 表示。
如果t z 具有如下性质：1.t z t ，其中是服从标准正态分布的随机变量。
2．对于不同的时间间隔t ，t z 相互独立。
则称()Z Z t 为维纳过程。
（二）风险中性环境中股票的价格运动在风险中性环境中股票的价格遵循的运动公式：()()()dS t S t dt S t dz ，其中dz 是一个标准布朗运动，为在风险中性世界中的收益率，现实世界中一般以LIBOR 为准。
为波动率，()S t 表示时刻t 的股票价格.将上述连续模型进行离散可得：()()()()S t t S t S t t S t t ，则00()()()S t S t S t ，211()()()S t S t S t ，，11()()()n n n S t S t S t ，，1n t ，n t (12)n ，，很接近且0()S t ，1()S t ，，()n S t 为相互独立的随机正态随机变量。
蒙特卡洛模拟方法及其改进方法为互换期权定价
洛模拟的结果仍然有用 ，只是还要在此基础上计算 出，产 生的随机变量 与前面的随机变量值完全相反时 ，期权 的估计价 ，最后在将 这两个估计 加求算数平均即得到用对偶计数变量法 改进 的蒙特卡洛模拟结果 。 因此 ，此改进的蒙特卡洛模 拟过程分为两部分 ： １ ． 照蒙特卡洛模 拟方法 ，模拟 出 Ｍ 次期 权价格 ｛ Ｐ ； Ｐ ； ｌ ２ ’ …，
（ 堑 ２± ：
！ （ ！ ！ ２
一
０ ． ３ ０ ４ １ ｝ｓ ｑ ｒ ｔ （ ５ ／ １ ２ ）
～
ｎ
５ ８ ３ ６
因此我们采用此解析式来进行蒙特卡洛模拟 。由于蒙特 卡洛模拟方 法主要是 随机数 的产生 ，有前面一节知道 ，上述公式 中迭代 时 ，每一 步 都需要产生两个 随机 变量 ， ， ｓ ，且 他们满 足前 一节 中提 出的条件 ，
＝
式 中， ， 分别 为 ￡ ， （ ｔ ）， Ｖ （ ｔ ） 资产 的年对数收益的均值 ； ， 分别为 ｕ （ ‘ ）， （ ｔ ）资产的年对 数收益 的标准差 ，即表示资产 的波动性 ； （ ｔ ）， Ｗ （ ￡ ） 分别代表 Ｕ （ ｔ ）， Ｖ （ ‘ ） 资产价格浮动 的随机性 ，他们都服 从标准维纳 分 布 ，且 在 这 里 假 设 他 们 的 瞬 时相 关 系 数 为 Ｐ， 即有 ：
即： 占 ｕ—Ｎ（ Ｏ， １ ）， 占 ｙ—Ｎ（ Ｏ， １ ），且 Ｃ ｏ ｙ （ 占 ｕ ， ｙ ）＝Ｐ。 １ ．蒙特卡洛模拟过程 根据 中对蒙特卡洛方法模 拟过程的叙述 ，总结 出适合 此处的互换 期权 的蒙特 卡洛模拟 过程如下 ： １ ．确定 ￡ ， （ ｔ ）， Ｖ （ ｔ ）的初 始值 ， 以及 它 们 的年 收益 标 准 差 ， ；确定无 风险资产的年利 率 ，且 使式成 立；确定迭代 过程 中
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,为独立同分布的随机变量序列，若2,则有pξ是由同一总体中得到的抽样，那么由,,n,为独立同分布的随机变量序列，若,[2,D μξ<∞则有k =∑1)exp(x=⎰η，并计算样本均值,,nKolmogorov,,)]S，T,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期n t T <<=2,)n，1,2,n），则如果用日数据计算波动率，从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。
为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。
其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟+，并令其解为2,) 2,,}k，跳跃尺度()2()(,)()!N t W S r N t λτλτσ-exp(λλμ=，()(exp()1)(N t r r λ=--+1σσστ=+◆无形资产——专利池的期权定价模问题专利池的市场价值V 依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S 和成本C 及时间t ，这三个变量均可用跳扩散模型：()(1)dXdt dW Y dN Xμλνσ=-++-通过构造由V 和它所依赖的两个变量S 、C 组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V 与S 、C 所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V 的求解公式。
构造无风险资产组合S S C V V S V C ∏=--一方面V∏的微分的期望为：()()V S C E d r V V S V C dt ∏=--另一方面，222211()()22((,,)(,,))S t S SS C CC S C SC S S S S S E d V S V C V SCV dtE V Y S C t V S C t dt v V Sdtσσσσλλ∂∏=++++-- 新产品发明专利池的市场价值V 所遵循的方程为命是20年,根据市场需求,计划建成一条年生产100吨的生产线,其20年的成本,包括设备的直接制造成本和运营期间的管理费、工资等。
若在期初计划投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产成本按每年的通货胀率10%递增。
假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。
1.3()0.02,25%,10%,0.6S S C St t r Yλμμ=====(0)4000,(0)1000,4000,0.005S C n t===∆=新产品发明专利池的市场价值V=8050●在一次付清许可费用情况下的价格模型：新产品发明专利池的价格P所遵循的方程为：222211()22((,,)(,,))0t S S S C S SS C CCS C SC S SP r v P S rP C S P C PSCP E P Y S C t P S C t rPλσσσσλ+-+++++--=(,,)max((()()),0)(,,)0 as 0(,,)0 as C(,,) asP S C T S T C TP S C t SP S C tP S C t S Sαα=-→→→→∞→→∞在一次付清许可费用情况下的新产品发明专利池的价格为：(,,)(,,)P S C t V S C tα=1.3()0.02,25%,10%,0.5,0.6(0)4000,(0)1000,4000,0.005S S C St t r YS C n tλμμα=========∆=在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=5450。
●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型新产品发明专利池技术产生的收益S遵循模型()(1)S S S S S S SdSq dt dW Y dNSμλνσ=--++-引进新产品发明专利池技术后的成本 C 遵循模型C CdCdt dWCμσ=+构造无风险资产组合P S CP P S P C∏=--一方面P∏的微分的期望为()()P S CE d r P P S P C dt∏=--新产品发明专利池的价格 P 所遵循的方程为：另一方面，P∏的微分及其期望为: 222211()()22((,,)(,,))P t S S S SS C CC S C SC S S S S S E d P q P S S P C P SCP dt E P Y S C t P S C t dt v P Sdtσσσσλλ∏=-++++-- 新产品发明专利池的价格 P 所遵循的方程为：222211()22((,,)(,,))0t S S S S C S SS C CC S C SC S S P r q v P S rP C S P C P SCP E P Y S C t P S C t rP λσσσσλ+--+++++--= (,,)max((()()),0)(,,)0 as 0(,,)0 as C (,,) as P S C T S T C T P S C t S P S C t P S C t S S αα=-→→→→∞→→∞21()22ln (,), (1)1SY SY S SY SY S S Y N E Y e μσμσν+=-=-期权的价格公式：()2()0()(,,)(,,,,)()!S S S N t q BS N t S e P S C t V Se C r N t λττλτατσ---∞-==∑212(,,,,)()()()(),S S q q r BS V Se C r S t e d C t e d T t ττττστ---=Φ-Φ=-212SY SY S eμσλλ-+=22221()2S C S C SY S N t σσσσσσ-=+++ 2122()1(1)()2SY SY S S S SY SY N t r r q e μσλμστ-+=---++ 1.3()0.02,25%,10%,10%,0.6(0)4000,(0)10004000,0.005S S C S S t t r q Y S C n t λμμ=========∆=在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。
§6. 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。
其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。
选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。
最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首先，随机生成标的资产价格的多条样本路径；然后，从到期时刻逆向求解，比较期权的内在价值与持有价值，确定出各时刻期权价值和每条样本路径的最优停时；最后，将所有样本的的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均值便是模拟的期权价值。
下面，我们运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法对单个标的资产的美式看跌期权进行定价，其算法实现步骤如下：*,,,,)]T t S S *,,,,T t S S 为标的资产价格的路径，*,,,,)T t S S 的期权价值。
上式定义的用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。
{0,1,,}N ，随机变量,,N S ，重复执行3,,0的期权持有价值。
对于每条样本路径{0,1,,}N 执行，或是永不执行。
具体设计程令初值t *=变；如果执行期权，则t N *=1,2,,}M也不同，所以应分别进行贴现求均值，最终得到初,,,)]j T t S S *=∑已知股票价格为50，美式看跌期权执行价为到期日为5个月，股票年收益率的标准差为0.4，无风险利率为10%，用最小二乘蒙特卡洛模拟其价格。
编制最小二乘蒙特卡洛模拟的MATLAB程序如下：functionprice=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M)dt=T/N;R=exp((r-sigma^2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M) );S=cumprod([S0*ones(1,M);R]);ExTime=N*ones(M,1);CF=zeros(size(S));CF(end,:)=max(K-S(end,:),0);for ii=N:-1:2Idx=find(S(ii,:)<K);X=S(ii,Idx)';X1=X/S0;Y=CF(ii+1,Idx)'*exp(-r*dt);R=[ones(size(X1)) (1-X1) 1/2*(2-4*X1+X1.^2)];a=R\Y;C=R*a;Jdx=max(K-X,0)>C;nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx));CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0);ExTime(Idx(Jdx))=ii;CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);endPrice=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)%%%%% 绘制标的股票价格模拟图%%%%%x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S');subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel('期权存续期间')ylabel('股价的模拟路径')%%%%% 绘制期权价值模拟图%%%%% figure;x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)';for i=1:My4(i)=y3(i,ExTime(i));endplot(x2,y3,ExTime,y4,'*')xlabel('期权的最优停止时间')ylabel('期权价值的模拟路径')模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示：模拟的期权价值路径及其最优停时如下图：本例中的美式看跌期权价格为：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000)Price=4.2654§7. 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。