第三章 土中应力计算
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（一）轴心荷载作用下 基底压力计算
基础底面
F G p A
G=γGAd（基础自重）
γG=20kN/m3（重度）
A=b· l （基础底面积）
d—基础平均埋深 （自设计地面算起）
条形基础取l=1m计算
剖面图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（二）偏心荷载作用下基底压力计算（单向）
e
上部 荷载
F+G
M
基础 自重
pmin
pmax
合力偏心矩
e
M F
A=b· l e
基底边缘压力 最大最小值
p max F G (1 6e ) p A l min p max F G (1 6e ) p b b min
•条形基础 （l/b≥10）
pmin
pmax
（沿基础长边方向取单位长度 l=1m 为计算单位）
设计上一般pmin＞0，即基底压力要求呈梯形分布。
z K c p0 0.1069 4 100
42.74kPa
M
当z=4m 时附加应力：
15.3kPa
0
z K c p0 0.0383 4 100 M(2)
x
④计算分析：
随深度增加，附加应力减小。
M(4)
z
【例3-1】如图，成层土地基， 地面以下有地下水及 不透水层。
地基剖面图 ①
▽
γ1 h 1
计算要点：
地下水位以下用有效重度计算； 不透水层面以上考虑浮力， 过不透水层面后则考虑 水压力影响，不透水 层面处自重应力有突变。 ④
γsat2 h2 γsat3 h3
②
③上
③下 γ4 h4
不透水层
第二节 基底压力计算
基础底面
M
F+G
pmin
pmax
三、基底附加压力计算
基底面处以下在原土自重应力作用下已沉降完毕， 如不考虑地基回弹，基槽开挖后只有超出基底面处土自 重应力以外的力，才能引起地基变形，基底新增加的应 力，称为基底附加压力（用于地基变形计算）。
p0 p cz p 0d
1h1 2 h2 0 h1 h2
z Kc p0
矩形荷载即： 基底附加压力
b l p0 0
式中： KC—矩形荷载下附加应力
计算系数(与l/b，z/b有关)； p0—基底附加压力。
σz
x
M(z)
z
（二）均布矩形荷载任意点下应力（角点法）利用 角点法和力的叠加原理求基底面任意点处的附加应力。 有如下四种情况：
o
Ⅰ Ⅱ
Ⅰo Ⅱ Ⅳ Ⅲ
加权平均重度
基础补偿性设计：高层建筑利用箱形基础或地下室，
使设计埋深部分的结构自重小于挖去的土自重，即 减小p0，从而减小地基变形。
挖槽卸荷
建造后总荷
新增荷载
γ·d
p0
【例3-3】例3-2中，基础埋深内土分为两层，重度 分别为γ1，γ2，求基底附加压力。
解题要点：
p0 p cz p 0d
• 研究目的：建筑荷载在地基中产生应力， 应力产生应变，研究应力计算和分布规律 ， 作为地基变形与强度计算依据。
• 学习要点：掌握地基中自重应力计算与附
加应力计算方法，清楚计算假定，需要运 用材料力学基本知识。 • 计算假定：地基为连续（均质）各向同性， 半无限弹性体，表面水平。
第一节 土中自重应力计算
Kc=KⅠ+KⅡ
g o h d a e b f c
Kc=KⅠ+KⅡ+KⅢ+KⅣ
g h o a b d e c f
Kc=Kob+Koc-Koa-Kod
Kc=Kob+Kod-Koa-Koc
三、竖向均布条形荷载作用下 附加应力计算
条形基础（l/b≥10） ——条形荷载
同样由叠加法可得基础 底面以下任意点的M(x,z) 附加应力： －∞ ＋∞
第三章 土中应力计算
第一节 土中自重应力计算 第二节 基底压力计算 第三节 地基中附加应力计算
回顾与思考
地基基础 设计要求：
地基有足够的强度； 地基不发生过大变形； 基础有足够的强度与刚度。
由基础的形式、尺寸、材料调节
设计前提：
•物理性质指标（前述）
•地基受力计算（本章）
•基础沉降、尺寸计算
第三章 土中应力计算
z
i 1 n
i i
天然地面
σcz γ1 z 1 γ1z1+γ2z2
γ1 z 1 γ2 z 2 γ3 z 3 γ4 z 4 A σcz=Σγz z
γ1z1+γ2z2 + γ3z3 γ1z1+γ2z2 + γ3z3 + γ4z4 σcz=Σγz
二、地下水及不透水层影响：
• 地下水位以下土计算时用有效重度γ′；
【例3-2】基础底面尺寸l=3m，b=2m，基础顶面作用 轴心力F=450kN，弯矩M=150kN/m，基础埋深 d=1.2m，试计算基底压力。
【解】
G=γGAd=20×3×2×1.2=144kN
150 0.253 m 450 144
M 偏心矩： e F
p F G 6e 149.1 max 基底压力： (1 ) kPa p 48.9 A l min
• 概要：基底压力是指基础底面传递给地基表面的压力 （地基反力），用于地基应力、变形及基础结构计算。
一、基底压力分布
基底压力分布形式与基础刚度 荷载大小及分布，基础埋深， 地基土性质有关。 实际分布形式：如图示，随 荷载增大发生变化。 计算假定：按直线规律变化，
根据材料力学公式计算。
基底压力分布图
二、基底压力计算
σz
M(x,y,z)
z
K—附加应力计算系数与(r,z有关)
地面
水平方向 深度
水平方向
附加应力扩散规律：
附加应力随深度增加而减小； 同深度水平方向越远附加应力越小；
附加应力成扩散状分布。
二、竖向均布矩形荷载作用下附加应力计算
（一）均布矩形荷载角点下附加应力计算
矩形荷载（基础）角点下任意深度处附加应力值可根据 前述布氏公式，应用力的叠加原理，得如下计算公式：
p0
0
y
x z M(x,z)
z K sz p0
式中 ：Ksz—条形荷载下附加应力 计算系数(与x/b，z/b有关)。
本章小结
自重应力： 基底压力： 基底附加压力： 附加应力：
cz z
p max F G (1 6e ) p A l min
p0 p cz p 0d
z Kc p0
天然地面
基础底面
自重应力 分布曲线 附加应力 分布曲线
地基应力分布示意图
【例3-2】基础底面尺寸l=3m，b=2m，基底附加压力 p0=100kPa，试计算基础底面中心点以下z=2m，
z=4m 深处M点的附加应力。
【解】①利用角点法，过M点将基底面分成
四个矩形，M 点位于四个角点下。 ②计算每个角点下M点的附加应力系数：
• 不透水层面及以下无浮力作用情况下应考虑
静水压力作用；
• 地下水位下降时有效重度增加，会造成
地面下降；
• 地下水位上升时有效重度减小，影响土性，
承载力降低。
三、水平自重应力
cx cy K0 cz
地面 0
y
r
x
K0—静止土压力系数，
用于挡土墙土压力计算。
σcx
z
σcz σcy
M(x,y,z)
当z=2m 时：l/b=1.5/1.0=1.5，z/b=2/1=2.0， 查表得Kc1=(0.1034+0.1103)/2=0.10685， 当z=4m 时：l/b=1.5/1.0=1.5，z/b=4/1=4.0， 查表得Kc2=(0.0362+0.0403)/2=0.03825。
③当z=2m 时附加应力：
1h1 2 h2 0 h1 h2
γ1 h1 γ2 h2
第三节 地基中附加应力计算
• 附加应力：建筑物荷载（p0)在地基中产生的应力。 • 计算假定：地基土为均质，各向同性，用弹性理论计算。
一、竖向集中力作用下 地基中附加应力 布辛内斯克（法）公式：
P r y
x
P z K 2 z
概述：自重应力指土自身有效重量产生的 应力，它使土密实并具有一定强度与刚度。 地基设计计算前应知其原始的应力状态。
一、竖向自重应力
单层均质土层：
天然地面
σcz
cz z
σcz=γz A z σcz=γz
地基为多层土组成：
cz 1 z1 2 z 2 n z n
基础底面
F G p A
G=γGAd（基础自重）
γG=20kN/m3（重度）
A=b· l （基础底面积）
d—基础平均埋深 （自设计地面算起）
条形基础取l=1m计算
剖面图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（二）偏心荷载作用下基底压力计算（单向）
e
上部 荷载
F+G
M
基础 自重
pmin
pmax
合力偏心矩
e
M F
A=b· l e
基底边缘压力 最大最小值
p max F G (1 6e ) p A l min p max F G (1 6e ) p b b min
•条形基础 （l/b≥10）
pmin
pmax
（沿基础长边方向取单位长度 l=1m 为计算单位）
设计上一般pmin＞0，即基底压力要求呈梯形分布。
z K c p0 0.1069 4 100
42.74kPa
M
当z=4m 时附加应力：
15.3kPa
0
z K c p0 0.0383 4 100 M(2)
x
④计算分析：
随深度增加，附加应力减小。
M(4)
z
【例3-1】如图，成层土地基， 地面以下有地下水及 不透水层。
地基剖面图 ①
▽
γ1 h 1
计算要点：
地下水位以下用有效重度计算； 不透水层面以上考虑浮力， 过不透水层面后则考虑 水压力影响，不透水 层面处自重应力有突变。 ④
γsat2 h2 γsat3 h3
②
③上
③下 γ4 h4
不透水层
第二节 基底压力计算
基础底面
M
F+G
pmin
pmax
三、基底附加压力计算
基底面处以下在原土自重应力作用下已沉降完毕， 如不考虑地基回弹，基槽开挖后只有超出基底面处土自 重应力以外的力，才能引起地基变形，基底新增加的应 力，称为基底附加压力（用于地基变形计算）。
p0 p cz p 0d
1h1 2 h2 0 h1 h2
z Kc p0
矩形荷载即： 基底附加压力
b l p0 0
式中： KC—矩形荷载下附加应力
计算系数(与l/b，z/b有关)； p0—基底附加压力。
σz
x
M(z)
z
（二）均布矩形荷载任意点下应力（角点法）利用 角点法和力的叠加原理求基底面任意点处的附加应力。 有如下四种情况：
o
Ⅰ Ⅱ
Ⅰo Ⅱ Ⅳ Ⅲ
加权平均重度
基础补偿性设计：高层建筑利用箱形基础或地下室，
使设计埋深部分的结构自重小于挖去的土自重，即 减小p0，从而减小地基变形。
挖槽卸荷
建造后总荷
新增荷载
γ·d
p0
【例3-3】例3-2中，基础埋深内土分为两层，重度 分别为γ1，γ2，求基底附加压力。
解题要点：
p0 p cz p 0d
• 研究目的：建筑荷载在地基中产生应力， 应力产生应变，研究应力计算和分布规律 ， 作为地基变形与强度计算依据。
• 学习要点：掌握地基中自重应力计算与附
加应力计算方法，清楚计算假定，需要运 用材料力学基本知识。 • 计算假定：地基为连续（均质）各向同性， 半无限弹性体，表面水平。
第一节 土中自重应力计算
Kc=KⅠ+KⅡ
g o h d a e b f c
Kc=KⅠ+KⅡ+KⅢ+KⅣ
g h o a b d e c f
Kc=Kob+Koc-Koa-Kod
Kc=Kob+Kod-Koa-Koc
三、竖向均布条形荷载作用下 附加应力计算
条形基础（l/b≥10） ——条形荷载
同样由叠加法可得基础 底面以下任意点的M(x,z) 附加应力： －∞ ＋∞
第三章 土中应力计算
第一节 土中自重应力计算 第二节 基底压力计算 第三节 地基中附加应力计算
回顾与思考
地基基础 设计要求：
地基有足够的强度； 地基不发生过大变形； 基础有足够的强度与刚度。
由基础的形式、尺寸、材料调节
设计前提：
•物理性质指标（前述）
•地基受力计算（本章）
•基础沉降、尺寸计算
第三章 土中应力计算
z
i 1 n
i i
天然地面
σcz γ1 z 1 γ1z1+γ2z2
γ1 z 1 γ2 z 2 γ3 z 3 γ4 z 4 A σcz=Σγz z
γ1z1+γ2z2 + γ3z3 γ1z1+γ2z2 + γ3z3 + γ4z4 σcz=Σγz
二、地下水及不透水层影响：
• 地下水位以下土计算时用有效重度γ′；
【例3-2】基础底面尺寸l=3m，b=2m，基础顶面作用 轴心力F=450kN，弯矩M=150kN/m，基础埋深 d=1.2m，试计算基底压力。
【解】
G=γGAd=20×3×2×1.2=144kN
150 0.253 m 450 144
M 偏心矩： e F
p F G 6e 149.1 max 基底压力： (1 ) kPa p 48.9 A l min
• 概要：基底压力是指基础底面传递给地基表面的压力 （地基反力），用于地基应力、变形及基础结构计算。
一、基底压力分布
基底压力分布形式与基础刚度 荷载大小及分布，基础埋深， 地基土性质有关。 实际分布形式：如图示，随 荷载增大发生变化。 计算假定：按直线规律变化，
根据材料力学公式计算。
基底压力分布图
二、基底压力计算
σz
M(x,y,z)
z
K—附加应力计算系数与(r,z有关)
地面
水平方向 深度
水平方向
附加应力扩散规律：
附加应力随深度增加而减小； 同深度水平方向越远附加应力越小；
附加应力成扩散状分布。
二、竖向均布矩形荷载作用下附加应力计算
（一）均布矩形荷载角点下附加应力计算
矩形荷载（基础）角点下任意深度处附加应力值可根据 前述布氏公式，应用力的叠加原理，得如下计算公式：
p0
0
y
x z M(x,z)
z K sz p0
式中 ：Ksz—条形荷载下附加应力 计算系数(与x/b，z/b有关)。
本章小结
自重应力： 基底压力： 基底附加压力： 附加应力：
cz z
p max F G (1 6e ) p A l min
p0 p cz p 0d
z Kc p0
天然地面
基础底面
自重应力 分布曲线 附加应力 分布曲线
地基应力分布示意图
【例3-2】基础底面尺寸l=3m，b=2m，基底附加压力 p0=100kPa，试计算基础底面中心点以下z=2m，
z=4m 深处M点的附加应力。
【解】①利用角点法，过M点将基底面分成
四个矩形，M 点位于四个角点下。 ②计算每个角点下M点的附加应力系数：
• 不透水层面及以下无浮力作用情况下应考虑
静水压力作用；
• 地下水位下降时有效重度增加，会造成
地面下降；
• 地下水位上升时有效重度减小，影响土性，
承载力降低。
三、水平自重应力
cx cy K0 cz
地面 0
y
r
x
K0—静止土压力系数，
用于挡土墙土压力计算。
σcx
z
σcz σcy
M(x,y,z)
当z=2m 时：l/b=1.5/1.0=1.5，z/b=2/1=2.0， 查表得Kc1=(0.1034+0.1103)/2=0.10685， 当z=4m 时：l/b=1.5/1.0=1.5，z/b=4/1=4.0， 查表得Kc2=(0.0362+0.0403)/2=0.03825。
③当z=2m 时附加应力：
1h1 2 h2 0 h1 h2
γ1 h1 γ2 h2
第三节 地基中附加应力计算
• 附加应力：建筑物荷载（p0)在地基中产生的应力。 • 计算假定：地基土为均质，各向同性，用弹性理论计算。
一、竖向集中力作用下 地基中附加应力 布辛内斯克（法）公式：
P r y
x
P z K 2 z
概述：自重应力指土自身有效重量产生的 应力，它使土密实并具有一定强度与刚度。 地基设计计算前应知其原始的应力状态。
一、竖向自重应力
单层均质土层：
天然地面
σcz
cz z
σcz=γz A z σcz=γz
地基为多层土组成：
cz 1 z1 2 z 2 n z n