2015湘潭大学数学分析真题
2015年湖南省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年湖南省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每题5分，共50分1．〔5分〕〔2015•湖南〕已知=1+i〔i为虚数单位〕，则复数z=〔〕A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．解答：解：∵已知=1+i〔i为虚数单位〕，∴z===﹣1﹣i，故选：D．点评：此题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．〔5分〕〔2015•湖南〕设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．解答：解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．点评：此题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．3．〔5分〕〔2015•湖南〕执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=〔〕A．B．C．D．考点：程序框图．分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B点评：此题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．〔5分〕〔2015•湖南〕假设变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为〔〕A．﹣7 B．﹣1 C．1D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C〔0，﹣1〕．由解得A〔﹣2，1〕，由，解得B〔1，1〕∴z=3x﹣y的最小值为3×〔﹣2〕﹣1=﹣7．故选：A．点评：此题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．〔5分〕〔2015•湖南〕设函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，则f〔x〕是〔〕A．奇函数，且在〔0，1〕上是增函数B．奇函数，且在〔0，1〕上是减函数C．偶函数，且在〔0，1〕上是增函数D．偶函数，且在〔0，1〕上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．解答：解：函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，函数的定义域为〔﹣1，1〕，函数f〔﹣x〕=ln〔1﹣x〕﹣ln〔1+x〕=﹣[ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕]=﹣f〔x〕，所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f〔0〕=0；x=时，f〔〕=ln〔1+〕﹣ln〔1﹣〕=ln3＞1，显然f〔0〕＜f〔〕，函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．点评：此题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．〔5分〕〔2015•湖南〕已知〔﹣〕5的展开式中含x的项的系数为30，则a=〔〕A．B．﹣C．6D．﹣6考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．点评：此题考查二项式定理的应用，此题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．〔5分〕〔2015•湖南〕在如下列图的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分〔曲线C为正态分布N〔0，1〕的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔〕附“假设X﹣N=〔μ，a2〕，则P〔μ﹣σ＜X≤μ+σ〕=0.6826．p〔μ﹣2σ＜X≤μ+2σ〕=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：求出P〔0＜X≤1〕=×0.6826=0.3413，即可得出结论．解答：解：由题意P〔0＜X≤1〕=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．点评：此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8．〔5分〕〔2015•湖南〕已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，假设点P的坐标为〔2，0〕，则||的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．B为〔﹣1，0〕时，|4+|≤7，即可得出结论．解答：解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．所以B为〔﹣1，0〕时，|4+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．点评：此题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．〔5分〕〔2015•湖南〕将函数f〔x〕=sin2x的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=〔〕A．B．C．D．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．解答：解：因为将函数f〔x〕=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g〔x〕在x2=，取得最小值，sin〔2×﹣2φ〕=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g〔x〕在x2=，取得最大值，sin〔2×﹣2φ〕=1，此时φ=，满足题意．故选：D．点评：此题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．〔5分〕〔2015•湖南〕某工件的三视图如下列图．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为〔材料利用率=〕〔〕A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=〔1﹣〕，0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=〔1﹣〕，0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2〔1﹣〕2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断〔0，〕单调递增，〔，2〕单调递减，Ω最大值=2〔1﹣〕2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A点评：此题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每题5分，共25分11．〔5分〕〔2015•湖南〕〔x﹣1〕dx=0．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．解答：解：〔x﹣1〕dx=〔﹣x〕|=0；故答案为：0．点评：此题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．〔5分〕〔2015•湖南〕在一次马拉松比赛中，35名运发动的成绩〔单位：分钟〕的茎叶图如下列图．假设将运发动成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运发动人数是4．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运发动人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运发动应抽取7×=4〔人〕．故答案为：4．点评：此题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．〔5分〕〔2015•湖南〕设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．假设C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F〔c，0〕，P〔m，n〕，〔m＜0〕，设PF的中点为M〔0，b〕，即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．解答：解：设F〔c，0〕，P〔m，n〕，〔m＜0〕，设PF的中点为M〔0，b〕，即有m=﹣c，n=2b，将点〔﹣c，2b〕代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．点评：此题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．〔5分〕〔2015•湖南〕设S n为等比数列{a n}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．解答：解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4〔1+q〕=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．点评：此题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．〔5分〕〔2015•湖南〕已知函数f〔x〕=假设存在实数b，使函数g〔x〕=f 〔x〕﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1}．考点：函数的零点．专题：计算题；创新题型；函数的性质及应用．分析：由g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点可得f〔x〕=b有两个零点，即y=f〔x〕与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围解答：解：∵g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点，∴f〔x〕=b有两个零点，即y=f〔x〕与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f〔x〕的图象如下列图，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f〔x〕在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f〔x〕单调递增，故不符合题意④a=0时，f〔x〕单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f〔x〕的图象如下列图，此时存在b使得，y=f〔x〕与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}点评：此题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．〔6分〕〔2015•湖南〕如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：〔1〕∠MEN+∠NOM=180°〔2〕FE•FN=FM•FO．考点：相似三角形的判定．专题：选作题；推理和证明．分析：〔1〕证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°〔2〕证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．解答：证明：〔1〕∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°〔2〕在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．点评：此题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．〔6分〕〔2015•湖南〕已知直线l：〔t为参数〕．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；〔2〕设点M的直角坐标为〔5，〕，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：〔1〕曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；〔2〕直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．解答：解：〔1〕∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为〔x﹣1〕2+y2=1；〔2〕直线l：〔t为参数〕，普通方程为，〔5，〕在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=〔5﹣1〕2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．点评：此题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．〔2015•湖南〕设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：〔ⅰ〕a+b≥2；〔ⅱ〕a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：〔ⅰ〕由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；〔ⅱ〕运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．解答：证明：〔ⅰ〕由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；〔ⅱ〕假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．点评：此题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．19．〔2015•湖南〕设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值范围．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ〕由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；〔Ⅱ〕由题意可得A∈〔0，〕，可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2〔sinA﹣〕2+，由二次函数区间的最值可得．解答：解：〔Ⅰ〕由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin〔+A〕又B为钝角，∴+A∈〔，π〕，∴B=+A，∴B﹣A=；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知C=π﹣〔A+B〕=π﹣〔A++A〕=﹣2A＞0，∴A∈〔0，〕，∴sinA+sinC=sinA+sin〔﹣2A〕=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2〔sinA﹣〕2+，∵A∈〔0，〕，∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2〔sinA﹣〕2+≤∴sinA+sinC的取值范围为〔，]点评：此题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．〔2015•湖南〕某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，则获一等奖，假设只有1个红球，则获二等奖；假设没有红球，则不获奖．〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：〔1〕记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．〔2〕顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．解答：解：〔1〕记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P〔A1〕=，P〔A2〕=，所以，P〔B1〕=P〔A1〕P〔A2〕==，P〔B2〕=P〔〕+P〔〕=+==，故所求概率为：P〔C〕=P〔B1+B2〕=P〔B1〕+P〔B2〕=．〔2〕顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由〔1〕可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P〔X=0〕==，P〔X=1〕==，P〔X=2〕==，P〔X=3〕==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE〔X〕=3×=．点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．〔2015•湖南〕如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．〔1〕假设P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；〔2〕假设PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：〔1〕首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q〔6，y1，0〕，只需求即可；〔2〕设P〔0，y2，z2〕，根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P〔0，y2，12﹣2y2〕．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q〔6，y2，0〕，设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．解答：解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如下列图空间直角坐标系，则：A〔0，0，0〕，B〔6，0，0〕，D〔0，6，0〕，A1〔0，0，6〕，B1〔3，0，6〕，D1〔0，3，6〕；Q在棱BC上，设Q〔6，y1，0〕，0≤y1≤6；∴〔1〕证明：假设P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；〔2〕设P〔0，y2，z2〕，y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴〔0，y2﹣6，z2〕=λ〔0，﹣3，6〕；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P〔0，y2，12﹣2y2〕；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6〔y1﹣y2〕=0；∴y1=y2；∴Q〔6，y2，0〕；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8〔舍去〕；∴P〔0，4，4〕；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=．点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．〔13分〕〔2015•湖南〕已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1〔a＞b＞0〕的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．〔Ⅰ〕求C2的方程；〔Ⅱ〕过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．〔ⅰ〕假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率；〔ⅱ〕设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔Ⅰ〕根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；〔Ⅱ〕设出点的坐标，〔ⅰ〕根据向量的关系，得到〔x1+x2〕2﹣4x1x2=〔x3+x4〕2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；〔ⅱ〕根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．解答：解：〔Ⅰ〕抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为〔0，1〕，因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为〔±，〕，所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．〔Ⅱ〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，C〔x3，y3〕，A〔x4，y4〕，〔ⅰ〕因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是〔x1+x2〕2﹣4x1x2=〔x3+x4〕2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得〔9+8k2〕x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16〔k2+1〕=+，即16〔k2+1〕=，所以〔9+8k2〕2=16×9，解得k=±．〔ⅱ〕由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1〔x﹣x1〕，即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M〔x1，0〕，所以=〔x1，﹣1〕，而=〔x1，y1﹣1〕，于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．点评：此题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．23．〔13分〕〔2015•湖南〕已知a＞0，函数f〔x〕=e ax sinx〔x∈[0，+∞]〕．记x n为f〔x〕的从小到大的第n〔n∈N*〕个极值点．证明：〔Ⅰ〕数列{f〔x n〕}是等比数列；〔Ⅱ〕假设a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：〔Ⅰ〕求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；〔Ⅱ〕由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a〔nπ﹣φ〕恒成立⇔＜，①设g〔t〕=〔t＞0〕，求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．解答：证明：〔Ⅰ〕f′〔x〕=e ax〔asinx+cosx〕=•e ax sin〔x+φ〕，tanφ=，0＜φ＜，令f′〔x〕=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，假设〔2k+1〕π＜x+φ＜〔2k+2〕π，即〔2k+1〕π﹣φ＜x＜〔2k+2〕π﹣φ，则f′〔x〕＜0，因此在〔〔m﹣1〕π，mπ﹣φ〕和〔mπ﹣φ，mπ〕上f′〔x〕符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f〔x〕取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f〔x n〕=e a〔nπ﹣φ〕sin〔nπ﹣φ〕=〔﹣1〕n+1e a〔nπ﹣φ〕sinφ，易知f〔x n〕≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f〔x n〕}是首项为f〔x1〕=e a〔π﹣φ〕sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；〔Ⅱ〕由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a〔nπ﹣φ〕恒成立⇔＜，①设g〔t〕=〔t＞0〕，g′〔t〕=，当0＜t＜1时，g′〔t〕＜0，g〔t〕递减，当t＞1时，g′〔t〕＞0，g〔t〕递增．t=1时，g〔t〕取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g〔1〕=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g〔ax n〕＞g〔1〕=e=，故①亦恒成立．综上可得，假设a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．点评：此题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．2015年湖南省高考数学试卷〔理科〕一、选择题，共10小题，每题5分，共50分1．〔5分〕〔2015•湖南〕已知=1+i〔i为虚数单位〕，则复数z=〔〕A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．〔5分〕〔2015•湖南〕设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．〔5分〕〔2015•湖南〕执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=〔〕A．B．C．D．4．〔5分〕〔2015•湖南〕假设变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为〔〕A．﹣7 B．﹣1 C．1D．25．〔5分〕〔2015•湖南〕设函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，则f〔x〕是〔〕A．奇函数，且在〔0，1〕上是增函数 B．奇函数，且在〔0，1〕上是减函数C．偶函数，且在〔0，1〕上是增函数 D．偶函数，且在〔0，1〕上是减函数6．〔5分〕〔2015•湖南〕已知〔﹣〕5的展开式中含x的项的系数为30，则a=〔〕A．B．﹣C．6D．﹣67．〔5分〕〔2015•湖南〕在如下列图的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分〔曲线C为正态分布N〔0，1〕的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔〕附“假设X﹣N=〔μ，a2〕，则P〔μ﹣σ＜X≤μ+σ〕=0.6826．p〔μ﹣2σ＜X≤μ+2σ〕=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．〔5分〕〔2015•湖南〕已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，假设点P的坐标为〔2，0〕，则||的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．99．〔5分〕〔2015•湖南〕将函数f〔x〕=sin2x的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕〔2015•湖南〕某工件的三视图如下列图．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为〔材料利用率=〕〔〕A．B．C．D．二、填空题，共5小题，每题5分，共25分11．〔5分〕〔2015•湖南〕〔x﹣1〕dx=．12．〔5分〕〔2015•湖南〕在一次马拉松比赛中，35名运发动的成绩〔单位：分钟〕的茎叶图如下列图．假设将运发动成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运发动人数是．13．〔5分〕〔2015•湖南〕设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．假设C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．〔5分〕〔2015•湖南〕设S n为等比数列{a n}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．〔5分〕〔2015•湖南〕已知函数f〔x〕=假设存在实数b，使函数g〔x〕=f 〔x〕﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．〔6分〕〔2015•湖南〕如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：〔1〕∠MEN+∠NOM=180°〔2〕FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．〔6分〕〔2015•湖南〕已知直线l：〔t为参数〕．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；〔2〕设点M的直角坐标为〔5，〕，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．〔2015•湖南〕设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：〔ⅰ〕a+b≥2；〔ⅱ〕a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．〔2015•湖南〕设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值范围．20．〔2015•湖南〕某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，则获一等奖，假设只有1个红球，则获二等奖；假设没有红球，则不获奖．〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．〔2015•湖南〕如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．〔1〕假设P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；〔2〕假设PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．〔13分〕〔2015•湖南〕已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1〔a＞b＞0〕的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．〔Ⅰ〕求C2的方程；〔Ⅱ〕过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．〔ⅰ〕假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率；〔ⅱ〕设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．〔13分〕〔2015•湖南〕已知a＞0，函数f〔x〕=e ax sinx〔x∈[0，+∞]〕．记x n为f〔x〕的从小到大的第n〔n∈N*〕个极值点．证明：〔Ⅰ〕数列{f〔x n〕}是等比数列；〔Ⅱ〕假设a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖南卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南文科数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖南,文1)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i 答案:D解析:由已知得z=(1-i)2=-2i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i=-1-i.2.(2015湖南,文2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第2,3,4,5组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.3.(2015湖南,文3)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:由x>1能推得x3>1,充分性成立.由x3>1得(x-1)(x2+x+1)>0,∵x2+x+1>0恒成立,∴x>1,∴“x>1”是“x3>1”的充要条件.故选C.4.(2015湖南,文4)若变量x,y满足约束条件x+y≥1,y-x≤1,x≤1,则z=2x-y的最小值为()A.-1B.0C.1D.2答案:A解析:画出满足约束条件的平面区域如图.作直线y=2x,平移直线y=2x,当x=0,y=1,即直线过点A(0,1)时,z取得最小值,此时z min=2×0-1=-1.故选A.5.(2015湖南,文5)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.67B.37C.89D.49答案:B解析:由题意得,输出的S 为数列1(2n -1)(2n +1)的前3项和,而1(2n -1)(2n +1)=112n -1-1,即S n =1 1-1=n .故当输入n=3时,S=S 3=3,故选B . 6.(2015湖南,文6)若双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. 73B.54C.43D.53答案:D解析:∵双曲线的渐近线方程为y=±b ax ,且过点(3,-4),∴-4=-b ×3,∴b a =43.∴离心率e= 1+ b 2= 1+ 4 =5,故选D .7.(2015湖南,文7)若实数a ,b 满足1a +2b=ab ,则ab 的最小值为( ) A. B.2C.2D.4答案:C解析:由已知1+2= ab ,可知a ,b 同号,且均大于0.由 =1a +2b ≥2 2ab,得ab ≥2 2.即当且仅当1=2,即b=2a 时等号成立,故选C .8.(2015湖南,文8)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案:A解析:要使函数有意义,应满足 1+x >0,1-x >0,解得-1<x<1,即函数f (x )定义域为(-1,1),关于原点对称.此时f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又f (x )=ln 1+x 1-x=ln 21-x-1 ,由复合函数的单调性可知f (x )在(0,1)上是增函数.故选A .9.(2015湖南,文9)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC ,若点P 的坐标为(2,0),则|PA +PB +PC|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:B解析:设坐标原点为O ,则PA +PB +PC =PO +OA +PO +OB +PO +OC =3PO +OB +(OA +OC ),由于AB ⊥BC ,所以AC 是圆的直径,因此OA +OC =0,于是|PA +PB +PC |=|3PO +OB |= (3PO +OB )2= 9|PO |2+6PO ·OB +|OB |2= 9×22+12-6OP ·OB= 37-6|OP ||OB |cos ∠POB= 37-12cos ∠POB ,故当∠POB=π时,cos ∠POB 取最小值-1,此时|PA +PB +PC |取最大值7.10.(2015湖南,文10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积()A.89πB.8 27πC.24(2-1)3D.8(2-1)3答案:A解析:由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h=l2-r2=32-12=22.故该圆锥的体积V=πr2h=π×12×22=22π.由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体ABCD-EFGH的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面SMN中,由O1G∥ON可得,O1G=SO1,即22x=22-x22,x=22.所以正方体的体积为V1=2233=16227.所以该工件的利用率为V1=1622722π3=8.故选A.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015湖南,文11)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=.答案:{1,2,3}解析:∁U B={2},A∪(∁U B)={1,2,3}.12.(2015湖南,文12)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为.答案:x2+y2-2y=0解析:∵ρ=2sin θ,且ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,∴ρ2=2ρsin θ,∴x2+y2=2y.∴曲线C的直线坐标方程为x2+y2-2y=0.13.(2015湖南,文13)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.答案:2解析:如图所示,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|=3+(-4)=1,故圆的半径r=1cos60°=2.14.(2015湖南,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是. 答案:(0,2)解析:函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=2x-2,x≥1,2-2x,x<1的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0<a<2时,直线y=a与y=g(x)有两个交点.所以a 的取值范围为(0,2).15.(2015湖南,文15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案:π解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则Aπ4ω,2,B-3π4ω,-2,由|AB|=23,得πω+(22)2=23,解得πω=2,即ω=π2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为4=1,不中奖的概率为1-1=2>1.故这种说法不正确.17.(本小题满分12分)(2015湖南,文17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A.(1)证明:sin B=cos A;(2)若sin C-sin A cos B=3,且B为钝角,求A,B,C.解:(1)由a=b tan A及正弦定理,得sin A=a=sin A,所以sin B=cos A.(2)因为sin C-sin A cos B=sin[180°-(A+B)]-sin A cos B=sin(A+B)-sin A cos B=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=cos A sin B,所以cos A sin B=3.由(1)sin B=cos A,因此sin2B=3.又B为钝角,所以sin B=32,故B=120°.由cos A=sin B=3知A=30°.从而C=180°-(A+B)=30°.综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.18.(本小题满分12分)(2015湖南,文18)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,CC 1的中点.(1)证明:平面AEF ⊥平面B 1BCC 1;(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°,求三棱锥F-AEC 的体积. 解:(1)证明:如图,因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点,所以AE ⊥BC. 因此,AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ,所以,平面AEF ⊥平面B 1BCC 1. (2)设AB 的中点为D ,连结A 1D ,CD. 因为△ABC 是正三角形,所以CD ⊥AB.又三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1,于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角.由题设,∠CA 1D=45°,所以A 1D=CD= 3AB= 3.在Rt △AA 1D 中,AA 1= A 1D 2-AD 2= 3-1= 2,所以FC=1AA 1=2.故三棱锥F-AEC 的体积V=1S △AEC ·FC=1×3×2=6.19.(本小题满分13分)(2015湖南,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n+2=3S n -S n+1+3,n ∈N *. (1)证明:a n+2=3a n ; (2)求S n .解:(1)由条件,对任意n ∈N *,有a n+2=3S n -S n+1+3,因而对任意n ∈N *,n ≥2,有a n+1=3S n-1-S n +3.两式相减,得a n+2-a n+1=3a n -a n+1,即a n+2=3a n ,n ≥2. 又a 1=1,a 2=2,所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1, 故对一切n ∈N *,a n+2=3a n .(2)由(1)知,a n ≠0,所以an +2n=3,于是数列{a 2n-1}是首项a 1=1,公比为3的等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列.因此a 2n-1=3n-1,a 2n =2×3n-1.于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n =(a 1+a 3+…+a 2n-1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=3(3n -1), 从而S 2n-1=S 2n -a 2n =3(3n -1)-2×3n-1=3(5×3n-2-1). 综上所述,S n = 32(5×3n -22-1),当n 是奇数,3(3n2-1),当n 是偶数. 20.(本小题满分13分)(2015湖南,文20)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 22+x 2b2=1(a>b>0)的一个焦点.C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC 与BD同向. (1)求C 2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率.解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1. ① 又C 1与C 2的公共弦的长为2 6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为 ± 6,32,所以94a 2+6b2=1.②联立①,②得a 2=9,b 2=8,故C 2的方程为y 2+x 2=1. (2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).因AC 与BD 同向,且|AC|=|BD|,所以AC =BD ,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4,③ 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y=kx+1. 由 y =kx +1,x 2=4y ,得x 2-4kx-4=0,而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. ④由 y =kx +1,x 2+y 2=1得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0,而x 3,x 4是这个方程的两根, 所以x 3+x 4=-16k9+8k2,x 3x 4=-649+8k2.⑤将④,⑤代入③,得16(k 2+1)=162k2(9+8k 2)2+4×649×8k2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k=± 6,即直线l 的斜率为± 64.21.(本小题满分13分)(2015湖南,文21)已知a>0,函数f (x )=a e x cos x (x ∈[0,+∞)).记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点.(1)证明:数列{f (x n )}是等比数列;(2)若对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,求a 的取值范围. 解:(1)f'(x )=a e x cos x-a e x sin x= 2a e x cos x +π4.令f'(x )=0,由x ≥0,得x+π=m π-π, 即x=m π-3π,m ∈N *.而对于cos x +π4 ,当k ∈Z 时,若2k π-π2<x+π4<2k π+π2,即2k π-3π4<x<2k π+π4,则cos x +π4>0;若2k π+π2<x+π4<2k π+3π2,即2k π+π4<x<2k π+5π4,则cos x +π4<0.因此,在区间 (m -1)π,mπ-3π 与 mπ-3π,mπ+π 上,f'(x )的符号总相反,于是当x=m π-3π(m ∈N *)时,f (x )取得极值,所以x n =n π-3π(n ∈N *).此时,f (x n )=a e nπ-34πcos nπ-3π =(-1)n+1 2a e nπ-34π.易知f (x n )≠0,而f (x n +1)n )=(-1)n +2 2a 2e (n +1)π-34π(-1)n +1 22a enπ-34π=-e π是常数,故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)=2a e π4,公比为-e π的等比数列.(2)对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,即n π-3π4≤2a 2enπ-34π恒成立,亦即2a≤enπ-34πnπ-3π4恒成立(因为a>0).设g (t )=e t (t>0),则g'(t )=e t (t -1)t 2.令g'(t )=0得t=1.当0<t<1时,g'(t )<0,所以g (t )在区间(0,1)上单调递减.当t>1时,g'(t )>0,所以g (t )在区间(1,+∞)上单调递增.因为x 1∈(0,1),且当n ≥2时,x n ∈(1,+∞),x n <x n+1,所以[g (x n )]min =min{g (x 1),g (x 2)}=min g π ,g 5π =g π =4e π4,因此,x n ≤{f (x n )}恒成立,当且仅当 2≤4e π4.解得a ≥2πe -π4,故a 的取值范围是2πe -π4,+∞ .。
2015年高考文科数学湖南卷(含详细答案)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知2(1i)1i z-=+(i 为虚数单位),在复数z = ( )A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --2.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位:分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A .3B .4C .5D .6 3.设x ∈R ,则“1x >”是“31x >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.若变量x ,y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为( )A .1-B .0C .1D .25.执行如图所示的程序框图.如果输入3n =,则输出的S =( )A .67B .37C .89D .496.若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点(3,4)-,则此双曲线的离心率为( )AB .54C .43D .537.若实数a ,b满足12a b+=则ab 的最小值为 ( )AB .2 C.D .48.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,则()f x 是( )A .奇函数,且在(0,1)上是增函数B .奇函数,且在(0,1)上是减函数C .偶函数,且在(0,1)上是增函数D .偶函数,且在(0,1)上是减函数9.已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动,且AB BC ⊥.若点P 的坐标为(2,0),则||PA PB PC ++的最大值为( )A .6B .7C .8D .910.某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为=⎛⎫ ⎪⎝⎭新工件的体积材料利用率原工件的体积 ( ) A .89π B .827πCD第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在题中的横线上. 11.已知集合{1,2,3,4}U =,{1,3}A =,{1,3,4}B =,则()U A B =ð . 12.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=,则曲线C 的直角坐标方程为 .13.若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A ,B 两点,且120(AOB O ∠=为坐标原点),则r = .14.若函数()22||x f x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是 .15.已知0ω>,在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为,则ω= .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球1A ,2A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球1a ,2a 和2个白球1b ,2b 的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖. （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果;（Ⅱ）有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________17.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan a b A =. （Ⅰ）证明:sin cos B A =; （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=,且B 为钝角,求A ,B ,C .18.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,1CC 的中点.（Ⅰ）证明:平面AEF ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒,求三棱锥F AEC -的体积.19.（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,22a =,且2133n n n a S S ++=-+,*n ∈Ν. （Ⅰ）证明:23n n a a +=;（Ⅱ）求n S .20.（本小题满分13分）已知抛物线1C :24x y =的焦点F 也是椭圆2C :22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点,1C 与2C 的公共弦的长为26过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC 与BD 同向.（Ⅰ）求2C 的方程;（Ⅱ）若||||AC BD =,求直线l 的斜率.21.（本小题满分13分）已知0a >,函数()cos ([0,))x f x ae x x =∈+∞.记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n ∈Ν个极值点.（Ⅰ）证明:数列{()}n f x 是等比数列;（Ⅱ）若对一切*n ∈Ν,|()|n n x f x ≤恒成立,求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷z x y∴=-在点A处取得最小值为.故选A.z x y∴=-22数学试卷第10页（共36页）(22)x x x -≤第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】{123}，， 【解析】由题{}2U B =ð，所以(){123}UB A =，，ð. 【提示】首先求出集合B 的补集，然后再与集合A 取并集. 【考点】集合的运算. 12.【答案】22(1)1x y +-=【解析】曲线C 的极坐标方程为22sin 2sin ,ρθρρθ=∴=，它的直角坐标方程为222x y y +=， 22(1)1x y ∴+-=，故答案为22(1)1x y +-=【提示】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可. 【考点】圆的极坐标方程. 13.【答案】2数学试卷 第16页（共36页）120，120，则△120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线的距离数y b =的图像有两个交点，结合函数的图像可得，02b <<时符合条件，故答案为02b <<.所以平面AEF⊥平面11B BCC.3322121BC BB B=，推出数学试卷第22页（共36页）（Ⅱ）如图，设11223344()()()()A x yB x yC x yD x y，，，，，，，，uuu r uuu r u u ur u u ur数学试卷第28页（共36页）11 / 12数学试卷第34页（共36页）数学试卷第35页（共36页）数学试卷第36页（共36页）。
数学分析试题与答案
2014---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 1.若f 2... .二. 1.若2.A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠ba ba dx x g dx x f ；C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=b ab a dx x g dx x f ；D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu 一定收敛；B.若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u 一定收敛；1.1.⎰+02.∑∞=1!n n n n 3.()nnn nn21211+-∑∞= 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n2.(][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六．已知一圆柱体的的半径为R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
（本题满10分） 七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。
(本题满分10分)八.证明：函数()∑=3cos nnxx f 在()∞+∞-,上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B 卷•答案一、 1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二=tdt t tt cos sin 2sin cos ⎰=⎰tdt t sin 2-----------------------------------4分 =2cos 2sin t t t C -++=C ----------------5分四.判别敛散性（每小题5分，共10分）1.dx xx ⎰-121arctan解：()241arctan lim1arctan 1lim 012211π=+=---→-→xx xx x x x -------3分且121<=p ，∴由柯西判别法知， 瑕积分dx xx ⎰-121arctan 收敛-------------------------5分2.()∑∞=2ln ln 1n nn解：ln lim n ∞→ 有五.1.f n 又f n 从而故知该函数列在D 上一致收敛.-------------------------5分 2.]1,1[,3sin 2-=∑D x nn解：因当D x ∈时，()nn n n x x u ⎪⎭⎫⎝⎛≤=323sin 2--------------2分而正项级数∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛，-----------------------------4分由优级数判别法知，该函数列在D 上一致收敛.-------------5分 3.()()∑+∞∞-=+-,,12D nx n解：易知，级数()∑-n1的部分和序列{}n S 一致有界，---2分 而对()n x x V D x n +=∈∀21,是单调的，又由于 ()()∞→→≤+=∈∀n nn x x V D x n 011,2，------------------4分六.(⎰=12V π=76π七.dW ==1250πν=12250π（千焦）-----------------------------------10分 八．设()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，证明：若()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，则()∑x u n 在],[b a 上绝对且一致收敛.（本题满分9分） 证明：()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，所以有()()()b u a u x u n n n +≤------------------------------4分又由()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，所以()()[]∑+b u a u n n 收敛，--------------------------------------7分 由优级数判别法知：()∑x u n在],[b a 上绝对且一致收敛.--------------------------------2013---2014学年度第二学期《数学分析2》A试卷一.5.若6.若an=7.若8.二.1.A⎰101dxxB⎰∞+11dxxC⎰+∞sin xdx D⎰-1131dxx2.级数∑∞=1nna收敛是∑∞=1nna部分和有界的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件3.正项级数∑n u收敛的充要条件是（）A.0lim =∞→n n u B.数列{}n u 单调有界C.部分和数列{}n s 有上界D.1lim1<=+∞→ρnn n u n4.设a a a nn n =+∞→1lim则幂级数()1>∑b x a bn n 的收敛半径R=（）A.aB.ba 1C.a 1D.ba 11⎪⎭⎫ ⎝⎛5.6..A.三.2.3．-⎰114.四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.⎰+∞+-1324332x x dx ；2.dx x x ⎰++1)1ln(113.∑∞=-21ln n nn n； 4.∑∞=1!n n n nn e 五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）1.),(;,2,1,)(42∞-∞∈=+=-x n n x x f n2.nn n n 1)1(21∑∞=-+；+∞⋃-∞-=∈,5.05.0,D x 六.1.7π（2.七已知f2013---2014学年度第二学期《数学分析2》B 试卷一、 1.对任何可导函数()x f 而言，()()C x f dx x f +='⎰成立。
湘潭大学数学与计算科学学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题专业课考试试题
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12．从均值为100、标准差为10的总体中，抽出n＝100的简单随机样 本，用样本均值估计总体均值μ，则样本均值的期望值和标准差分别为 （ ）。 A．100，1
B．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为5%
C．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间 比例为95%
D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间 比例为5%
【答案】C
【解析】如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数 的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区 间称为置信水平为95%的置信区间。而对于某一个特定的样本所构造的 区间而言，该区间包含参数真值的概率为0或1。
14．在假设检验中，如果所计算出的p值越小，说明检验的结果 （ ）。
A．越显著 B．越不显著 C．越真实 D．越不真实 【答案】A 【解析】P值是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出 现的概率。如果P值很小，说明这种情况发生的概率很小，根据小概率 原理，就有理由拒绝原假设。P值越小，拒绝原假设的理由就越充分， 说明检验的结果越显著。 15．一所大学管理人员认为，大学生中吸烟的比例超过30%，为检验这 一说法是否属实，该管理人员抽取一个随机样本进行检验，建立的原假 设和备择假设为
5．商品库存量是（ ）。 A．时期指标
B．时点指标 C．相对指标 D．平均指标 6．加权算术平均数的大小（ ）。 A．受各组次数的影响最大 B．受各组标志值的影响最大 C．受各组标志值和次数的共同影响 D．不受各组次数的影响 【答案】C 【解析】加权平均数适用于原始资料已经分组，并得出次数分布的场 合。计算公式为：
数二15年真题答案解析
数二15年真题答案解析数学二是高考数学科目的一部分，是考生们在高中阶段学习数学知识的集大成者。
数学二的题目相对较难，需要考生们掌握扎实的数学基础和解题思路。
下面，我将对数学二的2015年真题进行答案解析，希望能对考生们有所帮助。
首先，让我们来看一道解析题。
在数学二的第一大题中，有一道题目是：已知函数f（x）的定义域为R，（x^2 + 1）ｆ（x）= f（x＋1），且f（0）= 1，求f（2015）的值。
这是一道典型的函数方程题。
首先我们可以将(x^2 + 1)f(x) =f(x+1)展开变形，得到x^2f(x) - f(x) + f(x+1) - 1 = 0。
然后我们考虑构造x^2f(x) - f(x) + f(x+1) - 1的递推表达式，可以得到f(x+1) = 1 + f(x) - (x^2f(x) - f(x))。
根据f(0) = 1，我们可以得到f(1) = 1 + f(0) - (0^2f(0) - f(0)) = 2。
继续递推，可以得到f(2) = 1 + f(1) - (1^2f(1) - f(1)) = 2 + (1^2 - 1)f(1) = 4。
继续递推，可以得到f(3) = 3^2f(2) - f(2) + f(2) - 1 = 10 +(2^2 - 1)f(2) = 10 + 3(2^2 - 1) = 19。
如此类推，我们可以得到f(2015) = 2015^2f(2014) - f(2014) + f(2014) - 1，即f(2015) = 2015^2 - 1。
接下来，让我们来看一道具体计算题。
在数学二的第二大题中，有一道题目是：已知函数f（x）满足f（x-2）= 2x^2 - 1，求f（2001）的值。
这是一道典型的函数计算题。
我们可以考虑构造f(x-2)的表达式，并将x = 1替换掉其中的x，即得到f(1) = 2(1^2) - 1 = 1。
继续计算，我们得到f(3) = 2(3^2) - 1 = 17，f(5) = 2(5^2) - 1 = 49，f(7) = 2(7^2) - 1 = 97，f(9) = 2(9^2) - 1 = 161，以此类推。
2015高考数学全国2卷试题及答案(清晰版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试试题及答案理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}21012，，，，--=A ,()(){}021<+-=x x x B ,则=B A A、{}0,1-B、{}1,0C、{}101，，-D、{}210，，2、若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a A、-1B、0C、1D、23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4、已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a aA、21B、42C、63D、845、设函数()()⎩⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥<x x ,则()()=+-12log 22f f A、3B、6C、9D、126、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为A、81B、71C、61D、517、过三点()31，A ，()24，B ，()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点，则=MN A、62B、8C、64D、108、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a A、0B、2C、4D、149、已知A ，B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点。
2015年湖南省高考数学试卷及解析(理科)
2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1、（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A、1+iB、1﹣iC、﹣1+iD、﹣1﹣i2、（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A、B、C、D、4、（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A、﹣7B、﹣1C、1D、25、（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A、奇函数，且在（0，1）上是增函数B、奇函数，且在（0，1）上是减函数C、偶函数，且在（0，1）上是增函数D、偶函数，且在（0，1）上是减函数6、（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A、B、﹣C、6 D、﹣67、（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826、p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544、A、2386B、2718C、3413D、47728、（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A、6B、7C、8D、99、（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象、若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A、 B、C、D、10、（5分）某工件的三视图如图所示、现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A、 B、 C、D、二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11、（5分）（x﹣1）dx=、12、（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示、若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是、13、（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点、若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为、14、（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=、15、（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是、三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16、（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO、选修4-4：坐标系与方程17、（6分）已知直线l：（t为参数）、以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ、（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值、选修4-5：不等式选讲18、设a＞0，b＞0，且a+b=+、证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立、七、标题19、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角、（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围、20、某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖、（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望、21、如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上、（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积、22、（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点、C1与C2的公共弦长为2、（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向、（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形、23、（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）、记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点、证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立、参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1、（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A、1+iB、1﹣iC、﹣1+iD、﹣1﹣i题目分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值、试题解答解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D、点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题、2、（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件题目分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可、试题解答解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”、所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件、故选：C、点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用、3、（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A、B、C、D、题目分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环、试题解答解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B、点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4、（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A、﹣7B、﹣1C、1D、2题目分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案、试题解答解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）、由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7、故选：A、点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题、易错点是图形中的B点、5、（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A、奇函数，且在（0，1）上是增函数B、奇函数，且在（0，1）上是减函数C、偶函数，且在（0，1）上是增函数D、偶函数，且在（0，1）上是减函数题目分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可、试题解答解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数、排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确、故选：A、点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力、6、（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A、B、﹣C、6 D、﹣6题目分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果、试题解答解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6、故选：D、点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具、7、（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826、p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544、A、2386B、2718C、3413D、4772题目分析：求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论、试题解答解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C、点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题、8、（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A、6B、7C、8D、9题目分析：由题意，AC为直径，所以||=|2+|、B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论、试题解答解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7、所以||的最大值为7、另解：设B（cosα，sinα），|2+|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|==，当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7、故选：B、点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础、9、（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象、若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A、 B、C、D、题目分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可、试题解答解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象、若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意、另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，x1﹣x2=﹣φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，故选：D、点评：本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖、有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答、10、（5分）某工件的三视图如图所示、现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A、 B、 C、D、题目分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积、利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即、试题解答解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A、点评：本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题、二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11、（5分）（x﹣1）dx=0、题目分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值、试题解答解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0、点评：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数、12、（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示、若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4、题目分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论、试题解答解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）、故答案为：4、点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目、13、（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点、若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为、题目分析：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到、试题解答解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=、故答案为：、点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题、14、（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1、题目分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式、试题解答解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3、∴a n=3n﹣1、故答案为：3n﹣1、点评：本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查、15、（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} 、题目分析：由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f （x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围试题解答解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b 有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想、三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16、（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO、题目分析：（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO、试题解答证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO、点评：本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础、选修4-4：坐标系与方程17、（6分）已知直线l：（t为参数）、以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ、（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值、题目分析：（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论、试题解答解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18、点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题、选修4-5：不等式选讲18、设a＞0，b＞0，且a+b=+、证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立、题目分析：（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明、假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立、结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证、试题解答证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号、则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立、由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾、a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立、点评：本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题、七、标题19、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角、（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围、题目分析：（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得、试题解答解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]点评：本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题、20、某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖、（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望、题目分析：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A 1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可、（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B、求出概率，得到X的分布列，然后求解期望、试题解答解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A 1，A2相互独立，，互斥，B 1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=、（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以、X～B、于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==、故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=、点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响、21、如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上、（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积、题目分析：（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）、由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积、试题解答解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=、点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式、22、（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点、C1与C2的公共弦长为2、（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向、（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形、题目分析：（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（2）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明、试题解答解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1、（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（1）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±、（2）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形、点评：本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题、23、（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）、记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点、证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立、题目分析：（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立、即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证、试题解答证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反、于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立、即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增、t=1时，g（t）取得最小值，且为e、因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立点评：本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题。
2015 期末复习课
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因此联合概率分布及边缘分布表为:
Z Y 0 1 2 p j
1 0 1 3 1 3 2 3
1 1 3 0 0 1 3
pi 1 3 1 3 1 3 1
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P85习题3.24 设随机变量(X,Y)的概率密度为
be ( x y ) , 0 x 1,0 y , f ( x, y) 其他 0,
(1) 求常数b； (2) 求X,Y的边缘概率密度； (3) 求
当 y 时， FY ( y ) P (Y y ) P (arctan X y ) 2 2 P ( X tan y ) FX (tan y ).
等式两边对y求导得：
1 e fY ( y ) f X (tan y )sec y 2
2
tan 2 y 2
Z=max(X,Y)的分布函数.
解 (1)由概率密度的性质有
f ( x , y )dxdy 1.
dx be
0 0
1
( x y )
1 b (1 e ) 1, dy 1,
1 b . 1 1 e
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y1 y1
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P58习题2.26 设随机变量 X ~ N (0,1), 求
(1) Y=arctanX的概率密度; (2) Y=2X2 +1的概率 密度; (3) Y=|X |的概率密度.
2015年湖南省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．解答：解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．解答：解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A ．B．C．D．考点：程序框图．分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A ．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．解答：解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f （0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A ．B．﹣C．6 D．﹣6考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A ．2386 B．2718 C．3413 D．4772考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．解答：解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A ．6 B．7 C．8 D．9考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．B为（﹣1，0）时，|4+|≤7，即可得出结论．解答：解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．所以B为（﹣1，0）时，|4+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A ．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．解答：解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．点评：本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A ．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A点评：本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=0．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．解答：解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．点评：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．解答：解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．解答：解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．点评：本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f （x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1}．考点：函数的零点．专题：计算题；创新题型；函数的性质及应用．分析：由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围解答：解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．考点：相似三角形的判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．解答：证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．点评：本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．解答：解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．解答：证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．点评：本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．解答：解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]点评：本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．解答：解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=3×=．点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．解答：解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=．点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），A（x4，y4），（ⅰ）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（ⅱ）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．点评：本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．解答：证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，mπ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．点评：本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A ．B．C．D．4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A ．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A ．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A ．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A ．6 B．7 C．8 D．99．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A ．B．C．D．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A ．B．C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f （x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f （x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．。
湘潭大学考研真题432统计学2015、2016、2017年
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2015年高考真题——数学理（新课标Ⅰ卷）解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2015年新课标1理 设复数z 满足=i ，则|z|=1+z 1z-（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.2015年新课标1理 （2）sin20°cos10°-co s 160°sin10°=（A ）（B （C ） （D ）12-12【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D.12考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式2015年新课标1理 （3）设命题P ：n N ，>，则P 为∃∈2n 2n ⌝ （A ）n N, > （B ） n N, ≤∀∈2n 2n ∃∈2n 2n（C ）n N, ≤ （D ） n N, =∀∈2n 2n ∃∈2n 2n【答案】C【解析】试题分析：:，故选C.p ⌝2,2n n N n ∀∈≤考点：特称命题的否定2015年新课标1理 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式2015年新课标1理 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：上的一点，2212x y -=F 1、F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是1MF ∙2MF（A ）（）（B ）（）（C ）（） （D ）（【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程2015年新课标1理 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年考研数学(二)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dxx x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x ααβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，则11u v fu==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,)43D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩ 则 212t d y dx ==【答案】48【解析】 2222333(1)11dy dy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】 已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有1(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = .【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===， 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203c o s )1(s i n )1(lim kx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=22)(2V ππA x d x A -πππ2c o s 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求 (,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=， 故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x x ϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=xxde x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y xxx )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，xyy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E AE X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪⎪⎝⎭P AP文档内容由金程考研网整理发布。