高中数学上册 第1章《集合和命题》教案 沪教版

数学：第1章《集合和命题》教案

集合是现代数学中一个原始的、不加定义的概念。教材上给出“集合”的概念，只是对集合描述性的说明。初次接触集合感到比较抽象，难以把握。实质上，集合元素的三个性质是我们解决集合有关概念问题的重要依据。子集、真子集的定义是解决两个集合之间关系的法宝。下面通过五个问题对同学们容易忽略的知识进行解答，以期对同学们有所帮助。

一问：你已掌握集合概念中所描述的集合的全体性了吗？

例1：函数y=x2+x-1的定义域为（）。

①｛R｝②｛一切实数｝③ R ④｛实数｝⑤实数

A ①②

B ②③

C ③④

D ④⑤

分析：任何一个实数都能使函数y=x2+x-1有意义，故函数的定义域应为全体实数。所以③正确。R与一切实数都表示一个整体，它们是一个集合，放在大括号内是表示以集合为元素的单元素集，所以①②不正确。④表示实数的全体，正确。⑤表示元素，不正确。

答案：C

点评：用符号｛｝表示集合时，它表示大括号内元素的全体。在表示定义域时，大括号内的元素应是使函数有意义的实数，而不应该是一个集合。

二问：用描述法表示集合时，你注意到代表元素的代表性了吗？

例2：设集合A=｛x│y=x2-1｝，B=｛y│y=x2-1｝，C=｛（x，y）│y=x2-1｝，D=｛y=x2-1｝分别写出集合A、B、C、D的意义，A表示，B表示，C表示，D表示。

分析：集合表示的是代表元素的全体，竖线后面表示代表元素满足的条件，故A 表示自变量x的全体是函数的定义域，B表示因变量y的全体是函数的值域，C表示满足函数的点的全体是函数的图像，D是用列举法表示以方程y=x2-1为元素的单元素

答案：A表示函数的定义域，

B表示函数的值域，

C表示函数的图像，

D表示以方程y=x2-1为元素的单元素集。

点评：集合的代表元素规定了集合的类型。

三问：你注意到集合元素的互异性了吗？

例3：设集合A=｛1，3，a｝，B=｛1，a2－a＋1｝，若B⊆A，求a的值。

分析：因为B⊆A，所以B中的元素1，a2－a＋1都是A中的元素，但是要考虑到元素的互异性。

解答：因为B⊆A，故可分两种情况：

⑴由a2－a＋1=3，解得a=－1，。2，经检验符合题意。

⑵由a2－a＋1=a，解得a=1，此时A中元素有重复，不满足集合元素的互异性，舍掉a=1。

综上所述：a=－1，或a=2。

点评：集合元素的互异性是检验解出的未知数的值是否符合题意的重要依据。

四问：集合与集合之间不能使用属于符号吗？

例4：设集合A=｛a，b｝,B=｛x│x∈A｝,C=｛x│x∈A｝。

则 B= ，

C= ，

A C（填集合A与C的关系）。

分析：因为集合B的代表元素x∈A，所以x的全体为a、b，故A=B。又因为集合C的代表元素x⊆A，即x是A的子集，所以x的全体为∅、｛a｝、｛b｝、｛a、b｝。解答：B=｛a，b｝，

C=｛∅、｛a｝、｛b｝、｛a、b｝｝，

点评：在特殊情况下，一个集合是另一个集合的子集，集合与集合的之间也可以用符号“∈”。

五问：特殊集合∅，你给予格外关注了吗？

例5：已知A=｛x│x2－2x－3=0｝,B=｛x│ax－1=0｝,若B⊆A，求a的值。

分析：因为B⊆A，所以可分两种情况：B=∅和B≠∅进行讨论。

解答：因为A=｛x│x2－2x－3=0｝=｛－1，3｝，且B⊆A，

所以⑴当B=∅，即方程ax－1=0无解时，a=0。

⑵当B≠∅，即B=

1

a

⎛⎫

⎪

⎝⎭

时,

若1

a

=-1时，则a=-1,满足B⊆A,

若1

a

=3时，则a=

1

3

,满足B⊆A.

综上可知：a=-1或a=1

3

。

点评：当已知B⊆A,千万不要忘记B=∅的情况。