高中必修一函数全章知识点整理

/ 9 函数复习主要知识点 一、函数的概念与表示 1、映射 （1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。 注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 1、下列各对函数中，相同的是 （ ） A、2163(),()fxxgxx B、1,0(),()1,0xxfxgxxx C、 vvvguuuf11)(,11)( D、f（x）=x，2)(xxf 2、}30|{},20|{yyNxxM给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ） A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）指数函数的底数必须大于零且不等于1； 1.函数234yxx的定义域为 2求函数定义域的两个难点问题 （1） ()x已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。 （2） (21)xx已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O
/ 9 例2设12()(1)fxx，则(2)xf的定义域为__________ 变式练习：24)2(xxf，求)(xf的定义域。 三．函数的奇偶性 1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数。 如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数。 2.性质： ①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系 1、 已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数. 当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf . 2、 已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。 （Ⅰ）求,ab的值； （Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围； 3、 若奇函数))((Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_______
/ 9 四、函数的单调性 1、函数单调性的定义： 2 设xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则xgfy在M上是增函数。 1判断函数)()(3Rxxxf的单调性。 2函数2(62)12xxy的单调增区间

是________ 3(高考真题)已知(31)4,1(),1xaxaxfxax是(,)上的减函数，那么a的取值范围是 （ ） （A）(0,1) （B）1(0,)3 （C）11[,)63 （D）1[,1)6 五．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析) 1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx2，顶点坐标)44,2(2abacab 2．二次函数与一元二次方程关系 一元二次方程)0(02acbxax的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)0y的x的取值。
/ 9 一元二次不等式)0(02cbxax的解集(a>0) 二次函数 △情况 一元二次不等式解集 Y=ax2+bx+c (a>0) △=b2-4ac ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) 图象与解 △>0 21xxxxx或 21xxxx △=0 0xxx △<0 R 1、已知函数54)(2mxxxf在区间),2[上是增函数，则)1(f的范围是（ ） （A）25)1(f (B) 25)1(f (C) 25)1(f (D) 25)1(f 2、方程0122mxmx有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______ 六．指数式 1．幂的有关概念 (1)零指数幂)0(10aa (2)负整数指数幂10,nnaanNa (3)正分数指数幂0,,,1mnmnaaamnNn； (5)负分数指数幂110,,,1mnmnmnaamnNnaa (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
/ 9 2．有理数指数幂的性质 10,,rsrsaaaarsQ20,,srrsaaarsQ 30,0,rrrabababrQ 3．根式 根式的性质:当n是奇数，则aann；当n是偶数，则00aaaaaann (1) 213323121)()1.0()4()41(baab 十．指数函数 名称 指数函数 一般形式 y=ax (a>1) y=ax(00时，y>1,x=0,y=1 X<0时y>1,x>0时，0/ 9 2、（1）112042xx，则________x 3、要使函数ayxx421在1,x上0y恒成立。求a的取值范围。 〖2.2〗对数函数 （1）对数的定义 ①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN． （2）几个重要的对数恒等式 log10a，log1aa，logbaab． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828

e…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么 ①加法：logloglog()aaaMNMN ②减法：logloglogaaaMMNN ③数乘：loglog()naanMMnR④logaNaN ⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb ⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数
/ 9 函数 名称 对数函数 定义 函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数 图象 1a 01a 定义域 (0,) 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x时，0y． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx a变化对 图象的 影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． (6)反函数的概念 设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()yfx中反解出1()xfy； xyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx
/ 9 ③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称． ②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域． ③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上． ④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数． 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函
/ 9 数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． ④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中,pq互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线

yx下方．