初一奥数--一元一次方程

•即
-2x=-21，
21
x
2
11
• 例 4、 解关于 x 的方程
•
(mx-n)(m+n)=0．
12
• 分析：这个方程中未知数是x，m，n是可以 取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n 取 不同值时，方程解的情况．
• 解 ：把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，
• 整理得
m(m+n)x=n(m+n)．
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• 解 ：因为(m -1)x -(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，
• 所以m -1=0，即 m=±1． • (1)当 m=1 时，方程变为-2x+8=0， • 因此 x=4， • 代数式的值为： • 199(1+4)(4-2×1)+1=1991； • (2)当 m=-1 时，原方程无解． • 所以所求代数式的值为 1991．
2
• 是整数，因为[x]是整数，2[x],3[x],…,n[x] 都是整数，所以x必须是整数。
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• 例 12 、已知关于 x 的方程
5x a 8x 142
2
5
• 且a为某些自然数时，方程的解为 自然数，试求自然数a的最小值．
பைடு நூலகம்
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29
练习
• 1．解下列方程：
0.4x 0.9 x 5 0.02x 0.03
方程有无数多个解； • (3)若 a=0，且 b≠0，方程变为 0²x=b，则 方
程无解．
4
• 例 1、 解方程
1x 1x 1 x 2 3 x 3 26 4 3 4 4
5
• 解法 一：
• 从里到外逐级去括号．去小括号得：
•
1x 1 3x 1 3 x 3
2 64 6 4 4
1x 1x 1 3 x 3 2 8 36 4 4
所不可缺少的基本功之一．
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• 例 11 、设 n 为自然数，[x]表示不 超过 x 的最大整数，解方程：
n 2 (n 1)2
• x+2[x]+3[x]+4[x]+…+n[x]=
2
• 分析 要解此方程，必须先去掉[ ]，由于 n 是自然数，所以 n 与(n+1) 中必须有一个是 偶数，因此 n 2 ( n 1) 2
1
一元一次方程
主讲：刘文峰
2
专题分析
• 方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方 程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变 形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方 程的基本方法和技巧．
• 用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代 以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否 是恒等式是要通过证明来确定的．
3x 7 x 3 89 4
3x x 3 7
8
49
5 x 55 8 36
x 22 9
6
• 解法 二 • 按照分配律由外及里去括号．去中括号得：
1x 1x 1 x 2 3 x 3 2 6 24 3 4 4
1x 1 x 1 x 3 3 24 36 2
5 x 55 8 36
x 22 9
7
• 例 2、 已知下面两个方程3(x+2)=5x， • ①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) • ② 有相同的解，试求 a 的值 。
• 如果给等式中的文字( 未知数)代以某些值，等式成立，而代以 其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式 也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的 解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．
• 只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元 一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式， 这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．
• (1)
0.5 2
0.03
• (2) 1 1 1 1x 1 6 4 1 2 34 5
• (3)
1 1 (1 x )
1
2
3
1
4
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• 2．解下列关于 x 的方程： • (1)、a (x-2)-3a=x+1；
3x 2ab 1
• (2) ax b
3
2
xb xa
• (3)
2
a
b
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• 3. a为何值时，方程
• 解、 将原方程整理化简得 ：
方程有唯一解
x
a b2 a2 b2
ab ab
若 a-b≠0，即 a≠b，即 a=-b 时，方程无解；若
a-b=0，即 a=b，方程有无数多个解．
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• 例 6、 已知(m -1)x -(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，求代数 式 199(m+x)(x-2m)+m 的值．
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• 例7、
• 已知关于 x 的方程 a(2x-1)=3x-2 无解，
•
试求 a 的值．
• 解： 将原方程变形为：2ax-a=3x-2，
•即
(2a-3)x=a-2．
• 由已知该方程无解，
• 所以2a-3=0且a-2≠0,
•
解得a=
3 2
18
• 例 8、 k为何正数时，方程 k x-k =2kx-5k 的解是正数？
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• 分析 ：当方程ax=b有唯一解 由不得a、b来确定：
x
b a
时，此解的正负
• (1)若 b=0 时，方程的解是零；反之，若方程 ax=b 的解是零，则 b=0 成立．
• (2)若 ab＞0 时，则方程的解是正数；反之，若方 程 ax=b 的解是正数，则 ab＞0 成立．
• (3)若 ab＜0 时，则方程的解是负数；反之，若方 程 ax=b 的解是负数，则 ab＜0 成立．
x a x 1(x 12) 3 26
有无数多个解？无解？
• 4．当 k 取何值时，关于 x 的方程 3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解； (2)负数解；(3)不大于 1 的解．
32
33
20
• 例 9 、若 abc=1，解方程
2ax 2bx 2cx 1 aba1bcb1cac1
21
• 解： 因为 abc=1，所以原方程可变形为
2ax
2 bx 2cx 1
abaabc bcb1cac1
2(b 1)x 2cx 1 bc b 1 ca c 1
2(b 1)x 2cx 1 bc b abc ca c 1
• 解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知 数的系数，得出方程的解．
3
• 一元一次方程 ax=b 的解由 a，b 的取值来确 定：
• (1) 若a≠0，则方程有唯一解； • (2)若 a=0，且 b=0，方程变为 0×x=0，则
说明： 像这种带有附加条件
2(b 1)x 2bcx b(ca c 1)
1
的方程，求解时恰当地利用 2x(b abc bc)
附加条件可使方程的求解过 程大大简化．
1 b(ca c 1)
x1
2
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• 例 10 、若 a，b，c 是正数，解方程
x ab xbc x c a 3
c
a
b
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• 解法 1 • 原方程两边乘以 abc，得到方程 • ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc． • 移项、合并同类项得 • ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)] +ac[x-
8
• 分析： 本题解题思路是从方程①中求出 x 的 值，代入方程②，求出 a 的值．
• 解：由方程①可求得 3x-5x=-6，
• 所以 x=3．由已知，x=3 也是方程②的解， 根据方程解的定义，把 x=3 代入方程②时， 应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，
• 7(a-3)-3(a-3)=18-12，
•
当m+n≠0且m≠0时，方程有唯一解
x
n m
• 当 m+n≠0，且 m=0 时，方程无解；
• 当 m+n=0 时，方程的解为一切实数．
• 说明 ：含有字母系数的方程，一定要注意字 母的取值范围．解这类方程时，需要从方程
有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行 讨论．
13
• 例 5、 解方程
14
• 分析：本题将方程中的括号去掉后产生x 项， 但整理化简后，可以消去x ，也就是说，原方 程实际上仍是一个一元一次方程．
• 所以
4a=18,
•
•
a=
9 2
9
• 例 3、 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的 解为 a+2，求方程
• 2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解．
10
• 解 ：由方程 2(x+1)=3(x-1)
•
解得
x=5．
• 由题设知 a+2=5，
• 所以
a=3．
• 于是有：
• 2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，
c
c
xbc1 xabc
a
a
xca1 xabc
b
b
设 m=a+b+c，则原方程变形为 x m x m x m 0
c ab
(x m) 1 1 1 0 cab
因为a,b,c是正数，所以x-m=0, 即x-(a+b+c)=0． 所以 x=a+b+c 为原方程的解．
说明： 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法
• 解： 按未知数 x 整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．
• 要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．
• 看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．
• 因为 k2≥0，
• 所以，只要 k＞5 或 k＜2且k≠0时，上式大于零，
• 所以，当 k＜2且k≠0 或 k＞5 时，原方程的解是正 数，所以 k＞5 或 0＜k＜2 即为所求．
(a+b+c)]=0， • 因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0． • 因为 a＞0，b＞0，c＞0， • 所以 ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0， • 即 x=a+b+c 为原方程的解．
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• 解法 2
• 将原方程右边的 3 移到左边变为-3，再拆为三个
“-1”，并注意到 x a b 1 x a b c