高等数学中常见函数的求极限的方法

高等数学中常见函数的求极限的方法

[摘要] 极限是高等数学的重要组成部分,是高等数学的理论基础,是研究变量数学的有力工具。极限的运算题目类型多,技巧性强,灵活多变,难教也难学。本文对高等数学中一元函数极限的常见求解方法进行了归纳总结,并在某些具体的求解方法中就其要注意的细节和技巧做了说明。

[关键词] 函数极限计算方法

极限是高等数学的一个重要概念。其理论的确立使微积分有了坚实的逻辑基础,使得微积分在当今科学的整个领域得以更广泛、更合理、更深刻的应用和发展,极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念,是从近似认识精确,从有限认识无限,从量变认识质变的一种数学方法。除此之外,高等数学中的某些概念,也是由极限引出,例如:导数,积分等。所以求函数的极限成为这一部分的重中之重,灵活掌握运用极限的求法是学好高等数学的基础。

函数的极限既然是微积分的一个重要内容,于是如何求出已知函数的极限,就是学习微积分必须掌握的基本技能。因此,本文对求函数的方法进行总结,并对于每种方法都是以定理或简述开头,然后以例题来全面展示具体的求法。

1 利用极限的四则运算法则来求极限

为叙述方便,我们把自变量的某个变化过程略去不写,用记号表示在某个极限过程中的极限,因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下:

定理在同一变化过程中,设,都存在,则

(1)

(2)

(3)当分母时,

有

总的说来,就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

例:求

解:

2 利用函数连续性求极限

我们知道,一切初等函数在其定义区间连续,对于初等函数,若为其定义区间内一点,则。

例:

解:在连续

在这里特别指出复合函数连续性:如果函数在点连续,而函数在点连续,且,那么复合函数在点也是连续的。其结论可改成

,也就是说,极限号可以和函数符号互换顺序,这就等于为我们求极限提供一种方法。

例:

解:

3 无穷小量分出法

适用于分子、分母同时趋于,即型未定式。

例:

分析:所给函数中,分子、分母当时的极限都不存在,所以不能直接应用法则。注意到当时,分子、分母同时趋于,首先将函数进行初等变形,即分子、分母同除的最高次幂,可将无穷小量分出来,然后再根据运算法则即可求出极限。

解:

(分子、分母同除)

意使用上述方法时,要求分子次数要小于或等于分母次数,那么当分子次数大于分母次数时怎么办呢?

例:求

分析:所给函数中分子、分母当时的极限都不存在,所以不能直接应用法则及上例方法。注意到无穷小与无穷大互为倒数关系,即在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大量,则为无穷小量。反之,如果为无穷小量,则为无穷大量。则我们可以把分子次数大于分母次数的式子转化成分子次数小于分母次数的类型解决。

解:因为

所以。

4 消去零因子法及有理化求极限

(1)消零因子:通过消公因子达到消零因子的目的,此法适用于有公因子的

例:

分析所给两个函数中,因为当时,分子、分母的极限均是0,不能直接使用极限运算法则,但当的过程中,,即,故采用消去零因子法,即对分式分子、分母分别进行因式分解,先消去趋于零的因式再应用法则取极限。

解:

(2)有理化求极限:将根式差有理化

例:

分析:求极限前先观察,此题的分子、分母都是无穷小量,所以不能直接利用极限运算法则。可将分子有理化,先后将去公因子约去,再求极限。

解:

例:

分析:求极限前先观察,此题的分子、分母都是无穷小量,所以不能直接利用极限运算法则。可将分母有理化,先后将去公因子约去,再求极限。

解:

5 利用无穷小量

性质1有限个无穷小的代数和为无穷小。

性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小。

性质3有限个无穷小的乘积为无穷小。

例:求极限

分析:因为不存在,不能直接使用运算法则,故必须先将函数进行恒等变形。

因为当时,,即是当时的无穷小,而,即是有界函数,由无穷小的性质:有界函数乘无穷小仍是无穷小,得。

类似常见的有

例:求

解:因为,,有无穷小的性质2可知,

6 无穷小的等价代换

只能做分子或分母的整体替换,或者分子、分母中的部分因式做替换。

无穷小的等价代换是计算极限时学生最容易出错的方法之一。此法的难点在于学生搞不清楚替换的原理及对象。还有就是对无穷小的等价概念不清,要注意等价是有极限条件的。

例:求极限

解:由于时,

故

注:用此方法求极限时,只有分子或分母的乘积因子才可以用等价无穷小量的代换,否则不能用等价无穷小的代换。

7 两个重要极限

(1) (2)

而我们在使用公式时并非完全套用公式,而是对其适当的变形,有人也称其为“凑”。

(1)()或者

()

(2)()

或者()

例:

解:

例:求

解:

8 洛必达法则

定理:若函数及满足以下条件:

(1),

(2)与在的某空心邻域内可导,且

(3)(可为实数,也可为或),则

此定理是对型而言,对于函数极限类型有类似的法则。并且自变量可为的情况。

注:运用洛必达法则求极限应注意以下几点:

(1)要注意条件,也就是说,在没有化为、时不可求导。

(2)应用洛必达法则,要分别求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数。

(3)要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用洛必达法则,否则会引起错误。

(4)当不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外方法。

(5)除此之外,还要注意其他几种可以化为、的类型;如:(i)型可以化为或者;(ii)型需要通分后判断;(iii),,型等等,需要运用取对数的方法,一般取即可。

例:()

解:此题为不定式,直接利用洛必达法则,得:

例:

解:运用洛必达法则两次后得到

9 变量替换