带答案对数与对数函数经典例题

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高三数学对数与对数函数试题答案及解析

高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数（其中且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .【答案】2【解析】由y＝log（x＋3）－1经过的定点为（－2，－1）a于是－2m－n＋4＝0，得2m＋n＝4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0所以＝2当且仅当m＝1，n＝2时等号成立，即的最小值为2.【考点】函数图象过定点，基本不等式(2x－1)的定义域为________________.2.函数f(x)＝log2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.计算的结果是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.4.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.5.若，则＝．【答案】【解析】∵，，∴.【考点】分段函数的函数值、三角函数值的计算、对数式的计算.6.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】∵1<e<3，则1<<e<e2<10.∴0<lg e<1.则lg＝lg e<lg e，即c<a.又0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.同时c－b＝lg e－(lg e)2＝lg e(1－2 lg e)＝lg e·lg>0.∴c>b.故应选B.7.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.8.已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．【解析】解：当a>1时，f(x)＝logax在上单调递增，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有解得a≥3.∴此时a的取值范围是a≥3.当0<a<1时，f(x)＝logax在上单调递减，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有，解得0<a≤.∴此时，a的取值范围是0<a≤.综上可知，a的取值范围是∪[3，＋∞)．9.（5分）（2011•重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C．因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=，因为（log23）2＞2，所以log23＞，所以b＞c，排除D故选B．点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．10.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.11.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.12.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，对任意实数a,b定义运算如下，所以，==，故，选B.【考点】分段函数，对数函数的性质，新定义.13.已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥14. 若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________．【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝对称，而f(x)＝log 2＋log 2|a|，从而＝，所以a ＝2.15. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值．【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.16. 设则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】B 【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D 选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.17. 函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 . 【答案】(2,2)【解析】∵log a 1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).18. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝f，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】c ＞a ＞b【解析】由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a＞b .19. 在ABC 中，若，则A=（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由，整理得，又，选C.【考点】对数及其运算，余弦定理的应用.20.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.21.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,则x1+x2=-m,x1x2=，(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=+m+1<0,即∴-m<n<-3m-2,为平面区域D,∴m<-1,n>1,因为的图像上存在区域D内的点，所以，，因为，所以，所以解得.【考点】1.函数的导数；2.对数的性质.22.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-loga （x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有 loga （2+2）＜3，且loga（6+2）≥3，解得.【考点】1.指数函数与对数函数的图象与性质；2.函数的零点与方程根的关系23.对于以下结论：①.对于是奇函数，则；②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；③.若，，则在上的投影为；④.(为自然对数的底)；⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.其中，正确结论的序号为__________________.【答案】③④⑤【解析】对①，不一定有意义，所以不正确；对②，是的充分但不必要条件；所以不正确；对③，易得在上的投影为；所以正确；对④，构造函数，则.由此可得在上单调递减，故成立；所以正确；对⑤，原函数可变为：，所以将函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位可得函数的图像.正确.【考点】1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.24.设，，，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【解析】，，，又，，，，所以，所以.【考点】对数与对数运算25.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.26.不等式的解集为_____________.【答案】【解析】原不等式等价于，解得.【考点】对数函数的定义与性质27.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．【答案】【解析】由得，且，由对数函数的特征得，所以，故.【考点】对数函数性质、基本不等式.28.已知函数．(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.试题解析：(1)∵，设，则为减函数，时，t最小值为， 2分当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分又，∴ 6分(2)令，则；∵，∴函数为减函数，又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分所以时，最小值为，此时最大值为；9分又的最大值为1，所以， 10分∴，即，所以，故这样的实数a存在． 12分【考点】1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式29.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.30.已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）的最小值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.试题解析：（1）时，由得得故的减区间为增区间为 3分（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分（3）当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当变化时，，的变化情况如下时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立【考点】1.函数的单调区间；2.函数的零点；3.函数的存在性问题31.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.【答案】【解析】函数的定义域为，则满足，即对任意实数恒成立，只要比的最大值大即可，而的最大值为，即．【考点】函数的定义域恒成立问题，学生的基本运算能力与逻辑推理能力．32.设，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】是上的增函数，又．【考点】对数值大小的比较．33.，，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】因为，，即，所以，故选C.【考点】对数的运算34.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.【考点】1.对数函数；2.一元二次不等式.35.若，则（）A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】C【解析】因为所以，而，故，又，而，故，综上，，选C.【考点】对数函数.36.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.由对数的性质知：，，。

对数和对数函数练习题(答案)

对数与对数函数同步测试一、选择题： 1．3log 9log 28的值是（） A ．32 B ．1 C ．23 D ．22．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（）A.23 B.45 D.21 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（）A ．b a b a +++12 B ．b a b a +++12 C．ba ba +-+12D ．ba ba +-+125．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则yx 的值为 ( ）A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或y =)12(log 21-x 的定义域为（）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．(21，1] D ．(－∞，1)7．已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 f (e x )=x ，则f (5)等于（）A ．e 5 B ．5e C ．ln5 D ．log 5e 9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（）A B C D10．若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（）A ．[223,2]- B ．)223,2⎡-⎣ C ．(223,2⎤-⎦D ．()223,2- O yOy O yO y11．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（） A ．}1|{>x x B ．}0|{>x x C ．}1|{-<x x D ．}11|{>-<x x x 或12．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（） A ),0(,11+∞∈+-=x e e y x xB ．),0(,11+∞∈-+=x e e y x xC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x xD ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 二、填空题： 13．计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ． 14．函数y =log 4(x －1)2(x ＜1＝的反函数为． 15．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小． 16．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为．三、解答题：17．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．18．已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围.19．已知f (x )=x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)=－2，当x ∈R 时f (x )≥2x 恒成立，求实数a 的值，并求此时f (x )的最小值?20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小。

对数函数及其性质(比较大小)经典练习及答案

[基础巩固]1．(多选)若log 2a ＜0，⎝⎛⎭⎫12b ＞1，则( )A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．b ＞0D ．b ＜0解析由log 2a ＜0得0＜a ＜1，由⎝⎛⎭⎫12b ＞1得b ＜0，所以选A 、D 项．答案 AD2．函数f (x )＝| log 12x |的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．答案 D3．(2021·新高考全国卷Ⅱ)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( ) A ．c log 2(5x －6)的解集为________．解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫65，3. 答案 ⎝⎛⎭⎫65，35．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1)，x ≥2，2x ，x ＜2，则f (log 23)＝________；不等式f (x )＞4的解集为________．解析 ∵log 23＜log 24＝2，∴f (log 23)＝＝3，不等式f (x )＞4可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，log 2(x －1)＞4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，2x ＞4. 解得x ＞17或无解．所以原不等式的解集为(17，＋∞)．答案 3 (17，＋∞)6．已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (3)－f (2)＝1.(1)若f (3m －2)<f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围；(2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －2x ＝log 3272成立的x 的值．解析因为f (3)－f (2)＝1，所以a ＝32，所以f (x )＝log 32x . (1)因为32>1，所以由f (3m －2)<f (2m ＋5)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －2>0，2m ＋5>0，3m －2<2m ＋5，所以23<m <7. (2)由f ⎝⎛⎭⎫x －2x ＝log 32 72，即log 32⎝⎛⎭⎫x －2x ＝log 3272，所以x －2x ＝72.所以x ＝－12或x ＝4. [能力提升]7．已知f (x )＝|ln x |，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫15，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (3)，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 解析因为f (x )＝|ln x |，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫15＝⎪⎪⎪⎪ln 15＝ln 5，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪ln 14＝ln 4，c ＝f (3)＝|ln 3|＝ln 3，因为y ＝ln x 是单调递增函数，所以ln 5＞ln 4＞ln 3，即a ＞b ＞c ，故选D.答案 D8．设a ＝log 132，b ＝log 23，c ＝⎝⎛⎭⎫12 0.3 ，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．解析因为a ＝log 13 2＜log 131＝0，b ＝log 23＞log 22＝1，0＜c ＝⎝⎛⎭⎫12 0.3 ＜⎝⎛⎭⎫12 0 ＝1，所以a ＜c ＜b .答案 a ＜c ＜b9．定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．解析函数y ＝|log 0.5x |的值域为[0,2]，则由0≤|log 0.5x |≤2，得14≤x ≤4，所以[a ，b ]长度的最大值为4－14＝154. 答案 15410．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解析 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4，又0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )的最小值为log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，所以a ＝4－12＝12. [探索创新]11．已知函数f (x )＝a x －1(a ＞0且a ≠1)．(1)若函数y ＝f (x )的图象经过点P (3,4)，求a 的值；(2)若f (lg a )＝100，求a 的值；(3)比较f ⎝⎛⎭⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程．解析 (1)因为函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)，所以a 3－1＝4，即a 2＝4.又a ＞0，所以a ＝2.(2)由f (lg a )＝100知，a lg a －1＝100.∴lg a lg a －1＝2(或lg a －1＝log a 100)．∴(lg a －1)·lg a ＝2.∴(lg a )2－lg a －2＝0，∴lg a ＝－1或lg a ＝2，∴a ＝110或a ＝100. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3，f (－2.1)＝a －3.1，当a ＞1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为增函数， ∵－3＞－3.1，∴a －3＞a－3.1，即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＞f (－2.1)；当0＜a ＜1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3＞－3.1，∴a －3＜a－3.1，即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＜f (－2.1)．。

高一对数与对数函数知识点+例题+练习含答案

1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数．答案 ①解析易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c 32>43，∴c 1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________．答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________．答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则01，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a b >c解析由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________．答案 (12，1)解析由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,01，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0)解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案－1解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案－1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________．答案 [1,3]解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3，所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a 0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。

高一数学对数函数经典题及详细答案

高一数学对数函数经典题及详细答案1、已知3a=2，那么log3 8-2log3 6用a表示是（）A、a-2.B、5a-2.C、3a-(1+a)。

D、3a-a2/2答案：A。

解析：由3a=2，可得a=log3 2，代入log3 8-2log3 6中得：log3 8-2log3 6=log3 2-2log3 (2×3)=3log3 2-2(log3 2+log33)=3a-2(a+1)=a-2.2、2loga(M-2N)=logaM+logaN，则M的值为（）A、N/4.B、M/4.C、(M+N)2.D、(M-N)2答案：B。

解析：2loga(M-2N)=logaM+logaNloga(M-2N)2=logaMNM-2N=MNM=4N3、已知x+y=1，x>0，y>0，且loga(1+x)=m，loga(1-y)=n，则loga y等于（）A、m+n-2.B、m-n-2.C、(m+n)/2.D、(m-n)/2答案：D。

解析：由已知可得1-x=y，代入loga(1+x)=m中得loga(2-x)=m，两式相减得loga[(2-x)/(1+x)]=m-n，化简得loga[(1-x)/x]=m-n，即loga y=m-n，所以答案为D。

4、若x1，x2是方程lg2x+(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2=0的两根，则x1x2=（）A、1/3.B、1/6.C、1/9.D、1/36答案：B。

解析：将lg2x+(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2=0化为对数形式，得：log2x+(log23+log22)logx+log32=0log2x+(log2×3+log22)logx+log3+log2=0XXXlog2x+log2xlog23+log32+log2=0log2x(1+log23)+log32+log2=0log2x=log32+log2/(1+log23)x=2log32+log2/(1+log23)x1x2=2log32+log2/(1+log23)×2log32+log2/(1+log23)2log32+log2/(1+log23)22log32+2log2/(1+log23)2log2(3/2)2/(1+log23)2log2(9/4)/(1+log23)2log29/(1+log23)2log29/(1+log2+log23)2log29/(3+log23)2log29/(3+log2+log3)2log29/(3+1+log3)2log29/(4+log3)2log29/(4+log3/log10)2log29/(4+0.4771)1/61.答案D，已知lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为16.2.答案C，已知log7[log3(log2x)]=0，则x等于2^3=8，x-1/2=2^3-1/2=15/2，x1•x2=2^3•15/2=60.3.答案C，lg12=2a+b，lg15=b-a+1，比值为(2a+b)/(1-a+b)，化简得到2a+b/(1-a+b)。

带标准答案对数与对数函数经典例题

经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4]. 类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。

高中数学对数函数经典练习题及答案(优秀4篇)

高中数学对数函数经典练习题及答案（优秀4篇）对数函数练习题篇一一、选择题1、下列函数(1)y= x (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、A 、B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点，若则( )A.t0 C.t>1 D. t≤13、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的三角形最多有( )A. 5个B.6个C.7个D.8个4、把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )A.11 D.m0的解集是( )A.x>3B.-2-29.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x轴上一点，那么a:b等于( )A. B.C. D.以上答案都不对10、函数y=kx+b，那么当y>1时，x的取值范围是：( )A、x>0B、x>2C、x212、在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(-2，4),B(4，2),直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是( )A.5B.-5C.-2D.3二、填空题13、如果直线y = -2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____.14、平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4.则m的值是。

15、直线y=kx+2经过点(1,4),则这条直线关于x轴对称的直线解析式为：。

16、已知一条直线经过点A(0，2)、点B(1，0)，将这条直线向左平移与x 轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 .17、点A的坐标为(-2，0)，点B在直线y=x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________。

18、已知三个一次函数y1=x,y2= x+1,y3=- x+5。

对数函数练习题(含答案)

对数函数练习题(含答案)对数函数一、选择题1.设a=20.3，b=0.32，c=log2 0.3，则a、b、c的大小关系是（）A。

a<b<cB。

b<c<aC。

c<b<aD。

c<a<b2.已知a=log2 0.3，b=20.1，c=0.21.3，则a、b、c的大小关系是（）A。

a<b<cB。

c<a<bC。

a<c<bD。

b<c<a3.式子2lg5+lg12-lg3=（）A。

2B。

1C。

0D。

-24.使式子log(x-1)/(x-1)有意义的x的值是（）A。

x1B。

x>1且x≠2C。

x>1D。

x≠25.函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是（）A。

[-3,1]B。

(-3,1)C。

(-∞,-3]∪[1,+∞)D。

(-∞,-3)∪(1,+∞)6.已知a＞0，且a≠1，函数y=ax2与y=loga(-x)的图像只能是图中的（）A.B.C.D.7.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是（）A。

(-∞,-2)B。

(-∞,1)C。

(1,+∞)D。

(4,+∞)8.函数f(x)=log0.5(-x2+x+2)的单调递增区间为（）A。

(-1,1)B。

(1,2)C。

(-∞,-1)∪[2,+∞)D。

前三个答案都不对二、填空题9.计算：log89×log2732-log1255=__________.10.计算：log43×log1432=__________.11.如图所示的曲线是对数函数y=logax当a取4个不同值时的图像，已知a的值分别为3、4、31、10，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次为__________.12.函数f(x)=loga(x-2)-1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点__________.13.函数y=loga(x+2)+3(a＞0，a≠1)的图像过定点__________.14.若3x/4y=36，则21/x+3/y=__________.15.已知log0.45(x+2)>log0.45(1-x)，则实数x的取值范围是__________.三、解答题16.解不等式：2loga(x-4)>loga(x-2)。

对数函数练习题及答案

对数函数练习题及答案一、选择题：1. 函数y=log_{2}x的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)2. 若log_{3}9=2，则log_{3}3的值为：A. 1B. 2C. 3D. 93. 函数y=log_{10}x的值域是：A. (-∞, 0)B. (-∞, 1]C. (0, +∞)D. R4. 以下哪个等式是正确的？A. log_{a}a=1B. log_{a}1=0C. log_{a}a^2=2D. 所有选项都正确5. 若log_{5}25=b，则b的值为：A. 2B. 5C. 25D. 125二、填空题：1. 函数y=log_{x}e的值域为______。

2. 若log_{2}8=3，则2^{3}=______。

3. 对于函数y=log_{a}x，当a>1时，函数在(0,+∞)上是______的。

4. 根据对数的定义，log_{10}100=______。

5. 若log_{4}16=2，则4^{2}=______。

三、解答题：1. 求函数y=log_{4}x的反函数，并证明其正确性。

2. 已知log_{3}27=3，求log_{9}3。

3. 证明：对于任意正数a>1，log_{a}1=0。

4. 已知log_{2}32=5，求2^{5}的值。

5. 已知函数f(x)=log_{a}x，求f(a)的值，并讨论a的取值范围。

四、应用题：1. 某工厂的产量每年以相同的比率增长，如果第一年的产量是100吨，第二年的产量是121吨，求第三年的产量。

2. 某药物的半衰期是4小时，如果初始剂量是100毫克，4小时后剩余多少？3. 某城市的人口增长率是每年2%，如果当前人口是100万，求5年后的人口。

答案：一、选择题：1. A2. A3. D4. D5. A二、填空题：1. (0, +∞)2. 83. 增4. 25. 16三、解答题：1. 反函数为x=4^y，证明略。

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对数函数练习题 (有答案 )1．函数 y ＝ log (2x － 1)(3x － 2)的定义域是 ()1221A ． 2，＋ ∞B ． 3，＋ ∞C ． 3， 1 ∪(1 ，＋ ∞)D ． 2， 1 ∪(1 ，＋ ∞)2．若集合 A ＝ { x|log 2x ＝2－x } ，且 x ∈ A ，则有 ()A ． 1＞ x 2＞ xB ． x 2＞ x ＞ 1C ． x 2＞ 1＞xD ． x ＞ 1＞x 23．若 loga 3＞ log 3＞ 0，则 a 、b 、 1 的大小关系为 ()bA ． 1＜a ＜ bB ．1 ＜ b ＜ aC ． 0 ＜ a ＜b ＜ 1D ．0 ＜ b ＜ a ＜ 144．若 log a 5＜ 1，则实数 a 的取值范围为 ()A ． a ＞1B ． 0＜ a ＜4C ． 4＜a D ． 0＜ a ＜ 4 或 a ＞15 555．已知函数 f(x)＝ log a (x － 1)(a ＞ 0 且 a ≠1)在 x ∈ (1，2) 时， f(x)＜ 0，则 f(x)是A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减6．如图所示，已知 0＜ a ＜ 1，则在同一直角坐标系中，函数－ x和 y ＝ log ay ＝ a (－ x)的图象只可能为 ( )7．函数 y ＝ f(2 x)的定义域为 [1， 2]，则函数2( )y ＝f(log x)的定义域为A ．[0， 1]B ． [1， 2]C ． [2， 4]D ． [4， 16]8．若函数 f(x)＝ log 1(x 3－ ax )上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ( )2A ．[9， 12]B ． [4， 12]C ． [4， 27]D ． [9， 27]9．函数 y ＝ a x －3＋ 3(a ＞ 0，且 a ≠1)恒过定点 __________ ．10．不等式1 10－ 3x ＜3－ 2x的解集是 _________________________ ． 3xx －x的图象． (2) 函数11． (1) 将函数 f(x)＝ 2 的图象向 ______ 平移 ________个单位，就可以得到函数g( x)＝ 2 1 |x － 1|f( x)＝ 2，使 f(x)是增区间是 _________．12．设 f(log 2x)＝ 2x ( x ＞ 0)．则 f(3) 的值为．13．已知集合 A ＝ { x|2≤ x ≤ π，x ∈ R} ．定义在集合 A 上的函数 f(x)＝ log x(0＜ a ＜ 1)的最大值比最小值大1，a则底数 a 为 __________．14．当 0＜x ＜ 1 时，函数 y ＝ log (a 2－ 3)x 的图象在 x 轴的上方，则 a 的取值范围为 ________．115．已知16．已知17．已知0＜ a＜ 1，0＜ b＜ 1，且 alog b(x－3)＜ 1，则x 的取值范围为．a＞ 1，求函数f(x) ＝log a(1－ a x)的定义域和值域．0＜ a＜ 1，b＞ 1， ab＞1，比较 log1， log a b， log1的大小．a b b b18．已知 f(x)＝ log a x 在 [2， + ∞上)恒有 |f(x)|＞ 1，求实数a 的取值范围．19．设在离海平面高度 h m 处的大气压强是x mm 水银柱高， h 与 x 之间的函数关系式为： h＝ kln x，其中 c、ck 都是常量．已知某地某天在海平面及1000 m 高空的大气压强分别是760 mm 水银柱高和675 mm 水银柱高，求大气压强是720 mm 水银柱高处的高度．20．已知关于x 的方程 log 2( x+3) － log4x2＝ a 的解在区间 (3， 4)内，求实数a 的取值范围．2参考答案：1． C 2． B 3． A 4． D 5． A 6． B 7． D 8． A9． (3,4)10． { x|_x ＜ 2}11．右， 2； (－ ∞， 1)， 12． 2562，4)13． 14． a ∈ (－2，－ 3)∪ ( 3，2)15．(3π16．解 ∵ a ＞ 1， 1－ a x ＞0，∴ a x ＜ 1，∴ x ＜ 0，即函数的定义域为 (－ ∞ ， 0)．∵ a x ＞ 0 且 a x ＜1，∴ 0＜ 1－a x ＜ 1∴ log a (1－ a x ) ＜ 0，即函数的值域是 (－∞ ，0)．17．解 ∵ 0＜ a ＜ 1， b ＞ 1，∴ log a b ＜ 0， log b 1＝－ 1， log a 1＞ 0，又 ab ＞ 1，∴ b ＞ 1＞ 1，log a b ＜log a 1＝b b a a － 1，∴ log a b ＜ log b5 1＜log a 1．b b18．解由 |f(x)|＞ 1，得 log a x ＞ 1 或 log a x ＜－ 1．由 log a x ＞ 1， x ∈ [2， +∞ 得) a ＞1，(log x)最小＝ log 2，∴ log 2＞ 1，∴ a ＜ 2，∴ 1＜ a ＜ 2；aaa由 log a x ＜－ 1， x ∈[2， + ∞ 得) 0＜ a ＜ 1， (log a x)最大＝ log a 2，∴ log a 2＜－ 1，∴ a ＞12，∴12＜ a ＜ 1．综上所述， a 的取值范围为 (1， 1 )∪ (1， 2)．219．解 ∵ h ＝ kln x，当 x ＝ 760， h ＝0，∴ c ＝760．c当 x ＝ 675 时， h ＝1 000，∴ 1 000＝ kln675＝ kln0.8907 ∴ k ＝ 1000 ＝ 1000lg e760 ln0.8907 lg0.8907 当 x ＝ 720 时， h ＝ 1000lge720＝ 1000lg e 1000lg e lg0.9473lg0.8907 ln760 lg0.8907 ·ln0.9473 ＝ lg0.8907· lg e ≈ 456 m ．∴ 大气压强为 720 mm 水银柱高处的高度为 456 m ．24 220．本质上是求函数 g(x)＝ log (x+3)－ log x x ∈ (3， 4)的值域．∵ g(x)＝ log 242＝ log 222x ＋3＝ log 21 ∈ log 25， log 24( x+3) － log x(x+3) － log x ＝ log x 1＋ x4354∴ a ∈ log 24， log 23 ．3。

对数及对数函数习题答案

1.C 要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，－4<x <1，∴－1<x <1.2.C 由|x |＝1时，y ＝0排除A 、B ；由x >0时，y ＝log2x 为增函数，排除D ，选C.3.C 当x >0时，f (x )＝0即2012x ＝－log2012x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2012x ，f 2(x )＝－log2012x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.4.B ∵0＜log32<1，∴2<2＋log32<3，∴f (2＋log32)＝f (3＋log32)＝f (log354)＝(13)log354＝154.5.D ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，当x ∈[0,2]时，－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝2x －1，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，依据其周期性和对称性，画出f (x )在(－2,6]上的图象，当y ＝log a (x ＋2)的图象与f (x )在(－2,6]上的图象恰有3个交点时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a ＋，log a ＋，∴34<a <2.6.B ∵a ＝log23.6>1，c ＝log43.6<1.∴a >c . 又∵c ＝log43.6>log43.2＝b .∴a >c >b .7.B ∵a ＝log 13 12，b ＝log 13 23， ∵y ＝log 13x 单调递减而12<23， ∴a >b 且a >0，b >0，又c <0.故c 0得x >3或x <2，由s ＝x 2－5x ＋6＝(x －52)2－14知s ＝x 2－5x ＋6在区间(3，＋∞)上是增函数，在区间 (－∞，2)上是减函数，因此函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间是(－∞，2)，选D.9. 答案：6 ∵f (22)＝log a [(22)2－1]＝log a 7＝1，∴a ＝7. 又f (2)＝log73<1，∴f (f (2))＝2×7log73＝2×3＝6.10. -1 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )．即f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2011)＋f (2012)＝f (3)＋f (0)＝f (－1)＋f (0)＝20－1－(21－1)＝－1.11. {x |x ≤0或x ≥3} f (x )≥1化为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log3x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，13x ≥1，∴x ≥3或x ≤0.12. {x |1<x <2} ∵t ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34， f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，∴0<a <1， ∴不等式log a (x －1)>0化为0<x －1<1，∴1<x <2.13. (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，得－3<x <1，所以函数的定义域为{x |－3<x <1}． f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2，所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4. 当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}，当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}．(2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得a ＝12.14. (1)由ax －1>0，得ax >1. 当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧；当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧． (2)①当a >1时，x >0，由0<x 1<x 2得，1<ax 1<ax 2，∴0<ax 1－1<ax 2－1，即ax 2－1ax 1－1>1.∴f (x 2)－f (x 1)＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1)＝log a ax 2－1ax 1－1>0. 直线AB 的斜率kAB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1>0.②当0<a <1时，由x 1<x 2<0得，ax 1>ax 2>1，f (x 2)－f (x 1)>0.同上可得kAB >0.15.D ∵x ∈(e －1,1)，∴a ＝lnx ∈(－1,0)； c ＝elnx ＝x ∈(1e ，1)； b ＝(12)lnx ∈(1,2)． ∴a<c<b. 16.C 当a>0时，log2a ＝12，所以a ＝2，当a≤0时，2a ＝12，所以a ＝－1.17. {x|－1<x≤0或x>2} 由y>1得，⎩⎪⎨⎪⎧ x≤0，3x ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log2x>1，∴－1<x≤0或x>2. 18. ①∵f(x)在R 上为奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在R 上为增函数， ∴f(1)>f(0)＝0. ∴f(1)的值恒为正数． 19. 10或110∵f(x)在[0，＋∞)上是单调函数，且为偶函数，又f(lgx)＝f(1)，∴lgx ＝±1，∴x ＝10或110.20. (1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)， ∴log4(4x ＋1)＋2kx ＝log4(4－x ＋1)－2kx ，即log44x ＋14－x ＋1＝－4kx ，∴log44x ＝－4kx ， ∴x ＝－4kx ，即(1＋4k)x ＝0，对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－14.(2)由m ＝f(x)＝log4(4x ＋1)－12x ＝log44x ＋12x ＝log4(2x ＋12x )，∵2x>0，∴2x ＋12x ≥2，∴m≥log42＝12. 故要使方程f(x)＝m 有解，m 的取值范围为[12，＋∞)． 21.∵A ＝{x|2(log2x)2－7log2x ＋3≤0}＝{x|12≤log2x≤3}＝{x|2≤x≤8}，而f(x)＝(log2x －a)(log2x －2)＝(log2x)2－(a ＋2)log2x ＋2a ，令log2x ＝t ，∵2≤x≤8，∴12≤t≤3. ∴f(x)可转化为g(t)＝t2－(a ＋2)t ＋2a ，其对称轴为直线t ＝a ＋22， ①当t ＝a ＋22≤74，即a≤32时，[g(t)]max ＝g(3)＝2⇒a ＝1，符合题意； ②当t ＝a ＋22>74，即a>32时，[g(t)]max ＝g(12)＝2⇒a ＝116，符合题意．综上，a ＝1，或a ＝116.22. (1)∵对任意x>0，y>0，都有f(xy )＝f(x)－f(y)成立，∴令x ＝y ＝1得，f(1)＝f(1)－f(1)＝0.(2)设x1>x2>0，则x1x2>1，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数． (3)∵f(6)＝1，∴f(6)＝f(366)＝f(36)－f(6)，∴f(36)＝2.∴不等式f(x ＋3)－f(1x )<2化为 ⎩⎪⎨⎪⎧f x x ＋3<f 36，x>0，x ＋3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋3<36，x>0，∴0<x<317－32. 23. (1)设f(x)在[0,1]的最大值为f(x)max ，依题意有f(x)max≤m ，∵f ′(x)＝2(1＋x)－21＋x ＝2x2＋4x 1＋x，当x ∈[0,1]时，f ′(x)≥0，故f(x)在[0,1]为增函数，f(x)max ＝f(1)＝4－2ln2，于是m≥4－2ln2，即实数m 的最小值为4－2ln2.(2)g(x)＝f(x)－x2－x ＝1＋x －2ln(1＋x)，g ′(x)＝1－21＋x ＝x －1x ＋1.当x>1时，g ′(x)>0，当－1<x<1时，g ′(x)<0，故g(x)在[0,1]上是减函数，在(1,2]上是增函数，从而g(x)在[0,2]上的极小值为g(1)＝2－2ln2＝ln e24. 1. B ∵1<e<3，∴1<e<e<e2<10， ∴0<lge<1.则lg e ＝12lge<lge ，即c<a.∵c －b ＝12lge －(lge)2＝12lge(1－2lge)＝12lge·lg 10e2>0.∴c>b ，故选B.2. A 解法1：作y ＝(12)x 的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x ＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．解法2：令x ＝0得y ＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C 、D ；又令x ＝－1得y ＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B ，故选A.3. A f(x)＝|log 12x|＝|log2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x－log2x，故选A.4. C f(－4)＝(12)－4＝16，f[f(－4)]＝f(16)＝1612＝4.5. B ∵g(x)－1≠0⇒g(x)≠1⇒x≠0，∴y ＝F(x)的定义域关于坐标原点对称．F(x)＝f(x)[2g x －1＋1]＝f(x)·g x ＋1g x －1，F(－x)＝f(－x)·g －x ＋1g －x －1＝－f(x)·1g x ＋11g x －1＝－f(x)·1＋g x 1－g x ＝f(x)·g x ＋1g x －1＝F(x)，∴y ＝F(x)是偶函数．又由于y ＝f(x)和y ＝g(x)都不是常数函数，∴f(x)不恒为0，g(x)不恒为－1，即F(x)不恒为0，所以F(x)不是奇函数，故选B.6. x ＝5 原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于y ＝log3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x ，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x 有意义，应有x>0，∴x ＝5.7. (－∞，9] ①a≤0时，x ＋ax －6能取遍一切正数，∴f(x)的值域为R ；②a>0时，要使f(x)的值域为R ，应使x ＋a x －6可以取到所有正数，故x>0时，x ＋ax －6的最小值2a －6≤0，∴0<a≤9，综上a≤9 8. C .1a1a ＝a－1－112＝a －32＝(a －32)12＝a－34.9. C. 当a －b≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b)；当a －b<0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0.10. 118 (π)0＋2－2×(214)12＝1＋122×(94)12＝1＋14×32＝118.1.C. 根据根式的性质可知C 正确．4a 4＝|a|，a 0＝1条件为a≠0，故A ，B ，D 错． 2. D. ∵(x－5)0有意义， ∴x －5≠0，即x≠5.3. C. 由y 可知y>0，又∵x 2＝|x|，∴当x<0时，x 2＝－x. 5. A. 原式＝23－610－2＋＝ 23－622－42＋22＝23－－2＝9＋62＋2＝3＋ 2.7. ∵－a≥0，∴a≤0，∴a －a ＝－－a2－a ＝－－a 3＝－(－a)32. 答案：－(－a)328. 11＋62＋11－62＝3＋22＋3－22＝3＋2＋(3－2)＝6. 答案：6 9. (3＋2)2010·(3－2)2011＝[(3＋2)(3－2)]2010·(3－2)＝12010·(3－2)＝ 3－ 2.答案：3－ 210. 原式＝(0.43)－13－1＋(24)34＋(0.52)12＝0.4－1－1＋8＋12＝52＋7＋12＝10. 12. 设a n ＝t ＞0，则t 2＝2＋1，a 3n ＋a －3n a n ＋a －n ＝t 3＋t －3t ＋t－1＝t ＋t－1t 2－1＋t －2t ＋t －1＝t 2－1＋t －2＝2＋1－1＋12＋1＝22－1.1~5 DCCAB 6~10 BDBDA 11．(][)2,112 --， [)+∞,0； 12．0； 13．1)1(log 2--=x y ； 14． )2,(--∞；15．函数的定义域为(1，p ).16．解：(1)设3x=4y=6z=t . ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴t ＞1，lg t ＞0，6lg lg ,4lg lg ,3lg lg log 3tz t y t t x==== ∴yttttxz21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-.(2)3x ＜4y ＜6z .17．解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≥+>++010122x x x 得x ∈R ，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则11lg )()(22221121++++=-x x x x x f x f . 令12++=x x t，则)1()1(22221121++-++=-x x x x t t .=)11()(222121+-++-x x x x=11))(()(2221212121++++-+-x x x x x x x x=1111)((222121222121++++++++-x x x x x x x x ∵x 1－x 2＜0，01121>++x x ，01222>++x x ，0112221>+++x x ，∴t 1－t 2＜0，∴0＜t 1＜t 2，∴1021<<t t ，∴f (x 1)－f (x 2)＜lg1=0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴ 函数f(x)在R 上是单调增函数. (4)反函数为xx y 1021102⋅-=(x R).18．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯； 2小时后，细胞总数为13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；3小时后，细胞总数为191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 4小时后，细胞总数为127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；可见，细胞总数y 与时间（小时）之间的函数关系为： 31002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈由103100102x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，∴8lg3lg 2x >-，∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--，∴45.45x >. 答：经过46小时，细胞总数超过1010个.19．解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1，则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .)441(log )2(4log 232231t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v 5,[)∞++=.541在v v 上是减函数，且10得0<x<1，所以函数)(log 2x x y a -=的定义域是(0,1) 因为0<2x x -=4141)21(2≤+--x ，所以，当0<a <1时,41log )(log 2aa x x ≥- 函数)(log 2x x y a -=的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41log a ; 当a >1时,41log )(log 2aa x x ≤- 函数)(log 2x x y a -=的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41log ,a 当0<a <1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21上是增函数；当a >1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21上是减函数.1、解 (2)∵1－log a (x ＋a)＞0，∴log a (x ＋a)＜1．当a ＞1时，0＜x ＋a ＜a ，∴函数的定义域为(－a ，0)．当0＜a ＜1时，x ＋a ＞a ，∴函数的定义域为(0，＋∞)．解(1)由≥＞≠≤＞≠≤＜或＞≠log ()()1232210322102103221132210121210122312x x x x x x x x x x x x x x x -----⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⇒----⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⇒121122312231＜≤＜或＞≠＜≤x x x x x ⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⇒∴所求定义域为＜≤ {x|23x 1}解 (3)f(x)[01]y =f[log (3x)]13∵的定义域为，，∴函数－有意义，必须满足≤－≤，即≤－≤，∴≤－≤，∴≤≤．故函数－的定义域为，．0log (3x)1log log (3x)log 13133x 12x y =f[log (3x)][2]1313131313183832、反函数的定义域为(0，1)，值域为y ∈R ． 3、 (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx 的图像关于y 轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．(2)先作出函数y=log 2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y ＝log 2|x ＋1|的图像如图2．8－4所示．单调递减区间是(－∞，－1)．单调递增区间是(－1，＋∞)．的图像，保留其在x 轴及x轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为所示．单调减区间是(－1，2]．单调增区间是[2，＋∞)．解 (4)∵函数y=log 2(－x)的图像与函数y=log 2x 的图像关于y 轴对称，故可先作y=log 2(－x)的图像，再把y ＝log 2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log 2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．单调递减区间是(－∞，1)．4、解 C ，根据同类函数图像的比较，任取一个x ＞1的值，易得b ＞a ＞1＞d ＞c ．故选C ．5、解法一令y 1=log a x ，y 2=log b x ，∵log a x ＞log b 3，即取x ＝3时，y 1＞y 2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当log a 3＞log b 3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b ＞a ＞1．(2)当0＞log a 3＞log b 3时，由图像2．8－9，得0＜a ＜b ＜1． (3)当log a 3＞0＞log b 3时，由图像2．8－10，得a ＞1＞b ＞0．解 y =10y 1y =10(1y)10=y 10=y1y00y 1x xx x 已知函数的定义域为，∵∴≠，由得－，∴＞＜＜，即为函数的值域．R 110110++-⇒x x 由得，即反函数．10=y 1y x =lg y 1y f (x)=lg x 1xx 1----解 (3)y =log x 1y =log (x 1)1212把的图像向右平移个单位得到－对称轴翻折到轴上方，就得到－的图像．如图．－x y =|log (x 1)|28512解法二由换底公式，化成同底的对数．∵函数y=log 3x 为增函数，∴b ＞a ＞1． ∵函数y=log 3x 为增函数，∴0＜a ＜b ．即a ＞1＞b ＞0．6、7、解法一 :求差比大小．|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|∴|log a (1－x)|＞|log a (1＋x)|解法二求商比较大小=|log (1+x )(1－x)|=－log 1+x (1－x)∵(1＋x ＞1，而0＜1－x ＜1)∴|log a (1－x)|＞|log a (1＋x)|8、解法一已知函数的定义域为R ，则－x ∈R当＞＞时，得＞＞，∴＞＞，log 3log 300log b log a 0a b 331133log log a b当＜＜时，得＜＜，∴＞＞，log 3log 3000log b log a b a 331133log log b a当＞＞时，得＞＞∴＞＞，log 30log 30 log a 0log b a b 331133log log a b解 a b a 1011log a b 0log ba00log a 1log b 1a b a 1a 1log log a 1log log log a log b 2a b b a 2b b a b b a ∵＞＞＞，∴＜＜，＞，∴＜，＞，＜＜，＞．由＞＞＞得＞＞∴＜＜，故得：＜＜＜．a b b a b a b aa b ba=|lg(1x)lga |--+=--+|lg()lg ||lg |(|lg()||lg()|1111x aa x x =1|lga|(lg(1x)lg(1x) (01x 111x)=lg(1x )02－－－＋∵＜－＜＜＋＋－·－＞1|lg |a |log ()||log ()||log ()log ()|a a a a x x x x 1111-+=-+∴原式＞＋=log =log log (1x)=1(1+x)(1+x)(1+x)11112-+-x xx∴f(x)是奇函数．解法二已知函数的定义域为R=log a 1=0 ∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．9、 (1)法一 f(x)在(0，1)上是增函数．设任取两个值x 1，x 2∈(0，1)，且x 1＜x 2．(∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 1x 2＜x 2－x 1x 2)． ∴f(x 1)＜f(x 2)故f(x)在(0，1)上是增函数．(2)解由对数函数性质，知a x －1＞0，即a x ＞1，于是，当0＜a ＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，当a ＞1时，定义域为(0，＋∞)．当0＜a ＜1时，u ＝a x －1在(－∞，0)上是减函数，而y=log a u 也是减函数，∴y=log a (a x －1)在(－∞，0)上是增函数．当a ＞1时，u ＝a x －1在(0，＋∞)上是增函数，而y=log a u 也是增函数，∴y ＝log a (a x －1)在(0，＋∞)上是增函数．综上所述，函数y=log a (a x －1)在其定义域上是增函数． 10、f(x)=log (1+x x)=log a 2a－－()()111222+-++++x x x x x x=log =log =log a aa 1111122222+-++++-++=-x x x x x xx x f x ()()由＋－＋＋－f(x)f(x)=log (1+x x)log(1+x x)=log 1+x 1+x a 22a 22[()()]+-x x ∵－－＜f(x )f(x )=log log =log =log x log x x =01222222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1122112221221112121212111111----=------log ()()方法二 u =x 1x 令-=---111x ∵－在，上是增函数，又∵＞，在，u =1(01)u 0y =log u (0211x -＋∞上是增函数，∴＝在，上是增函数．)f(x)log (01)2x x 1-解 (1)log x =3log y =log x a a a2由已知，得＋，∴－3log log log a a a x y x-3log x 3=(log x )a a 2＋－＋．3234减函数．＋∞)上是减函数．1~5 ADBCB 6~10 CDCBA 11~12 AB 13.，14.y=1－2x (x ∈R)， 15. (lgm)0.9≤(lg m)0.8，16.17.先求函数定义域：由2－ax ＞0，得ax ＜2，又a 是对数的底数，∴a ＞0且a ≠1，∴x ＜由递减区间[0，1]应在定义域内可得＞1，∴a ＜2，又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数 ∴y=log a (2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1，∴1＜a ＜218、解：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：解得a ＜－1或a ＞，又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意．所以a 的取值范围是：(－∞，－1]∪(，＋∞) 19、由f(－1)=－2 ，得：f(－1)=1－(lga ＋2)＋lgb=－2，解之lga －lgb=1，∴=10，a=10b ．又由x ∈R ，f(x )≥2x 恒成立．知：x 2＋(lga ＋2)x ＋lgb ≥2x ，即x 2＋xlga ＋lgb ≥0，对x ∈R 恒成立，由Δ=lg 2a －4lgb ≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb ≤0，即(lgb －1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立．即b=10，∴a=100．∴f(x)=x 2＋4x ＋1=(2＋x)2－3，当x=－2时，f(x) min =－3． 20. 法一：作差法:|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|=||－||=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|) ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＜1＋x ∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x 2) 由0＜x ＜1，得，lg(1－x 2)＜0，∴－·lg(1－x 2)＞0， ∴|log a (1－x)|＞|log a (1＋x)| 法二：作商法:=|log (1－x)(1＋x)|∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＋x ，∴|log (1－x)(1＋x)|=－log (1－x)(1＋x)=log (1－x) 由0＜x ＜1，∴1＋x ＞1，0＜1－x 2＜1 ∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴＞1－x ＞0 ∵＜＜，∴关于为减函数．即有最大值时，0a 1log y y y log y a a 24有最小值log 24a∴当时，，log x =3log =34a a 224∴，，得，．a x =a a =14x =183432=24解R (2)t =log x x 0t t =log x (0)1212设，则＞，∈，且是，＋∞上的f(t)=t 3t 2(][)2－－－是－∞，－上的增函数，是－，＋∞上的3232减函数．－时，t =x =2232∴函数－－－在，上是增函数，在，f(x)=log x 3log x 2(022]12212[22又∵－＋＋，∴值域是－∞，．f(x)=(t )(]32141422138425≤≤y a2a2⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-0)1(4)1(01222a a a 3535baa x lg )1lg(-a x lg )1lg(+|lg |1a |lg |1a |lg |1a |lg |1a |)1(log ||)1(log |x x a a -+x+11x+11∴0＜log (1－x)＜log (1－x)(1－x)=1 ∴|log a (1－x)|＞|log a (1＋x)| 法三：平方后比较大小:∵log a 2(1－x)－log a 2(1＋x)=[log a (1－x)＋log a (1＋x)][log a (1－x)－log a (1＋x)] =log a (1－x 2)·log a=·lg(1－x 2)·lg ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1，0＜＜1∴lg(1－x 2)＜0，lg ＜0 ∴log a 2(1－x)＞log a 2(1＋x)，即|log a (1－x)|＞|log a (1＋x)|解法四：分类讨论去掉绝对值:当a ＞1时，|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|=－log a (1－x)－log a (1＋x)=－log a (1－x 2) ∵0＜1－x ＜1＜1＋x ，∴0＜1－x 2＜1 ∴log a (1－x 2)＜0，∴－log a (1－x 2)＞0 当0＜a ＜1时，由0＜x ＜1，则有log a (1－x)＞0，log a (1＋x)＜0∴|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|=|log a (1－x)＋log a (1＋x)|=log a (1－x 2)＞0 ∴当a ＞0且a ≠1时，总有|log a (1－x)|＞|log a (1＋x)| 21.(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1) (2)设1＞x 2＞x 1∵a ＞1，∴，于是a －＜a －则log a (a －a )＜log a (a －)即f(x 2)＜f(x 1)∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数(3)证明：令y=log a (a －a x )(x ＜1)，则a －a x =a y ，x=log a (a －a y ) ∴f －1(x)=log a (a －a x )(x ＜1)故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=log a (a －a x )(x ＜1＝图象关于y=x 对称．22.解析：根据已知条件，A 、B 、C 三点坐标分别为(a ，log 2a)，(a ＋1，log 2(a ＋1))，(a ＋2，log 2(a ＋2))，则△ABC 的面积 S=因为,所以x+11x x +-11|lg |12a xx +-11x x +-11xx+-1112x x a a>2x a 1x a 2x a 1xa )]2(log [log 2)]2(log )1([log 2)]1(log [log 222222++-++++++a a a a a a 222)]2([)1)(2(log 21+++=a a a a a )2()1(log 2122++=a a a a a a a 212log 21222+++=)211(log 2122a a ++=1≥a 34log 21)311(log 2122max =+=S。

对数与对数函数习题及答案

对数和对数函数习题一、选择题1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（）（A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2 2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则NM的值为（）（A ）41（B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,logaya n xlog ,11则=-等于（）（A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）21(m-n)4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（）（A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ）351 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 21-等于（）（A ）31（B ）321 （C ）221 （D ）331 6．函数y=lg （112-+x）的图像关于（）（A ）x 轴对称（B ）y 轴对称（C ）原点对称（D ）直线y=x 对称 7．函数y=log 2x-123-x 的定义域是（）（A ）（32，1）⋃（1，+∞）（B ）（21，1）⋃（1，+∞）（C ）（32，+∞）（D ）（21，+∞）8．函数y=log 21(x 2-6x+17)的值域是（）（A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3）（D ）[3，+∞] 9．函数y=log 21(2x 2-3x+1)的递减区间为（）（A ）（1，+∞）（B ）（-∞，43］（C ）（21，+∞）（D ）（-∞，21］ 10．函数y=(21)2x +1+2,(x<0)的反函数为（）（A ）y=-)2(1log )2(21>--x x （B ）)2(1log )2(21>--x x（C ）y=-)252(1log )2(21<<--x x （D ）y=-)252(1log )2(21<<--x x11.若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（）（A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0<n<m<1 （D ）0<m<n<112.log a132<，则a 的取值范围是（）（A ）（0，32）⋃（1，+∞）（B ）（32，+∞）（C ）（1,32）（D ）（0，32）⋃（32，+∞）14.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（）（A ）y=log 21(x+1) （B ）y=log 212-x （C ）y=log 2x 1（D ）y=log 21(x 2-4x+5) 15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（）（A ）y=2x x e e -+ （B ）y=lg xx+-11 （C ）y=-x 3 （D ）y=x16.已知函数y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（）（A ）（0，1）（B ）（1，2）（C ）（0，2）（D ）[2，+∞) 17．已知g(x)=log a 1+x (a>0且a ≠1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a1+x 是（）（A ）在（-∞，0）上的增函数（B ）在（-∞，0）上的减函数（C ）在（-∞，-1）上的增函数（D ）在（-∞，-1）上的减函数 18．若0<a<1,b>1,则M=a b ，N=log b a,p=b a 的大小是（）（A ）M<N<P （B ）N<M<P （C ）P<M<N （D ）P<N<M 二、填空题1．若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n = 。

高二数学对数与对数函数试题答案及解析

高二数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义，满足解得．【考点】求函数的定义域．2.求值：．【答案】【解析】，故填.【考点】对数的运算性质.3.已知且，则（）A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4【答案】D【解析】因为，所以，而，所以由基本不等式（）可得即，也就是，故选D.【考点】1.对数的运算；2.基本不等式.4.已知函数A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于函数故答案为D.【考点】函数的解析式点评：主要是考查了函数解析式的求解运用，属于基础题。

(6x－9)＝3.5. (1)计算：；(2)解方程：log3【答案】(1) 4.(2)x＝2是原方程的解．【解析】(1)原式＝＋(lg5)0＋＝＋1＋＝4.(6x－9)＝3得(2)由方程log36x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.经检验，x＝2是原方程的解．【考点】指数、对数运算，简单对数方程。

点评：中档题，简单对数方程，往往转化成同底数的对数相等，有时需要利用换元法进一步转化。

解对数方程时，要注意检验。

6.设为x,y正实数，且2x+5y=20,求的最大值。

【答案】当时，取最大值，最大值为1.【解析】当且仅当，即：时取等号。

当时，取最大值，最大值为1.【考点】对数运算法则，均值定理的应用。

点评：中档题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”。

7.已知直线y＝a与函数及函数的图象分别相交于A,B两点，则【答案】【解析】由得，，则；由得：，则，所以。

【考点】对数函数、指数函数点评：涉及到对数函数和指数函数的题目，常要用到这两种函数的性质及运算。

8.。

【答案】2【解析】【考点】本题考查了对数的运算点评：熟练掌握对数的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题9.若，则的值为（）A．6B．3C．D．【答案】A【解析】解：由得，所以。

10.. (本小题满分12分)已知函数.(1)若函数在处取得极值,且曲线在点处的切线与直线平行,求和的值;(2)若,试讨论函数的单调性.【答案】（1）；（2）当时，函数在上是增函数；当时，函数在上为减函数，在上是增函数.【解析】第一问考查函数的切线与直线平行。

9、对数与对数函数(含答案)

9对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作□01x＝log a N，其中□02a叫做对数的底数，□03N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①a log aN＝□01N(a>0，且a≠1)；②log a a N＝□02N(a＞0，且a≠1)；③零和负数没有对数．(2)对数的运算法则(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)①log a(M·N)＝□03log a M＋log a N；②log a MN＝□04logaM－logaN；③log a M n＝□05n log a M(n∈R)．(3)对数的换底公式log a b＝log c blog c a(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．3．对数函数的图象与性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数□01y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y＝x对称．5.对数运算的一般思路(1)转化：①利用a b＝N⇔b＝log a N(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化．②利用换底公式化为同底数的对数运算．(2)恒等式：关注log a1＝0，log a a N＝N，a log aN＝N的应用．.(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．如举例说明3.(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．6．对数函数图象的特征（1）底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0<a<1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a 1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．8．比较对数值大小的方法若底数相同，真数不同：若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同：可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同：常借助1,0等中间量进行比较9．求解对数不等式的两种类型及方法类型方法：形如log a x >log a b借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如log a x >b需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解10．解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．练习一1．(1)若MN＞0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.( )(2)若a，b均大于零且不等于1，则log a b＝1log b a.( )(3)函数y＝log a x2与函数y＝2log a x是相等函数．( )(4)若M＞N＞0，则log a M＞log a N.( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若log m n·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是________．答案①②③④⑤解析lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n·log3m＝log3nlog3m·log3m＝log3n＝2，故n＝9，故⑤正确．3．计算log29×log34＋2log510＋log50.25等于( )A．0 B．2 C．4 D．6 答案 D解析log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×log24log23＋log5(102×0.25)＝4＋2＝6.4．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于( )A.10 B．10 C．20 D．100 答案 A解析由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝log m2＋log m5＝log m10＝2，所以m＝10.5．已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.答案－3解析设x>0，则－x<0.∵当x<0时，f(x)＝－e ax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln 2)＝e－a ln 2＝(e ln 2)－a＝2－a.又f(ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.6．设35x＝49，若用含x的式子表示log535，则log535＝________.答案2 2－x解析因为35x＝49，所以x＝log3549＝log549log535＝2log57log535＝2log5355log535＝2log535－1log535，解得log535＝22－x.7．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝－log b x的图象可能是( )答案 B解析因为lg a＋lg b＝0，所以lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝1a，故g(x)＝－log b x＝－log 1ax＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知，B正确．8．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．答案(0,1)解析由图象可知0<a<1<b<10，又|lg a|＝|lg b|＝c，所以lg a＝－c，lg b＝c，即lg a＝－lg b，lg a＋lg b＝0，所以ab＝1，于是abc＝c，而0<c<1.故abc的取值范围是(0,1)．9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析若a >0，则log 2a >log 12a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12(－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，所以－1<a <0.综上知，实数a 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 10．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6≥4. 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不符合题意．故a ∈(1,2]．11．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案－14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.12．若实数a 满足log a 23＞1＞log 14a ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，23答案 A解析由log a23>1>log 14a ，得⎩⎪⎨⎪⎧log a23>1， ①log 14a <1， ②由①得，当a >1时，a <23，此时a ∈∅；当0<a <1时，a >23，则23<a <1.由②得，a >14.因此23<a <1.13.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A. 14．已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)上单调递增 B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称答案 C解析f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴A，B错误．∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴D错误．故选C.15．已知函数y＝log a(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________.答案－1解析函数y＝log a(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点A(2,0)，因为点A在函数f(x)＝2x＋b的图象上，所以22＋b＝0，所以b＝－4.f(x)＝2x－4.所以f(log23)＝2log23－4＝3－4＝－1.16．已知函数y＝log a x(2≤x≤4)的最大值比最小值大1，则a的值为________．答案2或1 2解析①当a>1时，y＝log a x在[2,4]上为增函数．由已知得log a4－log a2＝1，所以log a2＝1，所以a＝2.②当0<a<1时，y＝log a x在[2,4]上为减函数．由已知得log a2－log a4＝1，所以log a 12＝1，所以a＝12.综上可知，a的值为2或1 2 .17．若函数f(x)＝log a(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则a的取值范围是________．答案(0,1)∪[2，＋∞)解析当0＜a＜1时，函数f(x)＝log a(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，当a＞1时，若函数f(x)＝log a(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则x2－ax＋1≤0有解，所以Δ＝a2－4≥0，解得a≥2，综上可知，a的取值范围是(0,1)∪[2，＋∞)．。

带标准答案对数与对数函数经典例题.docx

带标准答案对数与对数函数经典例题.docx经典例题透析类型⼀、指数式与对数式互化及其应⽤1．将下列指数式与对数式互化：(1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6).思路点拨：运⽤对数的定义进⾏互化 .解： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，⽽对数形式和指数形式的互化⼜是解决问题的重要⼿段 .举⼀反三：【变式 1】求下列各式中x 的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利⽤指数幂的运算性质求出x.解： (1)；(2)；(3)10x=100=10 2，于是 x=2 ；(4) 由.类型⼆、利⽤对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举⼀反三：【变式 1】求的值(a，b，c∈ R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进⾏运算.解：.类型三、积、商、幂的对数(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解： (1) 原式 =lg3 2=2lg3=2b(2) 原式 =lg2 6=6lg2=6a(3) 原式 =lg2+lg3=a+b(4) 原式 =lg2 2+lg3=2a+b(5) 原式 =1-lg2=1-a(6) 原式 =lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举⼀反三：【变式 1】求值(1)(2)lg2 · lg50+(lg5) 2 (3)lg25+lg2 · lg50+(lg2) 2解：(1)(2)原式 =lg2(1+lg5)+(lg5) 2 =lg2+lg2lg5+(lg5) 2 =lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式 =2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2) 2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式 2】已知 3a=5b=c，，求c的值.解：由 3a=c 得：同理可得.【变式 3】设 a、 b、 c 为正数，且满⾜a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式 4】已知： a2+b2=7ab， a>0， b>0. 求证：.证明：∵ a2+b 2=7ab，∴ a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴ lg(a+b)2=lg(9ab) ，∵ a>0， b>0 ，∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运⽤4．(1) 已知 log x y=a，⽤ a 表⽰；(2)已知 log a x=m ， log b x=n ， log c x=p，求 log abc x.解： (1)原式 =；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底 .⽅法⼀： a m=x ， b n=x ， c p=x∴，∴；⽅法⼆：.举⼀反三：【变式 1】求值： (1)； (2)； (3).解：(1)(2)；(3)法⼀：法⼆：.总结升华：运⽤换底公式时，理论上换成以⼤于0 不为 1 任意数为底均可，但具体到每⼀个题，⼀般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10 为底的常⽤对数也可.类型五、对数运算法则的应⽤5．求值(1)log 89· log2732(2)(3)(4)(log 2 125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)解： (1)原式 =.(2)原式 =(3)原式 =(4)原式 =(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)举⼀反三：【变式 1】求值：解：另解：设=m (m>0). ∴，∴，∴，∴ lg2=lgm ，∴ 2=m，即.【变式 2】已知： log 23=a， log37=b ，求： log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其⽅法与⼀般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本⾝的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作⽤.6.求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0 ， 4-x>0 ，解出不等式就可求出定义域.解： (1)因为 x2>0 ，即 x≠ 0，所以函数；(2)因为 4-x>0 ，即 x<4 ，所以函数.举⼀反三：【变式1】求下列函数的定义域 .(1) y=(2) y=ln(a x-k· 2x)(a>0 且 a11， k?R).解： (1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，) (，2).(2)因为 a x-k· 2x>0，所以 ( )x>k.[1]当 k≤ 0 时，定义域为 R；[2]当 k>0 时，(i) 若 a>2，则函数定义域为(k， +∞ )；(ii) 若 0(iii)若 a=2，则当 0【变式 2】函数 y=f(2 x)的定义域为 [-1 ，1] ，求 y=f(log 2x)的定义域 .思路点拨：由 -1≤ x≤1，可得 y=f(x) 的定义域为 [，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx ， y=lg(-x) ， y=-lgx ； (2) y=lg|x| ； (3) y=-1+lgx.解： (1) 如图 (1) ； (2) 如图 (2)； (3)如图 (3).类型⼋、对数函数的单调性及其应⽤利⽤函数的单调性可以：①⽐较⼤⼩；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：⼀是牢固掌握对数函数的单调性；⼆是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树⽴定义域优先的观念.8.⽐较下列各组数中的两个值⼤⼩：(1)log 23.4， log 28.5(2)log 0.31.8， log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0 且 a≠ 1)思路点拨：由数形结合的⽅法或利⽤函数的单调性来完成.(1) 解法 1：画出对数函数 y=log 2x 的图象，横坐标为 3.4 的点在横坐标为 8.5 的点的下⽅，所以， log23.4解法 2：由函数 y=log 2x 在 R+上是单调增函数，且 3.4<8.5 ，所以 log23.4解法 3：直接⽤计算器计算得：log23.4≈ 1.8， log28.5≈ 3.1，所以 log 23.4(2) 与第 (1)⼩题类似， log 0.3+上是单调减函数，且 1.8<2.7，所以 log0.31.8>log0.32.7；x 在 R(3) 注：底数是常数，但要分类讨论 a 的范围，再由函数单调性判断⼤⼩.解法 1：当 a>1 时， y=log a x 在 (0， +∞ )上是增函数，且 5.1<5.9 ，所以， log a5.1当 0log a5.9解法 2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断⼤⼩，令 b1=log a5.1，则，令 b2=log a5.9，则当 a>1 时， y=a x在 R 上是增函数，且 5.1<5.9所以， b1当 0所以， b1>b2，即.【变式 1】（ 2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同⼀坐标系下作出三个函数图像，由图像可得⼜∵为单调递增函数，∴故选 C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题⽬的在于让学⽣熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利⽤对函数单调性⽐较同底数对数⼤⼩的⽅法 .证明：设，且x1⼜∵ y=log 2x 在上是增函数即 f(x 1)∴函数 f(x)=log 2(x2+1) 在上是增函数.举⼀反三：【变式 1】已知 f(log a(a>0 且 a≠ 1)，试判断函数f(x) 的单调性 .x)=解：设 t=log a+， t∈ R).当 a>1 时， t=log a 1 212x(x ∈ R x 为增函数，若t∵01，∴ f(t 1)当 01 或 0解：设 t=-x 2+2x+3 ，则 t=-(x-1) 2+4.∵ y=t 为减函数，且0∴ y≥=-2，即函数的值域为[-2， +∞.再由：函数y=(-x2+2x+3) 的定义域为 -x2+2x+3>0 ，即 -1∴ t=-x 2+2x+3 在-1， 1）上递增⽽在[1， 3)上递减，⽽y=t 为减函数 .∴函数 y=(-x2+2x+3) 的减区间为 (-1 ，1)，增区间为 [1， 3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1) 思路点拨：⾸先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进⾏.解：由所以函数的定义域为：(-1 ，1)关于原点对称⼜所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利⽤对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，⽽应注意对数式的恒等变形.(2) 解：由所以函数的定义域为R 关于原点对称⼜即 f(-x)=-f(x) ；所以函数.类型⼗、对数函数性质的综合应⽤12．已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1).(1) 若函数 f(x) 的定义域为R，求实数 a 的取值范围； (2) 若函数 f(x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围 .思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相⽐，本题属⾮常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x) 的定义域为 R，即关于x 的不等式 ax2 +2x+1>0 的解集为 R，这是不等式中的常规问题 .f(x) 的值域为 R 与 ax2+2x+1 恒为正值是不等价的，因为这⾥要求f(x) 取遍⼀切实数，即要求 u=ax2+2x+1 取遍⼀切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使 u 能取遍⼀切正数的条件是.解： (1)f(x) 的定义域为R，即：关于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集为 R，当a=0 时，此不等式变为 2x+1>0 ，其解集不是 R；当 a≠ 0 时，有a>1.∴ a 的取值范围为a>1.(2)f(x) 的值域为R，即 u=ax2+2x+1 能取遍⼀切正数a=0 或0≤ a≤ 1，∴ a 的取值范围为0≤a≤ 1.13．已知函数 h(x)=2 x(x∈ R)，它的反函数记作g(x) ，A 、 B、 C 三点在函数g(x) 的图象上，它们的横坐标分别为 a，a+4，a+8(a>1) ，记 ABC 的⾯积为 S.(1) 求 S=f(a) 的表达式； (2) 求函数 f(a) 的值域；(3) 判断函数 S=f(a) 的单调性，并予以证明；(4) 若 S>2，求 a 的取值范围 .解： (1) 依题意有 g(x)=log 2x(x>0).并且 A 、B 、C 三点的坐标分别为A(a ， log2 a)， B(a+4 ， log 2(a+4)) ，C(a+8， log2(a+8)) (a>1) ，如图 .∴A ， C 中点 D 的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴ S=|BD|· 4· 2=4|BD|=4log 2(a+4)-2log 2a-2log2(a+8).(2)把 S=f(a) 变形得： S=f(a)=2 〔 2log 2(a+4)-log 2a-log 2(a+8) 〕 =2log 2=2log 2(1+).由于 a>1 时， a2+8a>9，∴ 1<1+<，⼜函数y=log2x在(0，+∞ )上是增函数，∴ 0<2log 2(1+)<2log 2，即0(3)S=f(a) 在定义域 (1， +∞ )上是减函数，证明如下：任取a1， a2，使 1(1+)-(1+)=16()=16 ·，由 a1>1， a2>1，且 a2>a1，∴a1+a2+8>0 ，+8a2>0 ，+8a1>0， a1-a2<0，∴ 1<1+<1+，再由函数 y=log 2x 在 (0， +∞)上是增函数，于是可得 f(a1)>f(a 2)∴S=f(a) 在 (1， +∞ )上是减函数 .(4)由 S>2，即得，解之可得：1。

对数函数练习题(有答案)

对数函数【1】练习题(有答案)1．函数y ＝log (2x －1)(3x －2)的定义域是( )A ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫23，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 2．若集合A ＝{ x |log 2x ＝2－x }，且 x ∈A ，则有( )A ．1＞x 2＞xB ．x 2＞x ＞1C ．x 2＞1＞xD ．x ＞1＞x 23．若log a 3＞log b 3＞0，则 a 、b 、1的大小关系为( )A ．1＜a ＜bB ．1 ＜b ＜aC ．0 ＜a ＜b ＜1D ．0 ＜b ＜a ＜1 4．若log a 45＜1，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜45 C ．45＜a D ．0＜a ＜45或a ＞1 5．已知函数f (x )＝log a (x －1)(a ＞0且 a ≠1)在x ∈(1，2)时，f (x )＜0，则f (x )是A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减6．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象只可能为( )7．函数y ＝f (2x )的定义域为[1，2]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为 ( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[2，4]D ．[4，16]8．若函数f(x)＝log12()x3－ax 上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27] 9．函数y ＝a x －3＋3(a ＞0，且a ≠1)恒过定点__________．10．不等式⎝⎛⎭⎫1310－3x＜3－2x 的解集是_________________________． 11．(1)将函数f (x )＝2x 的图象向______平移________个单位，就可以得到函数g (x )＝2x－x 的图象．(2)函数，使f (x )是增区间是_________． 12．设 f (log 2x )＝2x (x ＞0)．则f (3)的值为．13．已知集合A ＝{x |2≤x ≤π，x ∈R}．定义在集合A 上的函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的最大值比最小值大1，则底数a 为__________．14．当0＜x ＜1时，函数y ＝log (a2－3)x 的图象在x 轴的上方，则a 的取值范围为________． 15．已知 0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a logb(x －3)＜1，则 x 的取值范围为． 16．已知 a ＞1，求函数 f (x )＝log a (1－a x )的定义域和值域．17．已知 0＜a ＜1，b ＞1，ab ＞1，比较log a 1b ，log a b ，log b 1b的大小．18．已知f (x )＝log a x 在[2，+ ∞ )上恒有|f (x )|＞1，求实数a 的取值范围．19．设在离海平面高度h m 处的大气压强是x mm 水银柱高，h 与x 之间的函数关系式为：h ＝k ln x c，其中c 、k 都是常量．已知某地某天在海平面及1000 m 高空的大气压强分别是760 mm 水银柱高和675 mm 水银柱高，求大气压强是720 mm 水银柱高处的高度．20．已知关于x 的方程log 2(x +3)－log 4x 2＝a 的解在区间(3，4)内，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C2．B3．A4．D 5．A 6．B 7．D 8．A9．(3,4) 10．{x |_x ＜2} 11．右，2；(－∞，1)， 12．25613．2π14．a ∈(－2，－3)∪(3，2) 15．(3，4) 16．解 ∵ a ＞1，1－a x ＞0，∴ a x ＜1，∴ x ＜0，即函数的定义域为(－∞ ，0)．∵ a x ＞0且a x ＜1，∴ 0＜1－a x ＜1 ∴log a (1－a x )＜0，即函数的值域是(－∞ ，0)．17．解 ∵ 0＜a ＜1，b ＞1，∴ log a b ＜0，log b 1b ＝－1，log a 1b ＞0，又ab ＞1，∴ b ＞1a ＞1，log a b ＜log a 1a＝－1，∴ log a b ＜log b51b ＜log a 1b． 18．解由|f (x )|＞1，得log a x ＞1或log a x ＜－1．由log a x ＞1，x ∈[2，+∞ )得 a ＞1，(log a x )最小＝log a 2，∴ log a 2＞1，∴ a ＜2，∴ 1＜a ＜2；由log a x ＜－1，x ∈[2，+ ∞ )得 0＜a ＜1，(log a x )最大＝log a 2，∴ log a 2＜－1，∴ a ＞12， ∴12＜a ＜1．综上所述，a 的取值范围为(12，1 )∪(1，2)． 19．解 ∵ h ＝k ln x c，当 x ＝760，h ＝0，∴ c ＝760．当x ＝675时，h ＝1 000，∴ 1 000＝k ln 675760＝k ln0.8907 ∴ k ＝1000ln0.8907＝1000lge lg0.8907当x ＝720时，h ＝1000lge lg0.8907ln 720760＝1000lge lg0.8907·ln0.9473＝1000lge lg0.8907·lg0.9473lge≈456 m ． ∴ 大气压强为720 mm 水银柱高处的高度为456 m ．20．本质上是求函数g (x )＝log 2(x +3)－log 4x 2x ∈(3，4)的值域．∵g (x )＝log 2(x +3)－log 4x 2＝log 2(x +3)－log 2x ＝log 2＝log 2∈∴a ∈．。

高三数学对数与对数函数试题答案及解析

高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.设命题函数的定义域为;命题对一切的实数恒成立,如果命题“”为假命题,求实数的取值范围.【答案】a≤2．【解析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假p，q至少有一个为假命题，故其反面为：p，q都为真命题；先求出p，q都为真命题时实数k的取值范围，再求其在实集上的补集就是所求实数k的取值范围．试题解析：要使函数的定义域为R，则不等式对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为-x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．记，∴要使3x-9x＜a对一切的实数x恒成立，则a＞，即q：a＞．要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．【考点】复合命题的真假．2.函数y＝(x2－4x＋3)的单调递增区间为()A．(3，＋∞)B．(－∞，1)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.∴函数y＝(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．3.函数y＝的定义域为________．【答案】(－2,8]【解析】由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤lg 10，则，解得－2<x≤8，故函数y＝的定义域为(－2,8]．4.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.5.（5分）（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍．【答案】6，10000【解析】根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴．故答案耿：6，10000．点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．6.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则 ()A．a<c1,0<log54<1,0<log53<1，所以(log53)2<log53<log54，所以b<a<c，选D.7.函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选C．8.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.9.定义“正对数”：现有四个命题:①若，则;②若，则;③若，则;④若，则．其中的真命题有．(写出所有真命题的编号)【答案】①③④【解析】对于①:当时，有，此时;当时，有，此时;当时，有，此时，而综合知①正确对于②:令，则，而，故不成立，②错误对于③:当时，有，或，或验证知: 成立;当时，有，或，或，验证知:成立;当时，成立，故③正确对于④:分四种情况讨论:当时，不妨令，有此时成立;同理，当或或时，成立，故④正确综合知①③④正确10.如果函数的图像过点，则________.【答案】1【解析】依题意得.所以.【考点】1.函数的知识.2.数列的求和公式.3.极限的运算.11..【答案】2【解析】由对数运算法则得：.【考点】对数运算.12.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求函数f(x)的值域．【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0]【解析】(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝lg(1－x2)＋x4－2x2，设t＝1－x2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．所以y＝lg(1－x2)＋x4－2x2＝lgt＋(t2－1)，t∈(0，1]，设0<t1<t2≤1，则lgt1<lgt2，<，所以lgt1＋(－1)<lgt2＋(－1)，所以函数y＝lgt＋(t2－1)在t∈(0，1]上为增函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．13.设a是实数，讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实数解的个数．【答案】两个【解析】原方程等价于方程组即在同一坐标系下作直线y＝a 与抛物线y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图象，由图可知，当1<a≤3或a＝时，原方程只有一个实数解；当3<a< 时，原方程有两个不同的实数解．14.求下列各式的值．(1)log535＋2－log5－log514；(2)log2×log3×log5.【答案】（1）2（2）－12 【解析】(1)原式＝log 5＋2＝log 553－1＝2.(2)原式＝＝－12.15. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．【答案】【解析】左边＝log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a＝log a (m ＋n)，∴已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m 、n 为正整数，∴解得16. 若点(a,b)在y=lgx 的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( )A ．(,b)B ．(10a,1-b)C ．(,b+1)D ．(a 2,2b)【答案】D【解析】∵点(a,b)在函数y=lgx 的图象上, ∴b=lga,则2b=2lga=lga 2,故点(a 2,2b)也在函数y=lgx 的图象上.17. 已知实数a,b 满足等式2a =3b ,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中可能成立的关系式有( ) A ．①②③ B ．①②⑤ C ．①③⑤ D ．③④⑤【答案】B【解析】设2a =3b =k, 则a=log 2k,b=log 3k.在同一直角坐标系中分别画出函数y=log 2x,y=log 3x 的图象如图所示,由图象知:a<b<0或0<b<a 或a=b.18. 已知函数f(x)=|log 2x|,正实数m,n 满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2,则m,n 的值分别为( )A ．,2B ．,4C ．,D ．,4【答案】A【解析】f(x)=|log2x|=则函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, 又m<n且f(m)=f(n),则0<m<1,n>1,∴0<m2<m<1,∴f(m2)>f(m)=f(n),即函数f(x)在区间[m2,n]上的最大值为f(m2).由题意知f(m2)=2,即-log2m2=2,∴m=,由f(m)=f(n)得-log2=log2n,∴n=2.19.已知函数，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数，所以，，所以=，选A.【考点】分段函数，对数运算，指数运算.20.已知，不等式成立，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，，所以恒成立，须恒成立.所以，故答案为.【考点】绝对值的几何意义，对数函数的性质.21.已知函数.（1）若，当时，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，当时，，故，当然求反函数还要求出反函数的定义域即原函数的值域；（3）可转化为，这样利用对数函数的性质得，变成了整式不等式，问题转化为不等式在区间上有解，而这个问题通常采用分离参数法，转化为求相应函数的值域或最值．试题解析：（1）原不等式可化为 1分所以，， 1分得 2分（2）因为是奇函数，所以，得 1分当时，2分此时，，所以 2分（3）由题意， 1分即 1分所以不等式在区间上有解，即 3分所以实数的取值范围为 1分【考点】(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式有解问题．22.______________.【答案】【解析】.故填.本题关键是对数的基本运算.同底的对数的加减运算，运算法则是底数不变真数相乘或相除.结合对数的性质及可得结论.【考点】1.对数的性质.2.对数的加减运算.23.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.24.关于的不等式（为实常数）的解集为，则关于的不等式的解集为 .【答案】【解析】，则.由题意得：不等式的解为.所以，不等式即为，.【考点】1、一元二次不等式、指数不等式及对数不等式的解法；2、韦达定理.25.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】解得：.【考点】求函数的定义域26.的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】1、对数的性质及求值；2、三角函数的恒等变换及化简求值.27.给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】①在区间上，，是减函数，，是增函数，错误；②如图在第一象限，底数越大，函数的图像越高，∴，正确；③函数的图像向右平移一个单位，得到的图像，对称中心为（1,0），正确；④或或或，正确.【考点】幂函数，对数函数，指数函数的图像与性质.28.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，且，.【考点】指数与对数运算29.已知数列满足，且，则的值是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由可以推出，数列是以3为公比的等比数列，故，故.【考点】等比数列性质和对数运算.30.已知函数.（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；（2）用定义证明函数在上是增函数；（3）如果当时，函数的值域是，求与的值.【答案】．解：（1），函数是奇函数.（2）设、算、证、结（3），【解析】思路分析：（1）由，求得计算知函数是奇函数.另证：对任意0，（2）利用“定义”“设、算、证、结”。

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