带答案对数与对数函数经典例题

带答案对数与对数函数经典例题

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+l g5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.

解：由3a=c得：

同理可得

.

【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：

.

证明：

.

【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：

.

证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，

∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

即.

类型四、换底公式的运用

4．(1)已知log x y=a，用a表示；

(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.

解：(1)原式=；

(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.

方法一：a m=x，b n=x，c p=x

∴，

∴；

方法二：.

举一反三：

【变式1】求值：(1)；(2)；

(3).

解：

(1)

(2)；

(3)法一：

法二：.

总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.

类型五、对数运算法则的应用

5．求值

(1) log89·log2732

(2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解：(1)原式=.

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

举一反三：

【变式1】求值：

解：

另解：设=m (m>0).∴，

∴，∴，

∴lg2=lgm，∴2=m，即.

【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?

解：∵∴，

类型六、函数的定义域、值域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与

一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.

6. 求下列函数的定义域：

(1)；(2).

思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.

解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；

(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数

.

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域.

(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).

解：(1)因为，所以，

所以函数的定义域为(1，)(，2).

(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.

[1]当k≤0时，定义域为R；

[2]当k>0时，

(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；

(ii)若0

(iii)若a=2，则当0

为.

【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.

思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，

再由≤log 2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].

类型七、函数图象问题

7．作出下列函数的图象：

(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.

解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).

类型八、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.

8. 比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log23.4，log28.5

(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.

(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，

所以，log23.4

解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.

解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，