向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关

1.线性组合

设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k

k a k a k a a a a k ⎛⎫

⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。这

样的表示是有好处的。 2.线性表示

设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+

则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k

b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。因此，b 可

由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k

a a a

b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解

当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。 3.向量组等价

设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由

12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：

(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。

(3) 传递性 若向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，则向量组I 与III 等价。 证明：

自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。 设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅，向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅，向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅。向量组II 可由III 线性表示，假设1t

j kj k k b y c ==∑，1,2,,j s =⋅⋅⋅。向量组I 可由向

量组II 线性表示，假设1

s

i ji j j a x b ==∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅。因此，

1

1

1

1

1

()s s t t s

i ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅

因此，向量组I 可由向量组III 线性表示。

向量组II 可由I 线性表示，III 可由II 线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III 可由I 线性表示。

因此，向量组I 与III 等价。结论成立！ 4.线性相关与线性无关

设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得

11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=

则称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，否则，称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。

按照线性表示的矩阵记法，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组

1212(,,,)0t t k k

a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭

有非零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<。12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，即

1212(,,,)0t t k k

a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭

只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=。

特别的，若t n =，则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=，当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠。

例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =，线性无关即0a ≠。因为，若a 线性相关，则存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =。而若0a =，由于10a a ⋅==，10≠因此，a 线性相关。

例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若,a b 线性相关，则存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=。12,k k 不全为零，不妨假设10k ≠，则2

1

k a b k =-

，故,a b 平行，即对应分量成比例。如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=，则0a b λ-=，于是,a b 线性相关。

例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪

=∈ ⎪ ⎪⎝⎭

都可以由其线性表示，且表示

方法唯一。事实上，

121233100010001x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

5.线性相关与无关的性质