第一课寻找最速降线

yˆ))]
dx

0,
E0
由于 的任意性,得到
d dx
(
f y ( yˆ,
yˆ))
f y ( yˆ,
yˆ)

0
上式乘以 yˆ 可化为
d dx
[
yˆf
y
(
yˆ,
yˆ)

f
( yˆ,
yˆ)]
0
也就是说 yˆ 满足方程
yf y ( y, y) f ( y, y) C1
显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点
何时越过l ？
如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1
别为O,D, A1,A2 到l的距离分别
a
1
Dl
为a, b, OD =c, 质点经过l于C
O
Ca
OC=x 那么质点由A1到A2需时
间
x2 a2 (c x)2
t

v1
v2
2
A2
dt
x
cx
dx u x2 a2 v (c x)2 b2
从而
1 x C(t 2 sin 2t) C1
由x=0时,y=0,且注意 t
[0,
2
],
故C2
=
0,
于是令


2t
x R( sin ), y R(1 cos ) (旋轮线)
由 x=c,y=H 得到 H( sin ) c(1 cos ) 求出根 0 再确定 R
cx
B为(c,H),将带状区域0< y <H yk-1
用平行于x 轴的直线y=yk=kH/n yk 把这区域分成n个带状小区域
B
在带状域yk-1<y<yk ,可近似认为 y
vk 2gyk
而曲线段近似认为是直线段,其长度
于是质点从A到B所需时间近似
为
n
T
(xi xi1)2 yi
i 1
下滑，依能量守恒律，可近似
a
k
认为质点在每层内的速度不
变，于是依辅助结论知
sin k sin k1
ak
B
vk
vk 1
+1
y
由于上式对任何k成立，
故导出
sin k
vk
C1（常数）
令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线
上任何一点
A
cx
sin
v
C1（常数）
其中a为该点切线与铅垂
这里
f ( y, y)
1
2g
1 y2 y

f y
1 2g
代入方程且化简,得到
y(1 y2 ) C
y y(1 y2 )
解方程 y(1 y2) C
令 y’ = cott , 那么由方程导出
又因
y csc2 t C y C sin2 t
dy ydx 2C sin t costdt cot tdx dx 2C sin2 tdt
下降所需时间
计算弧微分
ds (dx)2 (dy)2 x2 y2
R2 (1 cos )2 R2 sin2 d R 2(1 cos )
从而下降时间
T
T
dt
S ds
0 R
2(1 cos )d
0
0v 0
2gy

T 0 0
线 的夹角 由于 v 2gy
a
B
y
其中y=y(x)为曲线函数，又因
y cot,
于是得到 最速降线的方程：
sin 1
1 wenku.baidu.com2
1 y(1
y2 )
C2

y(1 y2 ) C
另一种方法－变分法 A
cx
设曲线为 y y(x), (x[0,c])
满足 y(0)=0, y(c)=H 在曲线上P(x,y）处质点速度为
v 2gy
B
又设从A到P的弧长为s,则 y
ds 1 y2 dx
1 y2 dx
v
dt
dt
dt
2gy
从而质点沿曲线由A到B需时间
1 c 1 y2
T T ( y) 2g 0
dx y
设集合 E {y(x) y C1[0,c], y(0) 0, y(c) H} 那么我们的问题成为
惟一驻点满足
也即
x cx u x2 a2 v (c x)2 b2
sin 1 sin 2
v1
v2
A1 a
1
Dl
O
Ca
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
建立数学模型
分析；如图建坐标系，若用与x 轴平行的直线将
AB 分割成小段, 考虑在第k
层与k+1层质点在曲线上的 A
cx
R d
g
Rg 0
实验任务
1. 给定c和H,试用近似方法求出最速降线的曲线
和下降时间,再确定参数方程中的常数R(和 0 ) 后得到曲线和时间,将两种结果比较.
2. 在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从
A 到B的曲线,使得这曲线绕l旋转所得的旋转面 的面积最小 3. 伽利略做过著名的单摆实验:长度l的单摆的摆动 周期与振幅无关, 试分析情况是否如此? 4. 如果将坐标系的y轴向下,作出旋轮线,设质点从 线上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所
需时间
精品课件！
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5. 圆柱面方程为
x2 z2 1 ( y 0)
用曲线连接面上A(0,0,1),B(a,b,c)两点,求使得 AB弧长最短的曲线(短程线)
求某个 yˆ E,使得
T ( yˆ) min T ( y) yE
引进集合 E0 {(x) C1[0,c],(0) 0,(c) 0} 显然若 yˆ(x) 是最速曲线函数,则
yˆ(x) (x) E, R , E0
于是函数 F() T(yˆ ) 在 0 取得最小值
c

F(0)
[
0
f y ( yˆ,
yˆ)

f y ( yˆ,
yˆ)]dx
注意第二项
c
0 f y ( yˆ, yˆ)dx
f
y
(
yˆ,
yˆ)
c 0

c 0
d dx
[
f
y
(
yˆ,
yˆ)]dx
于是导出
c [
0
f
y
(
yˆ,
yˆ)

d dx
(
f
y
(
yˆ,
数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝 库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的 关系并立着,而且随着科学的每一成功进展, 我们会不断发现直线真理之间的新的接触点.
── C.F.Guass
数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的 人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的 人有益.
── R.C.Buck
问题
vi
(xi xi1)2 (yi )2
(n -1元函数!)
求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解(为简单 计,取g In[=1]:1= 000cm/s2)
Out[1]:=
In[3]:=
10 8 6 4 2
1
2
3
4
5
In[4]:= Graphics
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？
故得
dF 0
d 0
为了计算F (0) ,记
f ( y, y) 1 1 y2 2g y
那么对
F
()

c
0
f
(
yˆ

,
yˆ

)dx
依复合函数求导法
c
F()
[
0
f y ( yˆ
,
yˆ )

f y ( yˆ
,
yˆ )]dx
1696年John Bernoulli向他的兄弟和其他 数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:
一质量为m的质点，在重力作用下从定点A
沿曲线下滑到定点B， 试确定一条曲线，使得质 A
点由A到B下滑时间最短.
假定B比A低，不计摩擦力
和其他阻力等因素.
B
问题导致数学新分支的产生.
近似方法
如图建立坐标系,设A为原点, A xk-1 xk