空间几何体的外接球内切球问题

Ｐ Ｄ

S Ｃ

A

Ｏ

空间几何体的外接球、内切球问题

自己总结供参考 红岩

外接球问题

一.棱锥的外接球

三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。 1.确定棱锥外接球球心的通法

先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。 练习：

1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。

3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，

6=BD ，则该球的表面积为 （ ）

A ． π14 B.π15 C.π16 D.π18

2.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。 练习：

1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥

O ABC -外接球的表面积为（ ）

A ．26a π

B ．29a π

C ．212a π

D ．224a π

2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==

，

BC =O 表面积等于

（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π

3.

,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )

A.3π

B.4π

D.6π

4.

3.公共边所对的两个角为直角确定球心法 练习

1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角

B A

C

D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.125

3π

2.空间四边形ABCD

中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为

4.利用轴截面截球为大圆确定球半径

正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：

1.正四棱锥S ABCD -

S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .

2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1

S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .

3.

表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

_ C

_ A

_ O

_ D _ B

A．

3

B．

1

3

π C．

2

3

π D

二.棱柱的外接球

底面有外接圆的直棱柱才有外接球。确定棱柱外接球球心的通法

直棱柱才可能有外接球。先找到棱柱两个底面的外接圆的圆心P、D，取PD 的中点 O，点O即为外接球的球心。

1．已知三棱柱

111

6.3

ABC A B C O AB AC

-==

的个顶点都在球的球面上若，

,

AB AC

⊥

1

12

AA O

=，则球的半径为

A．

2

B．C．

13

2

D．

2.直三棱柱

111

ABC A B C

-的各顶点都在同一球面上，

1

2

AB AC AA

===, 120

BAC

∠=︒

，则此球的表面积等于。

3.正三棱柱

111

ABC A B C

-内接于半径为2的球，若,A B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为．

4.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

9

8

，底面周长为３，则这个球的体积为 .

三.棱台外接球

棱台上下底面的有外接圆的圆心O、

1

O，且O

1

O垂直于底面的棱台才有外

接球。先找到棱台上下底面的外接圆的圆心O

1

O，（O

1

O

直线O

1

O上为G，再根据BG=

1

GB，确定点G。

练习：

1.正三棱台1

1

1C

B

A

ABC-,4

1

1

=

B

A,1

=

AB,2

1

=

AA,求正三棱台1

1

1C

B

A

ABC-外接

球的表面积及体积。

A1

2.正四棱台1111D ABC A B C D -,411=B A ,1=AB ,14AA =, 求正正四棱1111

D ABC A B C D -外接球的表面积及体积它的表面积及体积。

四.圆锥、圆柱、圆台的外接球 利用轴截面截球为大圆法半径

圆锥、圆柱、圆台都有外接球。圆锥、圆柱、圆台的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径.

练习：

1.圆锥的底面面积是π9，它的外接球半径为5,则圆锥的体积是_______。

2.圆台的上下底面面积分别是π9、π16，它的外接球半径为5,则圆台的表面积是_______。

3.在圆柱1OO 中,1=OB ,2=CB ,它的它的外接球的体积是____。

4.圆台的上底面面积分别是π4、，圆台的母线为2，轴截面图形的一角为 60， 则它的外接球表面积是_______。

内切球问题

一.棱锥的内切球

三棱锥都有内切球。若棱锥有内切球，则求棱锥的内切球半径方法：

1.体积法，所求半径的3倍为棱锥的体积除以棱锥所有面的面积和。

2.轴截面法：利用轴截面截球为大圆求半径

练习

1. 正四面体棱长为2，则它的外接球的表面积是 ；内切球的体积