对于一类任意性存在性问题的研究

对于一类任意性存在性问题的研究

1，[][]1212min min ,,,,()()()()x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>

2，[][]1212max max ,,,,()()()()x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈<⇔<

3，[][]{}{}

1212,,,,()()()()x a b x c d f x g x y

y f x y y g x ∀∈∃∈=⇔=⊆=∣∣ 4，[][]1212min max ,,,,()()()()x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>

5，[][]1212max min ,,,,()()()()x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∈>⇔>

6，[][]1212min max ,,,,()()()()x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∈<⇔< 7，[][]{}{}

1212,,,,()()()()x a b x c d f x g x y

y f x y y g x ∃∈∈=⇔=⋂=≠∅∣∣ 8，[]000min ,,()()F()()()0F()0x a b f x g x x f x g x x ∀∈>⇔=->⇔>恒成立 9，[]0000,000max ,,()()F()()()0F()0x a b f x g x x x f x g x x ∃∈>⇔∃=->⇔> 10，[]000,,()()()()x a b f x g x y f x g x ∃∈=⇔=与y=的图像有交点

例1，设函数f （x ）=xe kx （k ≠0），

（1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；

（2）讨论函数f （x ）的单调性；

（3）设g （x ）=x 2﹣2bx+4，当k=1时，若对任意x 1∈R ，存在x 2∈[1，2]，使f （x 1）≥g （x 2），求实数b 取值范围．

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数在闭区间上的最值；利用导数研究函数的单调性．

专题：

综合题；导数的综合应用． 分析： （

1）f ′（x ）=（1+kx ）e kx ，由f （0）=0，且f ′（0）=1，能求出曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程．

（2）令f ′（x ）=（1+kx ）e kx ＞0，所以1+kx ＞0，由此利用k 的符号进行分类讨论，能求出f （x ）的单调性．

（3）当k=1时，f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，所以对任意x 1∈R ，有f （x 1）≥f （﹣1）=﹣，已知存在x 2∈[1，2]，使f （x 1）≥g （x 2），所以﹣≥g （x 2），x 2∈[1，2]，由此能求出实数b 取值范围．

解答： 解：（1）f ′（x ）=（1+kx ）e kx ，

因为f （0）=0，且f ′（0）=1，

所以曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为：y=x ．（4分）

（2）令f ′（x ）=（1+kx ）e kx ＞0，所以1+kx ＞0，

当k＞0时，x＞﹣，

此时f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增；

当k＜0时，x＜﹣，

此时f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减．（8分）

（3）当k=1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，

所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（﹣1）=﹣，

又已知存在x2∈[1，2]，

使f（x1）≥g（x2），所以﹣≥g（x2），x2∈[1，2]，

即存在x∈[1，2]，使g（x）=x2﹣2bx+4≤﹣，

即2b≥x+，

即因为当x∈[1，2]，x+∈[4+，5+]，

所以2b≥4+，即实数b取值范围是b≥．（14分）

点评：本题考查切线方程的求法，考查函数单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答．

例2，

已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．

（1）求f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的x1∈[，2]，总存在唯一的x2∈[，e]（e为自然对数的底），使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

专题：综合题；导数的综合应用．

分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1处取到极值2，可得f′（1）=0，f（1）=2，由此可求f（x）的解析式；

（2）确定f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，从而可得f（x）的值域；依题意，记，从而可得，再分类

讨论，确定g（x）在M上单调性，即可求a取值范围．

解答：

解：（1）…（2分）

∵f（x）在x=1处取到极值2，∴f′（1）=0，f（1）=2

∴，解得m=4，n=1，

故…（5分）

（2）由（1）知，故f（x）在上单调递

增，在（1，2）上单调递减，

由，故f（x）的值域为…（7分）

依题意，记，

∵x∈M

∴

（ⅰ）当时，g'（x）≤0，g（x）在M上单调递减，

依题意由，得，…（8分）

（ⅱ）当时，e＞当时，g′（x）＜0，当

时，g′（x）＞0

依题意得：或，解得，…（10分）（ⅲ）当a＞e2时，，此时g′（x）＞0，g（x）在M上单调递增，依题意得，即，此不等式组无解…（11分）．