第六章图与网络分析习题及参考答案案

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第六章图与网络分析

e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图为连通图. 树图(简称树Tree)：无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等都能表达成一个树图。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当弧ek以点i为尾其中 bik 1, 当弧ek以点i为头 0, 否则

图与网络分析

end;
例 1 中 1 到 7 点的最短路是 1-2-5-7
查伴随矩阵 E 的第一行
1234567
10020255 19
hw
小结
• 最短路有广泛的应用 (P176案例) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向
图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比Dijkstra算法效率高，且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短路是 P算法 • 两点间k-最短路：分为边不相交的和边相交的求边不相交的k-最短路非常容易：先求最短路，将该最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最短路，以此类推
hw
6.1.4 链，圈，路径，回路，连通图
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉回路
定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 6.1.4 连通图，子图，成分
• 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1，则 G2 是 G1 的子图
• 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component)
线表示实体间的关联
A
A D
C
C
D
B
B
2
hw
6.1 图与网络的基本概念
6.1.1图与网络 • 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示

运筹学第六章图与网络分析

S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条链，称这样的图为连通图。（10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。（11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在回路总长的一半，若超过，则调整连线，改走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5

第6章图与网络分析

子图
子图：设Ｇ1＝｛Ｖ1，Ｅ1｝Ｇ2＝｛Ｖ2，Ｅ2｝如果Ｖ1 V2，又Ｅ1 E2,则称Ｇ1 为 G2 的子图。真子图：若 V1 V2, E1 E2 即 G1 中不包含 G2 中所有的顶点和边，则称 G1 是 G2 的真子图。部分图：若 V1=V2, E1 E2,即Ｇ1 中不包含 G2 中所有的边，则称 G1 是 G2 的一个部分图。支撑子图：若 G1 是 G2 的部分图，且 G1 是连通图，则称 G1 是 G2 的支撑子图。
1

2018/10/10
无向图

由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V＝(v1， v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集合，并且 ei 是一个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2018/10/10
24 8 v4 10 6 8 10
v5 11 v7 20 v6
12
图的矩阵表示：关联矩阵
在图 G＝(V，E)中，V＝(v1，v2,…….vP)，E＝{e1，e2，……eq}。构造一个矩阵 A=(aij)P×q，其中
1，当点i与边j关联 aij 0, 否则
A 为 G 的关联矩阵。右图的关联矩阵为： e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 1 1 0 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 0 v3 0 1 0 1 1 0 v4 0 0 1 0 0 1 v5 0 0 0 0 1 1
2018/10/10
a2
v1 a6
a3 v3 a7 a8 v5
9
a5 a9
环、多重弧、简单有向图

数据结构第六章图练习题及答案详细解析(精华版)

图1. 填空题⑴ 设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。

【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1)【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。

⑵ 任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。

【解答】其自身⑶ 图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。

【解答】邻接矩阵，邻接表【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。

⑷ 已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。

【解答】Ｏ(n+e)【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。

⑸ 已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。

【解答】求第j列的所有元素之和⑹ 有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。

【解答】出度⑺ 图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。

【解答】前序，栈，层序，队列⑻ 对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal 算法求最小生成树的时间复杂度为（）。

【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e)【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。

⑼ 如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。

【解答】回路⑽ 在一个有向图中，若存在弧、、，则在其拓扑序列中，顶点vi, vj, vk的相对次序为（）。

【解答】vi, vj, vk【分析】对由顶点vi, vj, vk组成的图进行拓扑排序。

第六章图与网络分析概论

45
N={n1，n2，n3，n4，n5}是一个无向图的
3
点的集合）
G的边集合：E={eij}且eij={ni,nj}为无序二元组 eij的端点：有eij={ni,nj}，则称ni和nj为
eij的端点，且称eij 连接点 ni和nj 环：两个端点重合为一点的边（例如右图中的e11）重边：两个端点都相同的边。
d(n3)=1 d(n4)=2 d(n5)=？d(n2)= d+(n2)+ d-(n2)=1+1=2
4 主要结论
定理6.1.2图G=(N, E) (或G=(N, A))为任意图, |N|=n,，|E|=m(或|A|=m)，则
n
d (ni ) 2m
i 1
定理6.1.3 有向图G=(N,A), |N|=n,，|A|=m，则
帷幄之中
运筹
决胜
千里之外
运筹学
第6章图与网络分析
➢图与子图 ➢图的连通性 ➢树与支撑树 ➢最小树问题 ➢最短有向路 ➢最大流问题
问题1(哥尼斯堡七桥问题1736年):
Pregel河横穿Königsberg城，河上建有七座桥，能否设计散步路线，走过所有七座桥，每座桥恰好经过一次而回到同一地点？
一个图G=(N,E),一般记|N|=n,|E|=m.
1 无向图基本概念
完全图每一对点之间均有一条边相连的图
二分图 G=(N,E) 存在的一个二分划(S,T)，使得G的每条边有一个端点在S中，另一个端点在T中
完全二分图 G=(S,T,E) S中的每个点与T中的每个点
都相连的简单二分图
简单图G的补图与G有相同顶点集合的简单图，且图中的两个点相邻当且仅当它们在G中不相邻

第6章图与网络分析

第八章图与网络分析教学内容：图与网络的基本知识、最短路问题、最大流问题。

教学重点：图与网络、最短路问题及算法、最大流问题及算法。

瑞士数学家欧拉（E.Euler）在1736年发表了一篇题为“依据几何位置的解题方法”的认文，有效地解决了哥尼斯堡七桥问题，这是有记载的第一篇图论论文，欧拉被告公认为图论的创始人。

18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷.格尔河）。

河上有七座桥连结着河的两岸和河中的两座小鸟，如图8-1所示。

当时那里的人热衷于这样的游戏：一个游者怎样才能一次连续走过这七座桥而每座桥只走一次，回到原出发点。

没有人想出这种走法，又无法说明走法不存在，这就是著名的“七桥”难题。

欧拉将这个问题归结为如图8-2所示的问题。

他用A，B，C，D四点表示河的两岸和小鸟，用两点间的联线表示桥。

七桥问题变为：从A，B，C，D任一点出发，能否通过每条边一次且仅一次，再回到该点？欧拉证明了这样的走法是不存在的，并给出了这类是不存在的，并给出了这类问题的一般结论。

1857年，英国数学家哈密顿（Hamilton）发明了一种游戏，他用了一个实心正12面体象征地球，正12面体的20个顶点分别表示世界上20座名城，要求游戏者从任一城市出发，寻找一条可经由每个城市一次且仅一次再回到原出发点的路，这就是“环球旅行”问题。

如图示8-3所示。

它与七桥面问题不同，前者要在图中找一条经过每边一次且仅一次的路，通称欧拉问题，而后者是要在图中找一条经过每个点一次且仅一次的路，通称为哈密尔顿回路。

哈密尔顿根据这个问题的特点，给出了一种解法。

如图8-4粗箭线所示。

在这一时期，还有许多诸如迷宫问题、博弈问题以及棋盘上马的行走路线之类的游戏难题，吸引了许多学者。

这些看起来似乎无足轻重的游戏却引出了许多有实用意义的新问题，开辟了图论这门新学科。

运筹学中的“中国邮路问题”：一个邮递员从邮局出发要走遍他负责的每条街道去送信，问应如何选择适当的路线可使所走的总路线最短。

第六章物流运筹学——图与网络分析.

L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的。
Dijkstra算法
算法的基本步骤：（1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。（2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容量网络为 G (V , E, C , B) 。所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时，称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链

运筹学第六章图与网络分析(ppt文档)

§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之间多于一条边，则称为多重边。
D 8 64 5 0 15
E 7 53 4 1 0 6
T 14 11 9 10 5 6 0
i
dir（1）
r
drj（1）
j
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距离矩阵 D（3）= dij（3）
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 13
dir（0）
r i
drj（0）
j
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距离矩阵 D（2）= dij（2）
其中
dij（2）=
min
r
{
dir（1）+
drj（1）}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 14
A 2 0 2 3 6 5 11
B 4 20 1 43 9 D（2）= C 4 3 1 0 5 4 10
2. 破圈法：
⑴ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， ⑵ 重复，至图中不存在任何的圈为止。
2. 破圈法
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin=14

图与网络分析试题及答案

图与网络分析试题及答案一、填空题1．图的最基本要素是点、点与点之间构成的边2．在图论中，通常用点表示，用边或有向边表示研究对象，以及研究对象之间具有特定关系。

3．在图论中，通常用点表示研究对象，用边或有向边表示研究对象之间具有某种特定的关系。

4．在图论中，图是反映研究对象_之间_特定关系的一种工具。

5．任一树中的边数必定是它的点数减1。

6．最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接所有结点，而且连接的总长度最小。

7．最小树的算法关键是把最近的未接_结点连接到那些已接结点上去。

8．求最短路问题的计算方法是从0≤f ij≤c ij开始逐步推算的，在推算过程中需要不断标记平衡和最短路线。

二、单选题1、关于图论中图的概念，以下叙述(B)正确。

A图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。

B图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。

C图中任意两点之间必有边。

D图的边数必定等于点数减1。

2．关于树的概念，以下叙述(B)正确。

A树中的点数等于边数减1 B连通无圈的图必定是树C含n个点的树是唯一的D任一树中，去掉一条边仍为树。

3．一个连通图中的最小树(B)，其权(A)。

A是唯一确定的 B可能不唯一 C可能不存在 D一定有多个。

4．关于最大流量问题，以下叙述(D)正确。

A一个容量网络的最大流是唯一确定的B达到最大流的方案是唯一的C当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案D当最大流方案不唯一时，得到的最大流量亦可能不相同。

5．图论中的图，以下叙述(C)不正确。

A．图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。

B．图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。

C．图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。

D．图论中的图，可以改变点与点的相互位置。

只要不改变点与点的连接关系。

6．关于最小树，以下叙述(B)正确。

A．最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B．最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图C．一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D．一个网络的最小树一般是不唯一的。

运筹学第6章图与网络分析

2020/7/14
A
C
D
B
哥尼斯堡七空桥
2020/7/14
A
C B
D
一笔画问题
哈密尔顿（Hamilton）回路是十九世纪英国数学家哈密顿提出，给出一个正12 面体图形，共有20个顶点表示20个城市，要求从某个城市出发沿着棱线寻找一条经过每个城市一次而且仅一次，最后回到原处的周游世界线路（并不要求经过每条边）。
其链长为 n ，其中 v0 ，vn 分别称为链的起点和终点。若链中所含的边均不相同，则称此链为简单链；所含的点均不相同的链称为初等链 , 也称通路。
v2
e1
v1
e2
e3
v3
e4
v4
e5 e7
e9
e8
v6
e10
e6
v5
11、图中任意两点之间均至少有一条通路，则称此图为连通图，否则称为不连通图。
3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，记作
D=(V, A)，其中V 表示有向图D 的点集合，A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧，记作(vi , vj)。
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }，
v2
A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
合
E构成{ek的} 二元组，记为G =(V，E)，其中 V 中的
元素叫做顶点v j ，V 表示图 G 的点集合；E 中的元素
叫做边，Ee表k 示图 G 的边集合。
例
v1
V v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6
E { e 1 ， e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 ,e 7 ,e 8 ,e 9 ,e 1 } 0e10

运筹学基础及应用(第五版),(第六章图与网络分析)

树枝总长最小的部分树，称为该图的最小部分树(也称最小支
撑树)。
定理1. 图中任一个点 i ，若 j 是与 i 相邻点中距离最近的，则边 [ i , j ] 一定包含在该图的最小部分树中。
给图中的点和边赋以具体的含义和权值，我们称这样的
图为网络图（赋权图）
2020/3/27
6
图中的点用 v 表示，边用 e 表示，对每条边可用它所
联结的点表示，如图，则有：
e1 = [v1 , v1]，
e2 = [v1 , v2]或e2= [v2 , v1]
2020/3/27
用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生活中的某些特定对象之间的特定关系。通常用点表示研究对象,用点与点之间的线表示研究对象之间的特定关系。一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上是不同的。
§2．树图和最小部分树
树图（简称树，记作 T(V, E)）是无圈的连通图。（无圈，无多重边）
一. 树的性质
性质1. 任何树中必存在次为1 的点。
次为1的点称为悬挂点，与之关联的边称为悬挂边。性质2. 具有 n 个顶点的树恰有（n-1）条边。
性质3. 任何具有n 个点、(n - 1)条边连通图是树。
A D
C B
2020/3/27
3
为了寻找答案，1736年欧拉把陆地缩为一点，把桥作为连接点的边，将这个问题抽象成图形的一笔画问题。即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点。欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。

第六章图与网络分析习题及参考答案案