9.2随机时间序列模型
随机时间序列分析
参数模型
参数模型是指通过已知的参数来描述 时间序列的统计特性，如AR模型、 MA模型和ARMA模型等。
非参数模型
非参数模型是指通过数据本身来描述 时间序列的统计特性，如滑动平均模 型和自回归积分滑动模型等。
04 随机时间序列分析的方法 与技术
参数估计与模型选择
参数估计
利用已知数据估计模型中的未知参数，常用方法包括最小二乘法、极大似然估计法等。
的问题。
非线性过程的建模挑战
要点一
非线性动态
许多时间序列数据具有非线性动态，这意味着传统的线性 模型可能无法准确描述数据的复杂行为。因此，需要开发 更复杂的非线性模型来捕捉数据的非线性特征。
要点二
模型复杂度
为了更好地描述非线性动态，需要增加模型的复杂度。然 而，这可能导致模型过拟合和欠拟合问题，影响模型的泛 化能力和解释性。
提高数据利用效率
提高数据利用效率。
随机时间序列分析的应用场景
金融领域
气象领域
经济领域
用于股票价格、汇率等 金融时间序列的预测和
分析。
用于气温、降水等气象 时间序列的预测和分析。
用于GDP、消费、投资 等经济时间序列的预测
和分析。
交通领域
用于车流量、客流量等 交通时间序列的预测和
就业形势分析
通过分析历史就业数据，利用随机 时间序列模型预测未来就业形势， 为政府和企业的决策提供支持。
金融市场的随机时间序列分析
股票价格预测
通过对股票价格的历史数据进行随机时间序列分析，可以预测未 来股票价格的走势，有助于投资者做出更明智的投资决策。
利率变动预测
利用随机时间序列模型对利率变动进行建模，有助于金融机构制定 合理的贷款和存款利率政策。
《时间序列模型 》课件
目录
Contents
• 时间序列模型概述 • 时间序列模型的基础 • 时间序列模型的建立 • 时间序列模型的预测 • 时间序列模型的应用 • 时间序列模型的未来发展
01 时间序列模型概述
时间序列的定义
01 时间序列是指按照时间顺序排列的一系列观测值 。
02 时间序列数据可以是数值型、分类型或混合型。 03 时间序列数据可以用于描述和预测时间变化的现
详细描述
通过分析历史经济数据的时间序列特性，时间序列模型能够预 测未来经济走势，为政策制定者和企业决策者提供重要参考。
举例说明
例如，利用ARIMA模型分析国内生产总值（GDP）的时间 序列数据，可以预测未来一段时间的GDP增长趋势。
股票预测
01
总结词
时间序列模型在股票市场中具有实际应用价值。
02 03
SARIMA、VAR等。
识别模型阶数
02
确定模型的参数，如自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。
考虑季节性和趋势性
03
如果时间序列数据存在季节性和趋势性，需要在模型中加以考
虑。
参数估计
01
使用最小二乘法或最大似然法等统计方法估计模型 的参数。
02
考虑使用软件包或编程语言进行计算，如Python的 statsmodels库或R语言的forecast包。
象。
时间序列的特点
时序性
时间序列数据是按照时间顺序排列的，具有 时间上的连续性。
趋势性
时间序列数据通常具有一定的趋势，如递增 、递减或周期性变化。
季节性
一些时间序列数据呈现季节性变化，如年度 、季度或月度的变化规律。
不确定性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有不 确定性，难以精确预测。
时间序列分析预测法
19.24
9.3.3 三次指数平滑
二次指数平滑既解决了对有明显呈趋势变动的时 间序列的预测，又解决了一次指数平滑只能预测 一期的不足。但如果时间序列呈非线性趋势时， 就需要采用更高次的指数平滑方法。
三次指数平滑（Triple Exponential Smoothing）
2003 444.84 430.55 416.24 444.86
2004 496.23 483.09 469.72 496.46
2006
平均绝 对误
b
0 22.08 36.08 57.52 57.24 53.48
Y
243.29 298.51 355.59 455.27 502.10 603.42
绝对 误差
a22S2 1S2 22*6 56.5 26.5 7 b21 aa(S2 1S2 2)1 0.0 5.5*(6 56.5 2)2.5
通过趋势方程对3月份进行预测：
Y 2 1 a 2 b 2 ( 1 ) 6 . 5 2 . 5 7 * 1 7 0
案例
预测某省农民家庭人均食品支出额，假如a取0.8。
按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录 下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观 察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来 的走势就是时间序列分析。
时间序列预测方法，是把统计资料按时间发生的 先后进行排序得出的一连串数据，利用该数据序 列外推到预测对象未来的发展趋势。一般可分为 确定性时间序列预测法和随机时间序列预测法。
a取0.4和0.8时的均方误差。
年份
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 合计 均方误差
时间序列模型
时间序列模型时间序列模型⼀、分类①按所研究的对象的多少分，有⼀元时间序列和多元时间序列。
②按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
③按序列的统计特性分，有平稳时间序列和⾮平稳时间序列。
狭义时间序列：如果⼀个时间序列的概率分布与时间t ⽆关。
⼴义时间序列：如果序列的⼀、⼆阶矩存在，⽽且对任意时刻t 满⾜均值为常数和协⽅差为时间间隔τ的函数。
（下⽂主要研究的是⼴义时间序列）。
④按时间序列的分布规律来分，有⾼斯型时间序列和⾮⾼斯型时间序列。
⼆、确定性时间序列分析⽅法概述时间序列预测技术就是通过对预测⽬标⾃⾝时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
⼀个时间序列往往是以下⼏类变化形式的叠加或耦合。
①长期趋势变动：它是指时间序列朝着⼀定的⽅向持续上升或下降，或停留在某⼀⽔平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
通常⽤T t表⽰。
②季节变动：通常⽤S t表⽰。
③循环变动：通常是指周期为⼀年以上，由⾮季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
通常⽤C t表⽰。
④不规则变动。
通常它分为突然变动和随机变动。
通常⽤R t表⽰。
也称随机⼲扰项。
常见的时间序列模型：⑴加法模型：y t=S t+T t+C t+R t；⑵乘法模型：y t=S t·T t·C t·R t；⑶混合模型：y t=S t·T t+R t；y t=S t+T t·C t·R t；R t2这三个模型中y t表⽰观测⽬标的观测记录，E R t=0,E R t2=σ2如果在预测时间范围以内，⽆突然变动且随机变动的⽅差σ2较⼩，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可⽤⼀些经验⽅法进⾏预测。
三、移动平均法当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较⼤，不易显⽰出发展趋势时，可⽤移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。
移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
时间序列的加法模型和乘法模型
时间序列的加法模型和乘法模型时间序列分析，是个听起来挺学术但其实挺接地气的东西。
你可别看它名字长，实际上，它就是帮我们看懂时间变化的数据，简简单单，像个天气预报一样，告诉我们未来的变化趋势。
今天呢，我就来跟你聊聊时间序列的加法模型和乘法模型，让你一听就懂，绝对不枯燥。
1. 时间序列模型概述1.1 什么是时间序列？时间序列，其实就是把时间当作横轴，把数据当作纵轴，画出来的图。
比如你每天记的天气温度，或者每个月的收入，这些数据依时间的不同而有所变化，咱们就叫它时间序列。
就像咱们的生活一样，变化多端、起伏不定。
1.2 为什么要用时间序列模型？那咱们用时间序列模型干嘛呢？简单说，就是为了预测未来。
你今天的气温、明天的股市、下个月的销售额，咱们都可以用这些模型来推测一下，这样你就不会像瞎子摸象，心里有个谱儿。
就像古人讲的“未雨绸缪”，早做准备总是好的。
2. 加法模型与乘法模型2.1 加法模型是什么？加法模型呢，简单来说，就是把时间序列分解成几个部分：趋势、季节性、和随机波动。
就像做菜时，先把所有的原料准备好，接着按步骤往锅里放。
这些部分加起来，就得出了最后的数据。
举个例子，你每天的销售额可以分为基本的趋势、季节性波动（比如节假日），还有一些偶发的随机情况（比如突发的促销活动）。
这些因素加在一起，就形成了你日常的销售数据。
2.2 乘法模型又是什么？乘法模型呢，是把这些因素当成乘数来计算。
它跟加法模型的区别就在于，季节性因素不是加在总数上，而是乘上去的。
就好像你买了个折扣商品，不是直接加了折扣，而是用折扣乘以原价来算。
举个例子，假如你有一个产品的基本销量是100个，每逢节假日销量可能会翻倍，那么节假日对销量的影响就是乘法的效果。
通过这种方式，乘法模型能更好地捕捉数据的波动性，适合那些变化更剧烈的情况。
3. 实际应用3.1 加法模型的应用加法模型比较适合数据变化幅度不大的情况。
比如说，某个小商店的日常营业额，受节假日影响相对平稳，它的变化可以用加法模型来预测。
《时间序列模型》课件
对异常值的敏感性
时间序列模型往往对异常值非常敏感，一个或几个异常值可能会对整个模型的预测结果产生重大影响 。
在处理异常值时，需要谨慎处理，有时可能需要剔除异常值或使用稳健的统计方法来减小它们对模型 的影响。
PART 06
指数平滑模型
总结词
利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除随机波动。
详细描述
指数平滑模型是一种非参数的时间序列模型，它利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除 随机波动的影响。该模型通常用于预测时间序列数据的未来值，特别是对于具有季节性和趋势性的数 据。
GARCH模型
要点一
总结词
用于描述和预测时间序列数据的波动性，特别适用于金融 市场数据的分析。
时间序列的构成要素
时间序列由时间点和对应的观测值组成，包括时间点和观测值两 个要素。
时间序列的表示方法
时间序列可以用表格、图形、函数等形式表示，其中函数表示法 最为常见。
时间序列的特点
动态性
时间序列数据随时间变化而变化，具有动态 性。
趋势性
时间序列数据往往呈现出一定的趋势，如递 增、递减或周期性变化等。
随机性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有一 定的随机性。
周期性
一些时间序列数据呈现出明显的周期性特征 ，如季节性变化等。
时间序列的分类
根据数据性质分类
时间序列可分为定量数据和定性数据两类。定量数据包括 连续型和离散型，而定性数据则包括有序和无序类型。
根据时间序列趋势分类
时间序列可分为平稳和非平稳两类。平稳时间序列是指其统计特 性不随时间变化而变化，而非平稳时间序列则表现出明显的趋势
第9章时间序列分析
28
注意：
• ① 只能用于时期数列
• ② 扩大后的各个时期的时距应该相 等，这样才能相互比较，看出现象的 变动趋势
• ③ 时距的长短要适当
29
2、 移动平均法
• 移动平均法是将时间数列的时距扩大，将时 间序列的各项数值从第一项数值开始，依次 逐项移动，重叠求其规定期数的系列序时平 均数，从而形成一个由序时平均数构成的新 的派生数列，以清除原时间序列中的不规则 变动，反映现象发展趋势。
）in1应a0等x i于各期实际水
）。
a n i1 i
• 按照计算累计法平均发展速度的要求得：
a0 x a0 x n a1 an
• 等式两边同除以a0 ，并移项得：
x x n a1 an 0 a0
20
2 、平均增长速度
• 平均增长速度是现象在各个时期环比增长速度的序 时平均数，说明现象在增长时期内增长的一般水平。
销售额 趋势值
36
（2） 非线性趋势
• 社会经济现象发展变化的长期趋势，除表现 为持续上升或下降的直线外，还表现为多种 曲线，需要用适当的曲线方程来配合。常用 的曲线方程有：指数曲线、二次抛物线，三 次曲线等等。
37
① 二次抛物线
• 如果社会经济现象逐期增长量的增长（即二级增长） 大体相同，则可考虑用二次抛物线来拟合这一发展 趋势。抛物线的一般方程为：
增长速度=
增长量 基期水平
100%
报告期水平 - 基期水平 基期水平
100%
发展速度 - 1 （100%）
（1）定基增长速度 （2）环比增长速度
15
（1）定基增长速度
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于对时间序列数据进行建模和预测的统计模型。
时间序列数据是指按照时间顺序记录的一系列观测值，比如股票价格、气温、销售量等。
时间序列模型的目标是通过分析过去的观测值来预测未来的观测值。
这种模型通常基于以下两个假设：1. 时间序列的未来值是过去值的函数；2. 时间序列的未来值受到随机误差的影响。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
ARMA模型是将时间序列的过去值和滞后误差作为解释变量，使用线性回归方法来预测未来值。
它是基于两个基本组件：自回归（AR）和移动平均（MA）。
AR部分建模了时间序列的过去值与当前值之间的关系，MA部分建模了观测误差的相关性。
ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列。
差分操作可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，从而使得模型更可靠。
SARIMA模型是ARIMA模型的扩展，用于处理季节性时间序列。
它在ARIMA模型的基础上引入了季节差分，以及季节AR和MA项，以更好地拟合和预测季节性变化。
指数平滑模型是一类基于加权平均的模型，根据时间序列数据的特点赋予不同权重，进行预测。
常见的指数平滑模型包括简单指数平滑（SES）、双指数平滑和三指数平滑。
时间序列模型需要通过对历史数据的拟合来估计模型参数，并通过模型参数进行未来观测值的预测。
评估时间序列模型通常使用误差度量指标，比如均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）。
时间序列模型在很多领域都有广泛的应用，比如经济学、金融学、气象学、销售预测等。
它可以帮助我们理解时间序列数据的动态特征，提供未来预测和决策支持。
然而，在实际应用中，时间序列模型也面临一些挑战，比如数据缺失、异常值和非线性关系等。
因此，选择适合的时间序列模型需要综合考虑数据的特性和模型的假设。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
时间序列模型的介绍
时间序列模型的介绍时间序列模型是一种用于分析和预测时间序列数据的统计模型。
时间序列数据是按时间顺序收集的观测数据，通常具有一定的趋势、季节性和随机性。
时间序列模型的目标是通过对过去的数据进行分析，揭示数据背后的规律性，从而对未来的数据进行预测。
时间序列模型可以分为线性模型和非线性模型。
线性模型假设时间序列数据是由线性组合的成分构成的，常见的线性模型有自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。
非线性模型则放宽了对数据的线性假设，常见的非线性模型有非线性自回归模型（NAR）和非线性移动平均模型（NMA）等。
在时间序列模型中，常用的预测方法包括平滑法、回归法和分解法。
平滑法通过对时间序列数据进行平均、加权或移动平均等处理，来消除数据中的随机波动，得到趋势和季节性成分。
回归法则是通过建立时间序列数据与其他影响因素的关系模型，来预测未来的数据。
分解法则将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机成分，分别进行建模和预测。
时间序列模型的应用非常广泛。
在经济领域，时间序列模型可以用于宏观经济指标的预测，如国内生产总值（GDP）、通货膨胀率和失业率等。
在金融领域，时间序列模型可以用于股票价格的预测和风险管理，如股票市场的指数预测和波动率的估计。
在气象领域，时间序列模型可以用于天气预报和气候变化研究，如温度、降雨量和风速等的预测。
在交通领域，时间序列模型可以用于交通流量的预测和拥堵状况的评估，如道路交通量和公共交通客流量等的预测。
然而，时间序列模型也存在一些限制和挑战。
首先，时间序列数据通常具有一定的噪声和不确定性，模型需要能够对这些随机波动进行合理的建模和处理。
其次，时间序列数据可能存在非线性关系和非平稳性，传统的线性模型可能无法很好地捕捉到数据的特征。
此外，时间序列数据的长度和频率也会对模型的预测能力产生影响，较短的数据序列和较低的采样频率可能导致预测结果的不准确性。
为了克服这些挑战，研究人员不断提出新的时间序列模型和方法。
时间序列分析模型
Q LB
rk2 n ( n 2) nk k 1
m
该统计量近似地服从自由度为m的2分布 （m为滞后长度）。
因此:如果计算的Q值大于显著性水平为 的临界值，则有1-的把握拒绝所有k(k>0)同 时为0的假设。
例9.1.3: 表9.1.1序列Random1是通过一 随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随 机时间序列。
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量， 却有很高的相关性（有较高的R2)。例如：如果 有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非 平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但 进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中，实际的时间序列数据 往往是非平稳的，而且主要的经济变量如消ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、 收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这 样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析， 一般不会得到有意义的结果。
由于t是一个白噪声，则序列{Xt}是平稳的。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳 的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序 列。
• 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶 自回归AR(1)过程的特例:
Xt=Xt-1+t 不难验证: 1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的， 表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)，因此 是非平稳的；
由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差 为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。
例9.1.2．另一个简单的随机时间列序被称为 随机游走（random walk），该序列由如下随机 过程生成： X t=Xt-1+t 这里， t是一个白噪声。 容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设 Xt的初值为X0，则易知:
时间序列预测模型
6.48
S 0 y1 16.41
1
1
1 S11 y1 1 S 0 16.41
S 2 y2 1 S1
1
0.4 17.62 0.6 16.41 16.89
1 1 S3 y3 1 S 2
1102.7
月份 t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
销售收 入 yt
553.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7
Mt
1
ˆ t 1 yt 1 y ˆt 1 ( yt 1 y y ˆt 1 )2
三、指数平滑预测法
1、一次指数平滑预测法
一次指数平滑预测法是 以 1 为权数0 1,
i
i 1,2,3,对时间序列yt 进行加权平均的一种预 测 方法. yt的权数为 , yt 1的权数为 1 , yt 2的权数为 2 1 , ,以此类推.其计算公式如下: 1 ˆ t 1 St1 yt 1 St y 1
其中: yt 表示第t期实际值; ˆ t 1表示第t 1期预测值; y
1 1 St , S t 1, t期一次指数平滑值 ; 1 t 分别表示第
表示平滑系数 ,0 1.
预测标准误差为:
2 ˆ yt 1 yt 1 t 1 n 1
n 1 上式中, n为时间序列所含原始数 据个数. 平滑系数的取值对预测值的影响 是很大的,因此, 利用指数平滑法进行预 测, 的选值是很关键的 , 但目前 还没有一个很好的统一 的选值方法, 一般是根据经验来 确定的.当时间序列数据是水平 型的发展趋势类型 , 可 取较小的值, 在0 ~ 0.3之间;当时间序列数据是上升 (或下 降)的发展趋势类型 ,应取较大的值 , 在0.6 ~ 1之间.在进 行实际预测时 , 可选不同的值进行比较, 从中选择一个 比较合适的值.
eviews时间序列模型
(9.1.2) (9.1.3)
2019/12/13
4
即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互 独立的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关 性（serial correlation）。由于通常假设随机扰动项都服 从均值为0，同方差的正态分布，则序列相关性也可以 表示为：
E(ut ,uts ) 0 s 0 , t 1 , 2 ,, T
Q-statistics 。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函
数以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果
残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关
值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。
2019/12/13
13
例9.1:利用相关图检验残差序列的相关性
下面是这些检验程序应用的例子，考虑用普通最小二乘估计 的简单消费函数的结果：
对于线性回归模型
yt 0 1x1t 2 x2t k xkt ut
(9.1.1)
随机误差项之间不相关，即无序列相关的基本假设为
cov(ut ,uts ) 0 s 0 , t 1 , 2 ,, T
如果扰动项序列ut表现为：
cov(ut ,uts ) 0 s 0 , t 1 , 2 ,, T
但是如果扰动项ut不满足古典回归假设，回归方程的 估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明，扰
动项ut关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归 方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此，必须
建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设所带
来的模型估计问题。
2019/12/13
3
§9.1.1 序列相关及其产生的后果
数学建模 时间序列模型
数学建模时间序列模型1. 引言1.1 概述时间序列模型是一种数学建模方法，用于分析和预测随时间变化而变化的数据。
在各个领域，例如经济学、金融学、气象学等，时间序列模型都被广泛应用于数据分析和预测中。
时间序列模型的核心思想是利用过去的观测数据来预测未来的值。
通过对历史数据的分析，可以揭示出其中的规律和趋势，并基于这些规律和趋势来进行预测。
这使得时间序列模型成为了许多领域中非常有用的工具。
时间序列模型有许多不同的方法和技术，每种方法都有其适用的场景和特点。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）以及季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
这些模型都基于不同的假设和方程，用于解释和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列模型的基本原理和方法，并探讨在数学建模中的应用。
首先，我们将介绍时间序列模型的基本概念和定义，包括时间序列、平稳性和自相关性等。
然后，我们将深入研究数学建模的基础原理，包括数据预处理、模型选择和参数估计等。
通过学习这些基础原理，读者将能够更好地理解时间序列模型，并能够在实际问题中应用它们进行数据分析和预测。
本文将通过实例和案例分析来说明时间序列模型的应用。
我们将使用真实的数据集，并结合相关的数学模型和算法，在实际问题中进行分析和预测。
通过这种方式，读者将能够更好地理解时间序列模型的实际应用，并能够应用这些方法解决自己遇到的问题。
最后，在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，并展望时间序列模型的未来发展方向。
时间序列模型作为一种强大的分析工具，在大数据时代将发挥越来越重要的作用。
随着数据量的增加和计算能力的提升，时间序列模型将更加精确和高效，为各行各业的决策和预测提供更准确的支持。
1.2 文章结构本文按照以下结构组织：1. 引言：在这一部分，我们将提供一个概述性的介绍，包括对时间序列模型和数学建模的定义和背景的讨论。
我们将介绍本文的目的，并列出本文的主要内容。
9.2 时间序列典型分解模型
时间序列的典型分解模型图1 某地6年交通死亡数据二、计算过程三、实例计算根据某地6年每年12个月的交通死亡数据。
预测未来一年每个月的交通死亡人数。
数据见表一。
图2 6年按月统计的数据图Matlab程序x=[9007,8106,8928,9137,10017,10826,11317,10744,9713,9938,9161,8927,... 7750,6981,8038,8422,8714,9512,10120,9823,8743,9129,8710,8680,...8162,7306,8124,7870,9387,9556,10093,9620,8285,8433,8160,8034,...7717,7461,7776,7925,8634,8945,10078,9179,8037,8488,7874,8647,...7792,6957,7726,8106,8890,9299,10625,9302,8314,8850,8265,8796,...7836,6892,7791,8129,9115,9434,10484,9827,9110,9070,8633,9240];D=[9007,8106,8928,9137,10017,10826,11317,10744,9713,9938,9161,8927; 7750,6981,8038,8422,8714,9512,10120,9823,8743,9129,8710,8680;8162,7306,8124,7870,9387,9556,10093,9620,8285,8433,8160,8034;7717,7461,7776,7925,8634,8945,10078,9179,8037,8488,7874,8647;7792,6957,7726,8106,8890,9299,10625,9302,8314,8850,8265,8796;7836,6892,7791,8129,9115,9434,10484,9827,9110,9070,8633,9240]; aver=mean(D');st=zeros(6,12);for i=1:6for j=1:12st(i,j)=D(i,j)-aver(i);endendNST=zeros(1,12);nst=sum(st)/6; %对6年月平均作为st的估计 nx=zeros(72,1);for i=1:6for j=1:12k=(i-1)*12+j; nx(k)=x(k)-nst(j);endend %对消去季节项后数据nx %进行线性拟合并预测 Y=zeros(72,1);A=zeros(72,2);for i=1:72Y(i)=nx(i);A(i,1)=1; A(i,2)=i;endcoef=inv(A'*A)*A'*Y;py=zeros(1,84);for i=1:84py(i)=coef(1)+coef(2)*i; endsubplot(2,1,1);plot(1:72,nx,1:72,py(1:72));xx=zeros(1,84);for i=1:7for j=1:12k=(i-1)*12+j;xx(k)=py(k)+nst(j); %预测各月数值 endendsubplot(2,1,2);plot(1:72,x,'*',1:84,xx);图3 时间序列消除季节项后曲线及拟合图4 原始数据及预测(*为原始数据)谢谢！。
时间序列分析模型汇总
时间序列分析模型汇总时间序列分析是一种广泛应用于各个领域的统计分析方法，它用来研究一组随时间而变化的数据。
时间序列数据通常具有趋势、季节性和随机性等特征，时间序列分析的目的是通过建立适当的模型来描述和预测这些特征。
本文将汇总一些常用的时间序列分析模型，包括AR、MA、ARIMA、GARCH和VAR等。
1.AR模型（自回归模型）:AR模型是根据过去的观测值来预测未来的观测值。
它假设未来的观测值与过去的一系列观测值有关，且与其他因素无关。
AR模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c 为常数，φ_i为系数，ε_t为误差项。
2.MA模型（移动平均模型）:MA模型是根据过去的误差项来预测未来的观测值。
它假设未来的观测值与过去的一系列误差项有关，且与其他因素无关。
MA模型的一般形式为：Y_t=μ+ε_t+Σ(θ_i*ε_t-i)，其中Y_t表示时间t的观测值，μ为平均值，θ_i为系数，ε_t为误差项。
3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）:ARIMA模型是AR和MA模型的组合，它结合了时间序列数据的趋势和随机性特征。
ARIMA模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+Σ(θ_i*ε_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c为常数，φ_i和θ_i为系数，ε_t为误差项。
4.GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）:GARCH模型用于建模并预测时间序列数据的波动性。
它假设波动性是由过去观测值的平方误差和波动性的自相关引起的。
GARCH模型的一般形式为：σ_t^2=ω+Σ(α_i*ε^2_t-i)+Σ(β_i*σ^2_t-i)，其中σ_t^2为时间t的波动性，ω为常数，α_i和β_i为系数，ε_t为误差项。
5.VAR模型（向量自回归模型）:VAR模型用于建模并预测多个时间序列变量之间的相互关系。
它假设多个变量之间存在相互依赖的关系，即一个变量的变动会对其他变量产生影响。
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§9.2 随机时间序列分析模型在讨论了平稳时间序列的重要性之后，接下来的一个实际问题就是如何建立一个平稳时间序列的模型，以及如何用所建的模型进行预测。
与经典回归分析不同的是，我们这里所建立的时间序列模型主要不是以不同变量间的因果关系为基础，而是寻找时间序列自身的变化规律。
同样地，在预测一个时间序列未来的变化时，我们不再使用一组与之有因果关系的其他变量，而只是用该序列的过去行为来预测未来。
一、时间序列模型的基本概念及其适用性1、时间序列模型的基本概念时间序列模型（time series model ）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为),,,(21t t t t X X F X μ --= （9.2.1） 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：模型的具体形式、时序变量的滞后期以及随机扰动项的结构。
例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（t t εμ=），模型将是一个1阶自回归过程AR （1）：t t t X X εϕ+=-1 （9.2.2） 这里，t ε特指一白噪声。
一般的p 阶自回归过程AR （p ）是t p t p t t t X X X X μϕϕϕ++++=--- 2211 （9.2.3） 如果随机扰动项t μ是一个白噪声（t t εμ=），则称（9.2.3）为一纯AR(p)过程（pure AR(p) process ），记为t p t p t t t X X X X εϕϕϕ++++=--- 2211 （9.2.4）如果t μ不是一个白噪声，通常认为它是一个q 阶的移动平均（moving average ）过程MA(q)：q t q t t t -----=εθεθεμ 11 （9.2.5）（9.2.5）式给出了一个纯MA(q)过程（pure MA(p) process ）。
将（9.2.3）式与（9.2.5）式结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressive moving average ）过程ARMA （p,q ）： q t q t t p t p t t X X X -------+++=εθεθεϕϕ 1111 （9.2.6） （9.2.6）式表明，一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。
如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。
这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
2、时间序列分析模型的适用性迄今为止，对一个时间序列t X 的变动进行解释或预测，是通过某个单一方程回归模型或联立方程回归模型进行的。
由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为结构式模型（structural model ）。
然而，如果t X 波动的主要原因可能是我们我法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释t X 的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。
有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但由于对某此解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系回归模型及其预测技术就不适用了。
在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。
例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？或者时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势。
使用时间序列分析模型的另一个原因在于，如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于（9.2.5）式的时间序列分析模型的形式。
例如，对于如下最简单的宏观经济模型：t t t C Y C μααα+++=-12110 t t t I C Y +=这里，C 、I 、Y 分别表示消费、投资与国民收入。
C 与Y 作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的I 的运动及随机扰动项t μ的变化决定的。
上述模型可作如下变形： t t t t I C C μααααααα1111011211111-+-+-+-=- t t t t t I I Y Y μαααααααα11121101121111111-+---+-+-=-- 两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项I 的行为。
如果I 是一个白噪声，则消费序列C 就成为一个1阶自回归过程AR(1)，而收入序列Y 就成为一个（1，1）阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。
二、随机时间序列模型的平稳性条件自回归移动平均模型（ARMA ）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR ）和移动平均模型（MA ）是它的特殊情况。
关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容，主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。
随机时间序列模型作为随机过程的描述，它的平稳性与该随机过程的平稳性是等价的，因此，可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断。
如果一个p 阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。
考虑p 阶自回归模型AR(p)t p t p t t t X X X X εϕϕϕ++++=--- 2211 （9.2.4） 引入滞后算子（lag operator ）L ：1-=t t X LX ，22-=t t X X L ，……，p t t p X X L -= （9.2.4）式变换为：t t pp X L L L εϕϕϕ=----)1(221 记)1()(221pp L L L L ϕϕϕ----=Φ ，则称多项式方程 )1()(221pp z z z z ϕϕϕ----=Φ =0为AR(p)的特征方程（characteristic equation ）。
可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的。
例9.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。
对1阶自回归模型AR(1) t t t X X εϕ+=-1 （9.2.2） 方程两边平方再求数学期望，得到t X 的方差)(2)()()(122122t t t t t X E E X E X E εεϕ--++=由于t X 仅与t ε相关，因此，)(1t t X E ε-=0。
如果该模型稳定，则有)()(212-=t t X E X E ，从而上式可变换为：22201ϕσσγε-==X在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有ϕ <1。
而AR （1）的特征方程 01)(=-=Φz z ϕ 的根为ϕ1=zAR(1)稳定，即ϕ <1，意味着特征根大于1。
对AR(2)模型t t t t X X X εϕϕ++=--2211 （9.2.7） 方程两边同乘以t X ，再取期望得：)(22110t t X E εγϕγϕγ++=由(9.2.7)式知222211)()()()(εσεεϕεϕε=++=--t t t t t t t E X E X E X E ，于是222110εσγϕγϕγ++= （9.2.8） 同样地，由（9.2.7）式还可得到211212011γϕγϕγγϕγϕγ+=+= （9.2.9）于是方差为)1)(1)(1()1(21212220ϕϕϕϕϕσϕγε-+--+-=由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有121<+ϕϕ， 112<-ϕϕ， 12<ϕ这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域，它是一顶点分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形（图9.2.1）。
1ϕ图9.2.1 AR(2)模型的平稳域AR(2)模型（9.2.6）式对应的特征方程01221=--z z ϕϕ的两个根1z 、2z 满足： 2211ϕ-=z z ， 2121ϕϕ-=+z z 解出1ϕ，2ϕ：2121z z -=ϕ， 21211z z z z +=ϕ 由AR(1)的平稳性，2121z z =ϕ<1 ，则至少有一个根的模大于1，不妨设1z >1，有1)11)(11(112121212121<---=-+=+z z z z z z z z ϕϕ )11)(11(21z z -->0 于是2z >1。
由12ϕϕ-<1可推出同样的结果。
对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：（１）AR(p)模型稳定的必要条件是：p ϕϕϕ+++ 21<1（２）由于),,2,1(p i i =ϕ可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是： ||||||21p ϕϕϕ+++ <1 2、MR(q)模型的平稳性 对于移动平均模型MR(q)：q t q t t t X -----=εθεθε 11 （9.2.10） 其中t ε是一个白噪声，于是0)()()()(11=---=-q q t t t E E E X E εθεθε()22111121322111122210),c o v ()(),c o v ()(),c o v ()1(v a r εεεεσθγσθθθγσθθθθθθθγσθθγq q t t q q q q t t q q q t t q t X X X X X X X -==+-==++++-==+++==--+----当滞后期大于q 时，t X 的自协方差系数为0。
因此，有限阶移动平均模型总是平稳的。
3、ARMA(p,q)模型的平稳性由于AR (p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：q t q t t p t p t t X X X -------+++=εθεθεϕϕ 1111而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA (p,q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。
当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，不是平稳的。
由于随机时间序列总是由某个随机过程或随机模型生成的，因此一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型。
同时，由第一节的内容可知，一个非平稳的随机时间序列可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过d 次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressive integrated moving average ）时间序列，记为ARIMA(p,d,q)。