(整理)微积分的产生与发展

微积分的产生与应用

一、微积分产生背景在十六世纪末、十七世纪初的欧洲，文艺复兴带来了人们思维方式的改变．资

本主义制度的产生，使社会生产力大大得到解放．资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技

术科学和数学急速向前发展．

在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出了新的课题．

公元1492 年，哥伦布发现了新大陆，证实了大地是球形的观念；1543 年，哥白尼发表了

《天体运行论》，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇；开普勒在1609〜1619年，

总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现；1609年伽里略用自制的望远镜观

察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向新的境界．这些科学实践拓展了人们对世界的认识，引

起了人类思想上的质变．

十六世纪对数学的研究从常量开始进入了变量的领域．这成为数学发展史上的一个转折点，也是“变量”数学发展的第一个决定性步骤．由于“变量”作为新的问题进入了数学，对数学的研究方法也就提出

了新的要求．在十七世纪前半叶，解析几何的观念已经有一系列优秀的数

学家接近了.但是十七世纪三十年代，解析几何才被笛卡尔（Descartes, R.（法）1596〜1650）

和

费尔马（Fermat, P. de（法）1601 〜1665）创立.

在解析几何里，由于建立了坐标系，可以用字母表示变动的坐标，用代数方程刻画一般平面曲线,用

代数运算代替几何量的逻辑推导,从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究,使数与形紧密地结

合起来了．这种新的数学方法的出现与发展,使数学的思想和方法的发展发生了质的变化,恩格斯把它称为

数学的转折点．此后人类进入了变量数学阶段,也是变量数学发展的第一个决定性步骤．为十七世纪下半叶

微积分算法的出现准备了条件。

二、微积分的产生过程

微积分是经过长时间的酝酿才产生的．微积分的原理可以追溯到古代．在中国,公元前4世纪的桓团、公孙龙等所提出的“一尺之棰,日取其半,万世不竭” ；公元3 世纪的刘徽,公元5 〜6世纪

的祖冲之、祖暅对圆周率、面积以及体积的研究, 都包含有极限和微积分的思想萌芽．在欧洲,公元前3

世纪古希腊的欧几里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes 约公元前287〜212）所建立的确定面积

和体积的方法,也都包含有上述萌芽．

在十六世纪末、十七世纪初,由于受力学问题的研究、函数概念的产生和几何问题可以用

代数方法来解决的影响，促使许多数学家去探索微积分•开普勒（Kepler. J （德）1571〜1630）、

卡瓦列里（Cavalieri , F. B.（意）1598〜1647）和牛顿的老师巴罗（Barrow , I .（英）1630〜1677）

等人也研究过这些问题,但是没有形成理论和普遍适用的方法. 1 638年,费尔马首次引用字母

表示无限小量,并运用它来解决极值问题.稍后,他又提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线的方法,

并用这种方法解决了一些切线问题和极值问题.

后来，英格兰学派的格雷果里（Gregory, J（英）1638〜1675卜瓦里斯（Wallis , J.（英）1616-1703）继续费尔马的工作，用符号“ 0”表示无限小量，并用它进行求切线的运算.到十七世纪早期，他们

已经建立起一系列求解无限小问题的特殊方法.诸如，求曲线的切线、曲率、极大极小值，求运动的瞬时速

度以及面积、体积、曲线长度、物体重心的计算等．但他们的工作差不多都局限于一些具体问题的细节之中，还缺乏普遍性的规律．

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

三、古代至中世纪的有关研究工作

早在古代数学中，就产生了微分和积分这两个概念的思想萌芽，形成两种基本的数学运算。两者分别地被人们加以研究和发展。历史上，积分思想先于微分思想出现，而不象今天的《数学分析》所讲授的那样，先微分后积分。积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法。

女口：古希腊的阿基米德（公元前287—212）用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，

称为“穷竭法” 。

中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》（公元263 年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这些都是原始的积分思想。

又如，中国清代著名数学家李善兰独创的“尖锥术” ，已使中国步入了微积分的大门。但还未形成多大影响时，西方的微积分就传入了中国。

16 世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方法求面积、体积等问题，并不断加以改进。天文学家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型。他注意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他努力探求计算体积的正确方法，写成《测量酒桶体积的新科学》一书，他的方法的精华就是用无穷多小元素之和来计算曲边形的面积或体积。微分思想也在古代略见端倪，它是和求曲线的切线问题相联系的，这是数学家们历来所关注的另一类问题。

光学研究中，由于透镜的设计需要运用折射定律、反射定律，就涉及切线、法线问题。这方面的研究吸引了笛卡儿、惠更斯、牛顿、莱布尼兹等人。而在运动学研究中，要确定运动物体在某一点的运动方向，就是求曲线上某一点的切线方向，这就需要求作切线。

意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分利用数学工具去探索大自然的奥秘。这些观点对科学（特别是物理和数学）的发展有巨大的影响。他的学生卡瓦列里创立了“不可分原理” 。依靠这个原理他解决了许多现在可以用更严格的积分法解决的问题。“不可分”的思想萌芽于1620 年，深受开普勒和伽利略的影响，是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。

牛顿（约1642〜1727年）生于英格兰东海岸中部的一个农民家庭。1661年，由于成绩优秀考入英国剑桥大学三一学院,在此幸运地得到巴鲁教授的指导。1664年,牛顿取得了学士学位。1665年，伦敦流行鼠疫，波及剑桥大学，学院被迫停办，牛顿便回到乡下，在乡间终日思考各种问题，运用他的智慧和数年来获得的知识，发明了流数术（微积分），万有引力和光的分析。特别是牛顿因看见

苹果落地而悟得万有引力的故事，至今仍被后人传诵。