2020年重庆市南开中学高考数学模拟试卷(文科)(6月份)

2020年重庆市南开中学高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x||x|≤1,x∈Z}，B={1,2，3}，则A∩B为()A. {−1}B. {1}C. {−1,0，1}D. ⌀2.设i是虚数单位，若复数z=i1+i，则z的共轭复数为()A. 12+12i B. 1+12i C. 1−12i D. 12−12i3.下列函数中，值域是R且是奇函数的是()A. y=x3+1B. y=sinxC. y=x−x3D. y=2x4.向量a⃗=(3,m),b⃗ =(1,2)，若(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，则m=()A. −4B. −32C. 0D. 65.已知x，y∈R，命题“若x2+y2=0，则x=0或y=0”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为()A. 0B. 2C. 3D. 46.2019年被誉为“5G商用元年”.6月，5G商用牌照正式发放；9月，5G套餐开启预约；11月，5G套餐公布；12月，5G手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的()A. 相关活动是5G信息走势的关键性节点B. 月均信息量超过600万条C. 第四季度信息量呈直线增长态势D. 月信息量未出现持续下降态势7.椭圆x27+y2b2=1，过原点O斜率为√3的直线与椭圆交于C，D，若|CD|=4，则椭圆的标准方程为()A. x27+y24=1 B. x27+y23=1 C. x27+y26=1 D. x27+2y27=18.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为()A. 43B. 83C. 4D. 89.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1−x)，且x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(log28)=()A. −1B. 1C. 7D. −1210.点P在函数y=lnx的图象上，若满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则实数a的值为()A. 1B. −3C. 2D. −2√211.重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合．已知拱桥部分长552m，两端引桥各有190m，主桁最高处距离桥面89.5m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是()A. y=0.45cos23x B. y=4.5cos23x C. y=0.9cos32x D. y=9cos32x12.若P是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)在第一象限上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，|PF2|=2b，Q(a2,0)到直线PF1，PF2距离相等，则双曲线C的离心率为()A. 53B. 32C. 43D. 54二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若变量x，y满足约束条件{x+y−1≤03x−y+1≥0x−y−1≤0，则z=2x+3y的最大值为______．14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2,b=1,c=√7，则BC边上的高为______．15.《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边AB为轴旋转而成的几何体(图中长度单位为米)，则该粮仓能容纳的体积为______立方米．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知f(x)=4sinx+3cosx，f(x)向右平移α(0<α<π)个单位后为奇函数，则tanα=(1)，若方程f(x)−m=0在[α,π]上恰有两个不等的根，则m的取值范围是(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+4S4=S6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n+n}的前n项和T n．18.在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如图．(1)计算a，b，c；(2)在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人．(ⅰ)写出各组中抽取人数；(ⅰ)访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．19.正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为CC1中点，AB=2．(1)求证：平面ADB1⊥平面ABB1A1；(2)若AD与平面ABB1A1所成角为π，求四棱锥A−BCDB1的体积．420. 已知圆C ：x 2+(y −3)2=8和动圆P ：(x −a)2+y 2=8交于A ，B 两点．(1)若直线AB 过原点，求a ；(2)若直线AB 交x 轴于Q ，当△PQC 面积最小时，求|AB|． 21. 已知f(x)=−12x 2+x −cosx −k ．(1)若f(x)的一条切线为y =x ，求此时的k ； (2)求使得f(x)>0有解的最大整数k ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：{x =tcosαy =2√33+tsinα(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=2(θ∈[0,π]，直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求α的范围； (2)求MN 中点P 轨迹的参数方程．23. 已知对于任意x ≥−1，不等式(1+x)3≥1+3x 成立．(1)求证：对于任意x ≥−1，(1+x)4≥1+4x ； (2)若a >0，b >0，求证：(a +b)4≥a 4+4a 3b.答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x||x|≤1,x∈Z}={x|−1≤x≤1,x∈Z}={−1,0，1}，B={1,2，3}，∴A∩B={1}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，∴z−=12−12i．故选：D．3.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3+1，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=sinx，为正弦函数，是奇函数，但值域不是R，不符合题意；对于C，y=x−x3，有f(−x)=(−x)−(−x)3=−(x−x3)=−f(x)，为奇函数，其值域为R，符合题意；对于D，y=2x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及值域是否为R，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的分析判断，涉及函数的值域，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(3,m),b⃗ =(1,2)，∴(a⃗+b⃗ )=(4,m+2)，若(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，则(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =(4,m+2)⋅(1,2)=4+2m+4=0，则m=−4，故选：A．由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求出m的值．本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：“若x2+y2=0，则x或y=0”，是真命题，其逆命题为：“若x或y=0，则x2+y2=0”是假命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为假命题、逆否命题是真命题，故真命题的个数为2．故选：B．先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题．6.【答案】B【解析】解：由题知6月、9月、11月、12月活动月的走势均有明显提升，故相关活动是5G信息走势的关键性节点，即A正确；由统计图可知第四季度信息量呈直线增长态势，月信息量未出现持续下降态势，故CD正确；故选：B．根据所给统计图，利用排除法可得答案本题考查统计的相关知识，考查学生合情推理的能力，属于基础题7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆方程的求法，主要运用到弦长公式和两点间距离公式，考查学生的运算能力，属于基础题．设点C的坐标为(m,n)，则D(−m,−n)，由弦长公式可知|CD|=√1+(√3)2⋅2|m|=4，由两点间距离公式可知|CD|=2√m2+n2=4，从而解得|m|=1，|n|=√3，代入椭圆方程求出b2的值即可得解．【解答】解：设点C的坐标为(m,n)，则D(−m,−n)，由弦长公式可知，|CD|=√1+(√3)2⋅2|m|=4，∴|m|=1，由两点间距离公式可知，|CD|=√(m+m)2+(n+n)2=2√m2+n2=4．∴|n|=√3，代入椭圆方程有，17+3b2=1，∴b2=72．∴椭圆的方程为x27+2y27=1．故选：D．8.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：V=13×12×2√2×2√2×2=83．故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：根据题意，log28=3，函数f(x)满足f(x+1)=f(1−x)，令x=2可得：f(2+1)=f(1−2)，即f(3)=f(−1)，又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=2−1=1，则f(1)=−1，故f(log28)=f(3)=−1；故选：A．根据题意，在f(x+1)=f(1−x)中，令x=2可得f(3)=f(−1)，结合函数的奇偶性与解析式可得f(−1)的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：过函数y=lnx的图象上点P(x0,y0)作切线，使得此切线与直线y=x+a平行，又y′=1x ，于是1x0=1，则x0=1，y0=0，∴P(1,0)，当点P到直线y=x+a的距离为√2时，则满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，∴d=√1+1=√2，解得a=1或a=−3，又当a=1时，函数y=lnx的图象与直线y=x+1没有交点，只有两个点到直线距离为√2，所以不满足条件，故a=−3．故选：B．要满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y=lnx的图象相交，而且点P 在函数y=lnx的图象上满足在直线一侧有一个点到直线距离为√2，另外一侧两个点到直线距离为√2，于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点，进一步求出实数a的值．本题考查了两个函数图象位置关系、求曲线切线方程和点到直线距离，考查了学生的转化能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图所示；则f(x)=Acosωx；其中A=89.52≈45，T=552+190+190=932≈900，若按100：1的比例缩小，则A′=0.45，T′=9，ω=2πT′≈2×39=23，所以函数y=0.45cos23x.故选：A．由题意建立平面直角坐标系，设f(x)=Acosωx，求出A、T的值，再按100：1的比例缩小，求出函数y的解析式．本题考查了余弦函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：由题意可知双曲线的图形如图；F1，F2为双曲线C的左、右焦点，|PF2|=2b，则|PF1|=2a+2b，Q到直线PF1，PF2的垂足分别为：N，M，Q(a2,0)到直线PF1，PF2距离相等，可得：MQ=QN，设∠PF2O=θ，所以P的纵坐标：2bsinθ，QM=(c−a2)sinθ，△PF1F2的面积为：12(2a+2b+2b)×(c−a2)sinθ=12×2c×2bsinθ，化简可得：a+2b=2c，即2b=2c−a，所以4(c2−a2)=(2c−a)2，化简可得5a=4c，可得离心率为：e=ac =54．故选：D．画出图形，利用双曲线的定义，结合距离相等，三角形的面积关系．列出方程求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，中档题．13.【答案】3【解析】解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，由z=2x+3y，得y=−23x+13z，平移直线y=−23x+13z，由图象可知当直线y=−23x+13z经过点B(0,1)时，直线y=−23x+13z的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=2×0+3×1=3，故答案为：3．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14.【答案】√32【解析】解：由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=2×2×√7=2√7 则sinB =√1−cos 2B =√32√7， ∴BC 边上的高为csinB =√7√32√7=√32， 故答案为：√32．先由余弦定理求出cos B ，再根据同角的三角形函数的关系求出sin B ，即可求出BC 边上的高． 本题考查了余弦定理，和同角的三角函数关系，以及解直角三角形，属于基础题． 15.【答案】21π【解析】解：由已知图形可知，粮仓是一个组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为3，高为1， 圆柱的底面半径为3，高为2．则该粮仓的体积V =13π×32×1+π×32×2=21π．故答案为：21π．由已知图形可知，粮仓是一个组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为3，高为1，圆柱的底面半径为3，高为2.分别求出圆锥与圆柱的体积，作和得答案． 本题考查圆锥与圆柱体积公式的应用，是基础的计算题．16.【答案】34[245,5)【解析】解：f(x)=4sinx +3cosx =5sin(x +θ)，其中sinθ=35，cosθ=45， 则其向右平移α后f(x)=5sin(x +θ−α)，因为此时函数为奇函数，故f(0)=5sin(θ−α)=0，则θ−α=2kπ或θ−α=π+2kπ，即α=θ−2kπ或α=θ−π−2kπ，k ∈Z ， 因为0<α<π，故只能α=θ，即此时有sinα=sinθ=35，cosα=cosθ=45， 所以tanα=3545=34；方程f(x)−m =0在[α,π]上恰有两个不等的根等价于函数f(x)与y =m 在[α,π]图象有2个不同的交点， 作出函数f(x)的图象如下：由图可得m∈[245,5)．根据平移后函数为奇函数，结合α得范围可得sinα=sinθ=35，cosα=cosθ=45；方程有不等两根等价于函数f(x)与y=m图象有2个交点，数形结合即可．本题考查三角函数相关性质，考查方程根与图象交点个数之间的转化，涉及数形结合思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)若公比q=1，2a1+16a1=6a1，不成立；则q≠1，a1(1−q 2)1−q +4a1(1−q4)1−q=a1(1−q6)1−q，由于{a n}为正项等比数列，1−q2≠0，所以1+4(1+q2)=1+q2+q4，即q4−3q2−4=0，解得q2=4，即q=2，所以a n=2n−1，n∈N∗；(2)T n=(1+2+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+n)=2n−1+n(n+1)2．【解析】(1)首先判断公比不为1，再由等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；(2)可得a n+n=2n−1+n，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意得：{27+a +b +4=4630+a +c +4=4918+b +c +4=34，解得：{a =9c =6b =6．(2)记“同时观看了《机长》和《祖国》”的为A 组， “同时观看了《机长》和《攀登者》”为B 组， “同时观看《祖国》和《攀登者》“为C 组， ∴按分层抽样，A ，B ，C 组人数分别为3，2，2， 在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人， 设这七个人分别为A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2， 则还会继续观看第三部的2人可能是：A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3B ， 1B 2C 1，C 2A 1，B 1A 1，B 2A 2B ， 1A 2B 3，A 3B 1，A 3B 2，A 1C 1， A 2C 1，A 3C 1，A 1C 2，A 2C 2，A 3C 2，B 1C 1，B 1C 2，B 2C 1，B 2C 2，共21种， 则2人都没有观看《我和我的祖国》的只有B 1B 2一种， ∴这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率是p =121．【解析】(1)由题意列出方程组，能求出a ，b ，c ．(2)记“同时观看了《机长》和《祖国》”的为A 组，“同时观看了《机长》和《攀登者》”为B 组，“同时观看《祖国》和《攀登者》“为C 组，按分层抽样，A ，B ，C 组人数分别为3，2，2，在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人，设这七个人分别为A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2，利用列举法能求出这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型、统计图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)证明：取AB 1中点E ，连接DE ，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1， 由于三棱柱ABC −A 1B 1C 1是正棱柱，故CC 1⊥面A 1B 1C 1，从而CC 1⊥FC 1， 由于D 为CC 1中点，CC 1⊥AC ，CC 1⊥B 1C 1，所以AD =√22+CD 2,B 1D =√22+C 1D 2AD =B 1D ，则由三线合一性DE ⊥AB 1①， 因为E ，F 分别为AB 1，A 1B 1中点，所以EF//=12AA 1//=DC 1，则四边形EFC 1D 为平行四边形从而DE//FC 1，由于是正棱柱，CC 1⊥面A 1B 1C 1，从而CC 1⊥FC 1，则CC 1⊥DE②， 综合①②可知，DE ⊥面ABB 1A 1，而DE ⊂面ADB 1， 所以平面ADB 1⊥平面ABB 1A 1．(2)解：由DE ⊥面AA 1B 1B 知AD 与平面ABB 1A 1所成角即为∠EAD =π4， 而DE =FC 1=√3，则AD =√6=√4+CD 2，所以CD =√2,CC 1=2√2，所以S BCDB 1=(√2+2√2)⋅12⋅2=3√2，S BCB 1=2√2⋅12⋅2=2√2， 则V A−BCDB 1VA−BCB 1=32，而V A−BCB 1=V C−ABB 1=13S ABB 1⋅CF 1=13⋅2⋅2√2⋅12⋅√3=23√6， 所以四棱锥A −BCDB 1的体积为V A−BCDB 1=23√6⋅32=√6．【解析】(1)取AB 1中点E ，连接DE ，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1，推导出CC 1⊥FC 1，CC 1⊥AC ，CC 1⊥B 1C 1，DE ⊥AB 1，CC 1⊥FC 1，CC 1⊥DE ，从而DE ⊥面ABB 1A 1，由此能证明平面ADB 1⊥平面ABB 1A 1． (2)由DE ⊥面AA 1B 1B 知AD 与平面ABB 1A 1所成角即为∠EAD =π4，推导出V A−BCDB 1VA−BCB 1=32，V A−BCB 1=V C−ABB 1=13S ABB 1⋅CF 1，由此能求出四棱锥A −BCDB 1的体积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由于两圆有两个公共点，则圆心距小于半径之和， 即a 2+9<(4√2)2，解得a ∈(−√23,√23)，两圆相减得公共弦直线AB ：−6y +9=−2ax +a 2， 过原点得，a 2=9，a =±3，检验成立；(2)直线AB ：−6y +9=−2ax +a 2交x 轴，得x Q =12(a −9a )， 则|PQ|=|12(a −9a )−a|=12|a +9a |，S △PQC =12|PQ|⋅3=32|a +9a |≥9 在a =±3时取得最小值，满足a ∈(−√23,√23)，成立，此时直线AB ：y =±x ，圆心到直线距离为√2，弦长为2√8−(√2)2=√14．【解析】(1)根据两圆相交可得圆心距<半径之和，进而求出a 的范围，再代入原点坐标，可得a 的值； (2)表示出点Q 坐标，|PQ|长度，面积表达式，根据弦长公式可求得|AB| 本题考查圆与圆的位置关系，考查相交弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：(1)设切点横坐标为t ，f′(t)=−t +1+sint =1，sint −t =0， 令g(x)=sinx −x ，g′(x)=cosx −1≤0，所以g(x)恒单减，而g(0)=0， 所以t =0，从而f(0)=0得k =−1．(2)由题意，要使得−12x 2+x −cosx >k 有解，即求ℎ(x)=−12x 2+x −cosx 的最大值， ℎ′(x)=−x +1+sinx ，ℎ′′(x)=−1+cosx ≤0， 从而ℎ′(x)单减，而ℎ′(π2)=2−π2>0,ℎ′(2π3)=1+√32−2π3<2−2π3<0所以ℎ′(x)在(π2,2π3)有唯一零点x 0，所以ℎ(x)在(−∞,x 0)单增，(x 0,+∞)单减，则ℎ(x)≤ℎ(x 0)=−12x 02+x 0−cosx 0，而ℎ′(x 0)=−x 0+1+sinx 0=0， 所以ℎ(x 0)=−12(1+sinx 0)2+1+sinx 0−cosx 0=−12[1+(sinx 0)2]+1−cosx 0=−12[2−cos 2x 0]+1−cosx 0=12cos 2x 0−cosx 0，由于x 0∈(π2,2π3),cosx 0∈(−12,0)，ℎ(x 0)=12(cosx 0−1)2−12∈(0,34)，所以整数k 最大值为0．【解析】(1)只需令切点处的导数为1，然后结合导数的单调性，确定导数零点的唯一性；(2)分离整数k ，然后利用导数研究函数ℎ(x)=−12x 2+x −cosx 的单调性、零点情况，最终解决问题． 本题研究导数的几何意义及综合应用，通过导数研究函数的单调性，进而研究函数的相关性质，是此类问题的基本路子，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为：{x =tcosαy =2√33+tsinα(t 为参数).转换为直线l 的普通方程为：sinα⋅x =cosα(y −2√33)；曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2=4(y ≥0) 直线l 为过(0,23√3)，倾斜角为α的直线， 由于直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．所以：当直线的倾斜角的范围在α∈[0,π6]∪[5π6,π)时，直线与曲线有两个交点． (2)直线l 代入曲线C ：t 2+43√3sinα⋅t +43=0,t P =t 1+t 22=−23√3sinα，代入得到中点P 轨迹的参数方程：{x =−2√33sinαcosαy =2√33−2√33sin 2α(α为参数，a ∈[0,π6]∪[5π6,π)).【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)liy9ong 直线和曲线的位置关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】证明：(1)∵x ≥−1，∴x +1≥0． 又对于任意x ≥−1，不等式(1+x)3≥1+3x 成立，∴(1+x)4=(1+x)3(1+x)≥(1+3x)(1+x)=1+4x +3x 2≥1+4x ， 即(1+x)4≥1+4x ；(2)欲证(a +b)4≥a 4+4a 3b ， 只需(a+b a)4≥1+4a 3b a 4，即证(1+b a )4≥1+4⋅ba∵a ，b >0，∴ba >0>−1，由(1)知取x =ba 时上式成立，从而原不等式得证．【解析】(1)由x ≥−1，得x +1≥0，结合已知等式再由不等式的可乘积性，即可证明(1+x)4≥1+4x ； (2)欲证(a +b)4≥a 4+4a 3b ，即证(1+ba )4≥1+4⋅ba ，再由ba >−1，结合(1)得结论．本题考查不等式的证明，训练了利用分析法与综合法证明不等式，考查推理论证能力，是中档题．。