有关浮点数的详细解释

众所周知，科学计数法既可以表示整数，也可以表示小数，并且表示的数据范围很大。

在计算机中也引入了类似于十进制科学计数法的方法来表示实数，称为浮点数表示法，因其小数点位置不固定而得名。

1.浮点数的表示方法。

用浮点数表示法不仅可以表示整数和纯小数，而且可以表示一般的实数，其表示范围比定点数要大得多。因为无论采用定点还是浮点表示，n位编码总是最多只能表示2n个数，所以采用浮点表示法虽然扩大了表示范围，但并没有增加可表示的数值的个数，只是数据间的间隔变稀疏了。

一种浮点数的格式：

| M s | E s | E l-2 |...| E0 | M-1 | M-2 |...| M-(m-1) |

数符阶符阶码尾数

可见，浮点数的编码由两部分组成：阶码E和尾数M。浮点数表示的数值位：(-1)M s · M · B E.

其中，B是阶码的底，也就是尾数M的基数，一般为2。

E为阶码，即指数，为带符号的定点整数，常用移码表示，其中，E s为阶符，表示阶的正负。如果用移码表示阶码E，当阶码被作为一个无符号整数对待时，其数的大小相对关系不变，为浮点数加减法时的对阶运算提供了方便。

M是尾数，是定点纯小数，常用补码表示，也有用原码表示的。M s是尾数的符号位，安排在最高位，表示该浮点数的正负。

浮点数的表示范围主要由阶码决定，精度则由尾数决定。

2.规格化浮点数。

为了简化浮点数的操作，充分利用尾数的二进制位数来表示更多的有效数字，通常采用浮点数规格化形式，即将位数的绝对值限定在某个范围之内。一个规格化的数是一个有效数的最高有效位非0的数。

如果阶码的底为2，则规格化浮点数的尾数应满足条件：1/2<=|M|<1。

当尾数用补码表示时，若尾数M>=0，由于[1/2]补=0.10000..0 ，尾数应具有如下格式：

M=0.1xxxx...x(其中x表示既可以为0也可以为1)

若尾数M<0，由于[-1/2]补=1.10000..0，[-1]补=1.00000..0,为使计算机判断方便，一般不把[-1/2]补列为规格化的数，而把[-1]补列为规格化的数，因此尾数应具有格式M=1.0xx...x，即：符号位为1，小数点右侧的第一数值位为0时为规格化数。

这样：当M<0时，[-1]补<=[M]补<[-1/2] 补

规格化操作有两种，“左规”和“右规”。若采用变形补码表示尾数，则当结果的尾数出现11.1xx..x或00.0xx..x 的形式时，需将尾数左移1位，阶码减1，即111.xx..x或000.xx..x，直到尾数规格化为止，这个过程叫做“左规”。当浮点运算结果的位数出现01.xxx..x或10.xxx..x的形式时，并不一定溢出，应先将尾数右移一位，阶码+1，再判断是否溢出，这个过程叫做“右规”。

若采用上述规格化浮点数格式，以2位底，阶码L位（含一位阶符），用移码表示；尾数m位（含一位数符），则浮

点数能表示的

最小正数： +(1-2-(m-1))·2(2^(l-1)-1)。

最大正数： +(2-2^(l-1))/2

最大负数： -(1/2+2-(m-1))·2-2^(l-1).

最小负数： -1·22^(l-1)-1。

当一个数的大小超出了浮点数的表示范围时，称为溢出。溢出判断只是对规格化的浮点数的阶码进行判断。当阶码小于机器能表示的最小阶码时，称为下溢，此时一般当做机器零处理，机器继续运行；当阶码大于机器所能表示的最大阶码时，称为上溢，这是机器必须转入溢出故障的中断处理程序进行相应的处理

零

负上溢 | 可表示的负数| 负下溢 | 正下溢 | 可表示的正数 | 正上溢

IEEE754标准规定浮点数的尾数用原码（符号加绝对值）表示，对于用原码表示的规格化的二进制浮点数，尾数有效位的第一位一定是1，而不是0，因此这个默认的1也省去了，从而使得有效位又增加一位，这样，23位尾数的有效位长度实际是24位。

IEEE单精度浮点格式具有24位有效字符，字宽32位（1位符号，8位阶码，23位尾数）；双精度浮点格式具有53位幼小数字精度，字宽64位（1位符号，11位阶码，52位尾数）。

IEEE754标准另外一个特点是用特殊记号标记某些异常事件，记录非规格化数，正无穷，负无穷，以及非数。

在IEEE754标准中，基数隐含为2；阶码用移码表示，移码的偏移值并不是通常n位移码所用的2n-1,而是2n-1-1，这是因为尾数规格化后必须为0.100..0，而我们现在尾数用1.000..00表示，即尾数左移1位，所以阶码偏移值为2n-1-1。

IEEE754 单精度格式位模式表示的值

0

e=0,f!=0 | (-1)s·2e-126·0.f (非规格化数)

e=0,f=0 | (-1)s·0 (有符号的0)

s=0;e=255,f=0 | 正无穷

s=1;e=255;f=0 | 负无穷

s=u,e=255,f!=0 | 非数

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