理论力学运动学作业解答 学

x′y′′ − y′x′′ x′2 + y′2 = 50 × (−2) − (−2t ) × 0 50 2 + ( −2t ) 2
3
=
100 2500 + 4t 2
3 2
= 2m/s
( x′2 + y′2 ) 2 [50 2 + ( −2t ) 2 ] 动点处的轨迹曲率半径为： ρ = ′ ′′ ′ ′′ = xy − yx x′y′′ − y′x′′
分别为r 转速n 分别为 1=30cm，r2=75cm，r3=40cm，轮Ⅰ转速 1=100rpm。轮与胶带间无 轮 转速 。 滑动，求重物 上升的速度和胶带 上升的速度和胶带AB、BC、CD、DA各段上点的加速度。 各段上点的加速度。 滑动，求重物M上升的速度和胶带 各段上点的加速度 解：属定轴转动刚体及其传动问题 由图知： n3=n2=r1·n1/r2=30×100/75=40rpm ： 绳不伸长，故重物与轮Ⅲ轮缘上点 H 的速度相等 Ⅲ ∴ vM=vH=r3·ω3= r3·πn3/30 =40π·40/30≈1.68m/s 因带与各带轮间无滑动，故带与带轮轮缘的速度大小均相等， 即：vAB=vBC=vCD=vDA =r1·ω1= r1·πn1/30 =30π·100/30≈πm/s 因轮Ⅰ匀速转动，故ω1、ω2、ω3均为常量， ∴ α1=α2=α3=0 即各轮定轴 匀速转动。 AB段和CD段为直线， ∴ aAB= aCD=0 BC段与轮Ⅱ接触， ∴ DA段与轮Ⅰ接触， ∴ aBC=v2BC/r2=π2/0.75=13.16m/s2 ，指向轮Ⅱ的轴心 aDA=v2DA/r1=π2/0.30=32.90m/s2 ，指向轮Ⅰ的轴心 H
∵动点速度为： 点速度为： vy =y´=－2t ax=vx´=0 ay=vy´=－2
2 2 v = vx + v y = 502 + (−2t ) 2 = 2500 + 4t 2 = (50m/s)
y M
O1
2 ∴动点切向加速度为： a t = d t = d t ( 2500 + 4 t ) = 点切向加速度为：
P190题 P190题9-12
相对加速度切向分量a 大小未知，垂直于 相对加速度切向分量 rt：大小未知 垂直于 OA，假设向右下。 ，假设向右下。 相对加速度法向分量a 指向O。 相对加速度法向分量 rn： aen = vr 2 / R，沿OA，指向 沿 指向 B 根据加速度合成定理 aa = ae + a r + a r
P155题7-8
P155题 P155题7-8 解： 一、直角坐标法，取M为动点，连接 直角坐标法， 为动点， 为动点 连接MO1，φ=ωt，几何关系如图所示 点的运动方程为： 则M点的运动方程为：x = R +R cos2ωt 点的运动方程为 对上式求导得： 对上式求导得：vx =x´ =－2ωRsin2ωt
x' x'
a
va = ve + vr
得：va = ve / tanϕ = v / tanϕ 沿杆 向上 沿杆AB
ve v vr = = sin ϕ sin ϕ
4. 加速度分析。 加速度分析。 绝对加速度a 大小未知，为所要求的量 方向沿直线AB。 为所要求的量， 绝对加速度 a：大小未知 为所要求的量，方向沿直线 。 牵连加速度a 方向水平向左。 牵连加速度 e： ae= a，方向水平向左 方向水平向左
再求一次导， 再求一次导，得A点的切向加速度 at = 点的切向加速度
ds π π v= = lϕ0 cos t 将上式对时间求导， 将上式对时间求导，得A点的速度 点的速度 dt 4 2 4
在该两瞬时的速度和加速度。 度，亦即点M在该两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下： 亦即点 在该两瞬时的速度和加速度 计算结果列表如下：
t n
将上式投影到法线 n 上，得
O
x
另解（ 推导出的计算式进行计算， 另解（按P152例7-7推导出的计算式进行计算，从第三步开始） 例 推导出的计算式进行计算 从第三步开始） 点切向加速度为： 动点切向加速度为： at = 点法向加速度为： 动点法向加速度为： an =
x′x′′ + y′y′′ 50 × 0 + ( −2t )( −2) 4t = = =0 2 2 2 ′ 2 + y ′2 x 50 + ( −2t ) 2500 + 4t
B
3. 速度分析。 速度分析。 绝对速度v 大小未知，方向沿杆AB 绝对速度 a：大小未知，方向沿杆 。 方向水平向右。 牵连速度v 牵连速度 e： ve= v ，方向水平向右。
vr
y' y' v a φ A
相对速度v 大小未知， 相对速度 r：大小未知，方向沿凸轮圆
ve
R O n
φφ
A
v
周的切线 。 根据速度合成定理
t(s) φ(rad) 0 2 0 φ0 v (m·s－1)
π ϕ0l=15.71(水平向右) 4
at (m·s－2) 0
− π2 ϕ0l=-12.34(铅垂向上) 16
an (m·s－2)
π2 2 ϕ0 l = 1 6
6.17 (铅垂向下)
0
0
P172题 P172题8-8
绞车由带轮Ⅰ 绞车由带轮Ⅰ、Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成，轮Ⅱ和轮Ⅲ固连，各轮半径 及鼓轮Ⅲ组成， 和轮Ⅲ固连，
s
n φ R 2φ
a= a
M0 0
2 点的加速度为： 指向曲率中心O 则M点的加速度为： a = at2 + an = 0 + (4 Rω 2 )2 = 4 Rω 2 指向曲率中心 1 点的加速度为
P156题 P156题7-11 已知动点的运动方程：x=50t，y=500－t2，x、y单位为 ，t单 已知动点的运动方程： 单位为m， 单 单位为 点的切向加速度和法向加速度及轨迹的曲率半径。 位为 s，求 t = 0 时， 动点的切向加速度和法向加速度及轨迹的曲率半径。 ， 解：运动方程对时间求导得： vx =x´=50 运动方程对时间求导得：
dv
d
4t 2500 + 4 t
2
=0
2
而动点加速度为： 而动点加速度为： 点加速度为
a =
2 ax + a2 = y
0 + ( − 2 ) 2 = 2 m/s
2 2 − 0 = 2 m/s
2
∴动点法向加速度为： a n = 点法向加速度为：
a 2 − a t2 =
∴动点处的轨迹曲率半径为：
v 2 50 2 ρ= = = 1250m an 2
s = ϕ0l sin π t 4
4
dv π π = − lϕ0 sin t dt 16 4 2 2 v π π 2 an = = lϕ0 cos2 t A点的法向加速度 点的法向加速度 l 16 4 就可求得A点在该两瞬时的速度和加速 代入 t = 0和 t = 2，l=40cm，φ0=0.5rad 就可求得 点在该两瞬时的速度和加速 和 ，
凸轮在水平面上向右作匀速运动，如图所示。设凸轮半径为R， P190题 P190题9-12 凸轮在水平面上向右作匀速运动，如图所示。设凸轮半径为 ，图示 瞬时的速度和加速度分别为v和 。求杆AB在图示位置时的速度和加速度 在图示位置时的速度和加速度。 瞬时的速度和加速度分别为 和a。求杆 在图示位置时的速度和加速度。φ=60 º 解： 1. 选择动点、动系与定系。 选择动点、动系与定系。 动点－ 的端点A 动点－杆AB 的端点 。 动系－Ox´y´，固连于凸轮。 定系－固连于机座。 动系－ 固连于凸轮。 定系－固连于机座。 2. 运动分析。 运动分析。 绝对运动－铅垂平动。 相对运动－圆周运动。 绝对运动－铅垂平动。 相对运动－圆周运动。 牵连运动－水平平动。 牵连运动－水平平动。
2 x 2 y
y =R sin2ωt
vy =y´ =
2
v ay a R 2φ φ φ
vy vx ax
2Rωcos2ωt
2
点的速度为： 则M点的速度为： = v + v = ( −2ω R sin 2ω t ) + ( 2 Rω cos 2ω t ) = 2 Rω 点的速度为 v cos(v, i)=vx/v=－sin2ωt 对速度分量求导得： 对速度分量求导得：ax = vx´ =－4ω2Rcos2ωt 点的加速度为： 则M点的加速度为： 点的加速度为
a=
2 2 a x + a y = 4ω 2 R
(v, i)=π/2+2ωt ay = vy´ =－4ω2R sin2ωt (a, i)=π+2ωt v
cos(a, i)=ax/a=－cos2ωt
二、自然法（由下述结果可知：轨迹已知时，用自然法更简便） 自然法（由下述结果可知：轨迹已知时，用自然法更简便） M点的运动方程为： s =R · 2ωt = 2Rωt 点的运动方程为： 点的运动方程为 点的速度为： 则M点的速度为： 点的速度为 根据有关公式得： 根据有关公式得： v = s´ = 2Rω 沿M点的切线指向左上方 点的切线指向左上方 a t = v ´= 0 a n = v2/R =4Rω2
503 = = 1250m 100
π P171题 P171题8-1 摇筛机构 1O2=AB ，O1A=O2B= l =40cm，杆O1A按ϕ = ϕ0 sin t 摇筛机构O ， 按
中点M的速度和加速度 的速度和加速度。 的规律摆动， 的规律摆动，求 t = 0 和 t = 2 s时，φ0=0.5rad ，筛面中点 的速度和加速度。 时 杆平动。 解： AB杆平动。为求中点 的速度和加速度， 杆平动 为求中点M 的速度和加速度， 只需求出A点 只需求出 点 （ 或 B点） 的速度和加速度即可 。 点 的速度和加速度即可。 本题中点A在圆弧上运动，圆弧的半径为 。 本题中点 在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以 在圆弧上运动 最高点O为起点，规定弧坐标s向左为正 向左为正， 最高点 为起点，规定弧坐标 向左为正，则A点 为起点 点 的运动方程为
∴a =
2 aτ2 A + a nA =
( 30 π ) 2 + ( 6000 π 2 ) 2 ≈ 592 .117 ( m / s 2 )
Baidu Nhomakorabea
P189题9-9 摇杆OC通过固定于齿条AB上的销子K带动齿条上下移动，齿 条又带动半径为10cm的齿轮绕 O1 轴转动，如在图示位置时摇杆的角速度 ω=0.5rad/s，求此时齿轮的角速度ωO1 。 解： 选K为动点，动系固连于摇杆。 则齿条AB 包括销K的铅垂运动为绝对运动， 摇杆OC绕O轴转动为牵连运动，垂直于OC， 销子K在齿条槽内的直线运动为相对运动。 牵连速度、相对速度、绝对速度方向如图示 由速度合成定理 va
vM
摩擦传动机构主动轮1 ，它与被动轮2 P172题 P172题8-9 摩擦传动机构主动轮1的转速 n =600rpm，它与被动轮2的接触点 按箭头方向移动， ， (1)以 C 按箭头方向移动，距离 d =10-0.5t(cm、s)，r = 5cm，R =15cm，求(1)以α ， 表示轮2的角加速度； 的全加速度。 表示轮2的角加速度；(2)d =r 时，轮2边缘上一点 A 的全加速度。 解：两轮只滚不滑时，两轮接触点C处的速度相同，即 vc1= vc2 两轮只滚不滑时，两轮接触点C处的速度相同， (1)ω (1) 1= πn1/30=20π(rad/s)， 由 vc1= vc2 即 ω1r =ω2d 得 ω2= ω1r/d =100π/(10－0.5t) ∴α2=ω2'=50π/(10－0.5t)2=50π/d2(rad/s2) (2)当 (2)当d =r 时， aτA= Rα2 =R×50π/d2 =15×50π/52 =30π(cm/s2) vA= Rω2=Rω1r/d = 15×20π=300π (rad/s) anA= ω22R =15×(20π)2 =6000π2 (cm/s2) 或 anA = vA2/R= (300π)2/15 =6000π2 (cm/s2) 2 1 C A
x' y'
vr ve v
ω01
v a = ve + v r
得： va= ve/sin60º=ω·OK/sin60º =0.5×(40/sin60º)/sin60º=80/3=26.7(cm/s) 齿条为平动刚体，故与齿轮的接触点的速度v也为 va ，即 v = va = ωO1r 解得： ωO1= va/r=26.7/10=2.67(rad/s)