一元二次方程知识梳理及精选习题

一元二次方程知识梳理及精选习题
知识梳理：（6，14）
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为_____的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式为_____．
3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的_____，也叫做一元二
次方程的____
4若x 2＝a(a ≥0)，则x 就叫做a 的平方根，记为x ＝___ _(a ≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 5．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__ ___．
6．如果方程能化为x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的形式，那么x ＝_____或mx ＋n ＝_____． 7通过配成 来解一元二次方程的方法叫做配方法．
8．配方法的一般步骤：
(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；
(2)配方：方程两边同时加上__ ___，使左边配成一个完全平方式，写成__ ___的形式；
(3)若p__ __0，则可直接开平方求出方程的解；若p__ __0，则方程无解
9,一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__
__时，x ＝－b±b 2－4ac 2a
，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__ ___．
10．式子__ ___叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__ ___；Δ＝0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__ ___；Δ
＜0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__ __．
11当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次
方程化为__ ___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降
次，这种解法叫做__ ___法．
12．解一元二次方程，首先看能否用__ ___；再看能否用__ __；否则就用__ __；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__ ___．
若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝_____，x 1x 2＝____．
13．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝____，x 1x 2＝
____．
14．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ _ __；
(2)二次方程，即__ ___；(3)有根，即__ __．
精选习题
1，已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋3m ＝0，当m ___时，它是一元二次方程；当
m_____时，它是一元一次方程
2，若方程(m －2)x 2＋mx ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是
3，．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对
角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
4,已知m 是方程x 2－2 013x ＋1＝0的一个根，试求代数式m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1
的值
5已知等腰三角形的两边长分别是(x －3)2＝1的两个解，则这个三角形的周长是( )
A ．2或4
B ．8
C ．10
D ．8或10
6，若关干x 的一元二达方程(a+
2
1)x 2-(4a 2-1)x+1=0的一次项系教为0.则a 的值为 7，已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=． （1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项
8,已知实数m.n 满足(2m 2十n 2 +1)(2m 2十n 2一1)=80，试求2m 2+n 2的值
9若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( )
A ．k ＞－1
B ．k ＜1且k ≠0
C ．k ≥－1且k ≠0
D ．k ＞－1且k ≠0
10,若方程4x 2- (m - 2)x+ 1=0的左边是一个完全平方式， 则m 等于
11,.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2- 6x+ 8= 0的一一个根， 则这个三角形的周长是
12.已知点(5-k 2，2k+ 3)在第四象限，且在其角平分线上，则k=_
13.若关于x 的方程kx 2-x -43
= 0有实数根，则实数k 的取值范围是
14,.若一元二次方程x 2- 2x- m=0无实数根，则一次函数y= (m+ 1)x+m- 1的图象不经过(
) A 第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
15,当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，
12（x －4）＜13（x －4）
时，求出方程x 2－2x －4＝0的根
16.已知等腰三角形的一边长为3，它的其他两边长恰好是关于x 的一元二次
方程x 2- 8x+ m= 0的两个实数根，求m 的值.
17.已知关于x 的一-元二次方程(m - 1)x 2+ (m - 2)x - 1= 0(m 为实数).
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围;
(2)若m 是整数，且方程有两个不相等的整数根，求m 的值.
18，已知实数x 满足(x 2－x)2－4(x 2－x)－12＝0，则代数式x 2－x ＋1的值为___
19，三角形的每条边的长都是方程x 2-6x +8=0的根，则三角形的周长是___________ 20方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )
A ．－2或3
B ．3
C ．－2
D ．－3或2
21关于x 的一元二次方程
的两个实数根分别是，且=7,则的值是（ ） A ．1 B.12 C.13 D.25
22，关于x 的方程
只有一解（相同解算一解），则a 的值为（ ） A ．a =0 B.a =2 C.a =1 D.a =0或a =2
23，利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．
24，若a ，b ，c 是△ABC 的三边长且满足a 2－6a ＋b 2－8b ＋c －5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状
25已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2.
(1)求实数k 的取值范围；
(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值
26关于x 的方程04
)2(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围. (2) 是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由
27已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
28,设x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，求x13＋2016x2－2015的值．
29，用适当的方法解方程：
(1)2(x－1)2＝12.5；(2)x2＋2x－168＝0；(3)2x2＝2x；(4)4x2－3x－2＝0.
(5)4(x－1)2＝2；(6)x2－6x＋4＝0；(7)x2－4＝3x－6；(8)(x＋5)2＋x2＝25.（9）配方法解一元二次方程：2x2+1=3x. (10) 解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.
(11)解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0. (12)解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.。