一元二次方程知识梳理及精选习题
(完整版)一元二次方程知识点和经典例题

一元二次方程一.基本概念定义:形如:02=++c bx ax (0≠a )的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题:若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程,求m 的值.二.一元二次方程的解法(1)直接开方法: 02=+c ax , 开平方求出未知数的值:ac x -±= (2)因式分解法:0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得:0))((=--n x m x ∴m x =1,n 2=x(3)配方法:061232=-+x x ,得:242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即:6)2(2=+x ∴621+-=x ,622--=x(4)公式法:解法步骤:○1先把一元二次方程化为一般式; ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值;○3计算出ac b 42-的值;○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题:解方程: x(x+12)=8x+12解:原方程化简得:01242=-+x x ,方程中:a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×(-12)=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为:21=x ,=2x -6.一元二次方程解法练习题:(1)用直接开方法解一元二次方程: ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x(2)用因式分解法解一元二次方程:○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x(3)用配方法解一元二次方程:○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x(4)用公式法解一元二次方程:○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0(5)选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式:把ac b 42-=∆叫做一元二次方程:02=++c bx ax (0≠a )的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况:20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根;当时方程有两个实数根;当时方程有两个相等的实数根;当的值小于时,即:时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况:(1)08822=+-x x (2)24120x x +-= (3)20232=+-x x解:(1)方程中:a=2,b=-8,c=8,∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.(2)方程中:a=1,b=4,c=-12,∆=ac b 42-=(4)2-4×1×(-12)=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.(3)方程中:a=2,b=-3,c=2,∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程(m -1)x 2-2(m -3)x +m +2=0有实数根,求m 的取值范围.解:当m -1≠0时, 即:m 1≠时,该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆,即:Δ=[-2(m -3)]2-4(m -1)(m +2)=-28m +440≥ 解得:711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证:关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+-+=(k 3)≤总有实数根. 证明:∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤,∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+-+=(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理:设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ,则:ab 2x 1x -=+; a 2x 1xc =• 特别地:对于一元二次方程20x px q ++=,根与系数的关系为:12x x p +=-; 12x x q =注:○1此定理成立的前提是0∆≥.也就是说必须在方程有实..数根..时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】

一元二次方程总复习考点1:一元二次方程的概念一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0〕。
注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。
考点2:一元二次方程的解法1.直接开平方法:对形如(x+a〕2=b〔b≥0〕的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法:用配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0(k≠0〕的一般步骤是:①化为一般形式;②移项,将常数项移到方程的右边;③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数;④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方;化原方程为(x+a〕2=b 的形式;⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解;如果b≤0,那么原方程无解.3.公式法:公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2-4ac≥0)。
步骤:①把方程转化为一般形2a式;②确定 a,b,c 的值;③求出 b2-4ac 的值,当 b2-4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法:用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据:假设ab=0,那么 a=0 或b=0。
步骤是:①将方程右边化为 0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的考前须知:⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0.因当a=0 时,不含有二次项,即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定a,b,c 的值;②假设b2-4ac<0,那么方程无解.⑶ 利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4) 2 =3〔x+4〕中,不能随便约去 x+4。
一元二次方程知识点总结及相关练习题

一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程。
它的一般形式为ax^2+bx+c=0(其中a≠0),其中ax^2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。
它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。
根据平方根的定义可知,x+a是b的平方根,当b≥0时,x=-a±b;当b<0时,方程没有实数根。
2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式。
3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a,一次项的系数为b,常数项的系数为c。
4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法。
这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤是:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式。
5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。
韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和=-b/a,二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
在题目中,XXX定理是很常用的。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式,通常用“Δ”来表示,即Δ=b^2-4ac。
第17章 一元二次方程(知识清单+典型例题)(原卷版)

第17章 一元二次方程(知识清单+典型例题)【知识导图】【知识清单】1.一元二次方程的概念一元二次方程2(0)0a x bx c a ìïíï=¹î++一个未知数2整式方概念:只含有,且未知数的一程最高次数是的.般式:C .()()513x x -+=D .()212y x =-+【变式】方程25610x x --=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )A .5,6-,1-B .5,6,1C .1,6-,1D .1,6,1-2.一元二次方程的解法解法2212,0(0)0,0a c x ax c a x x c c x a a c ì=ïïï+=¹Þ=íï===ïïîìíî-开平方法无实数根因式分解法一次因式积零异号时,:形如:的方程同号公时,;时,:把一元二次方程分解成两个等于的形式,分别令两个一次因式为零求解。
把常数项移到方程右边;把二次项系数化为;方程两边都加上:半;左边配成配方法一次项系数一的平方完程全平方式①②1③④.24b ac x ìïïïïïïïïïíïïïïìïïD ==ïíïïîïïî-式:化成一般式;计算判别式法;①②③【例2】解下列方程:(1)22(1)18x -=.(2)2450x x --=.【变式】解下列方程:(1)()()273273x x +=+;(2)2640x x --=.3.一元二次方程的判别式000.D >ÛìïD ÛíïD <Ûî两个不相等两个方程有的实数根;=方程有的实数根;方实数根没有程相等【例3】(2023上·上海金山·八年级校考期中)下列方程是关于x 的一元二次方程,一定有实数解的是( )A .220x x ++=B .220x x m ++=C .2230x x -+-=D .2240x x --=4.二次三项式的因式分解:步骤:21212220(0),()()40ax bx c a a x x a x x x c x b ac x bx ì-³ïí++=ï++=¹--î如果,先求出方程,再写出分解式:的两根①②5.一元二次方程的应用题一般步骤:ìíî找出题中的;设;列出,即根据找出的等量等量关系未知数方程含有未知数的等关系列出;解方作式检程;。
一元二次方程经典例题及详细解答

一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程,它的解法丰富多样,具有很高的实用价值。
本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法,以及一些经典例题的详细解答。
一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程,其中a≠0,x是未知数,a、b、c均为已知系数。
一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0,其中a、b、c是常数,且a≠0。
一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种:配方法和公式法。
1.配方法配方法也称补全平方法,是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。
这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。
2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程,一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。
一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题,详细解答一元二次方程的解题过程。
1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0,求方程的根。
解:根据公式法,将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中,得到:x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3,x2=2。
所以方程的根为x1=3,x2=2。
2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0,求方程的根。
解:同样使用公式法,将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中,得到:x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2,x2=2。
所以方程的根为x1=3/2,x2=2。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理:1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法,适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法,即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式,一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式,其中求根公式是(x±a)²=b,当时,方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法,其中求根公式是(x±a)(x±b)=0,当时,方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法,当时,方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括:列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类:考点一:一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点:①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二:一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0,其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
考点三:解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法:直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法,解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
一元二次方程知识归纳与题型突破(12类题型清单)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册

一元二次方程知识归纳与题型突破(12类题型)一、一元二次方程的定义(1)一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.(2)概念解析:一元二次方程必须同时满足三个条件:①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高01 思维导图02 知识速记次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.二、一元二次方程的一般形式(1)一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项;c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数,二次项系数a是不等于0的实数,这是因为当a=0时,方程中就没有二次项了,所以,此方程就不是一元二次方程了.(2)要确定二次项系数,一次项系数和常数项,必须先把一元二次方程化成一般形式.三、一元二次方程的解(1)一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.(2)一元二次方程一定有两个解,但不一定有两个实数解.这x1,x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,则下列两等式成立,并可利用这两个等式求解未知量.ax12+bx1+c=0(a≠0),ax22+bx2+c=0(a≠0).四、解一元二次方程-直接开平方形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±;如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±.注意:①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.③方法是根据平方根的意义开平方.五、解一元二次方程-配方法(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.六、解一元二次方程-公式法(1)把a acbbx24 2-±-=(b2﹣4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为:①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);②求出b2﹣4ac的值(若b2﹣4ac<0,方程无实数根);③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.注意:用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:①a≠0;②b2﹣4ac≥0.七、解一元二次方程-因式分解法(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤:到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.八、由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时,要全面、系统地申清问题的已知和未知,以及它们之间的数量关系,找出并全面表示问题的相等关系,设出未知数,用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,即列出一元二次方程.九、一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意设未知数,列出方程,解所列方程求所列方程的解,检验和作答.2、列一元二次方程解应用题中常见问题:(1)数字问题:个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.(2)增长率问题:增长率=增长数量/原数量×100%.如:若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为a(1+x);第二次增长后为a(1+x)2,即原数×(1+增长百分率)2=后来数.(3)形积问题:①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积,以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系,列比例式,通过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1.审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.2.设:根据题意,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.3.列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程.4.解:准确求出方程的解.5.验:检验所求出的根是否符合所列方程题型一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程例1.(23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A .20ax bx c ++=B .212xx +=C .221x x y +=+D .()()22131x x+=+ 1.(2023·江苏盐城·模拟预测)下列方程是一元二次方程的是( )A .20ax bx c ++=B x=C .21220x x ++=D .()22134m x x +-=【答案】D【分析】此题主要考查了一元二次方程定义,判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.根据一元二次方程的定义进行判断即可03 题型归纳【详解】解:A 、当0a =时不是一元二次方程,故本选项不符合题意;B 、该方程不是整式方程,故本选项不符合题意;C 、该方程不是整式方程,故本选项不符合题意;D 、该方程符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,故本选项正确;故选:D .2.(23-24八年级下·山东烟台·期中)下列方程中,关于x 的一元二次方程是( )A .7x y -=B .220x x ++=C .120x x +=D .()232x x x -=+3.(23-24八年级下·山东烟台·期中)下列方程中:①2210x x -+=;②20ax bx c ++=;③22350x x +-=;④20x -=;⑤()2212x y -+=;⑥()()22132x x x --=,一元二次方程的个数为( )A .1B .2C .3D .4⑥()()22132x x x --=,即730x -+=,未知数的最高次不是2,不是一元二次方程;∴一元二次方程有2个,故选:B .题型二 一元二次方程的一般形式例2. (23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)方程()()320x x +-=化为一元二次方程的一般形式是 .【答案】260x x +-=【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式,即20(0)ax bx c a ++=¹.其中a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.去括号合并同类项整理即可.【详解】解:∵()()320x x +-=∴22360x x x -+-=∴260x x +-=故答案为:260x x +-=巩固训练1.(23-24八年级下·广西崇左·期中)把方程()()223243x x +=-化为一元二次方程的一般形式是 .2.(23-24八年级下·山东东营·阶段练习)把一元二次方程()()112x x x +-=化成一般形式后得到二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .【答案】 1 2 1-【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式.首先利用平方差公式进行计算,再整理得到2210x x +-=,然后再确定二次项、一次项系数和常数项.【详解】解:方程()()112x x x +-=整理为一般形式为2210x x +-=,∴二次项系数是1,一次项系数是2,常数项是1-,故答案为:1,2,1-.3.(23-24九年级上·四川南充·阶段练习)方程2(21)(3)1x x x +-=-化为一般形式为,二次项系数、一次项系数、常数项的和为.题型三 利用一元二次方程的定义求参数例3.(23-24八年级下·安徽六安·阶段练习)若关于x 的方程()211450mm x x +++-=是一元二次方程,则m 的值是( )A .0B .1-C .1D .1±【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的定义,掌握一元二次方程的定义是解题的关键.理解一元二次方程的定义,需要抓住两个条件:①二次项系数不为0;②未知数的最高次数为2;结合一元二次方程的定义,可以得到关于m 的方程和不等式,求解即可得到m 的值.【详解】解:Q 关于x 的方程()211450m m x x +++-=是一元二次方程,\21012m m +¹ìí+=î,解得1m =.故选:C .巩固训练1.(2024八年级下·安徽·专题练习)关于x 的方程||(2)23m m x mx -++=是一元二次方程,则m 值为( )A .2或2-B .2C .2-D .0m ³且2m ¹【答案】C【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义,根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可.【详解】解:∵关于x 的方程||(2)23m m x mx -++=是一元二次方程,∴||2m =且20m -¹,解得2m =-.故选:C .2.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)若()22210mm x mx ---+=是一元二次方程,则m 的值为( )A .2B .2-C .2或2-D .3.(23-24八年级下·安徽池州·期末)若关于x 的方程22(2)430kk x x --+-=是一元二次方程,则k = .【答案】2-【分析】本题考查了一元二次方程,熟记定义是解题关键.根据一元二次方程的定义(只含有一个未知数,并且未知数的最高次数2的整式方程,叫做一元二次方程)即可得.【详解】解:∵关于x 的方程22(2)430k k x x --+-=是一元二次方程,∴22220k k ì-=í-¹î,解得2k =-,故答案为:2-.题型四 一元二次方程的解求参数的值例4. (2024·江苏镇江·二模)已知2x =是方程230x x c -+=的一个根,则实数c 的值是.【答案】2【分析】本题主要考查了一元二次方程的解,把2x =代入230x x c -+=即可求出c 的值.【详解】解:把2x =代入230x x c -+=,可得出22320c -´+=,解得:2c =,故答案为:2.巩固训练1.(23-24八年级下·浙江杭州·期中)关于x 的一元二次方程2320x x m ++-=有一个根为0,则m 的值是( )A .1B .1±C .2D .2±2.(2024·山东济南·三模)关于x 的一元二次方程2420x x m -+=的一个根14x =,则m =.【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程,把14x =代入方程2420x x m -+=,解关于m 的方程即可.【详解】解:把14x =代入方程2420x x m -+=得161620m -+=解得:0m =故答案为:0.3.(2024·山东济南·二模)已知关于x 的一元二次方程2260x mx +-=的一个根是3,则m 的值是 .【答案】4-【分析】根据一元二次方程2260x mx +-=的一个根是3,将3x =代入原方程得到关于m 的一元一次方程进而即可解答.本题考查了一元二次方程的根,一元一次方程的解,理解一元二次方程的根是解题的关键.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程2260x mx +-=的一个根是3,∴将3x =代入方程2260x mx +-=得:223360m ´+-=,解得:4m =-,故答案为:4-.题型五 一元二次方程的解求代数式的值例5. (2024·青海玉树·三模)若3x =是关于x 的方程26ax bx -=的解,则202493a b -+的值为.1.(2024·四川南充·中考真题)已知m 是方程2410x x -=+的一个根,则(5)(1)m m +-的值为.【答案】4-【分析】本题主要考查了二元一次方程的解,以及已知式子的值求代数式的值,根据m 是方程2410x x -=+的一个根,可得出241m m +=,再化简代数式,整体代入即可求解.【详解】解:∵m 是方程2410x x -=+的一个根,∴241m m +=(5)(1)m m +-255m m m =-+-245m m =+-15=-4=-,故答案为:4-.2.(2024·江苏常州·二模)已知m 为方程 ²360x x --=的一个根,则代数式²36m m -+-的值是.3.(2024·福建·模拟预测)已知m 为方程2320240x x +-=的根,那么32220272024m m m +-+的值为【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义;将方程的根代入方程,化简得232024m m +=,将代数式变形,整体代入求值即可.【详解】∵m 为方程2320240x x +-=的根,∴2320240m m +-=,∴232024m m +=,∴原式3223320242024m m m m m =+---+223320242024()()m m m m m m =+-+-+2024202420242024m m =--+0=.故答案为:0.题型六 一元二次方程的解的估算例6. (23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习)根据表格中的数据:估计一元二次方程20ax bx c ++=(a ,b ,c 为常数,0a ¹)一个解x 的范围为( )x 0.51 1.5232ax bx c++28181042-A .0.51x <<B .1 1.5x <<C .1.52x <<D .23x <<1.(23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习)已知2310x x -+=,依据下表,它的一个解的范围是( )x 2.52.6 2.7 2.8231x x -+0.25-0.04-0.190.44A .2.5 2.6x <<B .2.6 2.7x <<C .2.7 2.8x <<D .不确定【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算,由表格可知,231x x -+的值随着x 的增大而增大,那么在2.6与2.7之间必然有一个数使得代数式231x x -+的值为0,据此可得答案.【详解】解:由表格可知,231x x -+的值随着x 的增大而增大,当 2.6x =时,2310.040x x -+=-<,当 2.7x =时,2310.190x x -+=>,那么在2.6与2.7之间必然有一个数使得代数式231x x -+的值为0,∴方程2310x x -+=的一个解的范围为2.6 2.7x <<.故选:B .2.(23-24八年级下·江苏苏州·期中)观察表格,一元二次方程22 1.10x x --=的一个解的取值范围是.x 1.3 1.4 1.51.6 1.7 1.8 1.922 1.1x x --0.71-0.54-0.35-0.14-0.090.340.61【答案】1.6 1.7x <<【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.根据图表数据找出一元二次方程等于0时,未知数的值的范围,即可得到答案.【详解】解: 1.6x =时,0.14y =-, 1.7x =时,0.09y =,∴一元二次方程22 1.10x x --=的解的范围是1.6 1.7x <<.故答案为:1.6 1.7x <<题型七 用配方法配一元二次方程例7.(23-24八年级下·浙江金华·221x x -=,配方后得到的方程是( )A .2(1)2x -=B .()212x +=C .2(1)0x +=D .2(1)0x -=【答案】A【分析】本题考查了配方法解一元二次方程,将方程两边同时加上一次项系数一半的平方,再写成完全平方式即可得出答案.【详解】解:∵221x x -=,∴22111x x -+=+,即2(1)2x -=,故选:A .巩固训练1.(2024·山西阳泉·三模)用配方法解一元二次方程28100x x -+=配方后得到的方程是( )A .()2854x +=B .()2854x -=C .()246x +=D .()246x -=【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法.把常数项移到等式右边后,利用完全平方公式配方得到结果,即可做出判断.【详解】解:28100x x -+=,移项得:2810x x -=-,配方得:28161016x x +=-+-,整理得:()246x -=,故选:D .2.(2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测)用配方法解一元二次方程22510x x --=,配方正确的是( )A .2533416x æö-=ç÷èø B .2541416x æö-=ç÷èø C .252724x æö-=ç÷èø D .252924x æö-=ç÷èø3.(23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习)用配方法解方程23430x x --=,应把它先变形为( )A .221339x æö-=ç÷èø B .2203x æö-=ç÷èø C .21839x æö-=ç÷èø D .211039x æö-=ç÷èø题型八 解一元二次方程例8.(23-24九年级·江苏·假期作业)解关于x 的方程(因式分解方法):(1)230x =;(2)7(3)39x x x -=-.1.(2024八年级下·浙江·专题练习)解方程:(1) 2490x -=;(2)()221491x +-=.【答案】(1)17x =,27x =-(2)14x =,26x =-【分析】本题考查解一元二次方程:(1)利用直接开平方法求解;(2)先移项,再利用直接开平方法求解.【详解】(1)解:2490x -=,249x =,∴7=±x ,∴17x =,27x =-;(2)解:()221491x +-=,()2125x +=,∴15x +=±,∴14x =,26x =-.2.(23-24九年级上·安徽芜湖·期中)用适当的方法解方程:()()22325x x -=+3.(23-24八年级下·广西崇左·期中)解方程:(1)22350x x --=;(2)()2326x x +=+.【答案】(1)17x =,25x =-(2)13x =-,21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程,能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键,解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等.(1)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;(2)移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.【详解】(1)解:22350x x --=,因式分解得()()750x x -+=,即70x -=或50x +=,解得17x =,25x =-.(2)解:()2326x x +=+,移项得()()23230x x +-+=,因式分解得()()3320x x ++-=,即30x +=或320x +-=,解得13x =-,21x =-.4.(23-24八年级下·全国·假期作业)用公式法解下列方程:(1)2120x x --=;(2)22530x x +-=;(3)22770x x -+=.5.(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用配方法解方程:(1)242x x+=;(2)27304x x--=;(3)2483x x-=-;(4)2441018x x x++=-题型九 解一元二次方程中错解复原问题例9:(2024·江西吉安·三模)小明解一元二次方程2++=的过程如下,请你仔细阅读,并回答问题:x x2530(1)小明解此方程使用的是______法;小明的解答过程是从第______步开始出错的.(2)请写出此题正确的解答过程.1.(23-24八年级下·全国·2+=解:∵a =b =c =∴(2244320b ac D =-=-=>,∴2x ==,∴12x =,22x =-.请你分析以上解答过程有无错误,如有错误,指出错误的地方,并写出正确的结果.2.(23-24八年级下·广西百色·期中)小涵与小彤两位同学解方程()()2366x x x -=-的过程如下:小涵的解题过程:第1步:两边同时除以()6x -得36x x =-,第2步:移项,得36x x =-,第3步:解得2x =-.小彤的解题过程:第1步:移项,得()()23660x x x ---=,第2步:提取公因式,得()()6360x x x ---=.第3步:则60x -=或360x x --=,第4步:解得16x =,22x =.(1)小涵和小彤的解法都不正确,小涵第一次出错在第_____步,小彤第一次出错在第_____步;(2)请你给出正确的解法,并结合你的经验提出一条解题注意事项.【答案】(1)1,2(2)正确的解法见解析,16x =,23x =-.注意事项:移项时要注意改变符号,或(除数不能为0)【分析】本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.(1)根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案;(2)利用因式分解法解答即可.【详解】(1)解:小涵的解法中,因为()6x -可能为0,所以不能两边同时除以()6x -,即第一次出错错在第1步;小彤的解法中,第1步移项没错,第2步提取公因式后有一项忘记变号,即第一次出错错在第2步;故答案为:1;2;(2)解:正确的解法是:()()2366x x x -=-,移项,得()()23660x x x ---=,提取公因式,得()()6360x x x --+=,则60x -=或360x x -+=,解得1263x x ==-,,注意事项:在利用因式分解法解一元二次方程时,注意把方程一边的多项式正确因式分解.题型十 根据判别式判断一元二次方程根的情况例10.(23-24九年级下·云南昆明·阶段练习)已知关于x 的一元二次方程2550x x -+=的根的情况,下列说法正确的是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .没有实数根D .无法确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹根的判别式24=b ac D -与根的关系,熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当0D >时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当Δ0=时,一元二次方程有两个相等的实数根;当Δ0<时,一元二次方程没有实数根.【详解】解:∵2550x x -+=,∴()2541550D =--´´=>,∴方程两个不相等的实数根.故选A .巩固训练1.(2024·河南周口·三模)关于x 的一元二次方程2220x mx +-=的根的情况是( )A .没有实数根B .只有一个实数根C .有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根2.(2024·上海·中考真题)以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )A .260x x -=B .290x -=C .2660x x -+=D .2690x x -+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况,解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=¹,当240b ac D =->时,方程有两个不相等实数根;当240b ac D =-=时,方程的两个相等的实数根;当24<0b ac D =-时,方程没有实数根.分别计算出各选项中的根的判别式的值,即可判断.【详解】解:A .()2Δ6410360=--´´=> ,该方程有两个不相等实数根,故A 选项不符合题意;B .()2Δ0419360=-´´-=> ,该方程有两个不相等实数根,故B 选项不符合题意;C .()2Δ6416120=--´´=> ,该方程有两个不相等实数根,故C 选项不符合题意;D .()2Δ64190=--´´= ,该方程有两个相等实数根,故D 选项不符合题意;故选:D .3.(23-24八年级下·安徽六安·阶段练习)下列方程中,没有实数根的是( )A .22x x=B .2210x x -+=C .260x x --=D .224x x =-【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=¹,当240b ac D =->时,方程有两个不相等的实数根;当240b ac D =-=时,方程有两个相等的实数根;当24<0b ac D =-时,方程没有实数根是解题的关键.分别计算四个方程的根的判别式,然后根据判别式的意义判断根的情况.【详解】解:A 、22x x =可化为:220x x -=2(1)42010D =--´´=>Q ,\方程有两个不相等的实数根;B 、2210x x -+=()2Δ24110=--´´=Q ,\方程有两个相等的实数根;C 、260x x --=()2Δ141(6)250=--´´-=>,\方程有两个不相等的实数根;D 、224x x =-可化为:2240x x -+=2(2)414120D =--´´=-<Q ,\方程没有实数根;故选:D .题型十一 利用一元二次方程根与系数的关系求值例11.(2024·江西宜春·模拟预测)一元二次方程2310x x --=的两根分别为a ,b ,则()ab a b += .1.(2024·江西吉安·一模)已知方程2430x x --=的两个根分别为1x ,2x ,则12x x 的值为 .2.(2024·广东深圳·模拟预测)若1x ,2x 是方程2210x x --=的两个根,则121222x x x x +-的值为 .∴121x x =-,122x x +=,∴()()121212122222215x x x x x x x x +-=+-=´--=,故答案为:5.3.(2024·江苏南京·三模)设12x x 、是方程2320210x x --=的两个根,则21122x x x -+= .【答案】2024【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系,方程解的定义,掌握一元二次方程根与系数关系,方程解的定义是解题的关键.根据根与系数关系得到123x x +=,之后将1x 代入方程中得到211320210x x -=-,变形为21132021x x -=,两式相加即可得到答案.【详解】解:Q 12x x 、是方程2320210x x --=的两个根,\ 123x x +=,211320210x x -=-,\ 21132021x x -=,\ 22112111220213230224x x x x x x x -+=-+=+=+.故答案为:2024.4.(2024·山东济宁·一模)设a ,b 是一元二次方程23170x x +-=的两个根,则252a a b ++=.题型十二 用一元二次方程解决与图形有关的问题例12:(23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)一个矩形蔬菜大棚长32m ,宽20m ,其中有两横两竖四条小路,横竖小路的宽度相同,小路的面积占整个大棚面积的532.(1)小路的宽度是多少?(2)蔬菜的种植需要两组工人来完成,甲组每平方米50元,乙组每平方米60元,若完成此大棚的种植不超过30000元,至少安排甲组种植多少平方米?1.(23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)李大爷用30米的栅栏围成一个菜园,围成的菜地是如图所示的矩形ABCD.设边AD的长为x(单位:米),矩形ABCD的面积为S(单位:平方米).(1)求S与x之间的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围);<,请求出此时AD的长.(2)若矩形ABCD的面积为54平方米,且AB AD2.(重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题)新高考采用“312++”的模式,对生物学科提出了更高的要求.某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力,组建了生物课外活动小组.在一次野外实践时,同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是21.(1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支?(2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜,一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为10米),其余部分需要用总长为22米的栅栏围成,且矩形中间需用栅栏隔开,栅栏因实验需要,有两个宽为1米的门(门无需栅栏,如图所示).设种植田的宽AB 为m 米.若该种植田的面积为36平方米(栅栏的占地面积忽略不计),求该种植田的宽m .【答案】(1)4个(2)6米【分析】本题考查一元二次方程的实际应用:(1)设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x ,根据主干、支干和小分支的总数是21,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出答案.(2)设种植田的宽AB 为m 米,则长BC 为()2232m -+米,根据题意列一元二次方程组,解方程组,再根据10BC £对求出的根进行取舍.【详解】(1)解:设这种水果黄瓜每个支干长出x 个小分支,由题意得:2121x x ++=,解得14x =,25x =-(舍),即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支;(2)解:设种植田的宽AB 为m 米,则长BC 为()2232m -+米,由题意得:()223236m m ×-+=,整理得:28120m m -+=,解得12m =,26m =,当2m =时,223221810BC =-´+=>,不合题意,舍去;当6m =时,22362610BC =-´+=<,符合题意;综上可知,该种植田的宽m 为6米.。
(完整版)解一元二次方程(公式法)__习题精选.doc

解一元二次方程(公式法)习题精选基础测试一、选择题(每题 5 分,共 15 分)1.用公式法解方程 4x 2-12x=3,得到()A .x=C .x=3 6 3 62B .x=23 2 332 32D .x=22.方程 2 x 2+4 3 x+6 2 =0 的根是()A .x =2,x =3B .x =6,x =21212C .x 1=2 2 ,x 2= 2D .x 1=x 2=-63.(m 2-n 2)(m 2-n 2-2)- 8=0,则 m 2-n 2的值是()A .4B .-2C .4 或-2D .-4或 2二、填空题(每题 5 分,共 15 分)1.一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是________,条件是 ________.2.当 x=______时,代数式 x 2-8x+12 的值是- 4.3.若关于 x 的一元二次方程(m -1)x 2+x+m 2+2m- 3=0 有一根为 0,则 m 的值是 _____.三、用公式法解下列方程(每题6 分,共 18 分)1.3x 2+5x -2=02.3x 2-2x -1=03.8(2- x )=x 2四、当 m 为何值时,方程 x2-(2m+2)x+m2+5=0 (20 分)(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根能力测试题1.用公式法解关于 x 的方程: x2-2ax-b2+a2=0.(12 分)2 2.某数学兴趣小组对关于 x 的方程( m+1)x m 2 + (m-2)x-1=0 提出了下列问题.(1)若使方程为一元二次方程, m 是否存在?若存在,求出 m 并解此方程.(2)若使方程为一元二次方程 m 是否存在?若存在,请求出.你能解决这个问题吗?(20 分)拓展测试题1.如果关于 x 的一元二次方程 a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0 有两个相等的实数根,那么以 a,b,c为三边的△ ABC 是什么三角形?请说明理由.(10 分)2.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时, ?那么这户居民这个月只交 10元电费,如果超过 A 千瓦时,那么这个月除了交 10?A元用电费外超过部分还要按每千瓦时100 元收费.(1)若某户 2 月份用电 90 千瓦时,超过规定 A千瓦时,则超过部分电费为多少元?( ?用 A 表示)(2)下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况月份用电量(千瓦时)交电费总金额(元)3802544510根据上表数据,求电厂规定的 A 值为多少?( 10 分)参考答案基础测试一、 1.D 2.D 3.Cbb2 4ac二、 1.x= 2a ,b2-4ac≥0 2.4 3.-31三、 1.x1=-2,x2= 3 2.x1=1,x2=-1/3 3. x14 4 2, x2 4 4 2四、 m>2,m=2,m<2能力测试题2a4a24b24a21.x= 2 =a±│ b│2、解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2m2=1m=±1当 m=1 时, m+1=1+1=2≠0当 m=-1 时, m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)∴当 m=1 时,方程为 2x2-1-x=0a=2,b=-1,c=-1b2-4ac=(- 1)2-4×2×(- 1)=1+8=9(1)9 1 3x= 2 2 41x1=,x2=-2因此,该方程是一元二次方程时,m=1,1两根 x1=1,x2=-2.(2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0因为当 m=0 时,(m+1)+(m-2)=2m-1= -1≠0所以 m=0 满足题意.②当 m2+1=0,m 不存在.③当 m+1=0,即 m=-1 时, m-2=-3≠0所以 m=-1 也满足题意.当 m=0 时,一元一次方程是 x-2x-1=0,解得: x=-1当 m=-1 时,一元一次方程是- 3x-1=01解得 x=-3因此,当 m=0 或- 1 时,该方程是一元一次方程,并且当 m=0 时,其根为 x=-1;当 m=-?1 时,其一1元一次方程的根为x=-3.拓展测试题1.直角三角形,理由略.A19 2.(1)超过部分电费 =(90-A )·100 =-100 A 2+ 10 AA(2)依题意,得:(80-A)·100 =15,A1=30(舍去),A 2=50。
(完整版)一元二次方程经典习题及深度解析

一元二次方程及解法经典习题及解析知识技能: 一、填空题:1.下列方程中是一元二次方程的序号是 .42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④5232=+x x ⑤ 412=+x x⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。
⑧⑦ ◆答案:⑤④③①,,,◆解析:判断一个方程是否是一元二次方程,要根据一元二次方程的定义,看是否同时符合条件 ①含有一个未知数;②未知数的最高次数是③;2整式方程.若同时符合这三个条件的就是一元次方程,否则缺一不可.其中方程②含两个未知数,不符合条件①;方程⑥不是整式方程,lil 不符合条件③;方程⑦中未知数的最高次数是3次,不符合条件②;方程⑧经过整理后;次项消掉,也不符合条件②. 2.已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程,则a◆答案:5-=/◆解析:方程12)5(2=-+ax x a 既然是一元二次方程,必符合一元二次方程的定义,所以未知数 的最高次数是2,因此,二次项系数,05=/+a 故.5-=/a 3.当=k 时,方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程.◆答案:2±◆解析:方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于2的一元二次方程,则二次项系数.042=-k 故.2±=k4.解一元二次方程的一般方法有 , , , ·◆答案:直接开平方法;配方法;公式法;因式分解法 5.一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为: .◆答案:◆解析:此题不可漏掉042≥-ac b 的条件.6.(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 .◆答案:3.1-◆解析:.4)1(,412,032222=-=+-=--x x x x x 所以.3,121=-=x x7.不解方程,判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 .◆答案:有两个不相等的实数根◆解析:原方程化为,02)26(32=++-x x,04864348234)]26([422>-=-=⨯-+-=-ac b.‘.原方程有两个不相等的实数根.8.(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 .◆答案:425≤k ◆解析:‘..方程有实根,⋅≤∴≥-=-∴425,045422k k ac b 9.已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根.◆答案:43≥◆解析:..‘方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根.⋅≥∴≥-=-+-++=--+=-∴43,0152016164144)2(4)12(42.2222m m m m m m m m ac b 10.关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 .◆答案:无实根 ◆解析:,)2(4)44(4162044)4)(1(4)2(422242422222+-=++-=---=++--=-k k k k k k k k k ac b∴<-∴>+∴≥,04,02,0222ac b k k 原方程无实根. 二、选择题:11.(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立,则a 的值为( ) A .5 8.4 C .3 D .2◆答案:C◆解析:,341441)2(222++=-++=-+x x x x x a 的值使得,3,341)2(4222=∴++=-+=++a x x x a x x 故C 正确.12.把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( )3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D◆答案:C ◆解析:方程x x 332-=-化为.0332=-+x x 故.3.3.1-===c b a 故C 正确. 13.方程02=+x x 的解是( )x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D◆答案:C◆解析:运用因式分解法得,0)1(=+x x 故.1,021-==x x 故C 正确.14.(2006·广安市)关于X 的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k ◆答案:D◆解析:由题意知⎩⎨⎧>+=/.044,0k k 解得1->k 且.0=/k15.(2006·广州市)一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为( )3,1.21==x x A 3,1.21-==x x B 3,1.21=-=x x C 3,1.21-=-=x x D◆答案:C16.解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )A .依次为:开平方法、配方法、公式法、因式分解法B .依次为:因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法①.C 用直接开平方法,②④用公式法,③用因式分解法 ①.D 用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 ◆答案:D17.(2004·云南省)用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为( )9)4.(2=-x A 9)4.(2=+x B 16)8.(2=-x C 57)8.(2=+x D ◆答案:B18.一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k◆答案:B◆解析:‘.‘方程有两个不相等的实根4)2(4,22--=-∴ac b(1,048)1()>-=-⨯-k k 2<∴k 且,1=/k 故B 正确.19.下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )09124.2=++x x A 032.2=-+x x B 02.2=++x x C 072.2=-+x x D ◆答案:A◆解析:只有A 的判别式的值为零,故A 正确.20.(2004·大连市)一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( ) A .有一个实数根 B .有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 D .没有实数根 ◆答案:D◆解析:∴<-=⨯-=-,012442422ac b 方程没有实数根,故D 正确 21.下列命题正确的是( )x x A =22.。
《一元二次方程》知识梳理及经典例题

《一元二次方程》知识梳理及经典例题【知识梳理】考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数........,并且②未知数的最高次数是.........2.,这样的③整式方程....就是一元二次方程。
(2)一般表达式:ax2+bx+c=0(a≠0)⑶难点:如何理解“未知数的最高次数是2”:①该项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。
考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;考点三、解法⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法⑵关键点:降次类型一、直接开方法:x2=m(m≥0),⇒x=±√m对于(x+a)2=m,(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法:(x−x1)(x−x2)=0⇒x=x1,或x=x2方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,方程形式:如(ax+m)2=(bx+n)2,(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c),x2+2ax+a2=0类型三、配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+b2a )2=b2−4ac4a2在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
类型四、公式法⑴条件:(a≠0,且b2−4ac≥0)⑵公式:x=−b±√b2−4ac2a,(a≠0,且b2−4ac≥0)类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值;⑵解二元二次方程组。
.考点四、根的判别式b2−4ac根的判别式的作用:①定根的个数;②求待定系数的值;③应用于其它。
考点五、应用解答题⑴“握手”问题;⑵“利率”问题;⑶“几何”问题;⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题考点六、根与系数的关系⑴前提:对于ax2+bx+c=0而言,当满足①a≠0、②Δ≥0时,才能用韦达定理。
⑵主要内容:x1+x2=−ba ,x1x2=ca⑶应用:整体代入求值。
一元二次方程经典40题

一元二次方程经典40题一、选择题1.下列方程中是一元二次方程的是()A. 2x+1=0B. y²+x=1C. x²+1=0D. x²+1/x=12.一元二次方程 x²-2x-3=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A. 1,-2,-3B. 1,2,-3C. 1,-2,3D. 1,2,33.方程 x²-3x=0 的解是()A. x=0B. x=3C. x₁=0,x₂=3D. x₁=0,x₂=-34.关于 x 的一元二次方程 x²+kx-3=0 有一个根为 1,则 k 的值为()A. -2B. -1C. 1D. 25.若方程 x²+2x+m=0 有实数根,则 m 的取值范围是()A. m<1B. m≤1C. m>1D. m≥1二、填空题6. 一元二次方程 2x²-3x+1=0 的一次项系数是____。
7. 方程 x²-4=0 的解是____。
8. 若关于 x 的方程 x²+mx+m²-1=0 的一个根为 1,则 m 的值为____。
9. 已知 x₁,x₂是方程 x²-3x-2=0 的两个根,则 x₁+x₂=,x₁x₂=。
10. 一个三角形的两边长分别为 3 和 6,第三边长是方程 x²-10x+21=0 的根,则三角形的周长为____。
三、解答题11. 解下列方程:(1)x²-4x+3=0;(2)2x²-5x+2=0。
12. 已知关于 x 的一元二次方程 x²-(m+3)x+m+2=0。
(1)求证:无论 m 取何实数,方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根为 1,求 m 的值及另一个根。
13. 已知关于 x 的方程 x²-(k+1)x+1/4k²+1=0。
(1)若方程有两个实数根,求 k 的取值范围;(2)设方程的两根为 x₁,x₂,若 x₁²+x₂²=6,求 k 的值。
专题:一元二次方程 各知识点+例题(无答案)

专题:一元二次方程(一)一元二次方程1、概念:一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理都能化成如下形式:)0(02≠=++a c bx ax ,这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
PS :“一元”→1个未知数,“二次”→未知数的最高次数是2次。
例1:下列方程是一元二次方程的是 (填序号)。
①0=7+3x 2 ②6+5x =4-3x ③1-x =5)+2)(x -(x 2 ④0532=-xx 例2:根据下列问题列出关于x 的方程,将所列方程化成一元二次方程一般形式。
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x 。
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x 。
(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x 。
2、一个一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2是二次项,a 是二次项系数; bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。
例3:将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
例4:已知关于x 的方程(k-2)x 2-kx=x 2-1,当k 为何值时,方程为一元二次方程?3、使方程左右两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
例5:右侧哪些数是方程x 2-x-6=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 练习:1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项:(1)x x 415 2=- (2)814 2=x(3)()2524=+x x (4)()()38123-=+-x x x2.若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+5=0(a ≠0)的解是x=1,则2015-a-b 的值是多少?3.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )0=5D.x 0=2y +C.3x0=B.0.5x 0=c +bx +A.ax 2222+(二)解一元二次方程1、开平方法(直接开方)——适用于一部分一元二次方程 一般地,对于p x =2①当0>p 时,x p x ==21,②当0=p 时,021==x x (有两个相等的实数根)③当0<p 时,∵对于任意实数x ,均存在02≥x ,∴无实数根 例1:解下列一元二次方程。
一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程专题一:一元二次方程的定义典例分析:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( )A .2±=mB .m=2C .2-≠mD .2±≠m3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。
则a 的值为( )A 、 1B 、-lC 、 1 或-1D 、 124、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
5、关于x 的方程0)2(22=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( )A 、a ≠1B 、a ≠-2C 、a ≠1且a ≠-2D 、a ≠1或a ≠-2专题二:一元二次方程的解典例分析:1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。
2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。
5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( )A 1-B 1C c b -D a -课堂练习:1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根.3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。
4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
(完整版)八年级数学一元二次方程知识点总结及典型习题

一元二次方程(一)、一元二次方程的概念1.理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式;2.正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数(1)明确只有当二次项系数0≠a 时,整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解(二)、一元二次方程的解法1.明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解;2.根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程;3.值得注意的几个问题:(1)开平方法:对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.形如n x =2的方程的解法:当0>n 时,n x ±=;当0=n 时,021==x x ;当0<n 时,方程无实数根。
(2)配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程,再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤:①移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;②“系数化1”:根据等式的性质把二次项的系数化为1;③配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为n m x =+2)(的形式;④求解:若0≥n 时,方程的解为n m x ±-=,若0<n 时,方程无实数解。
(3)公式法:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-= 当042>-ac b 时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;当042=-ac b 时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为ab x x 221-==; 当042<-ac b 时,方程无实数根.公式法的一般步骤:①把一元二次方程化为一般式;②确定c b a ,,的值;③代入ac b 42-中计算其值,判断方程是否有实数根;④若042≥-ac b 代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。
2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题(含答案解析)知识总结1. 直接开方法解一元二次方程:适用形式:p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2(p 均大于等于0)①p x =2时,方程的解为:p x p x −==21,。
②()p a x =+2时,方程的解为:a p x a p x −−=−=21,。
③()p b ax =+2时,方程的解为:abp x a b p x −−=−=21,。
2. 配方法解一元二次方程:运用公式:()2222b a b ab a ±=+±。
具体步骤:①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。
④开方——整理式子,利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
即:2222222222442420a acb a b x ac a b a b x a b x a cx a b x acx a b x c bx ax −=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛++−=+=++=++∴a ac b a b x a ac b a b x 24224222−−=+−=+, aacb b x a ac b b x 24242221−−−=−+−=, 若042≥−ac b ,则即可求得两根。
3. 公式法解一元二次方程:(1)根的判别式:由配方法可知,ac b 42−即为一元二次方程根的判别式。
用∆表示。
①⇔−=∆042>ac b 方程有两个不相等的实数根。
②⇔=−=∆042ac b 方程有两个相等的实数根。
③⇔−=∆042<ac b 方程没有实数根。
(2)求根公式:当042≥−=∆ac b 时,则一元二次方程可以用aacb b x 242−±−=来求出它的两个根,这就是一元二次方程的求根公式。
一元二次方程知识点总结与习题精练

一)【一元二次方程的定义】只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,并且等号两边都是整式的方程叫做一元二次方。
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2为二次项,bx为一次项,a、b、c为常数项。
判断一个方程是否是一元二次方程,必须符合以下四个标准:①整式方程②方程中只含有一个未知数③未知数的最高次数是2.④二次项系数不为0.例1)下列各方程中,属于一元二次方程的是()①;②t2=2;③;④;⑤x3-x2=5;⑥(x+1)2+x-2=0.A.①②③B.②③④C.①②⑥D.①②例2)方程3(x-1)2=5(x+2)的二次项系数();一次项系数();常数项()。
例3)方程化为一元二次方程的一般形式是()例4)若是一元二次方程,则m=()例5)关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程,则m应满足的条件是() 例6)关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-2m=0的常数项为0,则m的值为() 二)【一元二次方程的基本解法】【直接开平方法】利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法.对于形如x2=m或(ax+b)2=m(a≠0,m≥0)的一元二次方程,即一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解。
可以解得x1=m,x2=−m或者x1=m−ba ,x2=−m−ba例7)x2-49=0 2x2=8 (x-2)2=4例8)(x2+y2+1)2=81,则x2+y2的值是_____.【配方法】一般步骤:第一步:使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;第二步:方程两边同时除以二次项系数;第三步:方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为(ax+b)2= m的形式;第四步:用直接开平方解变形后的方程.例 9)解方程x2-4x-2=0 3x2-6x+1=0 x2+x-1=0 x2-6x+1=0例10)代数式x2+8x+5的最小值是_____.例11)对于任意实数x ,多项式x 2-2x+3的值是一个()A.正数B.负数C.非负数D.不能确定例12)不论x 取何值,x-x 2-1的值都()A.大于等于-34B.小于等于-34C.有最小值-34 D.恒大于零 【公式法】推导过程: )0(02≠=++a c bx ax因为0≠a ,所以02=++ac x a b x . 移项,得a c x a b x -=+2. 配方,得222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++,即22244)2(a ac b a b x -=+. 因为0≠a ,所以4a 2>0,当042≥-ac b 时,直接开方,得aac b a b x 2422-±=+ 所以aac b a b x 2422-±-= 即a ac b b x 2421-+-=,aac b b x 2422---= 一元二次方程的一般步骤:(1)把方程化成一般形式,并写出 c b a 、、 的值;(2)求出ac b 42-的值,判断方程是否有实数根;(3)若042≥-ac b 代入求根公式求值 ;(4) 写出方程的解1x ,2x .根的判别式:在计算∆=ac b 42-的值时,会出现三种情况:①∆=042 ac b -,方程有两个不相等的实数根;②∆=042 ac b -,方程没有实数根;③∆=042=-ac b ,方程有两个相等的实数根, 1x =2x =ab 2-例13)用公式法解方程x 2-2x=15 x 2-3x+1=0 (x-1)2-5(x-1)+6=0例14)关于x 的一元二次方程x 2-(k+1)x+k=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.总有实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根例15)关于x 的一元二次方程x 2-4x-a=0无实数根,则实数a 的取值范围是_____. 例16)若方程3x 2-6x+m=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围在数轴上表示正确的是() A. B.C. D.【因式分解法】一般步骤:第一步:将已知方程化为一般形式,使方程右边为 0;第二步:将方程的左边分解为两个一次因式的积;第三步:令方程左边两个因式分别为 0,得到两个一次方程,它们的解就是原方程的解.例17)用因式分解法解方程x 2-6x+5=0 x 2=x+56 3x 2+4x-4=0 (x-2)(x-3)=12 例 18)若x 2-3xy-4y 2=0,则xy =_____.(3)【一元二次方程根与系数的关系】(韦达定理)推导过程:关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根分别为: x 1=a ac b b 242-+-, x 2=----aac b b 242 所以:12x x +=a ac b b 242-+-+aac b b 242--- =aac b b ac b b 24422----+- = −ba 12.x x =a acb b 242-+-×aac b b 242--- =2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+-=22224)4()(aac b b --- = c a由此得出,一元二次方程的根与系数的关系:12x x +=a b -,12.x x =a c 例19)已知关于x 的一元二次方程x 2-2x-a=0.(1)如果此方程有两个不相等的实数根,求a 的取值范围; (2)如果此方程的两个实数根为x 1,x 2,且满足1x +1y =−23,求a 的值. 例10)若方程x 2-ax-3a=0的一个根为6,则另一个根为_____.(4)【一元二次方程解应用题】一般步骤:(1)分析题意,找出等量关系,分析题中的数量及其关系; (审)(2)用字母表示问题里的未知数;(设)(3)根据等量关系列出方程;(列)(4)解方程,求出未知数的值;(解)(5)检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案. (检)。
一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)

一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根有两相异实根x 1,x 2(x 1<x 2) 有两相等实根x 1=x 2=-b2a没有实数根ax 2+bx +c >0 (a >0)的解集{x |x >x 2或x <x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠-b 2aRax 2+bx +c <0 (a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2}Φ Φ二.穿针引线法例 1 解下列不等式:(1)x x ≥-2414 (2)0822≥+--x x (3)0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2+bx -1<0的解集为{x|-1<x <2},则a =________,b =_____.例3(穿针引线法) 解不等式:(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为( ) A .{x|x >0}B .{x|x≥1}C.{x|x >1} D .{x|x >1或x =0}解不等式化为+->,通分得>,即>,1x 000111122----xx x x x∵x 2>0,∴x-1>0,即x >1.选C . 例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是( ) A .(x -3)(2-x)≥0B.0<x -2≤1C .≥230--xx D .(x -3)(2-x)≤0 练习1:1.不等式x 2-3x +2<0的解集为( ). A .(-∞,-2)∪(-1,+∞) B .(-2,-1) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .(1,2)答案 D2.(2011·XX)不等式2x 2-x -1>0的解集是( ). A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,1B .(1,+∞) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪(1,+∞) 故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪(1,+∞). 答案 D3.不等式9x 2+6x +1≤0的解集是( ).A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠-13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |-13≤x ≤13D .R答案 B4.若不等式ax 2+bx -2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |-2<x <14,则ab =( ).A .-28B .-26C .28D .26 答案 C5.函数f (x )=2x 2+x -3+log 3(3+2x -x 2)的定义域为________.解析 依题意知⎩⎨⎧2x 2+x -3≥0,3+2x -x 2>0,解得⎩⎨⎧x ≤-32或x ≥1,-1<x <3.∴1≤x <3.故函数f (x )的定义域为[1,3).答案 [1,3)6.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+2x ,x ≥0,-x 2+2x ,x <0,解不等式f (x )>3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x <0进行讨论从而把f (x )>3变成两个不等式组. 解 由题意知⎩⎨⎧x ≥0,x 2+2x >3或⎩⎨⎧x <0,-x 2+2x >3,解得:x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}.例不等式<的解为<或>,则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a .<.>.=.=-12121212分析可以先将不等式整理为<,转化为 0()a x x -+-111[(a -1)x +1](x -1)<0,根据其解集为{x|x <1或x >2}可知-<,即<,且-=,∴=.a 10a 12a 1112a - 选C .例解不等式≥.8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥,所以≤.由于++=++>,---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2+2x -3<0,即(x +3)(x -1)<0,解之得-3<x <1.解集为{x|-3<x <1}. 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题. 练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3<0.2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-)(4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x .。
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一元二次方程知识梳理及精选习题
知识梳理:(6,14)
1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为_____的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式为_____.
3.使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的_____,也叫做一元二
次方程的____
4若x 2=a(a ≥0),则x 就叫做a 的平方根,记为x =___ _(a ≥0),由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 5.直接开平方,把一元二次方程“降次”转化为__ ___.
6.如果方程能化为x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)的形式,那么x =_____或mx +n =_____. 7通过配成 来解一元二次方程的方法叫做配方法.
8.配方法的一般步骤:
(1)化二次项系数为1,并将含有未知数的项放在方程的左边,常数项放在方程的右边;
(2)配方:方程两边同时加上__ ___,使左边配成一个完全平方式,写成__ ___的形式;
(3)若p__ __0,则可直接开平方求出方程的解;若p__ __0,则方程无解
9,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),当__
__时,x =-b±b 2-4ac 2a
,这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的__ ___.
10.式子__ ___叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式,常用Δ表示,Δ>0⇔ax 2+bx +c =0(a ≠0)有__ ___;Δ=0⇔ax 2+bx +c =0(a ≠0)有__ ___;Δ
<0⇔ax 2+bx +c =0(a ≠0)__ __.
11当一元二次方程的一边为0,另一边可以分解成两个一次因式的乘积时,通常将一元二次
方程化为__ ___的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降
次,这种解法叫做__ ___法.
12.解一元二次方程,首先看能否用__ ___;再看能否用__ __;否则就用__ __;若二次项系数为1,一次项系数为偶数可先用__ ___.
若一元二次方程x 2+px +q =0的两个根分别为x 1,x 2,则x 1+x 2=_____,x 1x 2=____.
13.若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根分别为x 1,x 2,则x 1+x 2=____,x 1x 2=
____.
14.一元二次方程ax 2+bx +c =0的根与系数的关系应用条件:(1)一般形式,即__ _ __;
(2)二次方程,即__ ___;(3)有根,即__ __.
精选习题
1,已知关于x 的方程(m 2-4)x 2+(m -2)x +3m =0,当m ___时,它是一元二次方程;当
m_____时,它是一元一次方程
2,若方程(m -2)x 2+mx =1是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是
3,.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,AB =3,BC =4,点D 在BC 上,以AC 为对
角线的所有▱ADCE 中,DE 最小的值是( ) A .2 B .3 C .4 D .5
4,已知m 是方程x 2-2 013x +1=0的一个根,试求代数式m 2-2 012m +2 013m 2+1
的值
5已知等腰三角形的两边长分别是(x -3)2=1的两个解,则这个三角形的周长是( )
A .2或4
B .8
C .10
D .8或10
6,若关干x 的一元二达方程(a+
2
1)x 2-(4a 2-1)x+1=0的一次项系教为0.则a 的值为 7,已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=. (1)m 为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)m 为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项
8,已知实数m.n 满足(2m 2十n 2 +1)(2m 2十n 2一1)=80,试求2m 2+n 2的值
9若关于x 的一元二次方程kx 2-2x -1=0有实数根,则实数k 的取值范围是( )
A .k >-1
B .k <1且k ≠0
C .k ≥-1且k ≠0
D .k >-1且k ≠0
10,若方程4x 2- (m - 2)x+ 1=0的左边是一个完全平方式, 则m 等于
11,.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x 2- 6x+ 8= 0的一一个根, 则这个三角形的周长是
12.已知点(5-k 2,2k+ 3)在第四象限,且在其角平分线上,则k=_
13.若关于x 的方程kx 2-x -43
= 0有实数根,则实数k 的取值范围是
14,.若一元二次方程x 2- 2x- m=0无实数根,则一次函数y= (m+ 1)x+m- 1的图象不经过(
) A 第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
15,当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x +1<3x -3,
12(x -4)<13(x -4)
时,求出方程x 2-2x -4=0的根
16.已知等腰三角形的一边长为3,它的其他两边长恰好是关于x 的一元二次
方程x 2- 8x+ m= 0的两个实数根,求m 的值.
17.已知关于x 的一-元二次方程(m - 1)x 2+ (m - 2)x - 1= 0(m 为实数).
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围;
(2)若m 是整数,且方程有两个不相等的整数根,求m 的值.
18,已知实数x 满足(x 2-x)2-4(x 2-x)-12=0,则代数式x 2-x +1的值为___
19,三角形的每条边的长都是方程x 2-6x +8=0的根,则三角形的周长是___________ 20方程x 2-(m +6)x +m 2=0有两个相等的实数根,且满足x 1+x 2=x 1x 2,则m 的值是( )
A .-2或3
B .3
C .-2
D .-3或2
21关于x 的一元二次方程
的两个实数根分别是,且=7,则的值是( ) A .1 B.12 C.13 D.25
22,关于x 的方程
只有一解(相同解算一解),则a 的值为( ) A .a =0 B.a =2 C.a =1 D.a =0或a =2
23,利用配方法证明:无论x 取何实数值,代数式-x 2-x -1的值总是负数,并求出它的最大值.
24,若a ,b ,c 是△ABC 的三边长且满足a 2-6a +b 2-8b +c -5+25=0,请根据已知条件判断其形状
25已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx +k 2+2=2(1-x)有两个实数根x 1,x 2.
(1)求实数k 的取值范围;
(2)若方程的两实数根x 1,x 2满足|x 1+x 2|=x 1x 2-1,求k 的值
26关于x 的方程04
)2(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围. (2) 是否存在实数k ,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由
27已知关于x的一元二次方程x2 + 2(k-1)x + k2-1 = 0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.
28,设x1,x2是方程x2-x-2015=0的两个实数根,求x13+2016x2-2015的值.
29,用适当的方法解方程:
(1)2(x-1)2=12.5;(2)x2+2x-168=0;(3)2x2=2x;(4)4x2-3x-2=0.
(5)4(x-1)2=2;(6)x2-6x+4=0;(7)x2-4=3x-6;(8)(x+5)2+x2=25.(9)配方法解一元二次方程:2x2+1=3x. (10) 解方程:(x-3)2+4x(x-3)=0.
(11)解方程:(x-3)2+2x(x-3)=0. (12)解方程:x2-6x+9=(5-2x)2.。