2021年中考数学·考点梳理 圆的基本性质章节涉及的18个必考点全梳理

考点梳理：圆的基本性质章节涉及的18个必考点全梳理（精编Word）考点1 巧用圆的半径相等解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.例题1如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．6C．4D．2【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．【解析】如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，∴OB=√OC2−BC2=√102−82=6，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．【小结】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．变式1如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E=13∠AOC进行计算即可．【解析】连结OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=13∠AOC=13×84°＝28°．故选：B．【小结】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．变式2如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】连接OA、OD、OM，则OA＝OD＝OM，由矩形的性质得出OA＝BC＝a，OD＝EF＝b，OM＝NH ＝c，即可得出a＝b＝c．【解析】连接OA、OD、OM，如图所示：则OA＝OD＝OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA＝BC＝a，OD＝EF＝b，OM＝NH＝c，∴a＝b＝c；故选：B．【小结】本题考查了矩形的性质、同圆的半径相等的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．变式3如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为．【分析】由四边形ABCD，EFGC是正方形，得到∠ABC＝∠FGC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解析】连接AO，OF，∵四边形ABCD，EFGC是正方形，∴∠ABC＝∠FGC＝90°，∴AB2+BO2＝OG2+FG2，∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32∴OC＝2，故答案为：2．【小结】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．考点2 点与圆的位置关系（求范围）解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．例题2在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3√3，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是．【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”即可求解，【解析】∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3√3，∴AB＝6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，点B在圆A外，则r＜6，因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．故答案为3＜r＜6；【小结】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d ＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．变式4在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r 的值可以取（）A．5B．4C．3D．2【分析】先根据两点间的距离公式分别计算出OA、OB的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．【解析】∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA=√32+22=√13，OB=√32+42=5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴√13＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．【小结】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．变式5矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4√2，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A．点B、C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B、C均在⊙P内【分析】先求出AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝4√2，∵AB＝10，BP：AP＝4：1，∴AP＝2，BP＝8，在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝4√2，∴DP=√AD²+AP²=√4+32=6，在Rt△PBC中，CP=√BP²+BC²=√64+32=4√6，∵8＞6，4√6＞6，∴点B，点C均在⊙P外，故选：A．【小结】本题考查了矩形的性质，点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．变式6如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（）A．3＜r＜√10B．√2＜r＜√5C．√10＜r＜√13D．√5＜r≤3【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．【解析】给各点标上字母，如图所示．∵AB=√12+22=√2，AC＝AD=√12+22=√5，AG＝3，AF=√12+32=√10，AE=√22+32=√13所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，这三个点只能为B、C、D点，∴√5＜r≤3，故选：D．【小结】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解关键．考点3 点与圆的位置关系（求最值）例题3如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连结BE，则线段BE长度的最小值为．【分析】取AC的中点N，连接AD、EN、BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，EN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解析】如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN．∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=2+BC2=√32+42=5，∵AN＝NC，∴BN=12AC=52，∵AN＝NC，DE＝EC，∴EN=12AD=12，∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，∴52−12≤BE≤52+12，∴2≤BE≤3，∴BE的最小值为2，【小结】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．变式7如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M 是CD的中点，则BM的最大值是．【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝10，∵AN＝NC，∴BN=12AC＝5，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN=12AD=2，∴BM≤BN+NM，∴BM≤5+2＝7，即BM的最大值是7．【小结】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．变式8 如图，在平面直角坐标系中，C （0，4），A （3，0），⊙A 半径为2，P 为⊙A 上任意一点，E 是PC 的中点，则OE 的最小值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．√2【分析】如图，连接AC ，取AC 的中点H ，连接EH ，OH ．利用三角形的中位线定理可得EH ＝1，推出点E 的运动轨迹是以H 为圆心半径为1的圆．【解析】如图，连接AC ，取AC 的中点H ，连接EH ，OH ．∵CE ＝EP ，CH ＝AH ， ∴EH =12P A ＝1，∴点E 的运动轨迹是以H 为圆心半径为1的圆， ∵C （0，4），A （3，0）， ∴H （1.5，2），∴OH =√22+1．52=2.5，∴OE 的最小值＝OH ﹣EH ＝2.5﹣1＝1.5， 故选：B ．【小结】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E 的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．变式9如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解析】如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2√2，∴CD＝2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．【小结】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．考点4 弧、弦、角、之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，其中圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.例题4如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且P A＝PC．求证：AB̂=CD̂．【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠P AC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．【解析】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵P A＝PC，∴∠P AC＝∠PCA，∵∠P AC=12∠BOC，∠PCA=12∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，∴AD̂=BĈ，∴AD̂−BD̂=BĈ−BD̂，即AB̂=CD̂．【小结】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．变式10如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．（1）求证：CD＝CE．̂=BN̂．（2）求证：AM【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；̂=BN̂，只要证明∠MOD＝∠NOE即可；（2）欲证明AM【解析】（1）证明：连接OC．̂=BĈ，∴∠COD＝∠COE，∵AC∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE．（2）分别连结OM，ON，∵△COD≌△COE，∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，∵OC＝OM＝ON，∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，∴∠OMD＝∠ONE，∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，∴∠MOD＝∠NOE，̂=BN̂．∴AM【小结】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．变式11如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为．【分析】由AC＝BD知AD̂+CD̂=CD̂+BĈ，得AD̂=BĈ，根据OD⊥AC知AD̂=CD̂，从而得AD̂=CD̂=BĈ，即可知∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，利用AF＝AO sin∠AOF可得答案；【解析】∵OD⊥AC，∴AD̂=CD̂，∠AFO＝90°，又∵AC＝BD，∴AĈ=BD̂，即AD̂+CD̂=CD̂+BĈ，∴AD̂=BĈ，∴AD̂=CD̂=BĈ，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，∵AB＝3，∴AO＝BO=3 2，∴AF＝AO sin∠AOF=32×√32=3√34，则AC＝2AF=3√3 2；【小结】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．̂的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，变式12如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD̂=DF̂；②HC＝BF：③MF＝FC：④DF̂+AĤ=BF̂+AF̂，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．̂的中点，【解析】∵F为CBD̂=DF̂，故①正确，∴∠FCM＝∠F AC，∴CF∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠F AC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，̂=BF̂，∴HC＝BF，故②正确，∴∠CFH＝∠BAF，∴CH∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，̂的度数+CF̂的度数＝180°，∴AĤ的度数+AF̂的度数＝180°，∴CĤ+CF̂=AĤ+DF̂=CĤ+AF̂=AF̂+BF̂，故④正确，∴AH故选：C．【小结】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．考点5 圆的对称性（最短路线）例题5如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，此时P A+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，先求∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝60°+30°＝90°，再根据勾股定理即可得出答案．【解析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，P A+PB的最小值即为A′B 的长，连接OA′、OB、OA，∵A′点为点A关于直线MN的对称点，∠AMN＝30°，∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，又∵弧AN的中点，∴AB̂=NB̂，∴∠BON＝∠AOB=12∠AON=12×60°＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝60°+30°＝90°，又∵MN＝4，∴OA′＝OB=12MN=12×4＝2，∴Rt△A′OB中，A′B=√22+22=2√2，即P A+PB的最小值为2√2．【小结】本题主要考查作图﹣复杂作图及轴对称的最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和圆周角定理、圆心角定理是解题的关键．变式13 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，D 为弧BC 的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．2√2B ．√2C ．1D ．2【分析】作出D 关于AB 的对称点D ′，则PC +PD 的最小值就是CD ′的长度，在△COD ′中根据边角关系即可求解．【解析】作出D 关于AB 的对称点D ′，连接OC ，OD ′，CD ′． 又∵点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，D 为弧BC 的中点，即BD ̂=BD′̂， ∴∠BAD ′=12∠CAB ＝15°． ∴∠CAD ′＝45°．∴∠COD ′＝90°．则△COD ′是等腰直角三角形． ∵OC ＝OD ′=12AB ＝1， ∴CD ′=√2． 故选：B ．【小结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键．̂的中点，P是直径AB 变式14如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是MB上的一动点，则PM+PN的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′，利用两点之间线段最短得到此时P′M+P′N的值最小，然后证明△OMN′为等边三角形得到MN′＝OM＝4，从而可判断PM+PN的最小值．【解析】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′，∴P′M+P′N＝P′M+P′N′＝MN′，∴此时P′M+P′N的值最小，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠NOB＝20°，∵N点关于AB的对称点N′，∴∠N′OB＝20°，∴∠MON′＝60°，∴△OMN′为等边三角形，∴MN′＝OM＝4，∴P′M+P′N＝4，即PM+PN的最小值为4．故选：A．【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了最短路径问题的解决方法．变式15 如图，MN 是⊙O 的直径，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠ACM ＝60°，B 点是AN ̂的中点，P 点是MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则P A +PB 的最小值为（ ）A ．1B ．√22C ．√2D ．√3−1【分析】点B 关于MN 的对称点B ′，连接OA 、OB 、OB ′、AB ′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB ′与MN 的交点即为P A +PB 的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON ＝60°，然后求出∠BON ＝30°，再根据对称性可得∠B ′ON ＝∠BON ＝30°，然后求出∠AOB ′＝90°，从而判断出△AOB ′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB ′=√2OA ，即为P A +PB 的最小值．【解析】作点B 关于MN 的对称点B ′，连接OA 、OB 、OB ′、AB ′，则AB ′与MN 的交点即为P A +PB 的最小时的点，P A +PB 的最小值＝AB ′， ∵∠ACM ＝60°，∴∠AOM ＝2∠ACM ＝2×60°＝120°， ∴∠AON ＝60°，∵点B 为劣弧AN 的中点，∴∠BON =12∠AON =12×60°＝30°， 由对称性，∠B ′ON ＝∠BON ＝30°，∴∠AOB ′＝∠AON +∠B ′ON ＝60°+30°＝90°，∴△AOB ′是等腰直角三角形，∴AB ′=√2OA =√2×1=√2，即P A +PB 的最小值=√2． 故选：C ．【小结】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB ′是等腰直角三角形是解题的关键．考点6 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。