数与运算_掰手指的数学认知价值_李建华

文汇报/2013年/11月/15日/第015版

文汇教育·学前|家教

数与运算——掰手指的数学认知价值

李建华北京师范大学数学学院教授

很多家长看到孩子掰手指做算术经常认为是不好的毛病，甚至要求或训斥孩子改正。实际上，家长的这种认识是错误的，儿童掰手指做算术不仅是孩子学习数学的必经阶段，而且对于数字意义的正确建立是十分必要的。

人类对数学的认知是从自然数的认知开始，人们首先从“多少”的概念上认识到“数”，儿童对“多”与“少”的认知是自觉和自发的，并且通常具备“趋多”的心理倾向。而儿童对“多少”问题的解决是通过“数数”来完成的。

儿童的数学认知分阶段发展

在儿童发展心理学研究中，瑞士心理学家皮亚杰（JeanPiaget，1896-1980）的工作影响深远，他将儿童认知划分为四个不同的阶段：

1.感知运动阶段（出生到2岁左右）

2.前运算阶段（2到7岁）

3.具体运算阶段（7到11岁）

4.形式运算阶段（12到15岁）

美国人R.W.柯普兰在他著作《儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义》中，对皮亚杰理论在数学教育上的应用做了较好的总结。书中说道：“幼儿掰手指做算术的心理学意义我们暂不做过多议论，仅摘录柯普兰上述著作中引用的皮亚杰的三个重点表述，作为理解幼儿掰手指做算术的心理学意义的参考。

儿童只是从教学中获得数的观念和其它数学概念，是极大的误解。相当程度上，儿童是独立地、自发地发展这些观念和概念的。

计数是首先教给幼儿的数观念之一，但对他们来说，背出来的数几乎没有意义。在逻辑-数学结构领域，儿童只对那种他亲自创造的事物才有真正的理解。每当我们试图过急地教给他们知识时，就会阻止儿童亲自再创造它们。因此，不存在什么试图过快地加速这种发展的正当理由，在亲身探索中看来是浪费的时间，对方法的构成是真正有益的。”

儿童数学概念，从数数开始建立

我们可以从对于自然数认识与理解的角度，来探讨幼儿掰手指做算术的数学认知价值。

人类对于数学的认知就是从自然数开始。每一个人，无论是否接受过正规的数学教育，都会认为自然数及其运算是简单的事情。但事实果真如此吗？当我们面对“什么是自然数？”“为什么1加1等于2？”这样看似“愚蠢”的问题时，通常都会感到困惑，这些问题竟然并不容易回答！

事实上，人类对自然数的认识历程，并非想象的那样简单，严格意义上数的系统（简称数系）构造的完成甚至是近代的事情。在现代数学中，自然数是用一组被称之为皮亚诺（Peano，1858-1932）公理的5条性质所“定义”，用通俗的话来解释就是：1是自然数；每一个自然数n 都有它的后继自然数n+；1不是任何自然数的后继；如果两个自然数m、n的后继相等，即m+=n+，则m=n；最后一条就是归纳公理。

这样公理形式的“定义”，实际上，就是最自然地“数数”过程的形式化描述，现代数学意义上的数系的构造就是基于此。

这在幼儿数学教育上的启示是：“数数”的过程就是建立自然数形式系统的过程，这一过程

通常是由语言形式（数的发音）的音节构成的，再到识别阿拉伯数字，书写阿拉伯数字，这都是形式意义上的工作，这些工作对于幼儿数的认知是重要的基础，通常，这一形式化的概念的形成过程与其意义的形成总是同步发生的。

掰手指头有助数的概念具体化

自然数的意义可以从“多少”——基数，“顺序”——序数上开始，皮亚杰等心理学家认为，基数意义的建构早于序数，我们的经验也是如此。即孩子的数字概念就是通过“数数”的过程建立的。比如，放在盘子中的苹果，如果我们从1开始数到5，没有重复数，也没有落下的苹果，那我们就知道盘子里有5个苹果，数数的过程建立了盘子里的苹果与>之间的一一对应关系，这就是“多少”问题的实质！

儿童在数的计算过程中掰手指，正是为了将抽象的“数”的概念具体化为手指构成的集合，按照“基数”的意义理解加法或减法的意义，这是多么自然和重要的过程！儿童建立自然数的意义就从这里开始了，掰手指是这一过程的最重要表现，是需要得到鼓励和强化的自然数认知的重要过程，否则，将会在幼儿数学认知的起步阶段，就使孩子被迫走向远离数学的道路！