云南省昆明市2018届高三摸底调研测试理科数学试题
云南省昆明市2018届高三数学第一次摸底测试试题理2017110201121
云南省昆明市2018届高三数学第一次摸底测试试题理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x11.已知集合，集合，则（）A{x0}B{x N1x5}A Bx3A．{0,1,3,4,5}B．{0,1,4,5}C．{1,4,5}D．{1,3,4,5}2.如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）11A．B．C．D．42841z3.已知（其中是虚数单位），则（）i i1z1zA．1 B．0 C．2D．24.设函数f(x)x1x a的图象关于直线x1对称，则a的值为（）A．3 B．2 C. 1 D．-15.二项式(x x1)5展开式中的常数项为（）xA．10 B．-10 C. 5 D．-56.设数列{a}的前n项和为S，若2,S,3a成等差数列，则S的值是（）n n n n5A．-243 B．-242 C.-162 D．2437.执行如图所示的程序框图，若输出n的值为9，则判断框中可填入（）1A．S45?B．S36? C. S45?D．S55?8.设x,y为正数，且3x4y，当3x py时，p的值为（）A．B． C. D．log4log36log2log234339.一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于2的正方形，这个几何体的表面积为（）A．1643B．1645 C. 2043D．204510.已知函数f(x)sin(x)sin(x)（0），且f()0，当取最小值时，623以下命题中假命题是（）A．函数f(x)的图象关于直线x对称12B．是函数的一个零点6C. 函数f(x)的图象可由g(x)3sin2x的图象向左平移个单位得到32D．函数f(x)在[0,]上是增函数1211.已知抛物线C:y24x的焦点为F，准线为l，点A l，线段AF交抛物线C于点B，若FA3FB，则AF（）A．3 B．4 C.6 D．712.已知数列{a}的前n项和为S，且，S 14a2，则数列{a}中的a为a12n n n n n12（）A．20480 B．49152 C. 60152 D．89150第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a(2,1)，a b10，a b52，则b．x3y3014.若实数x,y满足不等式组2x y30，则x y的最大值为．x y115.已知双曲线C的中心为坐标原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，过点F作渐近线的垂线l，垂足为M，直线l交y轴于点E，若FM3ME，则双曲线C的方程为．16.体积为183的正三棱锥A BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R:BC2:3，点E为线段BD的中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且a2c23ac b2，3a2b （1）求3a2b的值；（2）若b6，求ABC的面积.18. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为ABC A B C BAC900AB AC2M,N111A1C1,AB1的中点.3（1）证明：MN//平面BB C C；11（2）若CM MN，求二面角M CN A的余弦值.19. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N(69,49)，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）估算该校50名学生成绩的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；（3）现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：若X~N(,2)，则p(X)0.6826，p(2X2)0.9544p(3X3)0.997420. 已知动点M(x,y)满足：(x1)2y2(x1)2y222.4（1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）设过点 N (1, 0) 的直线l 与曲线 E 交于 A , B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为C （点C与点 B 不重合），证明：直线 BC 恒过定点，并求该定点的坐标.a21. 已知函数 f (x )e x ， g (x ) x 2x ，（其中 a R ， e 为自然对数的底数，2e 2.71828……）.（1）令 h (x )f (x )g ' (x ) ，若h (x )0对任意的 x R 恒成立，求实数 a 的值；nim（2）在（1）的条件下，设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，( )m ，求 的最小值.nni 1请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程极坐标系中，O 为极点，半径为 2的圆C 的圆心坐标为 (2, ) .6（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设直角坐标系的原点与极点O 重合， x 轴非负关轴与极轴重合，直线l 的参数方程为1 x t2 3y t 82（ 为参数），由直线 上的点向圆 引切线，求线线长的最小值.t l C23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f (x )x 2 x 3 .（1）求不等式 f (x ) 3的解集； （2）若不等式 f (x )a 26a 解集非空，求实数 a 的取值范围.5昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（理科数学）命题、审题组教师杨昆华李文清孙思应梁云虹王在方卢碧如凹婷波吕文芬陈泳序一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C C A B B A C D C B B1.解析：集合A,1U3,，B0,1,2,3,4,5，所以A I B0,1,4,5，选B.2.解析：设正方形边长为2，则圆半径为1.此时正方形面积为224.图中黑色部分面积为2.则此点取自黑色部分的概率为2，选C.481izi3.解析：因为1i ，所以1z 2，选C.4.解析：12a1所以a 3，选A.r15511555r r r5.解析：通项T C x x C x221r 0，所以r 3，所以常，令r rr155x22数项为C5110，选B.336.解析：据题意得223a12；当n 2时，Sa，当n 1时，2S 23a，所以n n113333a S S a a a a ，即11n n n1n n1n n1222213aa a ，即3n 2，所以nn n122an1数列a是首项a ，公比q 3的等比数列，S5，所以12 n a 1q52135 2421q 13选B.7.解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S 12L 945，选A.8.解析：可令3x 4y t，则x log t，3y log t，由3x py 得4p3log t3log43，选C.t3log46l og233log t log34t19.解析：将三视图还原可得下图，所以S 5224252045，选D. 263310. 解析：f xxxxsin cos 3 sin2 23得 ，由f ( ) 0 3Z，即 3k 1，由 0 知 的最小值是 2，当 取得最小值时，kk3 33sin2f xx.由 f3 sin 2 3 sin 33 1212 32可得出：函数 f (x )的图象关于直线 x对称，A 为真； 12由 f3 sin 2 066 3可得出： x是函数 f (x ) 的一个零点，B 为真； 6将函数 g x 3 sin 2x 的图象向左平移6个单位得到3sin2f xx 的图象，所以3 C 为假；由复合函数单调性可得 f (x ) 在 0,上是增函数，所以 D 为真，选C.1211.解析：由已知B为AF的三等分点，作BH l于H（如图），则24BHFK，所以33BF BH 43，所以AF 3BF 4，选B.12.解析：由S a有2412a a a ，解得12412a ，故28a22a14，又aSSaa，于是aaaa ，因此数列aa是以n n n n n n n n n n n 221414221212127a 2 2a 14 为首项，公比为 2 的等比数列.得 1 24 2 1 2 1a a，于是nnnnaan 1n11， 22nn因此数列aanan.是以1为首项，1为公差的等差数列，解得1 1nnn ，2n22nnn所以 a 1249152 ，选 B.二、填空题13. 解析：因为 a b 5 2 ，所以2a b50 ，即2 2 2a b a b5 b20 50 250 ，所以所以 b 5 .14. 解析：如图， x y 在点 A (4, 5) 处取得最大值9 .15. 解析：设双曲线C 的方程为：xy2 2221 ，由已知得： FM b ，所以 a b24b 4 3， a 2b而 a 2 4 b 2 ，所以b 2 3 ， a 2 1，所以双曲线C 的方程：y2x 21 316. 设 BC 3k ，则 R 2k k0，因为体积为18 3 的正三棱锥 A BCD 的每个顶点都在半13径为R的球O的球面上，所以9k2h 18 3，得34h24.由2R2h R3k，2 k2得k 2或k 324（舍），所以R 4.由题意知点E为线段BD的中点，从而在△ODB中，OD OB 4，DB 6，解得OE 1697.所以当截面垂直于OE时，截面圆的半径为1673，故截面圆面积最小值为9.三、解答题17.解：（Ⅰ）由cos Ba2c2b23ac3得出：2ac2ac2B，6由3a 2b及正弦定理可得出：3sin A 2sin B，所以sin2sin1A，3638再由3a2b 知 a b ，所以 A 为锐角， cos1 12 2 A， 9 3所以sinsinsin sin coscos sin CA BA BA BA B3 226（Ⅱ）由b 6 及3a 2b 可得出 a 4 ，113 2 2所以Sab sin C46 2 3 2 2 . 2 2 618. 解：（Ⅰ）证明：连接 A B ， BC 1 ，点 M ， N 分别为 A 1C 1 ，A 1B 1的中点，所以 MN 为△ A BC 的一条中位线， MN //BC ，111MN平面 BB C C ， 1 1BC平面1BB C C ，1 1所以 MN // 平面 BB C C .1 12a 2 a 2 4 8（Ⅱ）设 AA 1 a ，则1 MN 1，CM， 2a24420CN5 ， 2a 2a 244由CMMN ，得CM 2MN 2CN 2 ，解得 a 2 ，由题意以点 A 为坐标原点， AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，AA 为 z 轴建立空间直角坐标系.12可得 A (0,0,0) ，C (0, 2,0) ， N (1,0, ) ， M (0,1, 2) ，22 2 1 0故 AN （ ，， ）， AC （0，2，0）， CN （1， 2， ）， CM (0,1, 2），2 2 设 m （x ，y ，z ）为平面 ANC 的一个法向量，则 m m A C AN0 0，得 m （1，0，2），同理可得平面 MNC 的一个法向量为 n （3，2，2），设二面角 MCNA 的平面角为 ，cos m,n mnmn332155，15cos cos m,n5，15所以，二面角M CN A的余弦值为515.919.解：（Ⅰ）x450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2（Ⅱ）0.0080.012105010.10.9974（Ⅲ）P3X3=0.9974，则P X900.0013.20.00132000026.所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上.上述50名考生成绩中90分以上的有0.08504人.随机变量X0,1,2.于是C12X6， P0==C3210C C811P X1==，64C15210C22P X2==.4C15210X的分布列：X012P 13815215182 4E X012.315155数学期望20.解：（Ⅰ）由已知，动点M到点P (1,0)，Q(1,0)的距离之和为22，且PQ 22，所以动点M的轨迹为椭圆，而a 2，c 1，所以b 1，所以，动点M的轨迹E的方程：x22y21.（Ⅱ）设A(x,y)，B(x,y)，则C(x ,y)，由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直11221110线l 的方程为： y k (x 1)y k (x 1)由2xy 122 得 (1 2k 2 )x 2 4k 2 x 2k 220， 所以4k2xx12212k，2k 22x x1 2212k ，y yy y x yx y直线 BC 的方程为：21() y xy yx x ，所以211 22 122xxxxxx212121 ，x y x y2kx x k (xx ) 2x x(xx )令 y 0 ，则 x 1 22 11 2121 2122yyk (x x ) 2k(xx ) 2211 212，所以直线 BC 与 x 轴交于定点 D (2, 0) . 21. 解：（Ⅰ）因为 g (x )ax1所以 h (x ) e x ax1，由 h (x )0对任意的 xR 恒成立，即 h x ，( ) 0min由 h (x ) e x a ， （1）当 a 0 时， h (x ) e x a0 ， h (x )的单调递增区间为,，所以 x(,0) 时， h (x ) h (0) 0 ，所以不满足题意. （2）当 a 0 时，由 h(x ) e x a0 ，得 x ln axa 时， h (x ) 0 ， x (ln a,) 时， h (x ) 0 ，( ,ln )所以 h (x ) 在区间(,ln a ) 上单调递减，在区间 (ln a ,) 上单调递增，所以h(x)的最小值为h(ln a)a a ln a1.设(a)a a ln a1，所以(a)0，①因为(a)ln a令(a)ln a0得a1，所以(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减，所以(a)(1)0，②11由①②得(a)0，则a 1. （Ⅱ）由（Ⅰ）知e x x10，即1x e x，令xk kk （n N*，k0,1,2,,n1）则01 e，n n nkk所以(1)n(e n)n e k，nni12n1n所以()n()n()n()n()n e(n1)e(n2)e2e11 n n n nn i11e1e1n12，1e1e e1e111ni，所以()2nni1又(1)3(2)3(3)3 1，333所以m的最小值为2.第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：（Ⅰ）设M(,)是圆上任意一点，如图，连接OC，并延长与圆C交于点A，当点M异于O，A时，连接OM、MA，直角△MOA中，OM OA cos MOA，即4cos4cos()，66当点M与O，A重合时，也满足上式，所求圆C的极坐标方程为4cos().6（Ⅱ）直线l的普通方程为3x y80，圆心C(3,1)到直线l的距离为d，3318d3r，所以直线l与圆C相离，2故切线长的最小值为32225.23.解：（Ⅰ）由f(x)x2x33可化为：12xx 3 3 2或 x 2 x 3 3 x 2 x 3 3x 2或x 2 x 3 3 解得：x或 2 x 2 或 x2 ，所以，不等式解集为2,.（Ⅱ）因为 f (x )x 2x 3(x 2) (x 3)5所以 5 f (x ) 5，即 f (x ) 的最小值为 5 ， 要不等式 f (x ) a 2 6a 解集非空，需 f (x )a 2 6a ，min从而 a 26a 5 0 ，解得 a1或 a 5 ，所以 a的取值范围为,1U5,.13昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（理科数学）命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112答案BCCA B BA CDCB B 24. 解析：集合 A,1U3,， B0,1, 2, 3, 4, 5，所以 A I B0,1, 4, 5，选 B.25. 解析：设正方形边长为 2 ，则圆半径为 1.此时正方形面积为 2 2 4 .图中黑色部分面积为 2 .则此点取自黑色部分的概率为 2 ，选 C.4 81 iz i26. 解析：因为1 i，所以 1 z 2 ，选 C. 27. 解析：12 a1 所以 a 3 ，选 A.r15 55r1 r r15 528. 解析：通项TC x xC xr0 ，所以 r3 ，所以常1 ，令rr2 2 r 155x22数项为C，选 B.33511029. 解析：据题意得 22 3 12Sa ，当 n1时， 2S2 3a ，所以 a；当 n 2 时，nn113 3 3 3 a S Saaaa ，即1 1nnn 1nn 1n n 122 2 21 3 a a a ，即 3 n2，所以nnn 122an 1数列S5，a是首项a ，公比q 3的等比数列，所以12n a 1q 21355 24211q 13选B.30.解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S 12L 945，选A.31.解析：可令3x 4y t，则x logt，3y log t，由3x py得4p3log t3log43，选C.t3log46l og233log t log34t132.解析：将三视图还原可得右图，所以S 5224252142045，选D.3333.解析：f x sin x cos x3sin x223得，由f()03Z，即3k 1，由0知的最小值是2，当取得最小值时，kk333sin2f x x.由f3sin23sin33121232可得出：函数f(x)的图象关于直线x对称，A为真；12由f3sin20663可得出：x是函数f(x)的一个零点，B为真；6将函数g x 3sin2x的图象向左平移6个单位得到3sin2f x x的图象，所以3C为假；由复合函数单调性可得f(x)在0,12上是增函数，所以D为真，选C.A4334.解析：由已知B为AF的三等分点，作BH l于H（如图），则BH FK ，所以424BF BH333，所以AF 3BF 4，选B.H21B35. 解析：由 Sa 有 28 24 1 2 124 1 2 a，故aa a ，解得a 22a 1 4 ，K22O F又2 21 4 1 4 a2 2a 1 2 a12a ，因此aSS a a ，于是nnnnnnnnn1数列aa 是以，12a 2 2a 14 为首项，公比为 2 的等比数列.得n 1 n 1 aannn n12 4 2 2aa于是 11， 因 此 数列nn22nnan2n 是 以 1为 首 项 ， 1为 公 差 的 等 差 数 列 ， 解得a nn21 n1n ， an 2n .所以na ，选B.1249152二、填空题36. 解析：因为 a b 5 2 ，所以2a b50 ，即2 2 2a b2ab 505 b20 50 ，所以所以 b 5 .37. 解析：如图， x y 在点 A (4, 5) 处取得最大值9 .x -y +1=0yxy2 2 221，由已知得： FMb ，所abx +3y-3=0 32 12x-y -3=038. 解析：设双曲线 C 的方程为：–6 –5 –4 –3 –2 O–1–11 x23456–2 –315以24b4 ，而 3 a 2 ba 24 b 2 ，所以b 23 ， a 2 1，所以双曲线C 的方程：y2x 21 339. 设 BC 3k ，则 R 2kk0，因为体积为18 3 的正三棱锥 A BCD 的每个顶点都在半1 3径为 R 的球O 的球面上，所以 9k 2h18 3 ，得 34h24R 2h R3k ，.由22k2得 k 2 或 k 3 24 （舍），所以 R 4 .由题意知点 E 为线段 BD 的中点，从而在△ODB 中，OD OB ， DB 6 ，解得OE 16 9 7 .所以当截面垂直于OE 时，截面圆的半径4为 16 73，故截面圆面积最小值为9 .三、解答题 40. 解：（Ⅰ）由cos Ba 2 c 2b 2 3ac 3得 出 ： 2ac 2ac 2B， (2)分 6由3a 2b 及正弦定理可得出：3sin A 2sin B ，所以 21sin A sin ，………4分3 6 3 再由3a2b 知 a b ，所以 A 为锐角， cos1 12 2 A， ………6分9 3所以 sinsinsin sin coscos sin CA BA BA BAB3 26………8分（Ⅱ）由b 6 及3a 2b 可得出 a 4 ， 所以113 2 2S ab sin C462 3 2 2 .2 2 6………12分41. 解：（Ⅰ）证明：连接 A B ， BC 1 ，点 M ， N 分别为 A 1C 1 ，A 1B1的中点，所以 MN 为△ A BC 的一条中位线， MN //BC ，111MN平面 BB C C ， 1 1BC平面1BB C C ，1 1所以 MN // 平面 BB C C .………6分1 1162a 2a 2 4 8（Ⅱ）设 AA 1a ，则1CM， MN 1，2a244220CN5 ， 2a a 244由CMMN ，得CM 2 MN 2 CN 2 ，解得 a 2 ，由题意以点 A 为坐标原点， AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，AA 为 z 轴建立空间直角坐标系.12可得 A (0,0,0) ，C (0, 2,0) ， N (1,0, ) ， M (0,1, 2) ，22 2故 AN （ ，， ）， AC （0，2，0）， CN （1， 2， ）， CM (0,1, 2），1 02 2 设 m （x ，y ，z ）为平面 ANC 的一个法向量，则m m A C AN0 0，得 m （1，0，2），同理可得平面 MNC 的一个法向量为 n （3，2，2），设二面角 M CNA 的平面角为 ，cos m , nmnmn3 3 0 2 15 5，15cos cos m , n5，15所以，二面角 M CNA 的余弦值为5 15. ………12分42. 解 ： （ Ⅰ ）x 45 0.08 55 0.2 65 0.32 75 0.2 85 0.12 95 0.08 68.2 ………4分（Ⅱ） 0.008 0.012105010 .………6分1 0.9974（Ⅲ）P 3 X3=0.9974 ，则P X 900.0013 .2 0.0013 20000 26 .所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上.上述50名考生成绩中90分以上的有0.08504人.随机变量X0,1,2.于是C126， P X0==C321017C C118， P X1=64=C15210C224.P X2==C15210X的分布列：X012P138152151824数学期望E X12. ………12分31515543.解：（Ⅰ）由已知，动点M到点P (1,0)，Q(1,0)的距离之和为22，且PQ 22，所以动点M的轨迹为椭圆，而a 2，c 1，所以b 1，所以，动点M的轨迹E的方程：x22y2 1. (5)分（Ⅱ）设A(x,y)，B(x,y)，则C(x ,y)，由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，112211则直线l的方程为：y k(x 1)(1)y k x由2xy122得(12k2)x24k2x 2k220，所以4k2x x12212k，2k22x x12212k，………8分y y y y x yx y直线BC的方程为：y y 21(x x)，所以y 21x 122122x x x x x x212121，x y x y2kx x k(x x)2x x (xx)令y 0，则122112121212x2y y k(x x)2k(x x)2211212，所以直线BC与x轴交于定点D (2,0) (12)分44.解：（Ⅰ）因为g(x)ax 1所以h(x)e x ax 1，由h(x)0对任意的x R恒成立，即h x ，()0min18由h(x)e x a，（1）当a0时，h(x)e x a0，h(x)的单调递增区间为,，所以x(,0)时，h(x)h(0)0，所以不满足题意.（2）当a0时，由h(x)e x a0，得x ln ax a时，h(x)0，x(ln a,)时，h(x)0，(,ln)所以h(x)在区间(,ln a)上单调递减，在区间(ln a,)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(ln a)a a ln a1.设(a)a a ln a1，所以(a)0，①因为(a)ln a令(a)ln a0得a1，所以(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减，所以(a)(1)0，②由①②得(a)0，则a 1. ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知e x x10，即1x e x，令xk kk （n N*，k0,1,2,,n1）则01 e，n n nkk所以(1)(e)en n n k，nn i12n1n所以()n()n()n()n()n e(n1)e(n2)e2e11 n n n nn i11e1e1n12，1e1e e1e111ni，所以()n2ni1又(1)3(2)3(3)3 1，333所以m的最小值为2. ………12分19第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 45. 解：（Ⅰ）设 M (,) 是圆上任意一点，如图，连接OC ，并延长与圆C 交于点 A ， 当点 M 异于O ， A 时，连接OM 、 MA ， 直角△ MOA 中，OM OAcos MOA ，即4 cos4 cos() ，66当点 M 与O ， A 重合时，也满足上式，所求圆C 的极坐标方程为4 cos() .………5分6（Ⅱ）直线l 的普通方程为 3x y 8 0 ，圆心C ( 3,1) 到直线l 的距离为 d ，3 318d3 r ，所以直线l 与圆C 相离，2故切线长的最小值为 32225 .………10分46. 解：（Ⅰ）由 f (x ) x 2 x 3 3 可化为：x 33 x 2或x 2 x 3 3 x 2 x 3 3x 2或 x 2 x 3 3 解得：x 或 2 x 2 或 x2 ，所以，不等式解集为2,. ………5分（Ⅱ）因为 f (x )x 2x 3(x 2) (x 3)5所以 5 f (x ) 5，即 f (x ) 的最小值为 5 ， 要不等式 f (x ) a 2 6a 解集非空，需 f (x )a 2 6a ，min从而 a 26a 5 0 ，解得 a1或 a 5 ，所以 a的取值范围为,1U5,.………10分20。
2018届云南省昆明市高三摸底调研测试理科数学试题
2018届云南省昆明市高三摸底调研测试理科数学试题本试卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1.已知集合},11|{},0|{2<<-=≤-=x x N x x x M 则M ∩N=A.{x|-1<x ≤0}B.{x|-1≤x ≤0}C.{x|0≤x<1}D.{x|0≤x ≤1}2.设复数z 满足（1+i ）z=i ，则z 的共轭复数z = A.i 2121+ B.i 2121- C.-i 2121+ D.-i 2121- 3.已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|= A.2 B.2 C.10 D.104.已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则a 8=A.-2nB.2nC.2n-1D.2n+15.下图是1951--2016年中国年平均气温变化图.根据上图，下列结论正确的是A.1951年以来，我国年平均气温逐年增高B.1951年以来，我国年平均气温在2016年再创新高C.2000年以来，我国年平均气温都高于1981-2010年的平均值D.2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981-2010年的平均值6.古人采取“用臼春米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于春米的“石臼”由一块正方体石料凿去一部分做成(凿去的部分可看作一个简单组合体).一个“石臼”的三视图如图所示，则凿去部分的体积为A.63πB.72πC.79πD.99π7.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左，右焦点分别为F 1,F 2,,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限交于点P 。
2018届云南省昆明市高三上学期摸底调研测试理科数学试题及答案 精品
昆明市2018届高三摸底调研测试理科数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设全集U=R，集合A={x| x(x -3)>0}，则C A=(A) [0，3] (B)(0，3)(C) (-∞,0) (3,+ ∞) (D) (-∞,0][3,+ ∞)(2) 设复数z满足(13)3,i z i z-=+=则(A)一i (B) i (C) 3455i-(D) 3455i+(3)设命题p：∀x∈R ，2x>0，则⌝p为(A) ∀x∈R, 2x<0(B) ∀x∈R, 2x<0(C) ∃xo∈R, 2 xo <0 (D)∃3xo∈R, 2xo <0(4) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(A) 8+4π(B) 8+2π(C) 8+43π(D) 8+23π(5)设a ，b ∈N*，记R(a\b)为a 除以b 所得的余数．执行 如图所示的程序框图，若输入a= 243，b=45，则输 出的值等于 (A) 0 (B) 1 (C) 9 (D) 18(6)已知ω>0，在函数y=sin ωx 与y=cos ωx 的图像的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为1，则ω=(A)1 (B)2 (C)π (D) 2π(7)己知四边形ABCD 为正方形，3BP CP =，AP 与CD 交于点E ，若PE mCP nPD =+ 则m-n= (A)一23(B)23(C) —13(D) 13(8)己知a ∈（0，2π），cos(a +4π)= 一35，则tan a =(A) 17(B) 7 (C) 34(D) 43(9)四人进行一项游戏，他们约定：在一轮游戏中，每人掷一枚质地均匀的骰子1次，若某人掷出的点数为5或6，则此人游戏成功，否则游戏失败．在一轮游戏中，至少有2 人游戏成功的概率为(A) 127 (B) 827(C) 1127(D)89(10)已知F1，F2为双曲线C的左，右焦点，过F1的直线分别交C的左，右两支于A，B两点，若△AF2B为等腰直角三角形，且∠AF2B=90°，那么C的离心率为(11)已知曲线f(x)=e2x- 2e x+ax -1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为(A)(3，+∞) (B) [3，72] (C) (一∞，72](D)(0，3)(12)棱长为a的正方体可任意摆放，则其在水平平面上投影面积的最大值为2：22 (D) 2a2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
云南省昆明市2018届高三数学第一次摸底测试试题文.pdf
3
y
t8
2
23. 选修 4-5 ：不等式选讲
已知函数 f ( x) x 2 x 3 .
（1）求不等式 f (x) 3 的解集；
（2）若不等式 f ( x) a2 6a 解集非空，求实数 a 的取值范围 .
昆明一中全国联考第一期参考答案
5
1
为 1，则 C 的方程为（ ）
A． x 2 y2 1
B
． x2 y2 1
C.
2
x2 y 2 1
23
x2 y2
D．
1
33
6. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是（
）
A．等边三角形
B ．直角三角形
C.
正方形
D ．正六边形
x y1 7. 若 x, y 满足约束条件 x y 1 ，则目标函数 z x 2 y 的最小值为（ ）
A1C1, AB1 的中点 .
3
（1）证明： MN // 平面 BB1C1C ；
（2）若 CM MN ，求三棱锥 M NAC 的体积 ..
19. 某市为了解本市 2 万名学生的汉字书写水平， 在全市范围内进行了汉字听写考试， 现从
某校随机抽取了 50 名学生，将所得成绩整理后，发现其成绩全部介于
[40,100] 之间，将其
[80,100] 的人数 .
4
20. 已知中心在原点 O ，焦点在 x 轴上的椭圆 E 过点 C (0,1) ，离心率为
2
.
2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）直线 l 过椭圆 E 的左焦点 F ，且与椭圆 E 交于 A, B 两点，若 直线 l 的方程 .
OAB 的面积为 2 ，求 3
21. 已知函数 f ( x) ex ， g (x)
昆明市2018届高三摸底调研测试(理数试卷)
A．15 C． 45
B． 30 D． 60
11．若函数 f (x) 2x1 x2 2x 2 ，对于任意 x Z 且 x (, a) ， f (x) 0 恒成立，则实数
a 的取值范围是 A． (, 1]
B． (,0]
C． (,3]
D． (, 4]
12．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 4，AA1 2 .过点 A1 作平面 与 AB ， AD 分 别交于 M ， N 两点.若 AA1 与平面 所成角为 45 ，则截面 A1MN 面积的最小值是
．
15．已知函数
f
(x)
log2 (x 1) ,
x3
3x
1,
x 1, 则函数 f (x) 的零点个数为 x 1,
．
16．将数列an 中的所有项按每一行比上一行多 1 项的规则排成如下数阵：
a1 a2 , a3 a4 , a5 , a6 a7 , a8 , a9 , a10
记数阵中的第 1 列数 a1 ，a2 ，a4 ， ，构成的数列为bn ，Sn 为数列bn 的前 n 项和.
D．x 0 x 1
2．设复数 z 满足 (1 i)z i ，则 z 的共轭复数 z
A． 1 1 i 22
C． 1 1 i 22
B． 1 1 i 22
D． 1 1 i 22
3．已知向量 a (1, 2) ， b (1,3) ，则 2a b
A． 2
B． 2
C． 10
D．10
4．已知等差数列{an} 的公差为 2，且 a4 是 a2 与 a8 的等比中项，则 an
8．定义[x] 表示不超过 x 的最大整数，例如[2] 2 ，[3.6] 3 ．右
2018年云南省昆明市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年云南省昆明市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，则A∩B中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2＝0的一个根，则实数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．43．（5分）程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（）A．65B．176C．183D．1844．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出a＝（）A．6B．6.25C．6.5D．6.85．（5分）一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域内的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为（）A．13πB．12πC．11πD．7．（5分）已知函数，若f（a﹣1）≥f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知||＝6，||＝2，∠AOB＝30°，若t∈R，则||的最小值为（）A．6B．2C．3D．6﹣29．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在（）上单调递减，且f（x）满足f（）＝f（）＝0，则f（π）＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，直线y＝k（x+）与抛物线C相交于A，B两点，如|F A|＝3|FB|，则k＝（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）＝e2x﹣t的图象与g（x）＝ae x+a2x（a＞0）的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数t的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，AB为球O的直径，AB＝4，AD＝BC＝2，当四面体ABCD的体积最大时，异面直线AD与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题p：“若a，b，m为任意的正数，则”．能够说明p是假命题的一组正数a，b，m的值依次为．14．（5分）（x﹣y+2）6展开式中y4的系数为．15．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF2与双曲线右支交于点B，且|AF1|：|BF1|：|BF2|＝3：4：1，则双曲线C的离心率为．16．（5分）若数列{a n}满足a1＝﹣，a n+a n+1＝，a10＝．三、解答题：共70分。
2018-2019年云南省昆明市质检一：昆明市2018届高三第一次质量检测数学(理)试题-附答案精品
云南省昆明市2018届高三第一次质量检测理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11212i i+++（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ）A ．2b ≥B ．12b <≤C ．1b ≤D ．1b <3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．4x =，22s <B ．4x =，22s >C ．4x >，22s <D ．4x >，22s > 4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．2213632x y +=B ．22198x y +=C ．22195x y +=D ．2211612x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．14 6.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个。
【数学】云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统）数学（理）试题含答案
【数学】云南省昆明市2018届⾼三教学质量检查（⼆统）数学（理）试题含答案昆明市2018届⾼三复习教学质量检测理科数学⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知a ，b R ∈，复数21ia bi i+=+，则a b +=（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2-2.设集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|20}B x x x =+-≤，则AB =（）A ．{0,1,2}B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1}-- 3.若点55(sin,cos )66ππ在⾓α的终边上，则sin α=（）A ．12 C ．． 12-4.“搜索指数”是⽹民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越⼤，表⽰⽹民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越⾼.下图是2017年9⽉到2018年2⽉这半年中，某个关键词的搜索指数变化的⾛势图.根据该⾛势图，下列结论正确的是（）A ．这半年中，⽹民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，⽹民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从⽹民对该关键词的搜索指数来看，去年10⽉份的⽅差⼩于11⽉份的⽅差 D ．从⽹民对该关键词的搜索指数来看，去年12⽉份的平均值⼤于今年1⽉份的平均值 5.⼀个简单⼏何体的三视图如图所⽰，其中正视图是等腰直⾓三⾓形，侧视图是边长为2的等边三⾓形，则该⼏何体的体积等于（）A ．26.已知直线:l y m +与圆22:(3)6C x y +-=相交于A ，B 两点，若120ACB ∠=?，则实数m 的值为（）A ．33．3+3-C.9或3- D ．8或2-7.执⾏下⾯的程序框图，如果输⼊1a =，1b =，则输出的S =（）A ．7B ．20 C.22 D ．548.若直线(01)x a a π=<<与函数tan y x =的图像⽆公共点，则不等式tan 2x a ≥的解集为（） A ．{|,}62x k x k k Z ππππ+≤<+∈ B ．{|,}42x k x k k Z ππππ+≤<+∈ C. {|,}32x k x k k Z ππππ+≤<+∈ D ．{|,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈9.已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ?-+<=?+≥?，若⽅程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞ C. (,5)-∞ D ．(,5]-∞10.已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||2||PF QF =，且120PFQ ∠=?，则椭圆E 的离⼼率为（）A ．13 B ．12C. 3 D．211.已知函数2()2ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯⼀极值点，则实数k 的取值范围是（）A ． 2(,]4e -∞ B ．(,]2e -∞ C. (0,2] D ．[2,)+∞12.定义“有增有减”数列{}n a 如下：*t N ?∈，满⾜1t t a a +<，且*s N ?∈，满⾜1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{,,}(1,2,3,4)i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（）A ．64个B ．57个 C.56个 D ．54个⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 满⾜a b ⊥，||1a =，|2|22a b +=，则||b = ．14.已知变量x ，y 满⾜3040240x x y x y +≥??-+≥??+-≤?，则3z x y =+的最⼤值为．15.在ABC △中，⾓,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1cos 4C =，3c =，且cos cos a bA B=，则ABC △的⾯积等于．16.如图，等腰PAB △所在平⾯为α，PA PB ⊥，4AB =，点C ，D 分别为PA ，AB 的中点，点G 为CD 的中点.平⾯α内经过点G 的直线l 将PAB △分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点'P （'P ?平⾯α）.若点'P 在平⾯α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段'P H 的长度的取值范围是．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 中，13a =，{}n a 的前n 项和n S 满⾜：21n n S a n +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满⾜：(1)2n an n b =-+，求{}n b 的前n 项和n T .18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、⼄两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，⼯作组对这100户村民的年收⼊情况、劳动能⼒情况、⼦⼥受教育情况、危旧房情况、患病情况等进⾏调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表⽰甲村贫困户，“+”表⽰⼄村贫困户.若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收⼊户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出⼀户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的⾮绝对贫困户”中选3户，⽤ξ表⽰所选3户中⼄村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试⽐较这100户中，甲、⼄两村指标y 的⽅差的⼤⼩（只需写出结论）. 19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，M 是AB 的中点.（1）证明：1//BC 平⾯1MCA ；（2）若BMC △是正三⾓形，且1AB BC =，求直线AB 与平⾯1MCA 所成⾓的正弦值. 20. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆⼼，半径为4的圆与l 交于A 、B 两点，E 是该圆与抛物线C 的⼀个交点，90EAB ∠=?.（1）求p 的值；（2）已知点P 的纵坐标为1-且在C 上，Q 、R 是C 上异于点P 的另两点，且满⾜直线PQ 和直线PR 的斜率之和为1-，试问直线QR 是否经过⼀定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.21. 已知函数23()(4cos 1)x f x e x x x x α=+++，()(1)x g x e m x =-+. （1）当1m ≥时，求函数()g x 的极值；（2）若72a ≥-，证明：当(0,1)x ∈时，()1f x x >+. 请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数⽅程在平⾯直⾓坐标系xOy 中，圆O 的⽅程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程是2cos21ρθ=. （1）求圆O 的参数⽅程和曲线C 的直⾓坐标⽅程；（2）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意⼀点，证明：22||||PM PN +为定值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式(2)(4)6f x f x ++≥；（2）若a 、b R ∈，||1a <，||1b <，证明：()(1)f ab f a b >-+.试卷答案⼀、选择题1-5:ADCDD 6-10:ABBCC 11、12：AD ⼆、填空题16. 3(0,]2三、解答题17.解：（1）由21n n S a n +=+①，得2111(1)n n S a n +++=++②则②-①得21n a n =+.当13a =时满⾜上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）由（1）得21(1)2n n n b +=-+，所以12n n T b b b =+++2[(1)(1)(1)]n =-+-++-+3521(222)n ++++3(1)[1(1)]2(14)1(1)14n n -?--?-=+---(1)18(41)23n n--=+-. 18.解：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出⼀户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P == （2）由图知，“今年不能脱贫的⾮绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，⼄村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3.从⽽36310201(0)1206C P C ξ====，1246310601(1)1202C C P C ξ====，2146310363(2)12010C C P C ξ====，3431041(3)12030C P C ξ====.所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望113112()0123 1.262103010E ξ=?+?+?+?==. （3）这100户中甲村指标y 的⽅差⼤于⼄村指标y 的⽅差.19.解：（1）连接1AC ，设1AC 与1AC 的交点为N ，则N 为1AC 的中点，连接MN ，⼜M 是AB 的中点，所以1//MN BC .⼜MN ?平⾯1MCA ，1BC ?/平⾯1MCA ，所以1//BC 平⾯1MCA .（2）M 是AB 的中点，BMC 是正三⾓形，则60ABC ?∠=，30BAC ?∠=，90ACB ?∠=，设1BC =，则1AC CC ==1CC 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴建⽴空间直⾓坐标系.则(0,1,0)B，A，1A，(0,1,AB =，1(0,2CM =，1(3,0,CA =.设(,,)n x y z =是平⾯1MCA 的法向量，则10n CM n CA ??==??，可取平⾯1MCA 的法向量为(1,3,1)n =-，则 |cos ,|AB n ??=||155||||AB n AB n ?=，所以直线AB 与平⾯1MCA .20.解：（1）由题意及抛物线定义，||||||4AF EF AE ===，AEF 为边长为4的正三⾓形，设准线l 与x 轴交于点D ，11 ||||4222AD p AE ===?=. （2）设直线QR 的⽅程为x my t =+，点11(,)Q x y ，22(,)R x y . 由24x my t y x=+??=?，得2440y my t --=，则216160m t ?=+>，124y y m +=，124y y t ?=-. ⼜点P 在抛物线C 上，则11221144p P PQ P P y y y y k y y x x --=P y y y ==+-，同理可得241PR k y =-. 因为1PQ PR k k +=-，所以124411y y +=--1212124()8()1y y y y y y +--++1681441m t m -==---+，解得734t m =-.由21616073417(1)344m t t m m m ?=+>?=-≠-+-，解得71(,)(,1)(1,)22m ∈-∞-??+∞. 所以直线QR 的⽅程为7(3)4x m y =+-，则直线QR 过定点7(,3)4--. 21.解：（1）()xg x e m '=-，由()0g x '=得ln x m =. 由ln x m >得()0g x '>，ln x m <得()0g x '<，所以函数()g x 只有极⼩值(ln )(ln 1)ln g m m m m m m =-+=-.。
云南省昆明市2018届高三下学期统测数学
云南省昆明市2018届高三下学期统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4B．3C．2D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A．B．7C．5D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120B．﹣60C．60D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48B．36C．30D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2B．3C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O 的直径，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，设二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为θ，则sinθ=（ ） A ． B ．C ．D ．12．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，抛物线M 的焦点F 在x 轴正半轴上，抛物线M 的准线与曲线x 2+y 2﹣6x +4y ﹣3=0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上的一点，若•=﹣4，则点A 的坐标是（ ）A ．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B ．（1，2）或（1，﹣2）C ．（1，2）D ．（1，﹣2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．14. 若函数()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0x =处的切线方程为31y x =-+，则ω= ．15. 表面积为16π的球面上有四个点,,,P A B C ，且ABC ∆是边长为角形，若平面PAB ⊥平面ABC ，则棱锥P ABC -体积的最大值为 ． 16. 某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有 种．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2. （1）求AD 的长； （2）求CBD ∆的面积.18. 根据“2015年国民经济和社会发展统计公报” 中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的第三产业在GDP 中的比重如下:（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在GDP 中的比重y 关于年份代码x 的回归方程； （3）按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP 中的比重. 附注: 回归直线方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-.19. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面111,1,2BCC B AC BC BB ===， 160B BC ∠=.（1）证明:1B C AB ⊥；（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45，求1BEBB 的值. 20. 在直角坐标系xOy 中， 动圆M 与圆221:20O x x y ++=外切，同时与圆222:2240O x y x +--=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明:OS OT 为定值.21. 已知函数()()1ln 11x x f x e -++=.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()()232'g x x x f x =++(其中()'f x 为()f x 的导函数) ，证明:1x >- 时，()21g x e <+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122(2x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程； （2）若将曲线1C倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =+.（1）解不等式()241f x x <--；（2）已知()10,0m n m n +=>>，若不等式()11x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题参考答案1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4B．3C．2D．1【考点】子集与真子集．【分析】若集合A有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．【解答】解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A．B．7C．5D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件对两边平方，从而可求出，这样即可求出的值，进而求出的值．【解答】解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120B．﹣60C．60D．120【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣1）r x10﹣2r，【解答】解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d【考点】函数的零点．【分析】由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），由函数零点的定义求出对应方程的根，画出g（x）和直线y=2017的大致图象，由条件和图象判断出大小关系．【解答】解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48B．36C．30D．24【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2B．3C．D．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】将函数f（x）化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离的最小值为，可得T=π．根据f（x0）=，≤x0≤，求出x0，可得cos2x0的值．【解答】解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（，y0），则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），再由•=﹣4，可求得y0的值，最后可得答案．【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题13. 8 14. 3 15.3 16.12三、解答题17. 解：(1)由已知11sin25sin2 22ABDS AB BD ABD ABD∆=∠=⨯⨯∠=，所以sinABD∠=，又0,2ABDπ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos ABD∠=ABD∆中，由余弦定理得：2222cos5AD AB BD AB BD ABD=+-∠=，所以AD=(2)由AB BC⊥，得2ABD CBDπ∠+∠=，所以sin cos5CBD ABD∠=∠=，又42,sin2sin cos5BCD ABD BCD ABD ABD∠=∠∠=∠∠=，222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBDππππ⎛⎫∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠⎪⎝⎭，所以CBD∆为等腰三角形，即CB CD=，在CBD∆中，由正弦定理得：sinsinBD CDBCD CBD=∠∠，所以sin51155455,sin4sin42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCDBCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠.18. 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)3,47.06x y ==，1122211()()151.510()()n ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y b x n x x x ====---====--∑∑∑∑, 42.56a y bx =-= ，所以回归直线方程为 1.542.56y x =+.(3)代入2017 年的年份代码7x =，得 1.5742.5653.06y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在GDP 中的比重将达到0053.06. 19. 解：(1)证明：在1BCB ∆中，111,2,60BC BB B BC ==∠=，则12cos603B C ==22211BC B C BB +=，故1B C BC ⊥.所以AC ⊥平面11BCC B ，于是1AC B C ⊥，又BC AC C=，故1B C ⊥平面ABC，所以1B C AB ⊥.(2)如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则())()()10,0,0,,0,1,0,0,0,1C B B A ，由11BB CC =，得)11,0C -，设()1BE BB λλ=0≤≤1，则),1,0Eλ-，于是()()13,1,1,3,1,1AE ACλλ=--=--，求得平面1AEC 的一个法向量为(n λ=-，取平面1EC C 的一个法向量为()0,0,1m =，又二面角1A EC C --为45，则(cos 45m n m nλ===-，解得12λ=或2λ=（舍）， 所以1BE BB 的值为12. 20. 解：(1)由圆221:20O x x y ++=，得()2211x y ++=，所以()11,0O -，半径为1；由圆222:2240O x y x +--=，得()22125x y -+=，所以()21,0O ，半径为5，设动圆圆心(),M x y ，半径为R ，因为M 与1O 外切，所以1R 1MO =+，又因为M 与2O 外切，所以25R MO =-，将两式相加得12126MO MO OO +=>，由椭圆定义知，圆心M 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则229,8a b ==，所以动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y +=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则1010AP y y k x x -=-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得011010S x y x yx y y -=-，同理()()011001101010T x y x y x y x y x y y y y --+==--+，于是222201100110011022101010S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+-，又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故2222010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22222222222222011001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()222222010110222210018989x x x y x y OS OT y y x x --===--. 21. 解：(1)函数()f x 的定义域为()()()111ln 111,,'x x x f x e---++-+∞=，由于()()1'00,1ln 11f y x x ==--++在()1,-+∞上是减函数，所以当10x -<<时，()'0f x >；当0x >时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞.(2)由()()()()21'g x x x f x =++，①当0x ≥时，由(1) 知()'0f x ≤，所以()201g x e ≤<+.② 当10x -<<时，()()()()()()()1111ln 121ln 1121x x x x x x x x g x x x e e ----++--++⎡⎤⎣⎦+=++=()()()2121ln 1x x e x x x e ++=--++⎡⎤⎣⎦，构造函数()()12x h x e x +=-+，则()1'10x h x e +=->，则当10x -<<时，()()()112210,01x x x h x e x h e+++=-+>-=∴<<，易知当10x -<<时，()()1ln 10x x x --++>，()()()()()()22121ln 11ln 1x x g x e x x x e x x x e++∴=--++<--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ .要证()21g x e <+，只需证()()21ln 11x x x e --++≤+，设()()()1ln 1p x x x x =--++，得()()'2ln 1p x x =--+，由()()'2ln 10p x x =--+=，得21x e -=-，当()21,1x e -∈--时，()'0p x >，则()p x 单调递增；当()21,0x e -∈-时，()'0p x <，则()p x 单调递减，当10x -<<时，()()()()221ln 111p x x x x p e e --=--++≤-=+，所以当10x -<<时，()21g x e <+成立.综合① ②可知：当1x >-时，()21g x e <+.22. 解：(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由题意知，曲线2C的参数方程为cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），可设点()cos P θθ，故点P 到直线l的距离为d ==，所以min d =点P 到直线l的距离的最小值为223. 解：（1）不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<，即()22214x x x ≤-⎧⎪⎨-+-+<⎪⎩或 ()212214x x x -<<⎧⎪⎨+-+<⎪⎩或()12214x x x ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩. 解得7|23x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭或{}|21x x -<-或∅，所以不等式的解集为7|13x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.（2）因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+，所以()x a f x --的最大值是2a +，又()10,0m n m n +=>>，于是()112224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，11m n ∴+的最小值为4.要使()11x a f x m n --≤+的恒成立，则24a +≤，解此不等式得62a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.。
云南省2018届高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
云南省2018届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合S=，则S∩T=（）A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}2．已知i为虚数单位，若z1=1+2i，z2=1﹣i，则复数在复平面内对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则数列{na n}的前n项和为（）A．﹣3+（n+1）×2n B．3+（n+1）×2n C．1+（n+1）×2n D．1+（n﹣1）×2n4．已知平面向量、都是单位向量，若，则与的夹角等于（）A．B．C．D．5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位6．执行如图所示程序框图，如果输入的k=2017，那么输出的a i=（）A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣67．如图是由圆柱与两个半球组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积与表面积分别为（）A．B．C．D．8．在的二项展开式中，若第四项的系数为﹣7，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．69．已知a＞2，b＞2，直线与曲线（x﹣1）2+（y﹣1）2=1只有一个公共点，则ab的取值范围为（）A．B．C．D．10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．11．若偶函数f（x）满足f（x）=则曲线y=f（x）在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．6x﹣y+6=0 B．x﹣3y+1=0 C．6x+y+6=0 D．x+3y+1=012．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2c．若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（）A． B． C．（1，2） D．（1，2]二、填空题已知实数x、y满足，则z=2x+y﹣6的最小值是．14．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q是直线DD1上的两个动点．如果PQ=2，那么三棱锥P﹣BCQ 的体积等于．15．已知椭圆E的中心为原点O，焦点在x轴上，E上的点与E的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12，直线4x+5y+12=0交椭圆于E于M，N两点．设P为线段MN的中点，若直线OP的斜率等于，则椭圆E的方程为．16．在数列{a n}中，a1=2，若平面向量与平行，则{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C对的边，．（1）若，△ABC的面积为，求c；（2）若，求2a﹣c的取值范围．18．（12分）为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动．对于A，B两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分，绿灯闪亮的概率为；玩一次游戏B，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分（即获得﹣20分），出现音乐的概率为．玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品．（1）记X为玩游戏A和B各一次所得的总分，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）记某人玩5次游戏B，求该人能兑换奖品的概率．19．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为A1B，C1C的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB=AD=2AA1，求平面A1BF与平面ABCD所成二面角的正弦值．20．（12分）已知抛物线E的顶点为原点O，焦点为圆F：x2+y2﹣4x+3=0的圆心F．经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点，A，B在第一象限，C，D在第四象限．（1）求抛物线E的方程；（2）是否存在直线l，使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知e是自然对数的底数，f（x）=me x，g（x）=x+3，φ（x）=f（x）+g（x），h（x）=f（x）﹣g（x﹣2）﹣2017．（1）设m=1，求h（x）的极值；（2）设m＜﹣e2，求证：函数φ（x）没有零点；（3）若m≠0，x＞0，设，求证：F（x）＞3．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．直线l交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．云南省2018届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合S=，则S∩T=（）A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式求出集合T，根据交集的定义写出S∩T．【解答】解：集合S={1，2，3}，T={x|≤0}={x|1≤x＜3}，则S∩T={1，2}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．已知i为虚数单位，若z1=1+2i，z2=1﹣i，则复数在复平面内对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把z1=1+2i，z2=1﹣i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出得坐标得答案．【解答】解：∵z1=1+2i，z2=1﹣i，则复数=．∴复数在复平面内对应点的坐标为（﹣1，），位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则数列{na n}的前n项和为（）A．﹣3+（n+1）×2n B．3+（n+1）×2n C．1+（n+1）×2n D．1+（n﹣1）×2n【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的求和公式，求出首项和公比，再根据错位相减数列{na n}的前n项和．【解答】解：由题意可得，公比q≠1，∴ =7， =63，相除可得 1+q3=9，∴q=2，∴a1=1．故 a n=a1q n﹣1=2n﹣1，∴na n=n2n﹣1，数列{na n}的前n项和M n=1•20+2•21+…+n•2n﹣1，2M n=1•21+2•22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，两式相减可得，﹣M n=1+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴M n=（n﹣1）•2n+1故选：D【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，以及错位相减求数列的和的应用，考查了计算能力．4．已知平面向量、都是单位向量，若，则与的夹角等于（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义，求出、的夹角余弦值，即可求出夹角的大小．【解答】解：设向量、的夹角为θ，∵，∴•（2﹣）=2•﹣=2×1×1×cosθ﹣12=0，解得cosθ=，又θ∈，∴θ=，即与的夹角为．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是基础题．5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，可得y=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．执行如图所示程序框图，如果输入的k=2017，那么输出的a i=（）A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图得到a i的取值具备周期性，然后利用周期性进行求解即可．【解答】解：第一次循环，a3=a2﹣a1=6﹣3=3，i=3，第二次循环，a4=a3﹣a2=3﹣6=﹣3，i=4第三次循环，a5=a4﹣a3=﹣3﹣3=﹣6，i=5第四次循环，a6=a5﹣a4=﹣6+3=﹣3，i=6，第五次循环，a7=a6﹣a5=﹣3+6=3，i=7第六次循环，a8=a7﹣a6=3﹣（﹣3）=6，i=8则a i的取值具备周期性，周期为6，当i=2016时，不满足条件．此时i=2017，此时a2017=a336×6+1=a1=3，此时程序结束，故选：A【点评】本题主要考查程序框图的应用，根据条件判断a i的取值具备周期性是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．7．如图是由圆柱与两个半球组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积与表面积分别为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用圆柱与球的体积、表面积计算公式即可得出．【解答】解：该几何体的体积V=π×12×2+=．表面积S=2π×1×2+4π×12=8π．故选：A．【点评】本题考查了圆柱与球的三视图及其体积、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．在的二项展开式中，若第四项的系数为﹣7，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先写出其通项，再令r=3，根据第四项的系数为﹣7，即可求出n的值．【解答】解：的二项展开式的通项为T r+1=C n r（﹣2﹣1）r，∵第四项的系数为﹣7，∴r=3，∴C n3（﹣2﹣1）3=﹣7，解得n=8，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．已知a＞2，b＞2，直线与曲线（x﹣1）2+（y﹣1）2=1只有一个公共点，则ab的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆心到直线的距离d==1，化简可得2（a+b）=ab+2≥4，即可确定ab的取值范围．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==1，化简可得2（a+b）=ab+2≥4，∵a＞2，b＞2，∴ab≥6+4，故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】由弧田面积求出矢=1，设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，列出方程组求出d=4，r=5，从而得到cos∠AOD==，再由cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1，能求出结果．【解答】解：如图，由题意可得：AB=6，弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米．解得矢=1，或矢=﹣7（舍），设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则，解得d=4，r=5，∴cos∠AOD==，∴cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1=﹣1=．故选：D．【点评】本题考查角的余弦值的求法，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、弧田面积计算公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．11．若偶函数f（x）满足f（x）=则曲线y=f（x）在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．6x﹣y+6=0 B．x﹣3y+1=0 C．6x+y+6=0 D．x+3y+1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出当x＜﹣时，运用偶函数的定义，可得解析式，求出导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得所求切线的方程．【解答】解：当x＜﹣时，﹣x＞时，偶函数f（x）满足f（x）=f（﹣x）==，当x＜﹣时f′（x）=可得曲线y=f（x）在点（﹣1，0）处的切线斜率为f′（﹣1）==﹣6．则曲线y=f（x）在点（﹣1，0）处的切线方程为y﹣0=﹣6（x+1），即有6x+y+6=0．故选：C．【点评】本题考查函数的性质，主要是偶函数的性质的运用：求解析式，考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2c．若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（）A． B． C．（1，2） D．（1，2]【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用正弦定理及双曲线的定义，可得a，c的不等式，结合PF2＞c﹣a，即可求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：由，在△PF1F2中，由正弦定理可得=，可得3c•PF2=a•PF1，且PF1﹣PF2=2a联立可得PF2=＞0，即得3c﹣a＞0，即e=＞，…①又PF2＞c﹣a（由P在双曲线右支上运动且异于顶点），∴PF2=＞c﹣a，化简可得3c2﹣4ac﹣a2＜0，即3e2﹣4e﹣1＜0，得＜e＜…②又e＞1，③由①②③可得，e的范围是（1，）．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，考查化简整理的圆能力，属于中档题．二、填空题（2017•云南二模）已知实数x、y满足，则z=2x+y﹣6的最小值是﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y﹣6得y=﹣2x+z+6，平移直线y=﹣2x+z+6，由图象可知当直线y=﹣2x+z+6经过点A时，直线y=﹣2x+z+6的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣1，3），代入目标函数z=2x+y﹣6得z=2×（﹣1）+3﹣6=﹣5．即目标函数z=2x+y﹣6的最小值为﹣5．故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q是直线DD1上的两个动点．如果PQ=2，那么三棱锥P﹣BCQ 的体积等于12 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥P﹣BCQ的体积=，由此能求出结果．【解答】解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q是直线DD1上的两个动点，PQ=2，∴S△PQC=×2×6=6，∴三棱锥P﹣BCQ的体积：===12．故答案为：12．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15．已知椭圆E的中心为原点O，焦点在x轴上，E上的点与E的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12，直线4x+5y+12=0交椭圆于E于M，N两点．设P为线段MN的中点，若直线OP的斜率等于，则椭圆E的方程为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由当点位于短轴的端点时，三角形的面积最大，及bc=12，①由直线的斜率公式，将M和N代入椭圆方程，即可求得=，②，a2=b2﹣c2，③，联立即可求得a和b的值，求得椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程（a＞b＞0），则当M为于椭圆的上下顶点时，则焦点三角形面积最大，则S=×2c×b=12，即bc=12，①设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的斜率k==﹣，由直线OP的斜率k==，则，两式相减得： +=0，整理得： =﹣×=﹣×，﹣=﹣×，整理得： =，②a2=b2﹣c2，③，由①②③解得：a=5，b=4，c=3，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．16．在数列{a n}中，a1=2，若平面向量与平行，则{a n}的通项公式为a n=+2 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】平面向量与平行，可得2a n=（n+1）（﹣1+a n+1﹣a n），整理为：（n+3）a n+（n+1）=（n+1）a n+1，利用递推关系可得：（a n+2﹣a n+1）+（a n﹣a n﹣1）=2（a n+1﹣a n），转化为等差数列，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵平面向量与平行，∴2a n=（n+1）（﹣1+a n+1﹣a n），整理为：（n+3）a n+（n+1）=（n+1）a n+1，n≥2时，（n+2）a n﹣1+n=na n，相减可得：（2n+3）a n+1﹣（n+2）a n﹣1=（n+1）a n+1，∴（2n+5）a n+1+1﹣（n+3）a n=（n+2）a n+2．相减可得：3a n+1﹣3a n=a n+2+a n﹣1．∴（a n+2﹣a n+1）+（a n﹣a n﹣1）=2（a n+1﹣a n），又a1=2，∴a2=5，a3=．∴数列{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为3，公差为．∴a n+1﹣a n=3+=．∴a n=++…++2=+2=+2．故答案为：a n=+2．【点评】本题考査了累加求和方法、等差数列的求和公式、数列递推关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•云南二模）已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C对的边，．（1）若，△ABC的面积为，求c；（2）若，求2a﹣c的取值范围．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求得a，根据余弦定理，即可求得c的值；（2）根据正弦定理，分别求得a==2sinA，c==2sinC，则2a﹣c=4sinA﹣2sinC=2cosC，，根据余弦函数的性质即可求得2a﹣c的取值范围．【解答】解：（1）∵，△ABC的面积为，，∴由三角形的面积公式S=，则a=2．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=．∴，c的值为；（2）由正弦定理得=2R．∴a==2sinA，c==2sinC，∴=，∵，∴，∴，∴，∴2a﹣c的取值范围为．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及余弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•云南二模）为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动．对于A，B两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分，绿灯闪亮的概率为；玩一次游戏B，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分（即获得﹣20分），出现音乐的概率为．玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品．（1）记X为玩游戏A和B各一次所得的总分，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）记某人玩5次游戏B，求该人能兑换奖品的概率．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）随机变量X的所有可能取值为110，50，30，﹣30，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；（2）设某人玩5次游戏B的过程中，出现音乐n次，列不等式求出n的值，再计算“某人玩5次游戏B能兑换奖品”的概率值．【解答】解：（1）随机变量X的所有可能取值为110，50，30，﹣30，分别对应以下四种情况：①玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，出现音乐；②玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，出现音乐；③玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐；④玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐，所以，，，，即X的分布列为：数学期望为；（2）设某人玩5次游戏B的过程中，出现音乐n次，则没出现音乐5﹣n次，依题意得60n﹣20（5﹣n）≥130，解得，所以n=3或4或5；设“某人玩5次游戏B能兑换奖品”为事件M，则．【点评】本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的应用问题，是基础题．19．（12分）（2017•云南二模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为A1B，C1C的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB=AD=2AA1，求平面A1BF与平面ABCD所成二面角的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）设AB的中点为M，连接EM、MC．推导出四边形EMCF是平行四边形，从而EF∥MC，由此能证明EF∥平面ABCD．（2）根据四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出平面A1BF与平面ABCD所成二面角的正弦值．【解答】证明：（1）设AB的中点为M，连接EM、MC．∵E为A1B的中点，∴EM∥A1A，且．又∵F为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1C的中点，∴EM∥FC，且EM=FC，∴四边形EMCF是平行四边形．∴EF∥MC．又∵MC⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．解：（2）根据四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AB=2，由已知得.，设平面A1BF的一个法向量为，则．∴，取z=4，解得，∴是平面A1BF的一个法向量．由已知得到是平面ABCD的一个法向量．设平面A1BF与平面ABCD所成二面角的大小为θ，则．∵0＜θ＜π，∴．∴平面A1BF与平面ABCD所成二面角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•云南二模）已知抛物线E的顶点为原点O，焦点为圆F：x2+y2﹣4x+3=0的圆心F．经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点，A，B在第一象限，C，D在第四象限．（1）求抛物线E的方程；（2）是否存在直线l，使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）根据题意，设抛物线E的方程为y2=2px，由圆的方程分析可得圆心及半径，即可得，解得p的值，代入抛物线的方程可得答案；（2）根据题意，由等差数列的性质分析可得|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10，分两种情况讨论：若l垂直于x轴，分析易得此时不满足题意，若l不垂直于x轴，设l的斜率为k，可以设出l的方程为y=k（x﹣2），联立直线与抛物线的方程结合根与系数的关系分析可得k的值，代入直线方程中可得直线的方程，即可得答案．【解答】解：（1）根据已知设抛物线E的方程为y2=2px（p＞0）．∵圆F的方程为（x﹣2）2+y2=1，∴圆心F的坐标为F（2，0），半径r=1．∴，解得p=4．∴抛物线E的方程为y2=8x．（2）根据题意，∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项，∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8．∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10．若l垂直于x轴，则l的方程为x=2，代入y2=8x，得y=±4．此时|AD|=|y1﹣y2|=8≠10，即直线x=2不满足题意．若l不垂直于x轴，设l的斜率为k，由已知得k≠0，l的方程为y=k（x﹣2）．设A（x1，y1），B（x2，y2），由得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0．∴．∵抛物线E的准线为x=﹣2，∴|AD|=|AF|+|DF|=（x1+2）+（x2+2）=x1+x2+4，∴，解得k=±2．当k=±2时，k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0化为x2﹣6x+4=0，∵△=（﹣6）2﹣4×1×4＞0，∴x2﹣6x+4=0有两个不相等实数根．∴k=±2满足题意，即直线y=±2（x﹣2）满足题意．∴存在满足要求的直线l，它的方程为2x﹣y﹣4=0或2x+y﹣4=0．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的位置关系时，注意分析直线的斜率是否存在．21．（12分）（2017•云南二模）已知e是自然对数的底数，f（x）=me x，g（x）=x+3，φ（x）=f（x）+g （x），h（x）=f（x）﹣g（x﹣2）﹣2017．（1）设m=1，求h（x）的极值；（2）设m＜﹣e2，求证：函数φ（x）没有零点；（3）若m≠0，x＞0，设，求证：F（x）＞3．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）设m=1，求导数，确定函数的单调性，即可求h（x）的极值；（2）设m＜﹣e2，证明当时，函数φ（x）取得最大值，最大值为，即可证明：函数φ（x）没有零点；（3）x＞0，F（x）＞3化为（x﹣2）e x+x+2＞0，构造函数，求导数，确定函数的单调性，即可证明结论．【解答】（1）解：∵f（x）=me x，g（x）=x+3，m=1，∴f（x）=e x，g（x﹣2）=x+1，∴h（x）=f（x）﹣g（x﹣2）﹣2017=e x﹣x﹣2018．∴h'（x）=e x﹣1，由h'（x）=0得x=0．∵e是自然对数的底数，∴h'（x）=e x﹣1是增函数．∴当x＜0时，h'（x）＜0，即h（x）是减函数；当x＞0时，h'（x）＞0，即h（x）是增函数．∴函数h（x）没有极大值，只有极小值，且当x=0时，h（x）取得极小值．∴h（x）的极小值为h（0）=﹣2017．（2）证明：∵f（x）=me x，g（x）=x+3，∴φ（x）=f（x）+g（x）=m•e x+x+3，∴φ'（x）=m•e x+1．∵m＜﹣e2＜0，∴φ'（x）=m•e x+1是减函数．由φ'（x）=m•e x+1=0解得．当时，φ'（x）=m•e x+1＞0，此时函数φ（x）是增函数，当时，φ'（x）=m•e x+1＜0，此时函数φ（x）是减函数，∴当时，函数φ（x）取得最大值，最大值为．∵m＜﹣e2，∴2﹣ln（﹣m）＜0，∴φ（x）＜0，∴当m＜﹣e2时，函数φ（x）没有零点．（3）证明：∵f（x）=me x，g（x）=x+3， =+．∵x＞0，∴F（x）＞3化为（x﹣2）e x+x+2＞0．设u（x）=（x﹣2）e x+x+2，则u′（x））=（x﹣1）e x+1．设v（x）=（x﹣1）e x+1，则v′（x）=xe x．∵x＞0，∴v'（x）＞0．又∵当x=0时，v'（x）=0，∴函数v（x）在22．（10分）（2017•云南二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．直线l交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的参数方程消去参数，得l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程，由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）求出直线l的参数方程，并代入y2=2x，得，由此能求出|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），消去参数和，得l的普通方程为x﹣y﹣2=0．∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣2=0．∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x．（2）∵直线l：x﹣y﹣2=0经过点P（﹣2，﹣4），∴直线l的参数方程为（T为参数）．将直线l的参数方程为代入y2=2x，化简得，∴|PA|•|PB|=|T1T2|=40．【点评】本题考查直线的极坐标方程和曲线直角坐标方程的求法，考查两线段积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．23．（2017•云南二模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质，证明f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，分类讨论，当且仅当时，f（x）=2．，即可求实数x的取值范围．【解答】（1）证明：∵|2x+1|+|2x﹣1|=|2x+1|+|1﹣2x|≥|（2x+1）+1﹣2x|=2，∴f（x）≥2．当且仅当（2x+1）（1﹣2x）≥0时“=”成立，即当且仅当时，f（x）=2．∴f（x）的最小值等于2．（2）解：当a+b=0即a=﹣b时，可转化为2|b|﹣0•f（x）≥0，即2|b|≥0成立，∴x∈R．当a+b≠0时，∵|2a+b|+|a|=|2a+b|+|﹣a|≥|（2a+b）﹣a|=|a+b|，当且仅当（2a+b）（﹣a）≥0时“=”成立，即当且仅当（2a+b）a≤0时“=”成立，∴，且当（2a+b）a≤0时，，∴的最小值等于1，∵，，∴，即f（x）≤2．由（1）知f（x）≥2，∴f（x）=2．由（1）知当且仅当时，f（x）=2．综上所述，x的取值范围是．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
云南省昆明市2018届高三数学第一次摸底测试试题 理
云南省昆明市2018届高三数学第一次摸底测试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1{0}3x A xx -=≥-，集合{15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（ ） A ．{0,1,3,4,5} B ．{0,1,4,5} C ．{1,4,5} D ．{1,3,4,5} 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．4π，则1z +=（ ） A ． 21x =对称，则a 的值为（ ） A ．-15.二项式51()x展开式中的常数项为（ ） A ．10 B ．-10 C. 5 D ．-56.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2,,3n n S a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．-243 B ．-242 C.-162 D ．2437.执行如图所示的程序框图，若输出n 的值为9，则判断框中可填入（ ）A ．45?S ≥B ．36?S ≥ C. 45?S > D ．55?S ≥ 8.设,x y 为正数，且34xy=，当3x py =时，p 的值为（ ） A ．3log 4 B ．4log 3 C. 36log 2 D ．3log 29.一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于2的正方形，这个几何体的表面积为（ ）A 20+．20+)2x πω+（0ω>），且()03f π=，当ω取最小值时，以下命题中假命题是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称B ．6x π=-是函数()f x 的一个零点C. 函数()f x 的图象可由()2g x x =的图象向左平移3π个单位得到D ．函数()f x 在[0,]12π上是增函数11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB =，则AF =（ ）A ．3B ．4 C.6 D ．712.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，142n n S a +=+，则数列{}n a 中的12a 为（ ）A ．20480B ．49152 C. 60152 D ．89150第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,1)a =，10a b ∙=，52a b +=，则b = ．14.若实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为 ．15.已知双曲线C 的中心为坐标原点，点(2,0)F 是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E ，若3FM ME =，则双曲线C 的方程为．16.体积为A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且222a cb +=，32a b = （1）求32a b =的值；（2）若6b =，求ABC ∆的面积.18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，2AB AC ==，点,M N 分别为111,A C AB 的中点.（1）证明：//MN 平面11BB C C ；（2）若CM MN ⊥，求二面角M CN A --的余弦值.19. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布(69,49)N ，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）估算该校50名学生成绩的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；（3）现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26名的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：若2~(,)X N μσ，则()0.6826p X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544p X μσμσ-<≤+= (33)0.9974p X μσμσ-<≤+=20. 已知动点(,)M x y =（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标. 21. 已知函数()xf x e =，2()2a g x x x =--，（其中a R ∈，e 为自然对数的底数，2.71828e =……）.（1）令'()()()h x f x g x =+，若()0h x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，设m 为整数，且对于任意正整数n ，1()nn i i m n =<∑，求m 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心坐标为(2,)6π.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设直角坐标系的原点与极点O 重合，x 轴非负关轴与极轴重合，直线l的参数方程为1282x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），由直线l 上的点向圆C 引切线，求线线长的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =--+. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式2()6f x a a <-解集非空，求实数a 的取值范围.昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（理科数学）命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序积为2π.，选C.3. 解析：因为1iz i 1i--==--，所以1A.()1552251rr r r C x -=-，令155022r -=，所以3r =，所以1n =时，11223S a =+，所以12a =-；当2n ≥时，13322n n a a --，即11322n n a a -=，即()132n n a n a -=≥，所以数列n 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，所以()()55151213242113a q S q---===---，选B.7. 解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算12945S =+++=L ，选A.8. 解析：可令34x y t==，则3l o g x t =，4log y t =，由3x p y=得33343log 3log 43log 46log 2log log 3t t t p t ====，选C. 9. 解析：将三视图还原可得下图，所以52214252⨯⨯⨯+⨯=S 5420+=，选D.10. 解析：()3cos 23f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由()03f π=得()33k k ππωπ+=∈Z ，即31k ω=-，由0ω>知ω的最小值是2，当ω取得最小值时，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出：函数()f x 的图象关于直线12x π=对称，A 为真；由20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得出：6x π=-是函数()f x 的一个零点，B 为真；将函数()2g x x =的图象向左平移6π个单位得到()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以C 为假；由复合函数单调性可得()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以D 为真，选C.11. 解析：由已知B 为AF 的三等分点，作BH l ⊥于H （如图），则2433BH FK ==，所以43BF BH ==，所以34BF AF ==，选B.12. 解析：由2142S a =+有12142a a a +=+，解得28a =，故2124a a -=，又221144n n n n n a S S a a ++++=-=- ，于是()211222n n n n a a a a +++-=-，因此数列{}12n n a a +-是以2124a a -=为首项，公比为2的等比数列.得1112422n n n n a a -++-=⨯=，于是11122n n n n a a ++-=，因此数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，解得()112n n a n n =+-=，2nn a n =⋅.所以1249152a =，选B.二、填空题52a b +=，250a b += ，即22250a b a b ++⋅=，所以22050b +=5b =.解析：如图，在点(4,5)A 处取得最大值9.15. 解析：设双曲线C 的方程为：22221x y a b-=，由已知得：FM b =，a b =，而224a b =-，所以23b =，21a =，所以双曲线C 的方程：2213y x -=16. 设3BC k =，则()20R k k =>，因为体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，所以2193k h ⨯=，得224h k=.由())222R h R =-+，得2k =或k =，所以4R =.由题意知点E 为线段BD的中点，从而在△ODB 中，4OD OB ==，6DB =，解得OE =所以当截面垂直于OE 3=，故截面圆面积最小值为9π. 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac +-==6B π=， 由32a b =及正弦定理可得出：3sin 2sin A B =，所以21sin sin 363A π==，再由32a b =知a b <，所以A 为锐角，cos A =，所以()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+=⎡⎤⎣⎦ （Ⅱ）由6b =及32a b =可得出4a =，所以11sin 46222S ab C ==⨯⨯=.18. 解：（Ⅰ）证明：连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11A C ，B A 1的中点，所以MN 为△11A BC 的一条中位线，1//MN BC ， MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C .（Ⅱ）设a AA =1，则122+=a CM ，48441222+=++=a a MN ， 42054222+=+=a a CN ， 由CM MN ⊥，得222CN MN CM =+，解得2=a ， 由题意以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 1AA 为z 轴建立空间直角坐标系.可得)0,0,0(A ，)0,2,0(C ，)22,0,1(N ，)2,1,0(M ， 故），，（2201=，），，（020=AC ， ），，（2221-=， ）2,1,0(-=CM ， 设），，z y x 为平面ANC 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AN m ，得10m =-（，同理可得平面MNC 的一个法向量为32n =（， 设二面角M CN A --的平面角为α，<,cos 153203⋅++-=155-=， =αcos ><-n m ,cos 155=， 所以，二面角M CN A --的余弦值为155.19. 解：（Ⅰ） 450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）()0.0080.012105010+⨯⨯=. （Ⅲ）()P 33=0.9974X μσμσ-<≤+，则()10.9974P 900.00132X -≥==.90分以上. 450=⨯人. ()242102P 2==15C X C =.X 的分布列：数学期望()1824012315155E X =⨯+⨯+⨯=.20. 解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q的距离之和为且PQ <M的轨迹为椭圆，而a ，1c =，所以1b =，所以，动点M 的轨迹E 的方程：2212x y +=.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：(1)y k x =+由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，直线BC 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---， 令0y =，则1221121212122112122()2()2()2()2x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -. 21. 解：（Ⅰ）因为()1g x ax '=-- 所以()e 1x h x ax =--，由()0h x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即min ()0h x ≥， 由()e x h x a '=-，（1）当0a ≤时，()e 0x h x a '=->，()h x 的单调递增区间为(),-∞+∞， 所以(,0)x ∈-∞时，()(0)0h x h <=， 所以不满足题意.（2）当0a >时，由()e 0x h x a '=-=，得ln x a =(,ln )x a ∈-∞时， ()0h x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以()h x 的最小值为(ln )ln 1h a a a a =-- . 设()ln 1a a a a ϕ=--，所以()0a ϕ≥，① 因为()ln a a ϕ'=-令()ln 0a a ϕ'=-=得1a =，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以()(1)0a ϕϕ≤=，②由①②得()0a ϕ=，则1a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知e 10x x --≥，即1e x x +≤， 令kx n=-（*n N ∈，0,1,2,,1k n =-）则01e k n kn-<-≤，所以(1)(e )e k nn k n k n ---≤=，所以(1)(2)211121()()()()()e e e e 1nn n n n nn n i i n n nn n n n ------=-=++++≤+++++∑111e 1e 1121e 1e e 1e 1n ----=<==+<----， 所以1()2nn i in=<∑，又333123()()()1333++>，所以m 的最小值为2.第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 解：（Ⅰ）设(,)M ρθ是圆上任意一点，交于点A ， ，，C 的极坐标方程为4cos()6πρθ=-.0=，圆心C 到直线l 的距离为d ，与圆C 相离，.23. 解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为： 3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞. （Ⅱ）因为()23(2)(3)5f x x x x x =--+≤--+= 所以5()5f x -≤≤，即()f x 的最小值为5-，要不等式2()6f x a a <-解集非空，需2min ()6f x a a <-， 从而2650a a -+>，解得1a <或5a >，所以a 的取值范围为()(),15,-∞+∞U .昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（理科数学）命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序}{25. 解析：设正方形边长为2，则圆半径为1.此时正方形面积为224⨯=.图中黑色部分面积为2π.则此点取自黑色部分的概率为2ππ=，选C.26. 解析：因为1iz i 1i--==--，所以127. 解析：11a -+= 所以3=a ()1552251rr r r C x -=-，令155022r -=，所以3r =，所以1n =时，11223S a =+，所以12a =-；当2n ≥时，13322n n a a --，即11322n n a a -=，即()132n n a n a -=≥，所3q =的等比数列，所以()()55151213242113a q S q---===---，选B.30. 解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算12945S =+++=L ，选A.31. 解析：可令34x y t ==，则3l o g x t =，4log y t =，由3x p y =得33343log 3log 43log 46log 2log log 3t t t p t ====，选C.32. 解析：将三视图还原可得右图，所以52214252⨯⨯⨯+⨯=S 5420+=，选D.33. 解析：()3cos 23f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由()03f π=得()33k k ππωπ+=∈Z ，即31k ω=-，由0ω>知ω的最小值是2，当ω取得最小值时，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出：函数()f x 的图象关于直线12x π=对称，A 为真；由20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得出：6x π=-是函数()f x 的一个零点，B 为真；将函数()2g x x =的图象向左平移6π个单位得到()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以C 为假；由复合函数单调性可得()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦34. 解析：由已知B 为AF 的三等分点，作BH 2433BH FK ==，所以43BF BH ==，所以34BF AF ==，选35. 解析：由2142S a =+有12142a a a +=+，解得28a =，故22a a -又221144n n n n n a S S a a ++++=-=- ，于是22n n a a +-数列{}12n n a a +-是以2124a a -=为首1112422n n n n a a -++-=⨯=，于是11122n n n n a a ++-=，因此数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，解得()112n n a n n =+-=，2nn a n =⋅.所以1249152a =，选B.二、填空题36. 解析：因为52a b +=，所以250a b += ，即22250a b a b ++⋅=，所以252050b ++= 所以5b =.37. 解析：如图，x y +在点(4,5)A 处取得最大值9.38. 解析：设双曲线C 的方程为：22221x y a b-=，由已知得：FM b =，所a b =，而224a b =-，所以23b =，21a =，所以双曲线C 的方程：2213y x -= 39. 设3BC k =，则()20R k k =>，因为体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，所以2193k h ⨯=，得224h k=.由())222R h R =-+，得2k =或k =，所以4R =.由题意知点E 为线段BD 的中点，从而在△ODB 中，4OD OB ==，6DB =，解得OE =面垂直于OE3=三、解答题40. 解：（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac +-===………2分由32a b =及正弦定理可得出：3sin 2sin A B =，所以21sin sinAπ==，………4分cos A =， ………6分 22sin cos cos sin A B A B =+=4， 以1i 2a =. ………12分41. 解：（Ⅰ）证明：连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11A C ，B A 1的中点，所以MN 为△11A BC 的一条中位线，1//MN BC ， MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C . ………6分（Ⅱ）设a AA =1，则122+=a CM ，48441222+=++=a a MN ， 42054222+=+=a a CN ， 由CM MN ⊥，得222CN MN CM =+，解得2=a ， 由题意以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 1AA 为z 轴建立空间直角坐标系.可得)0,0,0(A ，)0,2,0(C ，)22,0,1(N ，)2,1,0(M ， 故），，（2201=，），，（020=， ），，（2221-=， ）2,1,0(-=， 设），，z y x 为平面ANC 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AN m，得10m =-（，同理可得平面MNC的一个法向量为32n =（， 设二面角M CN A --的平面角为α，<,cos 153203⋅++-=155-=， =αcos ><-n m ,cos 155=， 所以，二面角M CN A --的余弦值为155. ………12分 42. 解：（Ⅰ）450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………4分（Ⅱ）()0.0+⨯⨯. ………6分（Ⅲ）()P 33=0.9974X μσμσ-<≤+，则()10.9974P 900.00132X -≥==. 26200000013.0=⨯.所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上. 上述50名考生成绩中90分以上的有4500.08=⨯人. 随机变量0,1,2X =.于是 ()262101P 0==3C X C =，()11642108P 1==15C C X C ⋅=， ()242102P 2==15C X C =.X 的分布列：12分43. 解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1Q且PQ <M 的轨迹为椭圆，而a 1，所以，动点M 的轨迹E . ………5分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则l 的斜率存在，设斜率为k ，0， ………8分 2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---， 1212122()2()2x x x x x x ++==-++，所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -. ………12分44. 解：（Ⅰ）因为()1g x ax '=--所以()e 1x h x ax =--，由()0h x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即min ()0h x ≥，由()e x h x a '=-，（1）当0a ≤时，()e 0x h x a '=->，()h x 的单调递增区间为(),-∞+∞， 所以(,0)x ∈-∞时，()(0)0h x h <=， 所以不满足题意.（2）当0a >时，由()e 0x h x a '=-=，得ln x a =(,ln )x a ∈-∞时， ()0h x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以()h x 的最小值为(ln )ln 1h a a a a =-- . 设()ln 1a a a a ϕ=--，所以()0a ϕ≥，① 因为()ln a a ϕ'=-令()ln 0a a ϕ'=-=得1a =，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以()(1)0a ϕϕ≤=，②由①②得()0a ϕ=，则1a =. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知e 10x x --≥，即1e x x +≤， 令kx n=-（*n N ∈，0,1,2,,1k n =-）则01e k n kn-<-≤，所以(1)(e )e k nn k n k n ---≤=，所以(1)(2)211121()()()()()e e e e 1nn n n n nn n i i n n nn n n n ------=-=++++≤+++++∑111e 1e 1121e 1e e 1e 1n ----=<==+<----， 所以1()2nn i in=<∑，又333123()()()1333++>，所以m 的最小值为2. ………12分第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 45. 解：（Ⅰ）设(,)M ρθ是圆上任意一点，如图，连接OC ，并延长与圆C 交于点A ，当点M 异于O ，A 时，连接OM 、MA ， 直角△MOA 中，cos OM OA MOA =⋅∠， 即4cos 4cos()66ππρθθ=-=-， 当点M 与O ，A 重合时，也满足上式，所求圆C 的极坐标方程为4cos()6πρθ=-. ………5分（Ⅱ）直线l 80y --=，圆心C 到直线l 的距离为d ，3d r ==>，所以直线l 与圆C 相离，. ………10分46. 解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为：3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞. ………5分(2)(3)5x x --+= 5-，2min ()6f x a a <-， 5a >，). ………10分。
2018届云南省昆明市高三教学质量检查第二次统考(理)数学试题(解析版)
云南省昆明市2018届高三教学质量检查第二次统考（理）数学试题一、单选题1．已知a ， b R ∈，复数21ia bi i+=+，则a b +=（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2- 【答案】A【解析】由题意得a bi +=()2112i i i -=+，所以1,2a b a b ==+=，选A.2．设集合{}2,1,0,1,2A =--， 2{|20}B x x x =+-≤，则A B ⋂=（ ） A. {}0,1,2 B. {}2,1,0-- C. {}1,0,1- D. {}2,1,0,1-- 【答案】D【解析】由题意得[]2,1B =-，所以A B ⋂={-2，-1，0，1}，选D.3．若点55,cos 66sinππ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α=（ ）A.B. 12C.D. 12-【答案】C【解析】由题意得5sin cos6πα==，选C. 4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【答案】D【解析】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强。
C 选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大。
D 选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以会比1月份。
选D.5．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）A.3 B. 3C. D. 2【答案】D【解析】由三视图还原可知，原图形为底面为边长为2(123V =⨯=，选D.6．已知直线:l y m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A ， B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为（ ）A. 3+3B. 3+3-C. 9或3-D. 8或2- 【答案】A【解析】由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为2,所以332m d m -===±，选A 。
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昆明市2018届高三摸底调研测试
理科数学
一、选择题:本题共12小题，每小题
5分，共60分。
在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合},11
|{},0|{2
x
x N x
x x M 则M ∩N=
A.{x|-1<x
≤0} B.{x|-1
≤x ≤0} C.{x|0
≤x<1} D.{x|0
≤x ≤1}
2.设复数z 满足（1+i ）z=i ，则z 的共轭复数z = A.
i 2
12
1 B.
i 2
12
1 C.-
i 2
12
1 D.-
i
2
12
13.已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|=
A.
2 B.2 C.10 D.10
4.已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则a 8=
A.-2n
B.2n
C.2n-1
D.2n+1 5.下图是1951--2016年中国年平均气温变化图
.
根据上图，下列结论正确的是
A.1951年以来，我国年平均气温逐年增高
B.1951年以来，我国年平均气温在
2016年再创新高
C.2000年以来，我国年平均气温都高于
1981-2010年的平均值
D.2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981-2010年的平均值
6.古人采取“用臼春米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于春米的“石臼”由一块正方体石料凿去一部分做成
(凿去的部分可看作一个
简单组合体).一个“石臼”的三视图如图所示，则凿去部分的体积为A.63π B.72
π C.79
π D.99
π
7.双曲线)0,0(1:
2
22
2b a b
y a
x C 的左，右焦点分别为
F 1
,F 2
,,以
F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限交于点P 。
若∠PF 1F 2=30°，则C 的离
心率为
A.
13 B.3 C.
2
13 D.
1
38.定义[x]表示不超过x 的最大整数，例如[2]=2，[3.6]=3.
右
面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该
程序框图，则输出a=
A.9
B.16
C.23
D.30
9.己知函数f(x)=sin ωx 的图象关于点
0,3
2对称，且f(x)在
4
,
0上为增函数，则ω=
A.
2
3 B.3 C.
2
9 D.6
10.过抛物线C:y 2
=2px(p>0)的焦点且倾斜角为锐角的直线
1与C 交于
A ，
B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于1的直线与
C 的准线交于点M ，
若|MN|=|AB|，则1的倾斜角为
A.15°
B.30°
C.45
° D.60°
11.若函数f(x)=2x+1
-x 2
-2x-2，对于任意x ∈Z 且x ∈(-∞,a)，f(x)≤0
恒成立，则实数
a 的取值范围是
A.(-∞,-1]
B.(-
∞,0] C.(-∞,3] D.(-∞,4]
12.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=4,AA 1=2.过点A 1作平面α与AB ，
AD 分别交于M ，N 两点若AA 1与平面α所成角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是 A.32 B.24 C.
64 D.
2
8二、填空题：本题共
4小题，每小题5分，共20分。
13.若变量x,y 满足
,
0,02,
3y
y x y x
则z=3x+y 的最小值为_____________.
14.已知（1+ax ）(1+x)3的展开式中x 3
的系数为7，则a=____________.
15.已知函数f(x)=
,
1,13,1),1(log 3
2x x x
x x 则函数f(x)的零点个数为____.
16.将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数
阵：
a 1 a 2,a 3 a 4
,a 5,a
6
a
7
,a 8,a 9,a 10
......
记数阵中的第
1列数a 1,a 2,a 4,...,构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的
前n 项和.若S n =2b n -1，则a 56=__________________. 三、解答题：共70分。
解答应写出的文字说明、
证明过程或演算步骤。
17.（12分）已知△ABC 的面积为3
3，AC=23，BC=6，延长BC 至
D ，使∠ADC=45°.求AB 的长；求△ACD 的面积.。