2019 2020高中数学第1章立体几何初步123空间中的垂直关系第2课时平面与平面垂直学案新人教B版

平面与平面垂直课时第2

1．平面与平面垂直的判定

(1)平面与平面垂直

①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两

条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．

②画法：

记作：α⊥β.

(2)判定定理

l⊥β???α⊥β则这两个平面垂的一条垂线，?lα???直

2.平面与平面垂直的性质定理

文字语言那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于如果两个平面互相垂直，另

思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？

[提示]相交或平行．

ABClABlACmBCmAClm的位，，⊥，则直线，直线⊥1．△⊥所在的平面为α，直线，⊥置关系是( ) A．相交 B．异面

D．平行．不确定 C lABlACABACA，且⊥＝，∩⊥ [C因为lABC. ⊥平面所以mABC，⊥平面同理可证

lm，故选∥所以C.]

ab，则( 内的一条直线在平面α内的一条直线) 垂直于平面β2．设平面α⊥平面β，a必垂直于平面βA．直线

b必垂直于平面αB．直线

a不一定垂直于平面βC．直线

ab的平面垂直．过的平面与过D C[当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内b的直线不一定垂直于β，故选C.]

的一条直线ABCDADBCBDAD，那么有( ，3．空间四边形) 中，若⊥⊥ABCADC⊥平面A．平面ABCADB ⊥平面B．平面ABCDBC⊥平面C．平面ADCDBC⊥平面D．平面ADBCADBDBCBDBADBCDADADCADC ⊥平面⊥，⊥平面⊥，∴平面，.∩＝又∵，∴[∵D?DBC.]

平面lnnlmmn的位置关系αβ?，⊥⊥，则直线，直线αα4．平面⊥平面β，∩β＝，与是________．lnnl，⊥β，α∩＝，，?ββα[平行因为⊥nmmn.]

α.所以⊥α又⊥，所以∥

ABOPAOCAB的垂直于⊙是圆周上异于【例1】如图，是⊙所在的平面，的直径，、PBCPAC.

⊥平面任意一点，求证：平面

ACBC，，]连接证明[BCACPAABCBCABC，平面则，⊥，又⊥平面?

PABCPAACA，∩∴⊥＝，而BCPAC，∴⊥平面BCPBC，?平面又PACPBC.

∴平面⊥平面

证明面面垂直的方法

1．判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；

2．性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平

面．

PABCDPDABCDEPB上．，点-的底面是正方形，⊥底面在棱1．如图，四棱锥

AECPDB.

求证：平面⊥平面ACBDACPDPDBDPDB内两条相交直线，，为平面⊥，，证明[]∵⊥ACPDBACAEC，平面?又∵.⊥平面∴．

PDBAEC.

∴平面⊥平面

aABCDPABCD的菱所在平面外的一点，四边形是四边形是边长为2【例】如图所示，ABCDPADDAB. ＝60°，侧面形且∠为正三角形，其所在平面垂直于底面

PADBGGAD⊥平面的中点，求证：(1)若；为PBAD.

⊥(2)求证：ABDABCDDAB→为正三角形―思路探究]→ (1)菱形△，∠―＝60°[ABCDPAD⊥底面面BGADBGPAD⊥平面―――⊥―→―――――ADPBADPBG即可．⊥平面，只需证(2)要证⊥ABCDBDDAB＝60°，中，连接 (1)[证明]如图，在菱形，由已知∠

ABDGADBGAD. ∴△的中点，∴为正三角形，∵⊥是PADABCD，⊥平面∵平面PADABCDADBGPAD. ∩平面⊥平面＝且平面，∴PG.

(2)如图，连接PADGAD的中点，是是正三角形，∵△PGADBGADPGBGG. ⊥∩.又∵∴⊥知，由(1)＝ADPBG.

⊥平面∴PBPBGADPB.

，∴而?平面⊥

1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．

2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面与交线垂直的直线．)找(内作

VADVABABCDVBVABCD求⊥底面⊥平面的底面是矩形，侧面，又2.如图所示，四棱锥.-VACVBC.

⊥平面证：平面

ABVABABCDVABABCDBCAB. ∩平面⊥[证明]∵平面⊥底面＝，且，平面VAVABBCBC，∴⊥平面，⊥∴BBCVBVBVADVBVA又＝⊥平面∩，∴，⊥，又VACVAVAVBC. ?，∵∴平面⊥平面VACVBC. ⊥平面∴平面

]

探究问题[PCPAABCDaPDaP2中，底面是边长为＝的正方形，侧棱-，＝1.如图所示，在四棱锥＝ABCDPDa⊥平面吗？，你能证明

222DCDCaPCaPCPDPDPDaDC. ，＝2，∴，＝，∴⊥＝提示[]∵＝＋ADPD同理可证，⊥

DADABCDDCABCDADDC，且∩?平面，∵平面?＝，ABCDPD.

∴⊥平面ABABSOD上一点，且为线段2．如图所示，已知圆锥的顶点为，的直径，点为底面圆

1OPSAACBCCADDBO上的正投影为母线，上的点，其在底面圆＝，点为圆上一点，且＝33CDPAD. ⊥，求证：为点．

CBOACDAOABCOADDB∴的中点，又，连接(图略)，由3为圆＝⊥知，的直径，为[提示]ACBCCAB ＝60°，＝知，∠由3ACOCDAO. 为等边三角形，从而⊥∴△POD，在圆∵点所在平面上的正投影为点PDABCCDABCPDCD，，∴，又?∴平面⊥平面⊥PDAODCDPAB，∩＝⊥平面由得，PAPABPACD. 又，∴?平面⊥3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．

[提示]垂直问题转化关系如下所示：

PABCDPADABCD垂直，底面-是正三角形，且与底面中，侧面【例3】如图，在四棱锥ABCDBADNPBADNPCME，的中点，过三点的平面交是，是边长为2的菱形，∠于＝60°，，AD的中