二重积分的变量替换公式

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二重积分的变量代换

二重积分的变量代换§4 二重积分的变量代换引言有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。

例如 22()xy DI e dxdy -+=??，D={}222(,)|x y x y a +≤分析：∵函数f(x,y)=22()xy e -+ 在有界区域D={}222(,)|x y x y a +≤处处连续，∴f ∈R （D ）222222()aa x x y aa xI dx e dy --+---=??=222222aa x x y a a xedx e dy ------??或者 222222()aa x x y aa xI dy e dx --+---=??=222222aa x y x aa xedy e dx ------??计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来，因此，我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法. 联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法. 在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？二重积分的变量代换，就是这种方法，。

在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用. 对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数.1 定积分换元积分法公式的改写2 一元函数)(x f y =在0x 的导数的绝对值)(0x f '的几何意义3 函数行列式的几何意义设变换),( , ),(v u y y v u x x ==的Jacobi0),(),(≠??v u y x D '是在该变换的逆变换),( , ),(y x v v y x u u ==下XY 平面上的区域D 在UV 平面上的象. 由条件0),(),(≠??v u y x , 这里的逆变换是存在的.一般先引出变换),( , ),(y x v v y x u u ==,设函数),( , ),(y x v v y x u u ==在XOY 平面上的区域D 内有连续的偏导数 . 在此变换之下,XOY 平面上的区域D 变为UV 平面上的区域D ', 且设0),(),(≠??=v u y x J .由此求出变换),( , ),(v u y y v u x x ==，并且 1),(),(),(),(-=??y x v u v u y x .引理1( 补充) 设变换T ：),( , ),(y x v v y x u u ==如上所述, 又设在XOY 平面上有一块包含点),(y x 的区域σ, 点),(y x 和σ都在D 内 . 通过变换),( , ),(y x v v y x u u ==将点),(y x 变换为UV 平面上一点),(v u , 将σ变换为UV 平面上包含点),(v u 的一块区域*σ.那么当σ无限地向点),(y x 收缩时 , 它们的面积之比||||*σσ的极限为||J , 即),(),(|||*|lim),(y x v u y x ??=→σσσ. 证明思路（参见刘玉琏教材下册9225定理3）:(1) 在D 内取出一点),(y x A , 作一个矩形ABCD ( 边与坐标轴平行, 字母ABCD 依逆时针标记 ) . 设四个顶点的坐标为),(y x A , ) , ( , ) , ( , ) , (dy y x D dy y dx x C y dx x B ++++. 则其面积分为dxdy .(2) 变换 ),( , ),(y x v v y x u u ==把该矩形变为UV 平面上的一个曲边四边形D C B A ''''，设四个顶点的坐标为),(11v u A '， ),(22v u B '， ),(33v u C '， ),(44v u D '.(3) 用Taylor 公式把曲边四边形D C B A ''''的四个顶点坐标用x 和y 表示出来: ),( , ),( :11y x v v y x u u A ==';, )(),(),() , ( :2dx dx y x u y x u y dx x u u B x ++=+=' ; )(),(),() , (2dx dx y x v y x v y dx x v v x ++=+=)()(),(),(),() , ( :3dy dx dy y x u dx y x u y x u dy y dx x u u C y x ++++=++=',.)()(),(),(),() , ( 3dy dx dy y x v dx y x v y x v dy y dx x v v y x ++++=++=;)(),(),() , ( :4dy dy y x u y x u dy y x u u D y ++=+=',)(),(),() , ( 4dy dy y x v y x v dy y x v vy ++=+=. (4) 略去)(dx 和)(dy , 得仿射变换. 在该仿射变换之下, 矩形ABCD 变为平行四边形. 用该平行四边形的面积近似代替曲边四边形D C B A ''''的面积. 平行四边形的顶点坐标是上述D C B A '''',,,的顶点坐标表达式中略去)(dx 和)(dy 所剩的式子.该平行四边形的面积==±111332211v u v u v u ==++++++±1),(),(),(),(),(),(1),(),(),(),(1),(),(y x v dx y x v y x v y x u dx y x u y x u dxy x v y x v dxy x u y x u y x v y x u y x y x x xd x d y y x v u dy v dy u dx v dx u v u y y x x ),(),(001=±=. 注1 引理1即证明了换算公式 d u d v v u y x d x d y),(),(??=. 一、二重积分的一般变量变换公式引理2变换T ：(,)x x u v =，(,)y y u v =（*）. 通过（*）把?变为D ，在?上有关于x,y 的连续偏导数，并且变换（*）是一对一的，又设(,)0(,)x y J u v ?=≠?（在?内不为0），则区域D 的面积 dudv v u J dxdy D D==),()(μ （5）证明 P233定理21.13 设D 2R ?有界闭区域，()f R D ∈，变换T ：(,)x x u v =，(,)y y u v =（*）. 通过（*）把?变为D ，在?上有关于x,y 的连续偏导数，并且变换（*）是一对一的，又设(,)0(,)x y J u v ?=≠?（在?内不为0），则 d u d v v u J v u y v u x f d x d y v u J y x f D=),()),(),,((),(),(证明 P235例1+-Dyx yx dxdy e, 1 , 0 , 0 :=+==y x y x D .解 P235-236注2 当被积函数形如) ( ) , (1221222111b a b a c y b x a c y b x a f ≠++++, 积分区域为直线型时,可试用线性变换 222111 , c y b x a v c y b x a u ++=++=. 补例1Ddxdy y x 22, xy x y x y x y D 3 , 1 , 2 , 21 :====. 解设xy v x y u ==,. 则] 3 , 1 ; 2 , 21[) , (∈v u .x y xyxx yy x v u 21),(),(2=-=?? ， ? u y x v u y x 212),(),(==??. 因此 ,'==?==D D u v u du dv v dudv u v 31221221313222ln 326ln 3212121. 注3 若区域D 是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形区域 . 设区域D 由以下两组曲线围成 : 第一组: ) ( , 0),,( , 0),,(q p q y x F p y x F <==; 第二组: ) ( , 0),,( , 0),,(b a b y x G a y x G <==.可试用变换0),,( , 0),,(==v y x G u y x F . ] , ; , [) , (b a q p v u ∈. 从中解出),( , ),(v u y y v u x x ==. 在此变换之下, 区域D 变成UV 平面上的矩形区域] , [ ] , [b a q p ?.例 2 求由抛物线 ) 0 ( , 22n m nx y mx y <<== 和直线 x y x y βα== , ) 0 (βα<<所围平面区域D 的面积 .解 P236注4 在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（1）使变换的函数容易积分；（2）使得积分限容易安排.二、用极坐标变换计算二重积分1 极坐标变换下的二重积分变换公式极坐标变换是一种特殊的变量替换.极坐标变换T ：cos ,sin x r y r θθ== （8）此时(,)(,)x y r θ??=cos sin sin cos ||r r r θθθθ-= 注5 在定理21.13中，假设J ≠0，但有时会遇到这种情形. 变换行列式在区域内个别点上等于0.或只在区域个别线段上等于0，而在其它点上非0，此时定理21.13结论能成立.定理21.14 设),(y x f 满足定理21.13的条件，在极坐标变换（8）下，有(,)Df x y dxdy ??='(cos ,sin )D f r r rdxdy θθ?? （9）证明 P2382 在什么情况下使用极坐标变换当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为22()f x y +时，采用极坐标变换来计算往往简便得多.3二重积分在极坐标变换下如何化为二次积分来计算下面分情况讨论之情形1 若'D ={}1212(,)|()(),r r r r θθθθθθ≤≤≤≤，1()r θ，2()r θ为[1θ，2θ]上的连续函数，则称之为θ型区域（如P239图21-24）.这时，类似于上节的x-y-型区域的取法，可将之化为下面形式：'(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ??=2211()()(cos ,sin )r r d f r r rd r θθθθθθθ??（10）两种特例（1）若极点O 是积分区域的内点，则变换T 后的区域为'D ={}(,)|0(),02r r r θθθπ≤≤≤≤ 此处r =()r θ是'D 的边界曲线（如P239图21-26），此时有'(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ??=2()(cos ,sin )r d f r r rdr πθθθθ??(12)(2)若积分区域的边界曲线r =()r θ通过极点O 时（如P239图21-27），应先求出极径，即使()r θ=0的两个角度1θ，2θ，此时有'(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ??=21()(cos ,sin )r d f r r rdr θθθθθθ??（13）情形2 若'D ={}1212(,)|()(),r r r r r r θθθθ≤≤≤≤，其中1()r θ，2()r θ∈C[1r ，2r ] （r-型区域，如P239图21-25），此时有'(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ??=2211()()(cos ,sin )r r r r dr f r r rd θθθθθ??（11）例3221DdxdyI x y =--??，D 为圆域122≤+y x解 P240例4 求球体2222R z y x ≤++被圆柱面Rx y x =+22所割下立体的体积（称为维维安尼（Viviani ）体）.解 P240例5 22()xy DI e dxdy -+=??，D={}222(,)|x y x y a +≤广义极坐标变换: θθsin , cos br y ar x ==,abr r y x =??),(),(θ.补例6 求椭球体2222221x y z a b c++≤的体积补例2应用二重积分求广义积分?+∞-02dx e x .补例3有一个形状为旋转抛物面22z x y =+的容器内，已经盛38cm π，的溶液，现又倒进3120cm π的溶液，问液面比原来的液面升高多少cm ?作业P242：1（1）、（2），2（2）、（4），3（1）、（2），4，5（2），6（1）、（2）.附录：极坐标系下的二重积分的公式1 用定积分定义推导极坐标系下的二重积分的公式极坐标变换：cos ,sin x r y r θθ== (0,02)r θπ≤<+∞≤≤。

21_4二重积分的变量变换

2 0

1 0
r 1 r dr
2
4 3
abc .
4 3
特别当 a
b c R
时, 得到球的体积为
R .
3
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式

D
f ( r cos , r sin ) rdrd

d

2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
§4 二重积分的变量变换
本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换
返回
一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续,
例8 求椭球体
x a
2 2

y b
2 2

z c
2 2
1
的体积.
解由对称性, 椭球体的体积 V 是第一卦限部分体
积的 8 倍, 而这部分是以
z c 1
x a
2 2

y b
2 2
为曲顶,
b D ( x , y ) 0 y a
a x , 0 x a
,
其中 D 为圆域:
x
2
y
1.
解由于原点为 D 的内点, 故由 (12) 式, 有

D
d 1 x
2
y
2
0
2π

二重积分的变量变换

则有
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
D
前页后页返回
例1 求
e
D
x y x y
dxdy , 其中
y
1
D是由 x 0, y 0, x y 1 所围的区域(图21-23). 解为了简化被积函数, 令
0
4 3 2 R r r dr R . 3 2 3
2 2
前页后页返回
o
2 cos
D
2
x

D
x y d
2 2
d
2 2

0
r rdr
32 16 8 3 3 2 2 cos d 0 cos d . 9 3 3 2

前页后页返回
例5 计算
I
D
d 1 x y
2 2
,
其中 D 为圆域: x y 1.
二、二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
的形式为 f ( x 2 y 2 ) 时, 采用极坐标变换
x r cos , T : 0 r , 0 2π , y r sin ,
变换 T 的函数行列式为
(8)
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时,
T : x x ( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域一对一地映成 xy 平面上的闭区域 D, 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分知识讲解

形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2

x1

x(u

h,
v)

x(u,
v)

x u
(u, v)
h

o(
)
x4 x1 同理得 y2 y1
x(u,v k)

y u
(u,
)r
d
O
r

0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
D : 1(r) 2(r), r1 r r2,
f (r cos , r sin )r d r d r r1
D
O
r1 r d r 2(r) f (r cos , r sin )d
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin
r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
x y
xy e x y dxdy
e
u v

1
dudv
1
1
dv
u v
e v du
D
D
2
20
v
1 2
u
1 0
(ve
v
)
|vv
dv
1 2
1 v(e - e1 )dv

二重积分变量变换

{xv v, yv v}
M 2 {x u u , y u u } M1
M 2 M1 M 4 | | M 1
M 4 {x (u, v v ) x (u, v ), y (u, v v ) y (u, v )} M1
y
y y
x v du y v dv
vv
S
u A( u0 , v 0 )
B

u
C S uu
B
A( x0 , y0 )
O
O
x
dxdy
dx 0
0 dy

xu yu
x v du yv 0
(x , y ) dudv dv (u, v )
b

a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .

(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成

X
二重积分的变量变换与反常二重积分
二重积分的变量变换公式, 并对常用的极坐标变换作详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式
二、二重积分的广义极坐标变换三、反常二重积分
一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [a , b]上连续, x ( t ) 当 t 从变到时严格单调地从a 变到 b, 且 ( t ) 连续可导, 则

f (x (u, v ), y (u, v )) ? dudv

二重积分的变量替换公式课件

理解二重积分的概念和性质是解题的基础。
详细描述
二重积分是定积分的一种，它表示一个函数在某个区域上的面积。二重积分的性质包括可加性、可减性、积性等。这些性质对于理解和应用二重积分非常重要。
习题二：掌握变量替换的方法和步骤
总结词
掌握变量替换的方法和步骤是解题的关键。
详细描述
变量替换是解决二重积分问题的一种常用方法。通过选择适当的变量替换，可以将复杂的积分区域转化为简单的矩形区域，从而简化计算。变量替换的方法和步骤包括选择替换变量、确定替换关系、计算积分等。
变量替换公式可以应用于各种复杂的二重积分问题，特别是难以直接计算的积分。
通过选择适当的变量替换函数，可以将复杂积分转换为简单积分，提高计算效率。
变量替换公式的应用需要一定的技巧和经验，需要掌握常见的积分区域和变量替换方法。
变量替换公式的实例
例如，计算积分 $int_{0}^{1}int_{0}^{y}x^{2}dxdy$，可以通过变量替换 $x = ysintheta$，将积分转换为 $int_{0}^{frac{pi}{2}}int_{0}^{1}(ysintheta)^{2}dydtheta$ ，简化计算。
在使用变量替换公式时，需要确保满足这些限制条件，否则可能导致错误的计算结果。
变量替换公式的误差分析
变量替换公式存在误差，需要对误差进行分析和估计。
误差可能来源于变量替换的近似性、被积函数在积分区域内的奇异性等方面，需要进行详细的分析和计算。
05
习题与解答
习题一：理解二重积分的概念和性质
总结词
02
变量替换在二重积分中的应用
变量替换的引入
简化积分计算
通过变量替换，可以将复杂的积分转化为更易于计算的形式，提高计算效率。

二重积分的变量替换

二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r = ϕ (θ )
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
β
o
D
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ (θ )
0
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（３）
Ω Ω1
其中Ω 1为Ω的z ≥ 0, y ≥ 0区域
例计算 ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 + x − y 3 )dxdydz ,
Ω
其中Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z
命题
Ω
若积分区域 Ω关于x , y , z具有轮换对称性，则
Ω Ω
∫∫∫ F ( x , y, z )dv = ∫∫∫ F ( y, z , x )dv = ∫∫∫ F ( z , x , y )dv
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r = ϕ1 ( θ )
r = ϕ 2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ 1 (θ )
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
定义 2 若函数 F ( x1 , x 2 , x 3 , , x n ) ≡ F ( x 2 , x 3 , , x n , x1 ) ≡ ≡ F ( x n , x1 , , x n −1 ) 则称函数 F关于变量 x1 , x 2 , , x n 具有轮换对称性

数学分析(下)21-4二重积分的变量变换

§4二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换返回一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设()f x [,]a b ()x t j =t a b 在区间上连续, 当从变到时严格单调地从a 变到b , 且()t j 连续可导, 则()d (())()d .(1)b a f x x f t t t b a j j ¢=òòa b <()0t j ¢>[,],[,],X a b Y a b ==当(即)时, 记则1(),().X Y Y X j j -==利用这些记号, 公式(1)又可写成1()()d (())()d .(2)X X f x x f t t t j j j -¢=òòa b >()0t j ¢<当(即)时, (1)式可写成1()()d (())()d .(3)X X f x x f t t t j j j -¢=-òò故当()t j 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可统一写成如下的形式:1()()d (())|()|d .(4)X X f x x f t t t j j j -¢=òò下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给出下面的引理.引理设变换:(,),(,)==将uv平面T x x u v y y u v(,)y u v D 证下面给出当在内具有二阶连续偏导数时的证明. ( 注: 对(,)y u v 具有一阶连续偏导数条件下的一般下的一般证明证明,将在本章将在本章§§9 中给出. ) (,)0,J u v ¹D 由于T 是一对一变换, 且因而T 把的D L D 内点变为D 的内点, 所以的按段光滑边界曲线D L 也变换为D 的按段光滑按段光滑边界曲线边界曲线. 设曲线L D 的参数方程为(),()().u u t v v t t a b ==££L D (),()u t v t ¢¢[,]a b 由于按段光滑, 因此在上至多除去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又另一方面, 在uv平面上y y ¶¶()(,)d d .D J u v u v m D=±òò()D m (,)J u v D 又因为总是非负的, 而在上不为零且连续, 故其函数值在D 上不变号, 所以()|(,)|d d .D J u v u v m D=òò定理21.13设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积, 变换:(,),(,)T x x u v y y u v ==将uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封闭曲线所围成的闭区域D 一对一地映成xy 平面上(,),(,)x u v y u v D 的闭区域D , 函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有n åx y -2123-图1D11O 2124-图1Du =v=-111e e u--D2y=图2125-u()12121212,,.y t xy u x t u y t u -====即证令则二、二重积分的极坐标变换容易知道, 极坐标变换T 把r q 平面上的矩形[0,]R ´此对应不是一对一的,例如,xy 平面上原点(0,0)O 于r q 平面上两条直线段CD 和EF (图21-26). 又当0r =(,)0,J r q =时, 因此不满足因此不满足定理定理21.13 的条件.但是仍然有下面的结论.222:.D x y R +£变换成xy 平面上的圆域[0,2]p 但r q 0r =与平面上直线相对相对应应,x 轴上线段对应AA ¢21.平面上的有界闭域OyB ¢A BeD e(a)OqeFE(,)d d (cos ,sin )d d .(9)Df x y x y f r r r r q q q D =òòòò222,[0,][0,2].D x y R R p 为一圆:则+£D =´证若BB A A ¢¢e 为的扇形后所得的区域(图21-26(a )),则( 图21-26 (b ) ). 又因在D e e D 与之间是一一对应的设{}2222(,)|D x y x y Re e £+£为圆环除去中心角在变换(8)下, D e 对应于[,][0,2],R e e p e D =´-且上(,)0,J r q >于是由定理21.13, 有Dòòòòòòf r r r r(cos,sin)d dq q q(,),(,),(,)0,(,)\.R f x y x y D F x y x y D D Îì=íÎîR D 在中函数F 至多在有限条按段光滑曲线上至多在有限条按段光滑曲线上间断间断,因此因此由前述得到由前述得到(,)d d (cos ,sin )d d ,RRD F x y x y F r r r r q q q D =òòòòR D r q [0,][0,2].R p ´其中为平面上矩形区域由函数(,)F x y 的定义, (9)式对一般的D 也成立.R D 上定义函数并且在由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时, 除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”d d x y 换成d d .r r q 下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.12()(),,r r r q q a q b ££££D r q q 1.常用的是将分解为平面中的型区域. ,O D Ï(i) 若原点则型区域型区域必可表示成必可表示成(图21-27) q 于是有r D0(),02.r r q q p ££££Dab()r r q =ODq r r =(iii)若原点在D 的边界上(图21-28(b)), 则为:DD() r rq12G 1x y +=1G 0x y +=y(a)13D 4D 1D 2D (b)π1ìüìüπ1例5计算2222x y z R ++£22x y Rx +=例6求球体被圆柱面2131-R2132-图cos r R =D积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为例7计算22()ed ,x y DI s -+=òò其中D 为圆域:22x y +£2.R 解利用极坐标变换, 由公式(12),容易求得2220d ed (1e).Rr R I r r pq p --==-òò若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累次积分计算, 则会遇到无法算出2ed y y -ò的难的难题题.三、二重积分的广义极坐标变换里就不再赘述了.为底的曲顶柱体, 所以作业P254：2（1）（3）；3（3）；4（2）；6（2）。

二重积分的变量代换

L1
L2
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23
0
0
15
选择(xuǎnzé)新路径应注
意：（1）新路径的起点与终点不变,
（2）新路径 G,
（3）一般选与坐标轴平行的新路径.
精品资料
例6. 设曲线
x y2dx y( x)dy 与路径无关，其中( x)
(具qū有xi连àn续)积的分导L 数，且 (0) 0.
a
a2 y2
a2 y2
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§4 二重积分的变量(biànliàng)变换一、二重积分的变量变换(biànhuàn)公
二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换
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一、二重积分的变量(biànliàng)变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x)
P y
uxy ( x,
y)
,
Q x
uyx ( x,
y),
以及 P, Q 具有一阶连续偏导数(dǎo shù), 便可知道在
D 内每
一点处都有 ux y ( x, y) uyx ( x, y)
即
P y
Q . x
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例 5. 计算(Ijì ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy，其中L
(x,y)
u(x, y) Pdx Qdy Pdx Qdy
( x0 , y0 )
M0CM
• M(x, y)
x
y
x0 P( x, y0 )dx
Q( x, y)dy
y0
• M0 ( x0 , y0 )
o
• C(x, y0 )
x

二重积分的变量变换公式

(r, ) sin r cos
D f ( x, y)d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
首页 ×
(i) 若原点在 D 外，D : r1( ) r r2( ), ,
则
D f (r cos , r sin )r d r d
被圆柱面
x2 y2 R x 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解由对称性可知
V 4
D
R2 x2 y2 d 4
D
R cos R2 r 2 r d r 0
R2 r2 r d r d
z
4 R3( 2 )
3 23
y r Rcos o
D
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin
r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
首页 ×
x y
例1 计算 e x y dxdy 其中D 是 x = 0, y = 0,
0
0
r r( ) D
O
x
首页 ×
(iii) 若原点在 D 的边界上，则
r r( )
D f (r cos , r sin )r d r d

d
r ( )
f
(r cos , r
sin
)r
d
O
r

0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
R
xx
y
首页 ×
例5 计算
rR
其中 D : x2 y2 R2 .

二重积分的变量变换

映成 xy 平面上的闭区域 D. 函数 x(u, v), y(u, v)在
内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
J(u, v) (x , y) 0, (u, v) , (u, v)
则区域 D 的面积
(D) | J (u, v) |dudv .
(5)

前页后页返回
)
dt
,
(7)
其中正号及负号分别由 t 从变到时, 是对应于L
的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到

(
D)

Ñ L
x(u
,
v
)

y u
du

y v
dv

前页后页返回

Ñ L
x(u
,
v
)
y u
du

x(u
,
v
)
y v
dv
.
令 P(u, v) x(u, v) y , Q(u, v) x(u, v) y , 在uv平
x(u(t
),
v(t
))

y u
u(t )

y v
v(t ) dt
.
(6)
前页后页返回
另一方面, 在 uv 平面上Ñ Lຫໍສະໝຸດ x(u,v
)

y u
du

y v
dv

x(u(t ) ,
v(t ))

y u
u(t
)

y v
v(t
D

证用曲线网把分成 n 个小区域 i , 在变换 T 作用

21.4_二重积分的变量替换

f ( x, y ) d x d y
D
D
f (r cos , r sin ) r d r d
yx
例5. 计算
e
y x
所围成的闭域.
x
J
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 y
x y 2
解: 令 u y x , v y x , 则
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 3、将 dx
0 2 3x
f(
x
2
x
2
y ) dy
2
化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 4、将 dx
0 1 x 0
f ( x , y ) dy
化为极坐标形式的二次积分
为______________________.

D
f ( x(u , v), y (u , v)) J (u , v) d u d v
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J ( x, y )
cos ( r , ) sin
r sin r r cos

vu 2
( x, y ) (u , v )

D
,y
vu 2
1 2 1 2
( D D )

u
o
u v
D
x
v v2 uv o u
1 2
1 2
1 2

D
e v 1 d u d v
2
ee
1
例6. 计算由所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 u

二重积分的变量变换

(1)
当 (即(t) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换
广义极坐标变换
f (x)dx
f ((t))(t)dt . (2)
图 21 24
所以
x y
e x ydxdy
u
ev
1
dudv
D
2
1
1
dv
v
u
ev du
1
1v(e e1 )dv
e e1 .
20
v
20
4
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换
广义极坐标变换
例2 求抛物线 y2 mx , y2 nx 和直线 y x , y
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换
x y
例1 求 e x y dxdy , 其中
D
D是由 x 0, y 0, x y 1
广义极坐标变换
y
1
所围的区域(图21-23). 解为了简化被积函数, 令
D O
1x
u x y,v x y. 即作变换
图 21 23
2
f ( xy )d ln 21 f ( t )dt.
证
令
D
t xy, u
y
即 x t1 2u1 2 , y t1 2u1 2 . 则
x
(t, u) [1,2][1,4], 有

21-4二重积分的变量变换

x x( t ) x( u( t ), v ( t )) y y( t ) y( u( t ), v ( t ))
( t ).
若规定 t 从变到时, 对应于 LD 的正向, 则根据格林公式, 取 P ( x , y ) 0, Q( x , y ) x , 有
( u ,v )S d ( S ) 0
lim
S* S

x, y u, v
.
证1 下面给出当 y( u , v ) 在内具有二阶连续偏导数时的证明. ( 注: 对 y( u , v ) 具有一阶连续偏导数条件下的一般证明,将在本章§9 中给出. )
由于 T 是一对一变换, 且 J ( u , v ) 0, 因而 T 把的内点变为 D 的内点, 所以的按段光滑边界曲线 L
Q P ( D ) dudv . u v
( D ) J ( u , v )dudv .

又因为 ( D) 总是非负的, 而 J ( u , v ) 在上不为零且
连续, 故其函数值在上不变号, 所以
( D ) | J ( u , v ) |dudv .
M4 M3
M1
M2
可见在四边形 M 1 M 2 M 3 M 4中，两两对边相等，所以
当忽略高阶无穷小量时，曲边四边形 M1 M 2 M 3 M 4是
一个平行四边形 M 1 M 2 M 3 M 4，
M 1 M 2 M 1 M 4 =
x h u = x k v y h u y k v x u x v
(2)
当 (即 ( t ) 0 )时, (1)式可写成

二重积分交换积分次序公式

二重积分交换积分次序公式二重积分的交换积分次序主要涉及到两种情况：通过变量替换和通过区域划分。

下面我们将详细介绍这两种情况及其相关的公式。

1.通过变量替换:设有二重积分$I=\iint_Df(x,y)dxdy$，若存在一个变换$T$，它将$D$映射为$D'$，且$T$是一一的、可逆的，并且具有连续的偏导数，则有以下公式:$\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{D'}f(T(u,v))\left，J_T(u,v)\right，dudv$其中，$J_T(u,v)$是变换$T$的雅可比行列式，定义为:$J_T(u,v)=\left，\det\begin{bmatrix}\frac{\partialx}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partialv}\end{bmatrix}\right，$变换$T$的逆变换为$T^{-1}$，其雅可比行列式为$J_{T^{-1}}(x,y)$。

通过这种变量替换，可以将原来的积分区域$D$变为新的积分区域$D'$，从而使得原积分的计算变得简单。

2.通过区域划分:如果在$xy$平面上的积分区域$D$可以通过一系列的水平线和垂直线划分为有限个子区域$D_{ij}$，并且函数$f(x,y)$在每个子区域$D_{ij}$上都是连续可积的$\iint_Df(x,y)dxdy=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\iint_{D_{ij} }f(x,y)dxdy$其中，$n$和$m$分别是水平线和垂直线的个数。

通过这种区域划分的方法，我们可以将原来的二重积分转化为一系列的子区域上的积分，进而对每个子区域进行求积分。

在实际应用中，这两种方法可以结合使用。

二重积分的变量变换

x v du y v dv
vv
S
u A( u0 , v 0 )
B

u u ( x , y ) v v ( x ,y )
C S uu
B
A( x0 , y0 )
O
O
u
x
dxdy
dx 0
0 dy
v
vk v
M4 M1
u u (x , y ) v v (x , y )
u u ( x ,y )
v v ( x ,y ) x x ( u ,v ) y y ( u ,v )
y
M4
D
M3
M3
u uh u

M1
M2
o x M 1M 4 {x v v, y v v }
j yu yv k xu 0 || xv 0 yu | u v yv
i | M 1M 2 M 1M 4 | | x u xv
当 u, v 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四边形,故其面积为
v
vk v
M4 M1
D
M3
o
M2
x x (u , v ) T : y y (u , v )
y
M4
M3
D
u uh u

M1
M2
o
x
M 1(x (u, v ), y (u, v )) , M 2 (x (u u, v ), x (u u, v ))
D D
推广一般
: f (x, y )d xd y
D
f (x (u, v), y(u, v)) |

二重积分的变量替换公式

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