第13讲[1].构造与论证.学生版

构造与论证
模块一 最佳安排和选择方案
一个盒子里有 400 枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 200 枚．下面我们对这些棋 子做如下操作：每次拿出 2 枚棋子，如果颜色相同，就补 1 枚黑色棋子回去；如 果颜色不同，就补 1 枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了 1 枚棋子，那么，经过 399 次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填“黑” 或者“白”)．
（2009 年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上任意作 9 个 120° 的扇形， 使得每一个扇形都恰好覆盖 4 个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一 定可以找到 3 个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作 8 个扇 形将不能保证上述结论成立．
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\ 例题 6
10 9 8
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染色与赋值问题
某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任 何两本书都至少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书 4、 B、 C，使得甲读过 A、B，没读过 C，乙读过 B、C，没读过 A?说明判断过程．
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例题 13
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例题 14
4 个人聚会，每人各带 2 件礼品，分赠给其余 3 个人中的 2 人．试证明：至少有 2 对人，每对人是互赠过礼品的．
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练习 4
在 1000×1000 的方格表中任意选取 n 个方格染为红色， 都存在 3 个红色方格它们 的中心构成一个直角三角形的顶点．求 n 的最小值．
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练习 5
在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有 3 名专业选手与 3 名业余选手参加.比赛 采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方 法记分：开赛前每位选手各有 10 分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分， 每胜专业选手一场加 2 分，每胜业余选手一场加 1 分；专业选手每负一场扣 2 分，业余选手每负一场扣 1 分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的 得分比某位专业选手高?
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备选 3
将 15×15 的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到 两行，这两行中某一种颜色的格数相同．
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备选 4
在 2009 张卡片上分别写着数字 1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打 乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上 1、2、3、4、……、2009．然后将 每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这 2009 个和相乘，所得的积能否确 定是奇数还是偶数？
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例题 1
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例题 2
5 卷本百科全书按从第 1 卷到第 5 卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列， 即从第 5 卷到第 1 卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?
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例题 3
有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是 将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆 有 1989 块石子，第二堆有 989 块石子，第三堆有 89 块石子．问能否做到： 、 (1)某 2 堆石子全部取光? (2)3 堆中的所有石子都被取走?
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例题 16
将 5×9 的长方形分成 10 个边长为整数的长方形．证明：无论怎样分法．分得的 长方形中必有两个是完全相同的．
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例题 17
在平面上有 7 个点，其中任意 3 个点都不在同一条直线上．如果在这 7 个点之字 连结 18 条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形 ？
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例题 18
在 9×9 棋盘的每格中都有一只甲虫，根据信号它们同时沿着对角线各自爬到与 原来所在格恰有一个公共顶点的邻格中，这样某些格中有若干只甲虫，而另一些 格则空着．问空格数最少是多少?
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例题 15
甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按 l，2，3， 4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、 乙两班比赛时，有 15 台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有 9 台是男、女 生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过 24．并指出 在什么情况下，正好是 24 ？
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例题 11
在下图中有 16 个黑点，它们排成了一个 4×4 的方阵．用线段连接其中 4 点，就 可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意 4 点都不能连成 正方形，那么最少要去掉多少个点?
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例题 12 模块二
三个边长为 1 的正方形并排放在一起，成为 1×3 的长方形.求证：
1 2 3 90 .
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例题 19
若干台计算机联网，要求： ①任意两台之间最多用一条电缆连接； ②任意三台之间最多用两条电缆连接； ③两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有 电缆．若按此要求最少要用 79 条电缆． 问：(1)这些计算机的数量是多少台? (2)这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆?
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例题 4
n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规 定胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分.如果每一队至少胜一场，并且 所有各队的积分都不相同，问： （1）n=4 是否可能？ （2）n=5 是否可能？
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例题 5
如图 35-1，将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数分别填入图中的 10 个圆圈内， 使任意连续相邻的 5 个圆圈内的各数之和均不大于某个整数 M.求 M 的 最小值并完成你的填图.
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练习 6
有 9 位数学家， 每人至多能讲 3 种语言， 3 个人中至少有 2 个人有共通的语言. 每 求证：在这些数学家中至人能用同一种语言交谈。少有 3
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练习 7
1998 名运动员的号码依次为 1 至 1998 的自然数．现在要从中选出若干名运动员 参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘 积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?
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备选 1
在黑板上写上 1 、 2 、 3 、 4 、……、 2008 ，按下列规定进行“操怍” ：每次擦去 其中的任意两个数 a 和 b ，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一 个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
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备选 2
【备选 2】桌子上放着 55 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1～3 根，规定谁取 走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
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例题 22
证明： 6×6×6 的正方体盒子中最多可放入 52 个 1×l×4 的小长方体， 在 这里每 个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．
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例题 23
用若干个 l×6 和 1×7 的小长方形既不重叠， 也不留孔隙地拼成一个 11×12 的大 长方形，最少要用小长方形多少个?
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练习 1
在 1997×1997 的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮． 按钮每按一次， 与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮 变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯 全部变亮?
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例题 8
2004 枚棋子，每次可以取 1、3、4、7 枚，最后取的获胜。甲、乙轮流取，如果 甲先取，如何才能保证赢？
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例题 9
在 10×19 方格表的每个方格内， 写上 0 或 1， 然后算出每行及每列的各数之和． 问 最多能得到多少个不同的和数?
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例题 10
在 8×8 的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子， 使得棋盘上每行、 每列及每条 斜线上都有偶数枚棋子?
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有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是 将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆 有 1989 块石子，第二堆有 989 块石子，第三堆有 89 块石子．问，能否做到：⑴
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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练习 3
某 2 堆石子全部取光？⑵3 堆中的所有石子都被取走？
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练习 2
（2008 年台湾小学数学竞赛选拔赛）将 1、2、3、4、5、6 写在一个圆周上，然 后把圆周上连续三 个数之和写下来，则可以得到六个数 a1 、 a2 、 a3 、 a4 、 a5 、 a6 ，将这六个数中 最大的记为 A ．请问在所有填写方式中， A 的最小值是什么？
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例题 20
在一个 6×6 的方格棋盘中，将若干个 1×1 的小方格染成红色．如果随意划掉 3 行 3 列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的．那么最少要涂多少个方格?
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例题 21
如图，把正方体的 6 个表面剖分成 9 个相等的正方形．现用红、黄、蓝 3 种颜色 去染这些小正方形，要求有公共边的正方形所染的颜色不同．那么染成红色的正 方形的个数最多是多少个?
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例题 7
一组互不相同的自然数，其中最小的数是 l，最大的数是 25，除 1 之外，这组数 中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中某两个数之 和.问：这组数之和的最小值是多少?当取到最小值时，这组数是怎样构成的?