微积分基础(国家开放大学)---第1章---第1节---函数的概念

它有两个单调减区间，应该写为(－∞，0)，(0，＋∞).
25
1 2 3
3.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，
都有f(x1)>f(x2)的是( A.f(x)＝x2 C.f(x)＝|x| )B B.f(x)＝
1 D.f(x)＝2x＋1 x
1 解析 f(x)＝ 在(0，＋∞)上为减函数，符合题意. x

3l 2

l 2
l 2
3l 2
函数y sin x与y cos x的周期? 函数y tan x与y cot x的周期?
33
§1.1.4基本初等函数


常数函数： 幂函数： 指数函数： 对数函数： 三角函数：


y=C (C是常数) y = x (是常数) y = ax (a是常数且a>0,a1) 特别: y = ex y = logax (a是常数且a>0,a 1) 特别: y = lnx y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx y=arcsecx y=arccscx 以上六类16种函数称为基本初等函数。 思考(那些是基本初等函数?)： y=sin3x, y=3x, u=lnv, y=2x, s=5, y=1/x
第1章 函数、极限、连续 §1.1 函数的概念
§1.1.1 常量与变量 §1.1.2 函数的定义 §1.1.3 函数的特殊性质 §1.1.4基本初等函数 §1.1.5复合函数与初等函数
1
§1.1.1 常量与变量



微积分是研究函数变化规律的学科，故我们先关注 一下研究过程中的常量与变量。 常量:在研究过程中始终保持不变的量 变量:在研究过程中发生变化即可以取不同的量 例如:密闭容器内的气体加热,气体的体积和气体的分 子个数保持一定,是常量;气体的温度和压力是变量. 常量与变量是相对而言的，并非确定不变的。 所谓函数关系是指几个变量之间的某种确定的特殊 联系方式。
x 2}
例2:
求函数 y
5 x
x 1
2
的定义域Df ．
解：要使上式有意义，须使：x 5 且 x -1。 故： Df =(-,-1)(-1,5]
12
跟踪训练 求下列函数的定义域.
12 (1)y＝－ x ＋1； 2
解 x∈R；
(2)y＝ 2 ； x －4
解 要使函数有意义，必须使x2－4≠0， 得原函数的定义域为{x|x∈R且x≠±2}；
T
Pt0 , T0
1 2 引例2 自由落体运动 S gt 2
引例3 气温 T 与时间 t 的关系 引例4 销售量 q 与月份 t 的关系
月份
O
12
t
t
1
2
3
4
5
6
销售量
q 100
105
110
115
111
120
6
函数的概念

定义 设x和y是两个变量, D是一个给定的非空实数集， 若对于每个数xD,变量y按照一定对应法则f, 总有唯 一确定的数值和它对应，则称y为x的一元函数，记作 y=f (x) 。称x为自变量，y为因变量，称D是函数f 的定 义域，因变量y 的取值范围称为函数的值域。
例 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，
试比较f(1)与f(3)的大小.
解 ∵f(－3)>f(－1)， 又f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1). ∴f(3)>f(1).
29
反思与感悟
本题有两种解法，一种是通过图象观察，
f(－3)>f(－1)，选用偶函数定义，得f(3)>f(1)；另一种方
y 1 o -1 x
x sgn x x
18
几个特殊函数：取整函数
取整函数 y=[x]
[x]表示不超过x的最大整数 4 3 2 1 o y
-4 -3 -2 -1
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
19
几个特殊函数：狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
法是利用偶函数图象的对称性.
30
跟踪训练
如图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图
象，则f(－4)＝________. －2
解析 f(－4)＝－f(4)＝－2.
31
函数的有界性

设函数 f (x)在D上有定义.如果存在一正数M,使不等式 | f (x)|M 对任一xD都成立,则称f (x)在D上有界;如果 这样的M不存在，则称f (x)在D上无界。
26
函数的奇偶性

设定义域D关于原点对称， 若xD,有f (-x) = f (x)成立,则称f (x)在D上为偶函数; 若xD,有f (-x) = -f(x)成立,则称f (x)在D上为奇函数.
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
11
定义域求法
约定：如未特别指明,函数定义域Df即为能使函数表 达式有意义的自变量一切可取(实数)值范围。 1 x 2 的定义域． 例 1： 求函数 y 2

4 x
解
1 x 2 有意义，必须有 要使 y 2 4 x 4 x 2 0 2 x 2 即 2 x 2 故 Df {x | 2 x 2 0 x 2
3
区间、邻域示意图
闭区间[a,b] 无穷区间(a,+)
o
a
开区间(a,b)
b x
o
a
无穷区间(-,b)
x
o
a
b
x
o
去心邻域
b
x
邻域

a

a
a x

a

a
a x
4
§1.1.2 函数的定义
◎一.函数概念及其表示 ◎二.分段函数 ◎三. 定义域的求法
5
函数关系引例
引例1 圆面积
A r 2
B.f(x)是减函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)在(－∞，0)上是增函数
24
1 2 3
6 2.函数y＝ x A.[0，＋∞)
的减区间是( C ) B.(－∞，0] D.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.(－∞，0)，(0，＋∞) 解析 函数y＝
但是其在定义域上不单调，
6 x
的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
9
分段函数


分段函数：用公式表示函数时，有时需要在定 义域得不同范围内分别用不同的解析式来表示 该函数完整的对应规则。 注意：分段函数是一个函数,而不是几个函数！
例：
y
2
2 x 0 x 1 f x x 1 1 x
O
1
x
10
分段函数应用

1、个人收入所得税 2、出租车计费
f x 3 x 4 x3
f x x 3 x 1
相 相
同 同
8
y 1 cos2 x
u sin 2
函数的表示法


常用的函数表示法主要有三种： 公式法(引例1、2)，图示法(引例3)，表格 法(引例4)。 各种表示法各有其特点： 图示法使函数的变化表现得较直观，表格法 (如各种函数表、经济统计报表)便于求函数值， 而公式法便于运算和分析，故在学习研究数学 理论上用得最多。它们各有优缺点，应根据需 要结合使用。
2
常用区间表示方法：



ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
全体实数的集合记为R，全体自然数的集合记为N。其 它常见的实数集合表示方法如下： 闭区间：[a,b]={x| axb} 开区间：(a,b)={x| a<x<b} 半开区间：(a,b]={x| a<x b}, [a,b)={x| a x<b} 注：以上a,b均满足a、bR,且a<b,此时，这类区间称 为有限区间;又当a、b中有一个为时,称无穷区间;显 然R=(- ,+ )。 a的邻域U(x0,)： U(x0,)=(x0-, x0+)，即|x-a|< 。 a的去心邻域U0(x0,)： U0(x0,) =(x0-, x0+)\{x0}
2
1
4－x2≥0， 解 要使函数有意义，必须使 |x |－3≠0，
得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；
15
(6)y＝ ax－3(a 为常数).
课后思考题
解 要使函数有意义，必须使ax－3≥0，
3 得当 a>0 时，原函数的定义域为{x|x≥ }； a
3 ； x | x ≤ 当 a<0 时，原函数的定义域为 a
当x0D，称f (x0)为函数在x0处的函数值。 由于通常是通过函数值f (x)的变化来研究函数f的性质 的，故习惯上也称f (x)或y是x的函数。


7
函数的两要素
定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
自变量
f ( x0 )
(

Z
y
)
因变量
判定下面各组中两函数是否相同？ f x lg x 2 g x 2 lg x 不相同
x
-x
f ( x )
o
x
x
偶函数(关于y轴对称)
奇函数(关于原点对称)
27
函数奇偶性示例
如:(1) f x x x 1( x 1) f x x x 1( x 1) x x 1(1 x) f x
x a (2) f x x 1 ax 1
当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义， 故不是函数.
16
分段函数求定义域示例
1 0 x 1 , 求f (0)、f (2)，函数 f ( x)的定义域. 例3 设f ( x) 2 1 x 2
解
f(x)的定义域为：[0, 2]
17
几个特殊函数：符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
22
函数的单调性
设函数 f (x)的定义域为D，如果对于区间 I ( I D )内的任意两点 x1、x2 ,当 x1 < x2时,

（1）恒有f (x1) < f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为递增函数 （2）恒有f (x1) < f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为递减函数 （3）恒有f (x1) ≤ f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为不减函数 （4）恒有f (x1) ≥ f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为不增函数 递增函数、递减函数分别称为严格单调增加函数和严格单调减少函数， 不减函数和不增函数分别称为单调增加函数和单调减少函数。有时，为 叙述简单起见，对于严格单调增加（减少）函数也称为单调增加（减少） 函数。
y
M y=f(x) y M x 有界 X
o
-M
o
-M
x0
X 无界
x
函数y sin x与y cos x是否是有界函数 ?
32
函数的周期性

设函数f (x)的定义域为D,若存在常数T >0,使得对每一个xD,

有 x+T D,且总有f (x+T)= f (x)成立，则称f (x)是D上的周期函 数， 满足上式的最小正数T（如果存在）称为函数f (x)的周期。 注意：通常说周期函数的周期是常指其最小正周期.
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
20
几个特殊函数：取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
21
§1.1.3 函数的特殊性质

一.单调性 二.奇偶性 三.有界性 四.周期性 通过本节课的学习，了解函数的基本特性
x－2
13
(3)y＝ ； x＋|x |
解 要使函数有意义，必须使x＋|x|≠0， 得原函数的定义域为{x|x>0}；
1
(4)y＝ x－1＋ 4－x＋2；
x－1≥0， 解 要使函数有意义，必须使 4－x≥0，
得原函数的定义域为{x|1≤x≤4}；
14
(5)y＝ 4－x ＋ ； |x|－3
奇函数
ax 1 1 ax f x x x x x f x a 1 1 a (3) f x 0 既是偶函数又是奇函数
(4) f x sin x cos x 1
偶函数
既非偶函数又非奇函数
28
函数奇偶性的应用
当 x1 x2时, y
f x1 f x2
当 x1 x2时, f x1 f x2
y f x
单调增加
y
y f x
单调减少
a O
b
x
a
O
b
x
23
当堂测·查疑缺 1.已知函数f(x)＝－x2，则(
1 2 3
D)
A.f(x)在(－∞，0)上是减函数