高中数学-函数的奇偶性与周期性练习

高中数学-函数的奇偶性与周期性练习

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(·温州二模)若函数f(x)＝sin x

x＋a2

是奇函数，则a的值为________．

解析由f(－1)＝－f(1)，得sin－1

－1＋a2

＝

－sin 1

1＋a2

，

∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0.

答案0

2．(·温岭中学模拟)f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(3)＝________.

解析f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2.

答案－2

3．(·重庆卷改编)已知函数f(x)＝ax3＋b sin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝________.

解析∵f(x)＝ax3＋b sin x＋4，①

∴f(－x)＝a(－x)3＋b sin(－x)＋4，

即f(－x)＝－ax3－b sin x＋4，②

①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③

又∵lg(log

210)＝lg

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

lg 2

＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，

∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg 2))＝5，

又由③式知f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8，

∴5＋f(lg(lg 2))＝8，∴f(lg(lg 2))＝3.

答案 3

4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为______．

解析f(x)的图象如图．

当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1,3)． ∴x ∈(－1,0)∪(1,3)． 答案 (－1,0)∪(1,3)

5．(·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝________.

解析 依题意知f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )＝a －x －a x ＋2，联立f (x )＋g (x )＝a x

－a －x

＋2，解得g (x )＝2，f (x )＝a x －a －x ，故a ＝2，f (2)＝22－2－2

＝4－

14

＝154. 答案 15

4

6．(·青岛二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )对任意x ∈R 成立，当x ∈(－1,0)时f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

52＝________.

解析 因为f (x ＋2)＝f (x )，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12＝1.

答案 1

7．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜

f (m )，则实数m 的取值范围是________．

解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)． 又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．

∴⎩⎨⎧

|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，

解得－1≤m ＜1

2

.

答案 ⎣

⎢⎡

⎭⎪⎫－1，12

8．(·临沂模拟)下列函数①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝2x 中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是________．

解析 因为①是奇函数，所以不成立．③在(0，＋∞)上单调递减，不成立，④为非奇非偶函数，不成立，所以填②. 答案 ② 二、解答题

9．f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式． 解 当x ＜0时， －x ＞0，则

f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 所以当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.

综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧

－2x 2＋3x ＋1，x ＞0，

0，x ＝0，

2x 2

＋3x －1，x ＜0.

10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－

x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判定f (x )的奇偶性；

(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式． 解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (－x )＝f (2＋x )．

又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．

(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；