《现代精算风险理论》课件汇总个体风险模型
人大保险学课件--保险精算CH10风险投资和风险理论
10.8ห้องสมุดไป่ตู้2 调节系数
这一概念是为了说明定理10.8.1 定理10.8.1 对 0 ，有
(u )
R U (T) E e |T
e
R u
其分母需要计算在破产发生（即 负盈余 U函数的条件分布。 (T )
T ）条件下，
保险精算
第十章 风险投资和风险理论
第十章 风险投资和风险理论
10.1 引言 10.2 投资工具 10.3 投资策略 10.4 财务报表分析 10.5 考虑投资收入的费率定价模型 10.6 短期个别风险模型 10.7 短期聚合风险模型 10.8 长期聚合风险模型
10.1 引言
（1）久期：资产持有人获取付款时间长度的加 权 平均值。收益率不变时有如下公式：
D t 1 r t 1
n
t C t
1 r
t 1
n
C t
t
C t 为时刻 t 的利息或本金支付，n 为到期日，r
为收益率 （2）免疫策略 （3）或有免疫
10.3.2 资产—负债匹配策略
财产保险公司的业务可以分为两个独立的部分： 保险承保与投资。来自承保业务的利润每年变动 很大，相对来说，投资的净收益较为稳定。
风险理论是精算科学的主要组成部分之一，它对 保险公司的经营情况进行分析、管理和控制，从 而为制定合理的保费及早期预测提供帮助。
10.2 投资工具
10.2.1 债券
债券的特征 风险分析 债券的定价
设X是一个周期内的理赔随机变量，B是这个周期 内的理赔总额，I是表示理赔事件是否发生的只是 变量，即：
10.6.2 理赔总额S的概率分布及其应用
现代精算风险理论 第1章_效用理论与保险2007
可以证明（见习题 1.4
第
3
题）
d
E
X
X
d
以
及 2 d Var X X d 是 d 的 连 续 函 数 ． 注 意
0 2 0 0, EX 和 2 VarX .
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 被保险人是风险厌恶者。 风险厌恶者的效用函数的特点：
1． 边际效用递减u'(x) 0 ； 2． 凹函数 u''(x) 0 。
定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效 用函数，有
下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为
止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
．然而，除非
P
很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望
收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。
B：100%的机会夫去20元。 选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？
对于这样的决策，效用函数u 应该具有怎样的形式？
选择 w=0．假设u 0 0 和u 1 1 ．
当b = 1 时，他选择A； u( 1) 1 [u(0) u(1)]
风险模型(新编21世纪风险管理与精算系列教材)
在21世纪，风险管理和精算成为了金融领域中的重要议题。
对于金融机构和保险公司来说，理解和管理风险至关重要，而构建合适的风险模型是实现这一目标的关键步骤之一。
本文将从以下几个方面对风险模型进行探讨。
一、风险模型的定义风险模型是一种数学模型，用于定量评估资产、投资组合或者保险产品的风险水平。
它可以帮助金融机构和保险公司理解他们所面临的各种风险，并且在决策过程中起到指导作用。
常见的风险模型包括市场风险模型、信用风险模型、操作风险模型等。
二、风险模型的分类1. 基于统计方法的风险模型基于统计方法的风险模型主要通过对历史数据的分析和建模来进行风险评估。
常见的统计方法包括方差-协方差方法、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法等。
这类模型的优点是简单易行，但是对于特殊事件的预测能力有限。
2. 基于风险度量的风险模型基于风险度量的风险模型主要是通过对风险的度量来进行风险评估。
常见的风险度量方法包括价值-at-风险(VaR)、条件价值-at-风险(CVaR)等。
这类模型可以更好地捕捉特殊事件的风险，但是对于数据要求较高。
3. 基于机器学习的风险模型随着人工智能和大数据技术的发展，基于机器学习的风险模型开始受到关注。
这类模型能够更好地处理大规模复杂数据，并且具有较好的预测能力。
它可以通过监督学习、无监督学习和强化学习等方法来构建风险模型。
三、风险模型的应用1. 风险管理风险模型可以帮助金融机构和保险公司更好地理解和管理所面临的各种风险。
它可以帮助机构量化风险，并通过风险控制和风险转移等手段来降低风险。
2. 决策支持风险模型可以为决策提供数据支持和科学依据。
它可以帮助金融机构和保险公司在投资和产品设计等方面做出更加理性和科学的决策。
3. 监管要求金融监管部门对金融机构和保险公司提出了越来越严格的风险管理要求，风险模型可以帮助这些机构更好地满足监管要求。
四、风险模型的挑战1. 数据不确定性风险模型的建立离不开大量的数据支持，而金融市场和保险业的数据往往具有较强的不确定性和时效性。
现代精算风险理论05：再保险与最优再保险
现代精算风险理论05：再保险与最优再保险⽬录第五讲再保险与最优再保险第⼀节再保险问题⼀、再保险的定义和分类随着社会经济的发展，⼀次事故可能造成的物质损毁和⼈⾝死亡的损失程度不断扩⼤。
若巨额损失由单个保险⼈来履⾏赔偿责任，很可能造成保险⼈的财务困难，甚⾄因此破产。
事实上，任何国家的保险监管机构也不允许保险⼈单独承担超过其⽀付能⼒范围的巨额风险。
我国《保险法》第⼀百零三条规定：保险公司对每⼀危险单位，即对⼀次保险事故可能造成的最⼤损失范围所承担的责任，不得超过其是有资本⾦加公积⾦总和的百分之⼗；超过的部分应当办理再保险。
再保险的含义：再保险也称分保，是保险公司在保险合同的基础上，通过签订分保合同的⽅式，将其承担的保险业务，以承保形式，部分转移给其他保险⼈。
再保险的⽬的：进⾏再保险，可以分散保险⼈的风险，有利于其控制损失，稳定经营。
再保险的核⼼：责任转移是再保险的核⼼所在。
再保险的功能：第⼀，分散危险责任。
任何保险⼈的资⾦和承受风险的能⼒都是有限的。
为了保持保险业务正常经营和保险⼈的财务稳定。
避免承保的风险过于集中，对于超过原保险⼈⾃⾝承受能⼒的风险，原保险⼈通过再保险，在同业之间相互分散风险。
第⼆，扩⼤承保能⼒。
随着社会财富积聚，巨额风险增多。
保险⼈有时要承保的保险标的保险⾦额很⾼，如⼤型飞机、核电站、万吨油轮等等，⼀旦发⽣事故，其赔偿责任决不是某个保险⼈所能承担的。
在这种情况下，保险⼈通过再保险，将风险分散于多个保险公司，提⾼了保险⼈的承保能⼒，使原保险⼈能够以有限的资⾦接受更⾼额的风险。
再保险的分类：再保险是在原保险基础上进⼀步分散风险，是风险的第⼆次分散。
按责任限额，再保险可分为：1. ⽐例再保险：以保险⾦额为基础确定分出公司⾃留额和接受公司责任额的再保险⽅式。
2. ⾮⽐例再保险：以损失为基础来确定再保险当事⼈双⽅的责任。
按安排⽅式，再保险可分为：1. 临时再保险：将分出业务的具体情况和分保条件逐笔告诉对⽅，对⽅是否接受或接受条件完全可以⾃由选择。
现代精算风险理论 第3章 聚合风险模型
E[etX ] exp( et 1)
P(N
k)
r
k k
1 pr
(1
p)k
,
E[etX
]
1
p (1
p)et
r
E[ X
]
r (1 p
p)
,Var[ X
]
r (1 p2
p)
,
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性） 设某个汽车驾驶员
3.1 引 言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要 计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在 要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记
其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额． 此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
• 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间 相互独立，即（N与X1， X2，… Xn）
例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设
4
,
Pr X
1, 2,3
1,1,1. 424
S 1N1 2N2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1
4
1 4
1, 2
4 1 2
2, 3
故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松 分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相 互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
当每一个Si 有非随机的理赔额xi 时，我们有Si xi Ni ，
风险理论第1章 效用理论和保险
准精算师资格考试科目
01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运筹学 02数学基础（Ⅱ）：概率论、数理统计、应用统计 03复利数学 04寿险精算数学 05风险理论：损失分布、风险模型、效用理论 06生命表基础 07寿险精算实务 08非寿险精算数学与实务 09综合经济基础
课程内容
第一章 效用理论与保险 第二章 个体风险模型 第三章 聚合风险模型 第四章 破产理论 第五章 保费原理
定理 1.2.3 ( Jensen 不等式）如果v 是一个凸函数， Y 是一个随机变量，则
，
其中等号成立当且仅当v 是线性的或Var Y 0；对
于一个凹的效用函数u，有
，
Jensen不等式的证明
证：设随机变量Y
的分布函数是
F
y
，则
E
v
Y
v
ydF
y
。
将v Y 在 E Y 点展开成泰勒级数：
最大期望效用原理：在具有风险和不确定的条件下，个 人进行决策的行为动机和准则是获得最大的期望效用值， 而不是获得最大的实际金额的期望值。
上述原理刻画了风险和不确定情况下的一般决策准则， 它表明，在有风险和不确定的情形，人们一般追求最大的 期望效用。
根据这个原理，由冯· 诺伊曼（von Neumann） 和摩根斯特恩（Morgenstern）于 1947 年引入的模型 描述了决策者怎样在不确定的结果中做出选择，这个 模型包含三个内容：
效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值u w （被称为效用函数）去衡量
其Байду номын сангаас富，而不是用财富w 本身去衡量。 如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会
保险精算学风险投资和风险理论PPT课件
10.7.2 理赔次数的分布
N
S X i 的概率特征分布 i1
10.7.3 复合泊松分布的性质
10.8 长期聚合风险模型
10.8.1 理赔过程 定义理赔次数过程的方法有三种: 总体方法 微分方法 离散（或等待时间）方法
10.8.2 调节系数
这一概念是为了说明定理10.8.1
第二节 列昂惕夫反论及其解释
一、麦克道格尔对比较利益学说的经验论证 美国学者麦克道格尔（G.MacDougall）
通过比较英、美两国商品在第三国市场中 的竞争力，在研究了英、美两国的工资与 劳动生产率之后，以
两国类似的出口商品为对象，把两国在第三 国市场所占的份额与比较利益联系起来进 学的主要组成部分之一，它对 保险公司的经营情况进行分析、管理和控制，从 而为制定合理的保费及早期预测提供帮助。
10.2 投资工具
10.2.1 债券
债券的特征 风险分析 债券的定价
10.2.2 股票
普通股： 最后请求权 有限责任 优先股： 预定分红率 股东的请求权优先于普通股
二、列昂惕夫反论
简介：1953年，美国经济学家列昂惕夫 （W.W.Leontief）利用投入—产出分析 法， 以美国情况为例，对赫—俄模型 进行了经验检验，其结果与理论判断正 好相反。
结论：美国参与国际分工是建立在劳动密集 型生产专业化基础上的，而不是资本密 集型生产专业化基础上。
三、对于列昂惕夫反论的解释
第二章第一国节 际赫分克谢工尔（—俄下林）模型
第二节 列昂惕夫反论及其解释 第三节 国际贸易的新要素学说
第四节 产品生命周期理论 第五节 产业内贸易理论
第六节 国家竞争力优势理论 第七节 科学技术进步对发展中国家贸易格局
0Avxdy《现代精算风险理论》课程简介
生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞，但不需醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气，但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。
-----无名《现代精算风险理论》课程简介现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生内容简介:主要内容包括经典的风险理论的内容，如期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型等；也包括许多与精算实务息息相关的研究方法，如保费原理，IBNR 模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等。
课程的内容还包括现代精算风险理论的一些热点研究，如风险排序。
推荐教材或主要参考书：教材：现代精算风险理论，R.卡尔斯，M.胡法兹，J. 达呐，M.狄尼特著，唐启鹤，胡太忠，成世学译，科学出版社。
参考书：数学风险论导引，汉斯. U. 盖伯著，世界图书出版公司。
风险理论， N.L.鲍尔斯等著，上海科学技术出版社。
《现代精算风险理论》教学大纲现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：通过本课程的学习，要求学生掌握非寿险精算的一些经典风险理论的模型，包括期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型和破产模型。
掌握与精算实务息息相关的研究方法，包括保费原理，IBNR模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等，了解现代精算风险理论的一些热点,包括风险排序等。
二、主要内容及学时分配：第一章效用理论与保险（4学时）期望效用模型；效用函数族；停止损失再保险的最优性。
课后习题3-5题。
第二章个体风险模型（4学时）混合分布和风险；卷积；变换；近似；应用：最优再保险。
课后习题3-5题。
第三章聚合风险模型（4学时）复合分布；理赔次数的分布；复合泊松分布；Panjer递推；复合分布的近似；个体和聚合风险模型；几个理赔额分布和参数族；停止损失保险与近似；方差不等情形下的停止损失保费。
风险理论第五讲PPT课件
.
8
（－）卷积法
设X的分布函数为FX(x)，N的分布列为{pn}。 可以看出，S的分布是一个复合分布。由全概 率公式有
FS(x) P(S x) P(S x| N n)P(N n) n0
fXi
(x)
.
33
背景：
m可看成m个保险保单组合，S则是这m个 保单组合的总理赔额。
S也可以看作同一个保单组合在m个不同年 度内的总理赔额
.
34
证明：设Si为参数i为的复合泊松分布，Si的矩母函数为
M S i(t) e x p [i(M X i(t) 1 )]
由于S1,…,Sn为相互独立的随机变量，因此的矩母函数为：
{1b[(1qz)1 1]}1
b (1(1b)qz)1 1
1b
1b
这是一个由指数分布和贝努利（0－1）分布组成的混 合分布。它的分布密度和分布函数为
1
fs(x)1bb
x0 exp( x )
q(1b)2
q(1b)
x0
.
22
（三）递推法
设个体保单理赔额X取值0,1,2,…，这r个 值表示货币单位的整数倍，表示最大的 赔付额，r可以取值无穷。假设理赔次数 N属于（a,b,0）分布族, 即分布列满足 下面关系式
已知E(S)=1.5,求理赔额变量X的期望E(X)。 解：从S的分布知，S服从由复合泊松分布的递归公式
fSxxy 1rxyfXyfSxy
知X只取1、2、3，
fSx1 x[fX1fSx12fX2fSx2 3fX3fSx3]
.
27
第五章 短期个体风险模型
第五章 短期个体风险模型
§5.1 引言 §5.2 个体保单的理赔发布 §5.3 独立和分布的卷积 §5.4 矩母函数方法计算理赔分布 §5.5 正态分布近似总理赔模型
§5.2 个体保单的理赔发布
用随机变量I表示理赔发生情况，
⎧0，不发生理赔 I =⎨ ⎩1, 发生理赔
设 q j = P( I j = 1) 表示第j份保单发生理赔的 概率，则第j张保单的实际赔付额Xj可以表示为
= E ( B )Var ( I ) + E ( I )Var ( B ) 2 a⎞ a2 ⎛ = ⎜ ⎟ × 0.02 × 0.98 + 0.02 × = 0.0066a 2 12 ⎝2⎠
2
⎧1, A 例 在汽车保险中，记 I = ⎨ , 其中 ⎩0, A A表示汽车损坏，A 表示汽车没有损坏，
2
= qE ( B ) − q E ( B )
2 2 2
例 某建筑物的价值为a，在一定时期内发生 火灾的概率为0.02。如果发生火灾，建筑物发生 损失额服从U(0,a)。试求该时期内建筑物损失的 均值和方差。 解：设损失额随机变量为X，则
E ( X ) = E ( IB ) = E ( E ( B | I )) a x = 0.02 ∫ dx = 0.01a 0 a Var ( X ) = E (Var ( B | I )) + Var ( E ( B | I ))
S = X1 + X 2 + + Xn = ∑ Xi
i =1 n
称之为个体风险模型，这个模型以பைடு நூலகம்究 随机变量S的分布情况为主要内容。
基本假设
1. 每张保单是否发生理赔以及理赔额大小是 相互独立的，即X1, X2, …, Xn是独立的随 机变量序列 2. 每张保单至多发生一次理赔 3. 保单组合中的风险均为同质风险 4. 保单总数n是事先确定的正整数，因此又 称个体风险模型为封闭模型
个体风险模型
i 1
i 1
有了矩母函数后，就可算出总理赔额S 的各阶原点矩：
k
M
k
X
0
同时还可算出其均值与方差：
E S ln MS t ' t0; Var S ln MS t '' t0
§3.4 S 分布的近似计算法
对于数目较大的保单组合来说，实用的方法是求出近似 分布。对于独立同分布的随机变量有下列中心极限定理。
(, )，设S X1 X2 Xn，求S 的分布。
【解】伽马分布的密度函数为
f ( x) x1e x ( )
经计算得到
MX
(t)
1
t
,t
由公式（3.3.1）求得
Ms (t)
n i 1
M Xi (t) (M X (t))n
1
t
n
, t
因此，S 服从伽马分布 (n , )。可见，服从伽马分布的独
例
3-2-3（续例
3-2-1）设随机变量
X1
,
X2
,
X
相互独立,
3
它
们的分布列分别为
0
X1
~
0.5
1 0.3
2 0.2
，
X
2
~
0 0.4
1 0.3
2 0.2
3 0.1
0 1 2 3 4
X3
~
0.5
0
0.3
0.1
0.1
用卷积方法求S X1 X2 X3的分布。
【解】由于S X1 X2 X3，所以S 的分布等于 X1 X2的
Fn
(
x
)
lim P n
(x)
0 0.5 0.4 0.5 0.2 0.1 0.2 0.1
《风险理论课程》PPT课件_OK
3.保险公司财务收支的基本结构与风险
表1中的每一项都可能形成风险，譬如“保费收入” 如不稳定，假设出现大量的退保现象，则会形成 保费收入现金流动风险。“税务”一栏也会形成 风险，假设法律法规更改突然规定税率的提高， 则会形成税金准备金不足风险等等。
4
表1 保险公司财务收支的基本结构
收入
保费收入 投资收入 分保和再保险佣金 新投入资本 其他收入
• 每行后面的x的值就是λ=0.1的泊松分布的随机数。
• （9）当λ较大时，用分数乘积法产生泊松分布的随机数将很繁 杂，此时可用中心极限定理来产生泊松分布的随机数。
• 步骤是： ① 先产生[0，1]区间上均匀分布的随机数u； ② 计算 相应的标准正态分布的随机数Z； ③ 计算 Z ； ④ 计算最
26
2
2、 度量风险应注意的几个问题
（1）决策者或当事人更关注不利的潜在后果， 因此不利的潜在后果的发生概率与损失额度概 率分布的评估便显得十分必要。
• 2）风险态度的测定是风险研究的重要组成部 分。对保险人来说，了解投保人的风险态度对 保单设计及产品定价无疑是非常重要的。
（3）策略风险大小的度量和策略风险对决策分 析的影响 是风险管理者应考虑的基本问题。
• 其中C为大于等于1的常数，0＜ g(x) ≤ 1， h(x) 是一个简单的密度函数。先产生均匀分布的随 机数u和对应h(x)的随机数y，若u≤ g(y),则令 x=y，否则新生成均匀分布的随机数u。
20
（3） Box-Muller方法：
• 首先产生[0，1]区间上两个独立的均匀分布的随机 数u1与u2,则：
13
2、均匀分布的随机数 • 产生均匀分布随机数的几种方法； • （1）检验法； • （2）物理方法； • （3）数学方法。
保险精算风险理论课件第3章 聚合风险模型
指数分布的混合／组合（Coxian 分布 ） 混合指数分布的密度函数
对每一个 q，0 q 1 ，函数 p . 是一个概率密度函数．
不过当 q < O 或者 q > 1 时，( 3 . 60)中的 p . 有时仍然是一个概率密度函数
现在再假设 , ，
其中 p / 1 ，从而 N 服从参数为 和 / 1的负二项分 布（记为 NB, / 1 ）.
例 3 .3 .2（负二项分布也是复合泊松分布） 在某个交叉路口 一年之中发生 N 次重大交通事故．第 i 次事故中伤亡人数是
Li ，所以总伤亡人数为 S L1 L2 LN ．设 N Poisson ,
Li 服从参数为 c 的对数分布，即
其中 hc log1 c 。现问 S 的分布是什么？
注意到 Li 的矩母函数是
于是S 的矩母函数为
这是一个参数为 / hc / log1c 和 1 c
bi 的次数Ii ．
在个体模型中，考虑理赔总额
（2）考虑下面的近似随机变量：
（3）如果取 i qi ，则在两个模型中保单 i 的期望赔付次 数相同．为了安全起见我们也可以取i log 1 qi qi ．
•在聚合模型和个体模型下保单i发生0理赔的概率相等． •比原先模型下有更大的理赔总额，因此，隐含了差额。
以直接应用中心极限定理．注意到在上面取 为整数
值的做法是不失一般性的，这是因为当很大时对应
的分数部分的影响是可以忽略不计的.
为使用近似方法，我们需要S 的半不变 量． 记 k 为理赔额分布的k阶矩，对于复合泊松分布， 我们有
我们知上式 t k 的系数即为所需要的半不变量 k!
现代精算风险理论01：损失分布
现代精算风险理论01：损失分布⽬录第⼀讲 损失分布第⼀节 随机变量的数字特征⼀、特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数是对分布函数的变换，常⽤于确定独⽴随机变量之和的分布。
特征函数：对于随机变量 X ，其分布函数为 F (x ) ，其特征函数的定义为：ϕX (t )=E e i tX .定理：分布函数序列 F n (x ) 收敛于分布函数 F (x ) 的充分必要条件是 F n (x ) 的特征函数 ϕn (t ) 收敛于 F (x ) 的特征函数 ϕ(t ) 。
矩母函数：对于随机变量 X ，其分布函数为 F (x ) ，其矩母函数的定义为：m X (t )=E e tX .矩母函数⼀般要求 t >0 ，并且 t 的取值范围和参数分布的参数有关，使得矩母函数存在。
定理：随机变量 X 的 k 阶矩等于矩母函数的 k 阶导数在 t =0 处的取值，即E X k =d kd t km X (t )t =0.定理：如果随机变量 X 和 Y 相互独⽴，则有ϕX +Y (t )=E e i t (X +Y )=E e i tX E e i tY =ϕX (t )ϕY (t ).m X +Y(t )=E e t (X +Y )=E e tXE e tY=m X(t )m Y(t ).注意：随机变量的矩母函数可能存在，也可能不存在。
如果随机变量的矩母函数不存在，则该随机变量的分布被称为重尾分布或厚尾分布（这是重尾分布的⼀种定义）。
定理：假设随机变量 X n 和 X 的矩母函数存在，则 X n 的矩母函数 m n (t ) 收敛于 X 的矩母函数 m (t ) 的充分必要条件是 X n 的分布函数 F n (x ) 收敛于 X 的分布函数 F (x ) 。
⼆、概率母函数和累积量母函数概率母函数：对于随机变量 X ，其概率母函数的定义为：[][][]|[][][][][][]g X (t )=E t X =∞∑k =0t k Pr(X=k ).从定义可以看出，概率母函数仅⽤于取值为⾃然数的随机变量。
风险理论第五章 短期个别风险模型
S X1 X 2
X n = X i
i 1
n
1. 引言
一般情况下，要获得总理赔额S的分布是非常 困难的，个体风险模型采用如下假设： （1）每张保单是否发生理赔以及理赔额的 大小是相互独立的，即 X 1 , X 2 ,..., X n 是独立的 随机变量序列。 （2）每张保单在此时间段内至多发生一次理赔。 （3）保单总数 n 是事先确定的正整数，因此 也称为封闭模型。
例5.3
• 设有某种汽车车辆险保单，赔付规则设定 免赔额为250元，最高赔付额为2000元， 还假定在保险期限内至多有一次索赔， 且 P I 1 0.15 。由于损失超过2250元后最 多赔付2000，因此对索赔额B假定：
P B 2000 I 1 0.1 ，而在2000元以下部分
2 f X ( x) (100 x ),0 x 100 2 100 记 S X 1 X 2 ，计算 f s 120 。
例 5.5 设 X 1 , X 2 相互独立，且均服从下列分布，
f X ( x)
记 S X 1 X 2 ，计算 f s 120 。 【解】由卷积公式可得
的概率分布函数为
• 试讨论理赔额X的概率分布。
0, x0 2 x P B x I 1 0.9 1 1 , 0 x 2000 2000 1, x 2000
3. 总理赔额的分布——卷积法 • 两项的卷积 • 多项卷积
0
所以，S 的分布密度为 f S ( s) 0 f X ( x ) fY ( s x )dx 利用求和的可交换性，S 的分布密度也可以写为：
f S ( s ) f X ( s y ) fY ( y )dy
保险精算风险理论课件第2章_个体风险模型
假设 X , Y 与 I 相互独立，Z 的分布函数可以写成： 如果假设X 是离散随机变量，Y是连续随机变量，
这种构造法产生的分布函数F z 是混合分布，
（1） Pr X z 0 的 z 处有跳跃，
（2）但 F z 不是一个阶梯函数，因为在 Y 的值域上F z 0 .
相同， ,
和x0
的选取必须满足
x0
, 2
2
和
2
.于是
例 2.5.（4 4） 如果 S 服从参数为 1 的 Poisson 分布，则 1 ，
于是由（2.56）得 4, 2 和x0 1 ．
因此， Pr S 3.5 1 G 3.5 1; 4, 2 0.0212 ．
§第2章 个体风险模型
本章讨论保险人风险组合的总 索赔额的分布函数。
2.1 引言
• 总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因 此非常麻烦。常用到均值，方差，矩母函数， 特征函数，母函数等。
• 有别于中心极限定理的近似方法。
• 风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变 量来刻画。因此常用Riemann-Stieltjes积分。
2.2 混合分布和风险
本节我们讨论保险风险的一些实例.由于 纯离散随机变量和纯连续随机变量都不能描 述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数 类．
根据概率论的知识，任何一个分布函数都满足
离散型的随机变量
如果 x 是 F(x) 连接点，则 f (x) F (x) F (x 0) 0 ，
我们能够构造这样一个随机变量，该变量的分布为离散和连续分布的 混合分布． （1） 设 I 为示性随机变量，取值为 0 和 1 ，其中 I=1 表示某个事件发
精算模型第2章
证明：保单覆盖的最大损失u，则最高赔偿额为
a (u d )
X d 0, L Y a ( X d ), d X u a (u d ), X u
注意：损失事件不等于理赔事件，理赔额不等于损失额
记号：
X表示投保人实际损失额（ground-up loss）。 Y表示保险人每次理赔事件的赔付额(amount paid per payment)， 简称理赔额; Y* 表示投保人每次损失事件中获得的实际索赔额 (amount paid per loss)
例3：假设某险种的保单规定免赔额为 100元，保单限额为900 元。假设损失服从Weibull分布，
F ( x) 1 e
求理赔额YP的分布。
x
, x 0, 0, 0
解：设X表示实际损失额， YP表示理赔额，则
X 100 未定义 P Y X 100, 100 X 1000 900, X 1000
27 E ( X 0.2) 1 0.1760 3 (3 0.2)
上面的例子可以总结为下面的定理： 定理 设X表示实际损失额， 免赔额为d， 比例分 担额a, 保单覆盖的最大损失u，则每次损失赔付额 YL和赔偿的理赔额Y的期望分别为
E(Y L ) a[ E( X u) E( X d )]
经计算得到
E( X ) 1 ，且
1 FX (0.2) 81/(3.2)4 0.7724
E( I0.2 ( X )) E( X ) E( X 0.2) 1 0.1760 0.8240 E ( X ) E ( X 0.2) 1 0.1760 E (Y ) 1.067 1 FX (0.2) 0.7725
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中区间是 0 s 3 ． 把该区间分为区间 0,1 , 1, 2 和 2, 3 得
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Pr[ B 1000 | I 1] 0.2 Pr[ B ( x, x dx) | I 1] cdx, 0 x 1000
x (0,1000 ) c 0.0008
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来刻画。因此常用Riemann-Stieltjes积分。
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2.2
混合分布和风险
本节我们讨论保险风险的一些实例.由于 纯离散随机变量和纯连续随机变量都不能描 述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数
类．
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2.3 卷 积
在个体风险模型中，我们感兴趣的是多个保单
总理赔S 的分布：
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首先来计算X +Y 的分布函数：
连续形式的 全概率公式
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为了计算 Z 的矩、矩母函数
E etZ
E Z d 和停止损失保费 等等，
首先计算 Z 函数的期望．为此，我们用条件期望的平滑公式：
取公式中的W g Z ，并用 I 代替 V ，其中g 是某
S 1100 的概率是 2 %． 给定 100 < S < 1 100 , S 服从 U （100 , 1100）
分布．
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同样的，X 可以表示成X = IB ，其中I 表示理赔支付次数 (0或l ) , B 代表理赔支付．因此，
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在概率论中所学到的所有的随机变量要么 为离散型要么为连续型，几乎无一例外．
然而保险领域却不总是这样．许多被用来 模拟保险理赔支付的分布函数有连续增长 的部分，同时也有离散的、正的跳跃部 分．
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2.4 变换
对一个非负随机变量X ，其矩母函数定义为 其中h 为某个常数．因为我们特别要用到矩母函数 在0 点附近的小区间里的取值，所以要求h > 0 ．
随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。
如果X 和Y 相互独立，则
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对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其 矩母函数不存在．但是特征函数总是存在的．特
征函数定义为
利用展开式可以得到
随机变量的特征函数与分布函数一一对应。
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所以X 的k 阶矩等于
概率母函数（pgf）仅用于取值为自然数的随机变
为求X的分布函数F ，我们有
由此得
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利用如下众所周知的方差分解准则，形如IB 的 风险方差可以通过给定I , B 的条件分布来计算：
h i E g Z | I i 个函数．再引入
，我们得到
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g ( z )[ F ( z ) F ( z 0)]
z
g ( z ) F ' ( z )dz
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例2.3.2 （离散分布的卷积）
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例2.3.3 ( iid 均匀分布的卷积）
例2.3.4(泊松分布的卷积)
设 X ~ Poission( ) 和 Y ~ Poission( ) 相互独立．
对任意x , X 的分布函数可以表达为
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对任意y , Y 的分布函数可以表达为
FY ( y) yI[ 0, 2) ( y) I [ 2, ) ( y )
1 又 FY y I0,2 y , y ，进而有 2
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q Pr I 1 , E B 和 2 Var B ， 记
则有 E X | I 1 和 EX | I 0 0 ． 得 E X | I i i ， i 0,1, Var X | I i 2i ． 类似有
到的量是 X 的半不变量，记为 k 。
随机变量X 的偏度定义为
E X , 2 Var X 其中
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假设理赔支付X = 400和X = 200 的概率分别为0.05 和0.15 ，
则有
因此 Pr I 1 0.2, Pr I 0 0.8
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例2.2.4（有索赔，且索赔额服从指数分布） 假设
如果 X 和 Y 是离散型的，则有
其中求和是取遍所有使得 f X x 0 的x。
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如果X 和Y 是连续型的，则
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为求X + Y + Z的分布函数，我们在做卷积运算时所 采用的卷积次序无关紧要
Riemann-Stieltjes积分
混合随机变量的分布
对于混合随机变量 Z IX (1 I )Y 其分布为：FZ ( z ) qFX ( z ) (1 q) FY ( z )
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例 2.2.3（自行车被盗险）考虑自行车保单：在保险事故“自行车被 盗”发生时，赔付 b 给被保险人，同时保险人的保险责任终止． 正如大多数寿险保单一样， 这种保单的赔付次数为 0 或 1 ， 且 事先知道赔付额 b．假设保险事故发生的概率为 q． 可以用 X Ib 理赔支付， 其中 I 为 Bernoulli(q)示性随机变量， I = 1 表示自行车被盗，I = 0 表示未被盗．可以把 X 重新表示为
和x
f x 1
，
其中求和是对那些满足 f x 0 的所有x 求和．
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连续型的随机变量
分布函数为：
F ( x)
f (t )dt
x
f x 称为概率密度函数．同样 f x 0 ，且 f x dx 1 ．
n 个独立同分布的随机变量之和的分布函数是共同 边际分布F 的n 重卷积，记为
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例 2.3.l （两个均匀分布的卷积） 设X ~ U (0,1) 和
Y ~ U (0,2) 相互独立，求
X + Y 的分布函数
．
一个集合A 的示性函数定义为
根据概率论的知识，任何一个分布函数都满足
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离散型的随机变量
如果x 是 F (x ) 连接点，则
f ( x ) F ( x ) F ( x 0) 0 ，
如果x 是 F (x ) 不连接点，则
对于所有的 x ，我们都有
f x 0
设Z 代表某个保单的理赔支付，则有三
种情况：
• 保单合同无理赔，因此Z=0 .
• 保单合同的索赔数额大于最大的保险金额
M ，则Z =M . • 保单合同产生正常的索赔数额，则0<Z<M.
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我们能够构造这样一个随机变量，该变量的分布为离散和连续分布的 混合分布． （1） 设 I 为示性随机变量，取值为 0 和 1 ，其中 I=1 表示某个事件发 生．假设事件发生的概率为 q Pr I 1 , 0 q 1 ． （2） 若 I=1 ， 则索赔 Z 与 X 分布相同； I=0 ， Z 与 Y 分布相同， 若 则 即 Z=IX+（1-I）Y
X Ib 1 I 0
.
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现在， 假设自行车未锁而被盗， 保险人赔付一半． 在荷兰， 许多自行车被盗保单不区分这种理赔数额的差别． 保险人在理 赔调查时，只要求被保险人在索赔时呈交所有的原始关键材 料．于是 X IB ，其中 B 代表随机赔付额．
风险X有如下分布：
（1）X 的均值是多少？ （2）对于风险厌恶系数为a=0.01且具有指数效用
函数的人，愿意为风险X 支付的最大保费为多少？
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（1）
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（2）如果被保险人使用的是参数为a = 0.01 的指数效用函数， 则由（1.21）得到最大保费 P
第2章 个体风险模型
本章讨论保险人风险组合的总索赔额的分布函 数。
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2.1 引言
总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因此 非常麻烦。常用到均值，方差，矩母函数，特征 函数，母函数等。 有别于中心极限定理的近似方法。
风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变量