2017中考数学专题训练(三)一次函数和反比例函数结合

y＝
k x
的图象有且
k 解：(1) ∵A(2，2)在反比例函数 y＝ x的图象上， ∴ k＝ 4.∴反比例函数的解析式为
4 y＝ x.又∵点
B 12， n 在反比例
函数 y＝ 4的图象上，∴ x
1 2n＝ 4，解得
n＝8，即点
B 的坐标为
12， 8 .由 A(2， 2)，B 12， 8 在一次函数
y＝ ax＋ b 的图
(1) 求 m， n 的值； (2)求直线 AC 的解析式． 【解析】 (1) 因为 A(－1， a)，所以 B 的横坐标为 1，即 C(1， 0)．再由 S△AOC＝ 1，得 A(－ 1， 2)，再代入 y＝ mx 与 y＝ n即可． (2) 将 A、 C 坐标代入即可．
x n
【学生解答】解： (1) ∵直线 y＝ mx 与双曲线 y＝ x相交于 A(－1， a)， B 两点，∴ B 点横坐标为 1，即 C(1， 0)， ∵△ AOC 的面积为 1，∴ A(－1，2)，将 A(－ 1，2)代入 y＝mx，y＝ nx可得 m＝－ 2，n＝－ 2；(2)设直线 AC 的解析式
y＝－
1 2x＋
1.
2． (2016 乐山中考 )如图，反比例函数
k y＝ x与一次函数
y＝ ax＋ b 的图象交于点
A(2，2)， B 12，n .
(1)求这两个函数解析式； (2)将一次函数 y＝ ax＋ b 的图象沿 y 轴向下平移 m 个单位长度， 使平移后的图象与反比例函数 只有一个交点，求 m 的值．
k＋ b＝0，
k＝ 1，
【学生解答】解： (1)由题意得
解得
一次函数的解析式为 y＝ x－ 1； (2) 当 x＝2 时， y＝ 2－
b＝－ 1.
b＝－ 1，
1＝ 1，所以 C 点坐标为 (2，1)；又 C 点在反比例函数
m y＝ x (m≠ 0的) 图象上，∴
1＝
m 2
，解得
m＝ 2.所以反比例函数的
y＝
k x
(k≠
பைடு நூலகம்
0，) 得
k＝－ 4×３＝－ 12，反比例函数的解析式为
－ 12
－ 12
－ 4a＋b＝ 3，
y＝
x
；当 y＝－ 2 时，－ 2＝
x
，解得 x＝ 6，即 B(6，－ 2)．将 A，B 两点坐标代入
y＝ ax＋b，得 6a＋ b＝－ 2，
解得 a＝－ 12， 一次函数的解析式为 b＝ 1，
的坐标为 (m，－ 2)．
(1)求△ AHO 的周长；
(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．
解： (1) 由 OH ＝ 3，tan∠ AOH ＝ 4，得 AH ＝ 4.即 A(－ 4， 3)．由勾股定理，得 AO＝ OH 2＋ AH 2＝ 5，△ AHO 的 3
周长＝ AO＋ AH＋OH ＝ 3＋4＋ 5＝ 12；(2) 将 A 点坐标代入
－ k＋ b＝ 2，
为 y＝ kx＋ b，由题意得
解得 k＝－ 1， b＝ 1，∴直线 AC 的解析式为 y＝－ x＋ 1.
k＋ b＝0.
3．(2016 宜宾中考 )如图，一次函数 y＝ kx＋ b 的图象与反比例函数
m y＝ x (x>0) 的图象交于
A(2，－1) ，B 12， n 两
点，直线 y＝2 与 y 轴交于点 C.
2017 中考数学专题训练 (三)一次函数和反比例函数结合
纵观近 5 年中考试题， 一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容． 函数和一次函数解析式及解决相关问题．
利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式
侧重考查用待定系数确定反比例
【例 1】如图，一次函数 y＝ kx＋ b(k≠0的) 图象与 x 轴， y 轴分别交于 A(1， 0)，B(0，－ 1)两点，且与反比例函
2 解析式为 y＝x.
1． (2016 重庆中考 )在平面直角坐标系中，一次函数
k y＝ ax＋b( a≠ 0的) 图形与反比例函数 y＝ x(k≠ 0的) 图象交于
第二、四象限内的 A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作 AH ⊥ y 轴，垂足为 H ， OH＝ 3， tan∠AOH ＝ 43，点 B
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求△ ABC 的面积．
解： (1)把 A(2，－ 1)代入反比例解析式得：－
1＝ m2 ，即 m＝－ 2，∴反比例解析式为
y＝－ 2x，把
B
1 2，n
代入
反比例解析式得：
1 n＝－ 4，即 B 2，－ 4 .把 A 与 B 的坐标代入
y＝ kx＋ b 中得：
象上，得
2＝ 2a＋ b，
a＝－ 4，
1
解得
∴一次函数的解析式为
8＝ 2a＋ b，
b＝ 10，
y＝－ 4x＋ 10； (2) 将直线 y＝－ 4x＋ 10 向下平移 m 个
单位长度得直线的解析式为
y＝－ 4x＋ 10－ m，∵直线 y＝－ 4x＋10－ m 与双曲线 y＝4有且只有一个交点，令－ 4x x
数
y＝
m x(
m≠
0的) 图象在第一象限交于
C 点， C 点的横坐标为 2.
(1)求一次函数的解析式；
(2)求 C 点坐标及反比例函数的解析式． 【解析】 (1) 将点 A(1，0)，B(0，－ 1)代入 y＝ kx＋ b 即可． (2) 将 C 点的横坐标代入公式 y＝ kx＋ b 即可求出纵坐 标，再代入 y＝ mx 中即可．
＝
21 4.
m 4．(2016 泸州中考 )如图，一次函数 y＝ kx＋ b(k<0)与反比例函数 y＝ x 的图象相交于 A、B 两点，一次函数的图 象与 y 轴相交于点 C，已知点 A(4， 1)． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接 OB(O 是坐标原点 )，若△ BOC 的面积为 3，求该一次函数的解析式．
＋ 10－ m＝ 4x，得 4x2＋ (m－10) x＋4＝ 0，∴ Δ＝ (m－ 10)2－ 64＝ 0，解得 m＝2 或 18.
与面积有关的问题 【例 2】如图，在平面直角坐标系中，直线 为 C，△ AOC 的面积是 1.
y＝ mx 与双曲线 y＝ nx相交于 A(－ 1， a)， B 两点， BC ⊥x 轴，垂足
2k ＋ b＝－ 1，
k＝ 2，
1
解得
则一次
2k＋ b＝－ 4，
b＝－ 5.
函数的解析式为 y＝ 2x－ 5； (2) 设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则点 E 的坐标为 (0，－ 5)，∵点 C 的坐标为 (0 ，2)， CE
1
1
11
7
＝ 2－ (－ 5)＝ 7，∵点 A 到 y 轴的距离为 2，点 B 到 y 轴的距离为 2，∴ S△ ABC＝ S△ACE － S△BCE＝ 2× 7×－２2× 7×2＝ 7－ 4