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曲线拟合及其应用综述

摘要：本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域中的应用，然后详细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线拟合方法在柴油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并对曲线拟合方法的发展进行了思考和展望。

关键词：曲线拟合最小二乘法故障模式识别柴油机故障诊断

1背景及应用

在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关系。理论上讲，可以根据插值原则构造n 次多项式Pn(x)，使得Pn(x)在各测试点的数据正好通过实测点。可是, 在一般情况下，我们为了尽量反映实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式Pn(x)的次数很高，这不仅增大了计算量，而且影响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经过每一实测样点，这样就会保留测量误差，从而影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关系。因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被测试量之间的函数关系，使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。

曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用。

2 基本原理

2.1 曲线拟合的定义

解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。

2.2 曲线拟合的方法

解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。

2.2.1 有理论模型的曲线拟合

有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问题。通过实验或者观测得到的数据对（x i,y i）（i=1,2, …,n），可以用与背景资料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)来反映x、y之间的依赖关系，y=f(x,c)称为拟合的理论模型，式中c=c0,c1,…c n是待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的方法是最小二乘法。

2.2.1.1 线性模型的曲线拟合

线性模型中与背景资料相适应的解析表达式为：

ε

β

β+

+

=x

y

1

（1）

式中，β0，β1未知参数，ε服从N(0，σ2)。

将n个实验点分别带入表达式（1）得到：

i

i

i

x

yε

β

β+

+

=

1

（2）

式中i=1,2,…n，ε1, ε2,…, εn相互独立并且服从N(0，σ2)。

根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小：

2

1

1

)

(

i

i

n

i

i

x

y

Jε

β

β-

-

-

=∑

=

（3）

将试验点数据点入之后，求目标函数的最大值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即：

)

(

2

1

1

=

-

-

-

-

=

∂

∂∑

=

i

i

n

i

i

x

y

J

ε

β

β

β

（4）

0)(2101

1=----=∂∂∑=i i i n

i i x x y J

εβββ （5） 从而，就能唯一地确定参数β0，β1

的值，

完成了曲线的最小二乘拟合。 2.2.1.2 非线性模型的曲线拟合

非线性模型的问题一般比线性问题的处理要复杂，模型也分为两类。一类是能通过某些数学变换使待求参数以线性形式出现的，一般优先对其进行线性变换将问题转换，这种称为伪线性最小二乘问题；另一类是无法将待求参数线性化的问题，则必须采用较复杂的非线性问题处理方法。

对于第一类问题，其典型代表是多项式模型，设多项式函数为

m m x x x x f αααα++++=...)(2210 （6）

我们令x m =x m ，则解析式变为

m m x x x x f αααα++++=...)(22110 （7）

此时试验点数据为(x i1,x i2,…x im , y i )，将试验点数据代入解析式得：

im m i i i x x x x f αααα++++=...)(22110 （8） 式中i=1,2,…,n 。 此时的目标函数为

2

221101)]...([im m i i n

i i x x x y J αααα++++-=∑=（9）

为使目标函数得到最小值，需使其对各待求参数的偏导数等于零，即

0)]...([2221101

0=++++--=∂∂∑=im m i i n

i i x x x y J

ααααα0)]...([2221101

=++++--=∂∂∑=ij im m i i n i i j x x x x y J

ααααα),...,2,1(m j = （10）

由此便可求得各参数的唯一值，从而完成了曲线的最小二乘拟合。

类似的可以进行线性化的常用曲线如下表所示：

借助求解非线性方程组, 通过最优化方法求得所需参数。最常用的最优化方法有：单纯形下山法、拟牛顿法以及Marquadst 算法。另外, 遗传算法(GA )、免疫算法( IA ) 的研究也为曲线拟合中的优化问题提供了新的思路。 2.2.2 无理论模型的曲线拟合

无理论模型的曲线拟合通常用于工程当中规律性差、理论模型难以确定或者根本不需要理论模型的问题的处理。这种情况下一般采用几何方法或神经网络方法实现曲线拟合。 2.2.2.1 曲线拟合的圆弧法

圆弧拟合是一种描绘通过观测点(型值点) 的几何拟合方法。它用分段圆弧代替曲线, 并且使相邻两个圆弧有公共切线。这种方法归结为以下三种情况:

a. 已知圆O 和圆外两点A 1、A 2, 求圆P ，使它通过A 1、A 2，并且与圆O 相切(外切或内切)。

b. 已知圆O 和圆外一点A 2，求圆P,使它通过A 2，并且和圆O 切于点A 1。

c. 已知圆O 1和圆O 2, 求圆P, 使它和圆O 2相切, 且与圆O 1切于定点A 。

根据上述三种情况可以确定圆的圆心坐标、半径以及切点, 从而唯一的确定拟合曲线。

对于常规的已知实验数据点求拟合曲线问题，圆弧拟合法的示意图如图1所示。分别对试验点连线P 1P 2和P 2P 3做垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为第一段圆弧的圆心，第一段圆弧过前三个试验点，以后的每个试验点的圆弧拟合方法以第q 个