曲线拟合的应用共25页
曲线拟合PPT演示文稿
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
数据插值与拟合讲课文档
（3）三次样条插值
第十页，共25页。
2、曲线拟合的最小二乘法
给定平面上的点
进行曲线拟合有多种方法，最小二乘法是解决曲线拟合最常 用的一种方法 最小二乘法的原理是求f(x),使
达到最小 简单地说，最小二乘法准则就是使所有散点到曲线的距离平 方和最小
第十一页，共25页。
线性最小二乘法
第十六页，共25页。
例2 气旋变化情况的可视化
下表是气象学家测量得到的气象资料，它们分别表示在南半球地时 按不同纬度。不同月份的平均气旋数字．根据这些数据，绘制出气 旋分布曲面图形
第十七页，共25页。
y=5:10:85;x=1:12;
[x,y]=meshgrid(x,y); plot(x,y,'*'); pause
第十三页，共25页。
y iinetr1(p x,y,x,i'met')hod
表示采用的插值方法 MATLAB提供的插值方法有几种
：分段线性插值
' p c h ip ' ：三次Hermite插值（立方插值）
：三次分段样条插值
'nearest ' ：最近点等值方式
缺省时表示线性插值
第十四页，共25页。
第三页，共25页。
一、实例及其模型
1、船在该海域会搁浅吗 在某海域测得一些点(x，y)处的水深z（单位：英尺）由下表给 出，水深数据是在低潮时测得的．船的吃水深度为5英尺，问 在矩形区域(75,200)*(-50，150）里的哪些地方船要避免进人．
第四页，共25页。
分析 由于测量点是散乱分布的，先在平面上作出测量点的分布 图，再利用二维插值方法补充一些点的水深，然后作出海 底曲面图和等高线图，并求出水深小于5的海域范围．
第七章 曲线拟合(xin)
:
i 1
返回
前进
对于给定的一组数据(xi,yi)(i =1,2,…,n)，求一多项式(m < n)
Pm ( x) a0 a1 x am x m (6 - 1)
二、多项式拟合
使 n r 2 n (P (x ) y ) 2 i 得 i m i i 1 i 1
n i 1
返回
前进
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12
返回
前进
从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线 形关系，可用一条直线来表示两者之间的关系
解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi， 这里求误差的平方和达到最小，也就是求
(a, b) i ( y a b xi )
i xi yi
1 2 1.1
2 4 2.8
3 6 4.9
4 前进 8 7.2
常用的准则有以下三种： ri = yi yi*=yi （1）使偏差的绝对值 n ri min， ri 为向量r的1一范数 之和最小，即: 0i i
返回
例1（续）
前进 a0a1xi
（2）使偏差的最大绝对 值达到最小，即:
F (a0 , a1 ,, a m ) 为最小，即选取参数
aj(j =0,1,…,m)使得 :
n i 1
其中Φ为不超过m次多项式的集合。这就是数据的多项 式拟合，Pm(x)称为这组数据的m次拟合多项式。 与求解矛盾线性方程组的最小二乘法的方法相同，由多 n m 元函数求极值的必 F a k xik yi xij 0 2 ( j 0,1, , m) 要条件，得方程组 : a j i 1 k 0
曲线拟合和数据分析的方法和应用
曲线拟合和数据分析的方法和应用数据分析在今天的社会中变得日益重要，它是一种广泛使用于各种领域的方法和技术。
曲线拟合是数据分析中一个非常重要的过程。
它的目的是寻找一个数学模型来描述已知数据的关系。
在此基础上，分析师们便能够做出精确的预测，并利用这些预测来制定采取行动的决策。
曲线拟合的意义曲线拟合通常用于解决如下几个问题。
第一，它能帮助分析师找到影响特定数据变量的因素。
举个例子，假设一家公司正在研究他们的销售数据，并希望找到销售量的变化趋势。
曲线拟合可以帮助分析师很轻易地找到这些趋势，通常会得到一条线或者其他函数类似的数学模型，描述销售量随着时间，季节等因素的变化趋势。
其次，曲线拟合可以用来预测未来值，这是非常有用的，可以使分析师作出更好的决策。
例如，一家零售商正在考虑增加产品种类。
通过曲线拟合，他们可以预测新产品的销售量，并评估是否值得加入。
常用的拟合方法常用的曲线拟合方法包括线性回归、多项式回归、非线性回归、指数回归等。
其中最基本的方法是线性回归。
线性回归是一种基于最小二乘法的统计分析方法，它可以用于确定两个变量之间的线性关系。
它的数学原理比较简单，但它通常是在初步探索数据时最先使用的拟合方法。
多项式回归是一种广泛使用的非线性拟合方法，它可以用于描述两个或多个变量之间的非线性关系。
相比于线性回归，多项式回归可以更准确地适应比较复杂的数据拟合任务。
非线性回归是一种更加复杂的回归方法，它可以用于描述不可线性的数据关系。
它常常被用于描述生物学、化学以及工程领域的数据。
应用实例曲线拟合的应用是非常广泛的。
在医学领域，曲线拟合可以用来描述药物治疗对患者身体健康的影响，便于医生做出更精确的诊断和治疗决策。
在环境监测中，曲线拟合可以用来预测二氧化碳浓度或其他污染物质量的数量，并进而制定相关的环境保护政策。
在金融分析中，曲线拟合可以用来预测股票或股票指数的价格，帮助投资者制定投资决策。
此外，在工业生产中，曲线拟合可以用于优化工艺参数，提高生产效率。
曲线拟合-PPT精选文档
-11.2705
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049
12.62
15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
0.1017
0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566
1.6
23.8
0.4700
0.2209 566.44
4.1078 2671.63
54 50 45 37 35 25 20 16 18 13
4.双曲形式关系
6.多项式形式关系
(一) 指数关系曲线
ˆ ae y
两种形式：
y
bx
ˆ ab y
x
a >0,b>0
a >0,b<0
0
x
当a>0，b>0时，Y随x的↑而↑，曲线凹向上； 当a>0，b<0时，Y随x的↑而↓，曲线也是凹向上。
(二) 对数关系曲线
方程为:
y
ˆ y a b ln x
(五) S型曲线 • S型曲线由于其曲线形状与动、植物的生长过程的 基本特点类似，故又称生长曲线，曲线一开始时 增长较慢，而在以后的某一范围内迅速增长，达 到一定的限度后增长又缓慢下来，曲线呈拉长 的”S”，故称S曲线 • 最著名的曲线是Logistic生长曲线，它最早由比利 时数学家 P.F.Vehulst 于 1838 年导出，但直至 20 世 纪 20 年代才被生物学家及统计学家 R.Pearl 和 L.J. Reed 重新发现，并逐渐被人们所发现。目前它已 广泛应用于多领域的模拟研究。
解决办法
曲线直线化估计(Curve estimation) 非 线 性 / 曲 线 回 归 (Nonlinear/curvilinear regression)
4-曲线拟合
• 拟合直线方程中的b可写为
b
Lxy Lxx
x i yi
1 ( xi )( yi ) m 1 2 xi ( xi )2 m
•与插值法比较 ① 离散数据点含有随机误差，拟合曲线不必通过所 有数据点，（插值多项式必须通过插值节点） ② 曲线拟合处理随机变量问题，允许一个自变量对 应多个不同的函数值；
• 插值法只适用于确定性变量问题，自变量与函数 值有确定的一一对应关系。 ③ 插值法一般不能外推
• 问题：
*
y
*
* * *
x
*
*
*
* * *
• 是否可拟合成直线？ • 得到的直线方程是否可用？ ＃
• 4.1.2 线性相关系数与显著性检验
拟合的方程能否使用（反映原函数关系），必须通 过检验 •以实验观测值的平均值为基准 • 实验值yi的离差为
第四章 曲线拟合
4 曲线拟合
• 插值法适用于处理确定性变量问题，即变 量与自变量有确定的函数关系。如数据表误 差大，插值法则不适合，应该用曲线拟合。
拟合：离散数据→连续光滑曲线
• 曲线拟合应用 1. 经验建模——通过观测数据寻找相关变量之 间的数学表达式 （能否举出所学化工课程中 的这种表达式或经验模型？） 2. 参数估值——数学关系或模型可从理论导出， 模型关系式中的参数由实验数据求取（如化 工热力学中的安托因方程、化学反应工程中 的阿累尼乌斯方程等）。 • 本节讨论：最小二乘法、一元线性拟合、显 著性检验、多元线性拟合 ＃
1、曲线拟合及其应用综述;doc
曲线拟合及其应用综述摘要：本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域中的应用，然后详细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线拟合方法在柴油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并对曲线拟合方法的发展进行了思考和展望。
关键词：曲线拟合最小二乘法故障模式识别柴油机故障诊断1背景及应用在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关系。
理论上讲，可以根据插值原则构造n 次多项式Pn(x)，使得Pn(x)在各测试点的数据正好通过实测点。
可是, 在一般情况下，我们为了尽量反映实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式Pn(x)的次数很高，这不仅增大了计算量，而且影响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经过每一实测样点，这样就会保留测量误差，从而影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关系。
因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被测试量之间的函数关系，使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。
曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用。
2 基本原理2.1 曲线拟合的定义解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。
2.2 曲线拟合的方法解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。
2.2.1 有理论模型的曲线拟合有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问题。
曲线拟合最小二乘法ppt课件
这里
1( x), ,l ( x)
是线性无关函数系，
为待定常数.
i (i 1, 2, , l)
9
在例1中，设函数
1( x) 1, 2( x) x, 3( x) x2
误 n,
我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，
m
2 i
m
[s * ( xi )
f ( xi )]2
i0
i0
m
min
s( x)
[s(
i0
xi
)
f ( xi )]2.
11
（1）直线拟合
设已知数据点 xi , yi , i 1,2,, m ,分布大致为一
条直线。作拟合直线 y(x) a0 a1x ,该直线不是通
的方法称为曲线拟称合为“，残f(差x)”
1
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x) y=f(x)
插值
2
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又 不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性, 使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种 方法度量达到最小。
解得 a0 0.562302 , a1 0.772282
由 a0 ln a 得 a ea0 e0.562302 1.754708,
23
由a1 b 得 b a1 0.772282
于是得到拟合指数函数为 y 1.754708 e0.772282x
（4）超定方程组的最小二乘解
曲线拟合的应用
曲线拟合的应用摘要：在实际问题中，常常会从一组数据中筛选出对自己有用的部分，这样的问题可转化为寻找一种函数曲线去拟合这些数据，在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用最广泛的是曲线拟合。
它不但可以提高数据处理效率，而且还能保证相当的精确度。
关键词：曲线拟合，最小二乘法，应用1.直线拟合直线拟合数据点(,)(1,2,)i i x y i n =的最小二乘法，即找一个一次函数y Ax B =+，使二元函数21(,)()ni i i E A B Ax B y ==+-∑达到最小。
由多元函数取得极值的必要条件知，由方程组：11(,)2()0(,)2()10ni i i i ni ii E A B x y x AE A B x y B==∂⎧=+-⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-⋅=⎪∂⎩∑∑ 化简可得正规方程组：211111()()()n n n i i i i i i i n ni i i i A x B x x y A x nB y=====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ （1-1）由方程组（1-1）解出,A B ，即得一次函数y Ax B =+为所求的拟合直线.2.幂函数拟合在某些情况下的拟合函数My Ax =，其中M 是一个已知常数 设}{1(,)ni i i x y =有n 个点，最小二乘幂函数拟合曲线My Ax =，求函数()E A 的最小值？21()()nMii i E A Axy ==-∑对上式求关于A 的导数： 1()2()()nM M ii i i E A Axy x ='=-⋅∑令导数等于0，化简得： 211()()0nn MM ii i i i A xx y ==-=∑∑121()nMii i n Mii xy A x===∑∑即：My Ax =为所求的拟合曲线。
3.指数拟合3.1 求解Ax y Ce =的非线性最小二乘法设给定一组点集(,)(1,2,)i i x y i n =，需要拟合指数曲线采用非线性最小二乘法求下式的最小值： 21(,)()inAx i i E A C Cey ==-∑（3.1-1） 对上式分别求关于的偏导数，并令导数等于011(,)2()()0(,)2()()0i ii i n Ax Ax i i i nAx Ax ii E A C Ce y Ce x AE A C Ce y e C ==∂⎧=-⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=-⋅=⎪∂⎩∑∑ （3.1-2） 化简可得正规方程组：211211()()0()()0i ii i n n Ax Ax i i i i i n nAx Ax i i i C x e x y e C e y e ====⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∑∑∑∑ （3.1-3） 方程（3.1-3）对于未知数A 和C 是线性的，可用牛顿法求解。
第三章(曲线拟合)
y1 y0 a x1 x0 y1 y0 b y0 x0 x1 x0
第4章 插值法
代入式(4―3)得
y1 y0 P ( x1 x0 ) 1 ( x ) y0 x1 x0
《 计 算 方 法 》
(4―4)
图 4.1
第4章 插值法
A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x),见图
4.2。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
图 4.2
第4章 插值法
§3 代数多项式插值的存在唯一性
《 计 算 方 法 》
线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。对 于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次的代数 多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (4―9)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 计 算 方 法 》
(4―6) (4―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(4―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
第4章 插值法
10 9
《 计 算 方 法 》
§ 曲 线 拟 合 法
§ 数 值 微 分
§
8
§ 7 牛 顿 前 差 和 后 差 插 值 多 项 式
§ 6 牛 顿 均 差 插 值 多 项 式
§
5
§ 4 代 数 多 项 式 的 余 项
§ 3 代 数 多 项 式 插 值 的 存 在 唯 一 性
先进曲线拟合方法及其应用
先进曲线拟合方法及其应用曲线拟合是数据处理中常见的一种方法，它的目的是找到一条曲线，使其能够最好地刻画数据的特征。
曲线拟合在科学研究、工程设计、经济分析等领域都有着广泛的应用。
近年来，随着计算机技术和数学算法的不断发展，曲线拟合方法得到了许多新的突破，其中先进曲线拟合方法成为了研究的热点之一。
一、先进曲线拟合方法的概念先进曲线拟合方法是指利用机器学习、深度学习等技术，构建更具有灵活性和通用性的曲线拟合模型。
相较于传统的曲线拟合方法，先进曲线拟合方法具有以下优势：1. 支持非线性拟合，能够更好地刻画数据的复杂特征。
2. 可以自适应地调整模型参数，提高拟合效果。
3. 可以处理高维、大数据量的数据集，应用范围更广泛。
二、先进曲线拟合方法的模型目前，主要的先进曲线拟合方法有神经网络、支持向量机、决策树等。
其中，神经网络作为一种非线性映射模型，可以学习并建立输入和输出之间的复杂映射关系，因此特别适用于非线性曲线拟合。
支持向量机作为一种分类和回归的方法，同样具有较强的非线性拟合能力。
决策树则是一种树形结构的分类和回归模型，在建立模型时可以随时剪枝，避免过拟合现象。
三、先进曲线拟合方法的应用1. 图像处理先进曲线拟合方法在图像处理中有着广泛的应用。
例如，可以利用神经网络模型对图像中的边缘进行曲线拟合，达到图像去噪、分割的效果。
2. 生物医学生物医学领域中的数据往往复杂多变，具有高维度和非线性特点，因此先进曲线拟合方法尤其适用。
例如，可以利用支持向量机模型对医学图像中的肿瘤进行拟合，实现肿瘤分析和诊断。
3. 金融分析金融数据往往具有长期依赖性和波动性，传统方法对它们的拟合效果较差。
而先进曲线拟合方法则能够建立更为准确的金融模型，预测股票、汇率等市场走势。
四、先进曲线拟合方法的挑战1. 模型的解释性较差先进曲线拟合方法往往由多个层级组成，其中包含大量的参数，因此难以解释其内部的工作原理。
2. 数据准备的工作难度较高先进曲线拟合方法需要大量的数据来训练模型，但是数据的质量和准备成本都比较高。
第六讲曲线拟合
第六讲 曲线拟合与插值
在生产和科学实验中，自变量 与因变量 与因变量y之间的函 在生产和科学实验中，自变量x与因变量 之间的函 数关系式有时不能直接写出表达式， 数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在 若干个点的函数值或导数值. 若干个点的函数值或导数值 当要求知道观测点之外的 函数值时，需要估计函数在该点的数值. 函数值时，需要估计函数在该点的数值 这就要根据观 测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在 测点的值，构造一个比较简单的函数 ， 观测点的值等于已知的数值或导数值， 观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数 φ(x)，办法是很多的 ，办法是很多的. 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法： 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法： 测量值是准确的，没有误差，一般用插值. ① 测量值是准确的，没有误差，一般用插值 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合. ② 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合 一. 曲线拟合
上述函数的拟合效果如何？ 上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差 平方和的大小进行考察（两种方法）： 平方和的大小进行考察（两种方法）： (1)sum((2.7937*x-0.154*ones(1,6)-y).^2)=0.9136 (2)sum((polyval(p,x)-y).^2) )=0.9136 如果用二次函数进行拟合，则有： 如果用二次函数进行拟合，则有： p=polyfit(x,y,2) p = 0.5614 0.8287 1.1560 即拟合函数为： 即拟合函数为：y = 0.5614x 2 + 0.8287x + 1.156 此时误差平方和为： 此时误差平方和为： sum((polyval(p,x)-y).^2) =0.1781 根据误差平方和最小原则： 根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数 是否有误差等于零的多项式？ 是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点 的插值多项式（五次多项归模型
第五章曲线拟合PPT课件
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
f1(x2) f2(x2)
f1(x3) f2(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
多项式拟合
使用函数集合{fj(x)=xj-1}, j=1,…, M+1作线性最小 二乘，则得到的拟合函数f(x)为M阶多项式 f(x)=c1+c2x+c3x2+…+cM+1xM
使用最小二乘多项式拟合非线性数据的方法简单有 效，但如果数据不具有多项式特性，则求出的曲线可 能产生大的振荡。这种现象称为多项式摆动，它在高 阶多项式情况下更容易发生。由于这个原因，一般很 少使用超过6阶的多项式，除非已知被拟合的曲线是 真实的多项式。
几何意义是：数据点到曲线的垂直距离平方和最小
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
最小二乘拟合直线
定理5.1 设{(xk, yk)}kN1有N个点，其中横坐标{xk}是
《曲线拟合》PPT课件
Curve fitting
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒 物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等， 都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至 得出错误结论。
此时可以用曲线直线化估计（Curve estimation） 或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。
散点图辨析
预后指数Y
60 50 40 30 20 10
0 0
对数曲线 指数曲线
10 20 30 40 50 60 70 病人住院天数X
如果条件允许最好采用非线性回 归（Nonlinear Regression）拟合幂 函数曲线与指数函数曲线
注意绘制散点图，并结合专业知 识解释
采用SAS进行曲线拟合
①幂函数： Yˆ ea X b 或 ln(Yˆ) a bln(X )
②对数：
Yˆ a bln(X )
③指数函数： Yˆ eabX
或 ln(Yˆ) a bX
④多项式： Yˆ a b1X b2 X 2 bn X n
⑤logistic：
Yˆ
1/(1
eabX
)
或
ln[
Yˆ
/(1
Yˆ)]
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049 11.1860 -12.8898
Yˆ
7.23 12.62 15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
23.40
残差平方
0.1380 0.1017 0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566 0.1597
(lnX)2 Y2
2.5902 57.76 0.8396 151.29 0.2609 246.49 0.0498 331.24 0.0000 349.69 0.0332 457.96 0.1132 510.76 0.2209 566.44 4.1078 2671.63
曲线拟合算法及其应用
曲线拟合算法及其应用曲线拟合算法是一种数学方法，通常被用来在给定一些数据点的情况下，通过一条或多条曲线来尽量准确地描述数据的走势。
这种算法在多个领域都有着广泛应用，包括但不限于信号处理、图像处理、金融、医疗等。
一、常用的曲线拟合算法曲线拟合算法的种类繁多，经典的有线性回归、多项式拟合、三次样条、最小二乘法等。
这些算法各有优缺点，适用于不同类型的数据和应用场景。
下面简要介绍几种常用的算法。
1. 线性回归线性回归是一种用来拟合线性关系的方法。
它的主要思路是找到一个满足误差最小的直线使其能够最精确地拟合给定的数据点。
常见的线性回归算法有最小二乘法、梯度下降、正则化等。
线性回归算法具有简单易懂、计算快速等优点，适用于线性问题的处理。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种利用多项式函数来逼近数据的方法。
它的原理是通过将数据点连接起来来形成一条平滑的曲线，从而达到拟合的目的。
多项式拟合可以更准确地逼近复杂的数据模型，但是需要选择合适的多项式阶数来避免过拟合和欠拟合的问题。
3. 三次样条三次样条是一种连续性更高、平滑度更好的算法。
它的主要原理是将拟合函数表示为多段三次函数的形式，在数据点之间进行平滑的过渡，实现曲线拟合的效果。
三次样条算法比多项式拟合更加精确，但是计算复杂度较高。
二、曲线拟合算法的应用曲线拟合算法广泛应用于图像处理、金融、医疗、地球物理等领域。
1. 图像处理图像处理是应用曲线拟合算法最为广泛的领域之一。
在图像处理中，曲线拟合算法可以用来提取图像中的特征，如人脸识别、目标检测等。
2. 金融曲线拟合算法在金融领域的应用较多。
比如，可以利用曲线拟合算法来预测股票价格走势、利率走势等。
曲线拟合算法对大量的数据的建模能力强，可以帮助金融从业者做出更好的决策。
3. 医疗曲线拟合算法在医疗领域的应用主要体现在疾病预测方面。
通过对患者历史数据的拟合，可以得到更为准确的疾病预测结果，有利于医生制定更加科学的治疗方案。
第五讲 曲线拟合
k 0, 1, 2, , n
函数逼近就是从整体上使误差尽量的小一些
如引例中就是用一条直线（一次多项式）从整体上逼近弹簧受 力与伸长量之间的函数关系（并不要求这条直线经过所有结点， 事实上也没有这样的直线能够实现这一点。）
§1 离散最小二乘的曲线拟合问题
f(x)为定义在区间[a,b]上的连续函数， xi
第五讲 曲线拟合与函数逼近
引例：Hooker定律 设F表示弹簧受力，x表示弹簧伸长量；经过试验得到下 面的一组数据，试确定弹簧受力与伸长量的关系
x(cm)
1
2 3.9
4
7
9
12
13
15
17
F ( kg) 1.5
6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1
25
20
15
F
10 5
30
0 0 2 4 6 8 x 10 12 14 16 18
25
20
15
F
10
5
0
0
2
4
6
8 x
10
12
14
16
18
给出一组离散点，确定一个简单函数近似原函数，多项式 插值提供了一种处理手段。
然而，在实际问题中，给出的结点处的离散数据或多或少的 都带有误差，插值要求多项式严格通过这些插值结点，无形 之中就将这些点处的误差保留下来； 尤其是当结点数目较多时，误差可能累积起来，从而对最终 近似效果产生较大影响（这正是高次插值产生Runge现象的 一个主要原因）； 此外，即便给出的结点处的离散数据较为精确，但由于插值 条件的限制，也导致多项式插值仅仅在处理结点附近的函数 值近似问题时较为有效，即插值的局部近似效果好，整体逼 近效果差。
曲线拟合法讲解
最小二乘法的求解
若任意函数h( x)和g ( x)，引入记号：
m
(h, g )
h( xi ) g ( xi ),
i 1
则上述方程可以描述为(法方程)：
n
( j , k )ak ( f , k ) j 0
式中：
n
( j ,k )
i j ( xi )k ( xi )
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
x xi ,i 0,1, , n 的函数值 f (x) ，或计算函数的一阶、
二阶导数值。
5
曲线拟合问题的提出 曲线拟合的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始终假设数据点是精确的，准确 的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个数据点。
y
i
xi
y i
解得a0 , b0即可
例题
下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。
例 电流通过 2Ω 电阻，用伏安法侧得的电压电流如 表
I(A) 1 2 4 6 8 10 V(V) 1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2 用最小二乘法处理数据。
解 1.确定 V=(I)的形式。将数据点描绘在坐标上（如 下图），可以看出这些点在一条直线的附近，故用线
( x),
0
( x),...
1
( x) 线性无关时存, 在唯一解
n
i (i 0,1,..,. n)
n
ai
( x)就是所求的拟合函数
i