武汉理工大学大学物理 第06,07讲 刚体资料

固定转轴：转轴不随时间变化 —— 刚体定轴转动 瞬时转轴：转轴随时间变化 —— 一般转动
进动[旋进]
3.刚体的一般运动
刚体的一般运动 = 平动 + 转动
在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为质心 的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心轴的 转动（应用刚体转动定律）。
例如，一个车轮的滚动，可以 分解为车轮随着转轴的平动和 整个车轮绕转轴的转动。
即 比较平动动能
Ek
1 2
I 2
Ek
1 mv2 2
3.转动惯量
r要与运动的速度方向垂直！
转动惯量定义为： I r 2dm m
O
质量连续分布 I r 2dm
质量离散分布 I miri2
i
单质点 I mr 2
dm ─质量元 r ─ dm到转轴的距离 mi ─第 i 个质点的质量 ri ─ m到i 转轴的距离
例题6 ：
质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴 的转动惯量。
解：在球面取一圆环带，
半径 r Rsin
dm
m
4 R2
2
rRd
R sin
d
I r2dm
Leabharlann Baidu
2
2 mR2 sin3 d
2 mR2
0
3
例题7 ：
球壳： I 2 mR2 3
质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的 转动惯量。
OR dm
例题4 ：
圆环：I mR2
求质量为m 、半径为R 均匀圆盘的转动惯量。 轴与盘平面垂直并通过盘心。
解： 这样的一个圆盘可以视 为半径不等的有宽度的 圆环拼接而成。
任取其中一环 dm 2 rdr
利用圆环的转动惯量结果
dI r2dm 2 r3dr
I
dI
R
2
r 3dr
1
O dm
B
xL
x
A
O
B
I1
L x2dx mL2 / 3
0
L/2
L/2 x
L
I2
2 L
x2dx
mL2
/
12
2
I1 I2
例题3 ：
I r 2dm
求质量为m 、半径为R 的均匀圆环的转动惯 量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解： 取质量元
dm dx
I R2dm R2 dm
mR2
R4
0
m
R2
2
dr r
R
I 1 mR2 2
例题5 ：
内半径为 R1 外半径为 R2 质量为 m 的匀质 中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。
解：dm 2 rdr
m (R22
R12
)
2
rdr
I
m
R2
r 2 2 rdr
(R22 R12 ) R1
1 2
m ( R22
R12 )
R1 R2
r dr
在平动过程中，刚体中所有质点的位移都是相同的。 在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都相同。
因此，平动过程中可以选取刚体上任一点的运动来 代表刚体的运动。
2.转动 如果刚体上所有各点绕同一直 线（转轴）作圆周运动，则称 为刚体的转动。
转动时，轴外各点在 同一时间间隔内走过 的弧长虽然不一样， 但角位移全同。
刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作 用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。 即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体。
刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的 形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。
一 刚体的运动
1.平动
固联在刚体上的任一条直 线，在各个时刻的位置始 终保持彼此平行的运动， 叫做刚体的平动。
质点m的运动方向 不同，相对于O的转 动惯量不同
例题1 ：
如图套两个质点的细杆长l ， 杆绕空端转动， 分析整个系统绕 o 点的转动惯量。将两质点换 位再作计算。
解：由 I miri2
i
I1
2m( l )2 2
ml 2
3 2
ml 2
o
2m m
I2
m( l )2 2
2ml 2
9 ml2 4
o
m
受一切外力的矢量和。
二、描述刚体动力学状态的物理量
1.刚体对定轴的角动量
基本思想∶刚体中的每一质点都遵守牛顿定律
取质量元∶ dm
dL (dm) r2
对于定轴转动的刚体，它的角 动量可以看作是所有质点对转 轴的角动量的代数和（因为每 个质点对转轴的角动量方向相 同）。
L r2dm ( r2dm) I
第6章 刚体定轴转动
Rigid Body Rotation about Fixed Axis
6.1 刚体的定轴转动 6.2 刚体定轴转动规律 6.3 刚体定轴转动的角动量及其
守恒定律
6.1 刚体的定轴转动
质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是 有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂 的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点 的情况是不够的。
解： 把球体看作无数个同心薄球壳的组合
dm
4
m
R3
4
r
2dr
3m R3
r 2dr
3
I dI
2 3
dm
r
2
dr
r
M
R
2m R3
R 0
r 4dr
2 5
mR2
6.2 刚体定轴转动规律
一 刚体定轴转动的动能定理
1. 力矩的功 考察Fi对刚体的元功dAi
dAi Fi dr Fi Fni dr Fni dr Fi dr Fi dr
2m
结论： I2 I1 质量分布影响转动惯量。
讨论
I r 2dm
影响转动惯量的因素
• I 与刚体的质量分布有关 • I 与转轴的位置有关
因为质量分布是对转轴而言的，上例也可看作质 心离转轴越远转动惯量越大。
• 形状和转轴确定后，I与刚体的
Al
质量有关
Fe
dm的取值： 线分布 面分布 体分布
dm dl
dm σds dm ρdV
、、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体 才能用积分计算出刚体的转动惯量。
例题2 ：
I r 2dm
求长为L、质量为 m 的均匀细棒对端点轴和中 垂轴的转动惯量。
解： 取如图坐标 取质量元
dm dx
试比较：
p mv
v
r dm
刚体的角动量及角速 度都是对固定轴的， 因此对刚体只用标量 表示这些量即可。
2.刚体转动动能
动能∶
dEk
1 dmv2
2
1 dm (r)2
2
所有质点的动能之和就是该刚体的动能。
Ek
dEk
1 2r 2dm 1 ( r 2dm) 2
2
2
积分量dm是对空间坐标进行的，而ω是时间的函数。
4. 质心运动定理----[了解]
质心: 质量中心，指物质系统上
被认为质量集中于此的一个假
rc
想点.
质心的位置：
质点系：
rc
mi ri mi
质量连续分布：
rc
rdm dm
线 dm dl
面 dm ds 体 dm dv
质心运动定理
F
mac
m
d 2rc dt 2
质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所