循环群,子群

(a k )m1 a km1 a dk1m1 a mk1 (a m )k1 e
(a k )m1 e ,即
其次,设(ak)n=e,则akn=e.于是由性质1,m|kn，从而m1|k1n, 但(m1,k1)=1,故m1|n,因此, ak的阶是m1,所以|ak|= m1=m/(k,m).



（2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中，[1]是单位元，显然 |[1]|=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，|[2]|=4,同理知 |[3]|=4,|[4]|=2。 例2 加法群<Z5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中，[0]是单位 元，
一、循环群


研究一个对象可粗略地分为两种方法：一种方法是研究此 对象的内部关系，另一种是把此对象放在其它对象的相互 联系中去研究。当我们对一个群“孤立地”去研究时，掌 握这个群的一个好的生成元（生成元集）常是非常有帮助 的，循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。循环 群是所有群中最简单的一种群。它的结构到目前为止是可 以完全刻划清楚的。 本讲中，我们要了解这类群的特点，从本质上领会“循环 群已经完全弄清楚了”的含义。先看下面的例子.
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二、群中元素的阶



前面已介绍了群的阶：|G|=G中所含元素的个数。下面利 用单位元e，引入另一个新概念。 1．阶的定义与计算 （1）定义 设G为群，而aG. 如果有整数k，使ak=e，那么使这个等 式成立的最小正整数m叫做G的阶，记为|a|=m.如果这样 的m不存在，则称a的阶是无限的，记为|a|=+∞。

性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2. g n m m ng a m a ng a n e g e. “” 性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为 任意整数． 证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有
例2 模 n 剩余类加群 Z n {[0], [1], [2], , [n 1]} 中的运算是
“钟表加法” ，易知 Z n 中每个元素 [m] 都是 [1] 的倍数:
[m] [1] [1] [1] m [1]
m

上述两例都表明了同一个问题：群中有一个特殊的元素， 使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数。（因为是加法 群，所以用倍数 . 如果是乘法群，则应是方幂）。于是， 下面有了循环群的定义（下面通常用乘法群为例）。




性质10 设群G中元素a的阶是m，b的阶是n,则当ab=ba且 (m,n)=1时,|ab|=m。 证明 首先，由于|a|=m,|b|=n,ab=ba,则 (ab)mn=(am)n(bn)m=e; 其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则 (ab) sm=(am)sbsm=bsm=e, 但|b|=n,则n|sm. 又因为(m,n)=1,所以n|s. 同理可得m|s,再根据(m,n)=1,故mn|s,从而|ab|=mn. 说明 值得注意的是:当元素a与b不满足定理中的假设条件 时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的 阶来作出判断。
例 1 整数加群 Z {n | n Z} {,3,2,1,0,1,2,3,} 中，每 个元素都是 1的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个 例1 整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此 词） 。
群是加法运算，所以用“倍数”这个词）。事 事实上， 0 是 1 的零倍： 0 0 1 ；正数 m 是 1 的 m 的倍： 实上，是的零倍： m m 1，负数 m 是 1的 m 倍: m (m) 1 。 ；正数是的的倍：，负数是的倍:。
说明 若有[m,n]的约数h,使[m,n]=hk，则可得 |ck|=h，于是结论（3）又可以改为： 对[m,n]的任一正因数h,G中有阶是h的元素。 a m x G . x m 性质9 群的元素和它的逆元有相同的阶. 证明 设群G的元素a与a-1的阶分别为m,n， 由于a m=e，于是 (a-1)m= (am)-1 =e-1=e， 由性质l，n|m，而 an=[(a-1)-1]n= [(a-1) n]-1 =e-1=e， 于是m|n，因此，m=n。
也易知, 2 是双射 . 而且
1 ( a i a j ) 1 ( a i j ) i j 1 ( a i ) 2 ( a j )
2 (a i a j ) 2 (a i j ) [i j ] [i] [ j ] 2 (a i ) 2 (a j )

(a i a j ) 2 (a i ) 2 (a j ) . 即 G Z n .
注意 用代数同构观点， 循环群只有两个： 一个是整数加群 Z ； 一个是模 n 的剩余类加群 Z n 。
3．循环群的生成元
（1）无限循环群的生成元 当时，自然是的生成元，但除了外,其实也是的生成元。即 当 G (a) {, a 3 , a 2 , a 1 , e, a, a 2 , a 3 ,} 时， a 自然是 G 的 无限循环群中只有两个不同的生成元和。 证明 因为 1
第十一讲

循环群、子群
课时安排 约2课时 教学内容 1．循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果 （i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成 元； 2．子群包括的三层意思、子群的判定方法和构造群的 子群的方法； 3．循环群的阶与生成元的阶的关系； 4．两类循环群的本质区别及各自的同构象； 5．循环群中元素之间的联系和性质； 6．子群的构成判断和彼此等价的判断条件； 7．有限群的判断定理； 8．子群（集）的乘积和生成子群的概念； 9．循环群的子群所具有的特性。


教学重点 1．G=<a>的定义，利用G=(a)的定义，证明有关的定 理和命题； 2．子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一 个非空集组成子群的充要条件； 3．循环群的结构定理、循环群的子群的性质；子群之 积的性质。 教学难点 1． G=(a)的构选问题，利用G=(a)的定义证明<i>若a为 无限阶的，则（a）≌{Z,+}；<ii>若a的阶为n，则（a） ≌{Zn，+}； 2．作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定 方法； 3．循环群的生成元个数（谁有资格作为生成元）和循 环群的子群的性质和子群的生成元问题。 4．循环群的子群的性质；子群之积的性质。


教学要求 1．理解循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的 结果（i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的 生成元； 2．理解子群包括三层意思，理解子群的判定方法和构 造群的子群的方法； 3．掌握循环群的阶与生成元的阶的关系； 4．掌握两类循环群的本质区别及各自的同构象； 5．掌握循环群中元素之间的联系和性质。 6．掌握有限群的判断定理； 7．理解子群（集）的乘积和生成子群的概念； 8．掌握循环群的子群所具有的特性。 教学手段与方法 1．手段：黑板板书与多媒体演示相结合； 2．方法：讲授为主，互动为辅，两者相结合。

1．循环群的概念
设是一个(乘法)群,而中有一个元素，使中每个元 设 G 是一个(乘法)群,而 G 中有一个元素 a ，使 G 中每个元素 素都的乘方 .G {a那么称为循环群 .叫做的生成 都 a 的乘方 . 即 即. m | m Z } . 那么称 G 为循环群 . a 叫做 G 元，习惯上记为. 也就是说，是由生成元生成 的生成元，习惯上记为 G (a) . 也就是说， G 是由生成元 a 生成 的。


来自百度文库
（2）结合律显然成立（因为复数集C中满足结合律）. （3）0=1是G中的单位元. （4）0的逆元是0，1与2互为逆元. 所以< G , >为一个乘法群。不仅如此，我们还知：
○
0 1, 1 2 3。


例6 在非零有理数乘群Q*中，1的阶是1，-l的阶是2，其 余元素的阶均无限． 例7 在4次单位根群G={1, -1, i, -i}中,1的阶是l，-l的阶是 2，i与-i的阶都是4．
的。
由定义 1 可知，例 1 和例 2 都是循环群，并且按习惯记为
Z (1) 和 Z n ([1]) 。其中， 1和 [1] 分别是 Z 和 Z n 的生成元。

我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：
定理 2
设 G (a) 是由生成元 a 生成的循环群。 如果 | a | ，

生成元，但除了 a 外, a 其实也是 G 的生成元。即无限循环群 G
中只有两个不同的生成元 a 和 a 1 。
那么 G Z . 如果 | a | n ，那么 G Z n 。
定理2 证明 (1)当时 | a | ，作 1 : G Z , 1 (a i ) i .由上述的对 设是由生成元生成的循环群。如果，那么. 如果， 那么。 应关系易知, 1 是双射. 而 证明 (1)当时，作.由上述的对应关系易知,是双射.而 （2）当时，作,，由上述对应关系也易知,是双射 . 而且 i j i j . 即. 1 ( a a ) 1 ( a ) 1 ( a ) G Z 注意 用代数同构观点，循环群只有两个：一个是整数加 群；一个是模的剩余类加群。 2 (a i ) [i] ，由上述对应关系 （2）当 | a | n 时，作 2 : G Z n ,
[0] 1, [1] 5, [2] 5, [3] 5, [4] 5


例3 加法群<Z,+ >中，0是单位元。|0|=1，而其它元素 a,|a|=+∞。 例4 乘法群< R* , >中，1是单位元，|1|=1,|-1|=2，而 其它元素的阶都是无限。

说明 加法群<G,+ >中，元素的阶的定义自然需做相应的 变化： 设aG ，能够使ma=0的最小正整数m叫做a的阶，若这样 的m不存在，则称a的阶是无限的，a的阶仍记为|a|。

例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而 G中的代数运算“ ”是通常的乘法，那么< G , >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
○ ○
1 3 1 3 0 1, 1 ,2 . 2 2

证 事实上
3 3 （1） i , j G, ( i j )3 i j 11 1 i j G.
2．群中元素的阶的性质 性质1 设G是群，那么aG，若存在mZ+，使a m=e |a| m（可知a的阶是有限的）。 证明 由于a m=e ，这本身说明|a|<+∞，令|a|=k， 若k > m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k m 。 性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n <+∞, 且 n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者 0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾 （∵r<n）； r=0m=ngn|m.