第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数
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习题
1. (1) 若A 2
= E ，证明A 的特征值为1或-1;
(2) 若A 2
= A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2
2A E A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1
（2）
2222
2
,,()0,001
A A A X A X AX X X
X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或
2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明
1,1
T T T A A A E A A A A A λλλλ
-=∴==±设是正交阵，故有与有相同的特征值，
1
故设的特征值是，有=，即
3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解
A 设是数量阵，则
000000000000a a
A aE a a
a E A a
λλλλ⎛⎫
⎪
⎪== ⎪
⎪⎝⎭
---=
-L L L L L
L
L
L L L L L
所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T
+ k n (0,0,…,1)T
，(k 1, k 2, …, k n 不全为0)
4．求下列矩阵的特征值与特征向量.
（1）113012002-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
（2）324202423⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（3）⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---122212
221 （4）212533102-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
()1112221211(5) , , (0,0)0.T T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====≠≠= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
L M M M 其中，且 解（1）
11
3
0120,1,2,00
2A E AX λλλ
λλλλ
---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得
A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T
，(k ≠0)
A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T
，(k ≠0)
解（2）
131323249490492222024
234
2
312
349(1)(1)(8)
2
A E r r c c λ
λλλλλλλλλλ
λλ
λλλλλλλ
-------=
-+-----+---+=-+--按第一列展开
231,8λλλ==-=1求得特征值：
将其代入()A E X λ-=0，求得特征向量：
1211211001X k k λ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=-=+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
时，，12,k k 不全为零
11
821X k λ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
时， 0k ≠
解（3）
12312312
2111111212212(1)21222
12
2
12
2
1011
(1)112(1)(1)(3)0
211,1,3
A E r r r λλλλλλ
λλλλ
λ
λ
λλλλλλλ
λλλ-----=--++--=------------=-+--=-+-+--==-=解得：
代入()A E X λ+=0，求得特征向量：
A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,-1,0)T
，(k ≠0)；A 属于特征值1的全部特征向量
为k(1,-1,1)T
，(k ≠0)；A 属于特征值3的全部特征向量为k(0,1,-1)T
，(k ≠0)
解（4）
32
23
212212533503751
21
2(1)[21](1)r r λλλλλλ
λ
λλλλ------⨯+----------=+---=-+直接展开：
特征值为-1，-1，-1；A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1)T
，(k ≠0)
解（5）
()11112122122
21212
n n n n n n n n a a b a b a b a
a b a b a b A b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
L L L
M L L L
设λ为A 的任一特征值，A 的属于λ的特征向量为：ξ，则 A ξλξ= 于是 2
2
A A ξλξλξ== 而2
()()0T
T
T
T
T
T
T A αβαβαβαβααββ====
故 2λξ=0，因为特征向量0ξ≠，所以 0λ=，即矩阵A 的所有特征值为0.
1112
11112
12122221
22211
21
2120,000000
0n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A E a b a b a b a b a b a b a b b b b λλλλ-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪
-=≠≠ ⎪ ⎪
⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
L
L
L L
u u
u u u u u u u u u u u r L L L L L L
L u u u u u u u u u u u u u r M L L
1初等行变换
解得基础解系：
3211112n-1100,,010001n b b b b b b ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L M M M