2018年四川省高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅲ)
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总计
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
根据 中的列联表，计算
，
∴能有 的把握认为两种生产方式的效率有差异．
19.
【答案】
证明：矩形 所在平面与半圆弦 所在平面垂直，
所以 半圆弦 所在平面，
半圆弦 所在平面，
∴ ，
是 上异于 ， 的点．
∴ ， ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ；
解：存在 是 的中点，
C
【考点】
解三角形
三角形求面积
余弦定理
三角函数值的符号
【解析】
推导出 ，从而 ，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ,
的面积为 ，
∴ ,
∴ .
∵ ，
∴ ．
故选 ．
12.
【答案】
B
【考点】
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
本题主要考查球与三棱锥的切接问题及三棱锥的体积的最值问题．
A. B.
C. D.
4.若 ，则
A. B. C. D.
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为 ，既用现金支付也用非现金支付的概率为 ，则不用现金支付的概率为( )
A. B. C. D.
6.函数 的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7.下列函数中，其图像与函数 的图象关于直线 对称的是( )
A. B. C. D.
则最合适的抽样方法是分层抽样．
故答案为：分层抽样．
15.
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过 时， 最大．
【解答】
画出变量 ， 满足约束条件 表示的平面区域如图：由 解得 ．
＝ 变形为 ＝ ，作出目标函数对应的直线，
当直线过 时，直线的纵截距最小， 最大，
利用向量坐标运算法则求出 ，再由向量平行的性质能求出 的值．
【解答】
∵向量 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
14.
【答案】
分层抽样
【考点】
分层抽样方法
收集数据的方法
【解析】
利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解．
【解答】
解：某公司有大量客户，因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，
17.
【答案】
解： ∵在等比数列 中， ， ．
∴ ，
解得 .
当 时， ;
当 时， .
∴ 的通项公式为： ，或 ．
记 为 的前 项和．
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，无解；
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，
解得： ．
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 ，由此能求出 的通项公式．
8.直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是
A. B. C. D.
9.函数 的图象大致为（）
A. B.
C. D.
10.已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为（）
A. B. C. D.
11. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 的面积为 ，则
A. B. C. D.
当 ， 时， ，由 ，得 ， ，无解；当 ， 时， ，由此能求出 ．
【解答】
解： ∵在等比数列 中， ， ．
∴ ，
解得 .
当 时， ;
当 时， .
∴ 的通项公式为： ，或 ．
记 为 的前 项和．
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，无解；
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，
解得： ．
18.
【答案】
解： 根据茎叶图中的数据知，
最大值为 ，
16.
【答案】
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．
【解答】
解：函数
满足 ，
所以 是奇函数．
函数 ， ，
可得 ，可得 ，
则 ．
故答案为： ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
12.设 ， ， ， 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量 ， ， ．若 ，则 ＝________．
14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
【解答】
解： 根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在 之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在 之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
这 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是 和 ，计算它们的中位数为 ；
由此填写列联表如下；
超过
不超过
【解答】
解：首先根据函数 的图象，
可以判断出函数 的图象与 的图象关于 轴对称．
由于函数 的图象关于直线 对称，
则把函数 的图象向右平移 个单位即可得到： ．
即所求得解析式为： ．
故选 ．
8.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
圆的综合应用
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
求 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
根据 中的列联表，能否有 的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ，
19.如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
求 的通项公式；
记 为 的前 项和．若 ，求 ．
18.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 名工人，将他们随机分成两组，每组 人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位： ）绘制了如下茎叶图：
2018年四川省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.
A. B. C. D.
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
于是 .
由题Baidu Nhomakorabea得 ，
故 .
（2）由题意得 .
设 ，
则 .
由（1）及题设得 ，
.
又点 在 上，
所以 ，
从而 ， .
于是 .
同理 .
所以 .
故 .
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
椭圆中的平面几何问题
直线与椭圆的位置关系
【解答】
解：
．
故选 ．
3.
【答案】
A
【考点】
简单空间图形的三视图
【解析】
直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】
解：由题意可知，
如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，
小的长方体，是榫头，从图形看出，
轮廓是长方形，内含一个长方形，
并且一条边重合，另外 边是虚线，
所以木构件的俯视图是 ．
．
故选 .
6.
【答案】
C
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
三角函数的周期性及其求法
【解析】
利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
【解答】
解：函数
，
所以最小正周期为 ，
故选 .
7.
【答案】
B
【考点】
函数的图象变化
【解析】
直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】
解：函数过定点 ，排除 ， ．
函数的导数 ，
由 得 ，
得 或 ，此时函数单调递增，
由 得 ，
得 或 ，此时函数单调递减，排除C.
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
点到直线的距离公式
【解析】
第一种生产方式的工作时间主要集中在 之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在 之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
这 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是 和 ，计算它们的中位数为 ；
由此填写列联表如下；
超过
不超过
总计
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．
【解答】
解：通解由离心率 ，得 ，
又 ，得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ．
由点到直线的距离公式，
得点 到 的渐近线的距离为 ．
故选 ．
优解离心率 的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 ，
由点到直线的距离公式得点 到 的渐近线的距离为 ．
故选 ．
11.
【答案】
故选 ．
4.
【答案】
B
【考点】
求二倍角的余弦
【解析】
，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ ，
∴ ．
故选 ．
5.
【答案】
B
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．
【解答】
解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，
所以不用现金支付的概率为：
证明：平面 平面 ；
在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
20.
已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 .
证明： ；
设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明： .
21.已知函数 ．
求曲线 在点 处的切线方程；
证明：当 时， ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
求解不等式化简集合 ，再由交集的运算性质得答案．
【解答】
解：∵ ，
，
∴ ．
故选 ．
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
所以 半圆弦 所在平面，
半圆弦 所在平面，
∴ ，
是 上异于 ， 的点．
∴ ， ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ；
解：存在 是 的中点，
理由：
连接 交 于 ，取 的中点 ，
连接 ，可得 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
20.
【答案】
证明：（1）设 ， ，
则 ， .
两式相减，并由 得 .
由题设知 ， ，
【解答】
解：如图，设 是 的中点， 是 的重心， 为球心，
连结 ， ， ， ．
因为 ，
所以 ， ．
易知 平面 ，
所以在 中， ，
所以当 ， ， 三点共线且 时，
三棱锥 的体积取得最大值，
且最大值 ．
故选 ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
【答案】
【考点】
平行向量（共线）
【解析】
理由：
连接 交 于 ，取 的中点 ，
连接 ，可得 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
（1）通过证明 ， ，证明 平面 ，然后证明平面 平面 ；
（2）存在 是 的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可．
【解答】
证明：矩形 所在平面与半圆弦 所在平面垂直，
【解析】
求出 ， ， ，设 ，点 到直线 的距离： ，由此能求出 面积的取值范围．
【解答】
解：∵直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，
∴令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ， ， ，
∵点 在圆 上，
∴设 ，
∴点 到直线 的距离：
，
∵ ，
∴ ，
∴ 面积的取值范围是 ．
故选 ．
9.
【答案】
D
【考点】
函数的图象变化
15.若变量 ， 满足约束条件 ，则 ＝ 的最大值是________．
16.已知函数 ， ，则 ________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17.等比数列 中， ， ．
根据 中的列联表，计算
，
∴能有 的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．
22.在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ，（ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点．
求 的取值范围；
求 中点 的轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23.设函数 ．
画出 的图象；
当 时， ，求 的最小值．
参考答案与试题解析
2018年四川省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
根据 中的列联表，计算
，
∴能有 的把握认为两种生产方式的效率有差异．
19.
【答案】
证明：矩形 所在平面与半圆弦 所在平面垂直，
所以 半圆弦 所在平面，
半圆弦 所在平面，
∴ ，
是 上异于 ， 的点．
∴ ， ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ；
解：存在 是 的中点，
C
【考点】
解三角形
三角形求面积
余弦定理
三角函数值的符号
【解析】
推导出 ，从而 ，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ,
的面积为 ，
∴ ,
∴ .
∵ ，
∴ ．
故选 ．
12.
【答案】
B
【考点】
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
本题主要考查球与三棱锥的切接问题及三棱锥的体积的最值问题．
A. B.
C. D.
4.若 ，则
A. B. C. D.
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为 ，既用现金支付也用非现金支付的概率为 ，则不用现金支付的概率为( )
A. B. C. D.
6.函数 的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7.下列函数中，其图像与函数 的图象关于直线 对称的是( )
A. B. C. D.
则最合适的抽样方法是分层抽样．
故答案为：分层抽样．
15.
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过 时， 最大．
【解答】
画出变量 ， 满足约束条件 表示的平面区域如图：由 解得 ．
＝ 变形为 ＝ ，作出目标函数对应的直线，
当直线过 时，直线的纵截距最小， 最大，
利用向量坐标运算法则求出 ，再由向量平行的性质能求出 的值．
【解答】
∵向量 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
14.
【答案】
分层抽样
【考点】
分层抽样方法
收集数据的方法
【解析】
利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解．
【解答】
解：某公司有大量客户，因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，
17.
【答案】
解： ∵在等比数列 中， ， ．
∴ ，
解得 .
当 时， ;
当 时， .
∴ 的通项公式为： ，或 ．
记 为 的前 项和．
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，无解；
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，
解得： ．
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 ，由此能求出 的通项公式．
8.直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是
A. B. C. D.
9.函数 的图象大致为（）
A. B.
C. D.
10.已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为（）
A. B. C. D.
11. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 的面积为 ，则
A. B. C. D.
当 ， 时， ，由 ，得 ， ，无解；当 ， 时， ，由此能求出 ．
【解答】
解： ∵在等比数列 中， ， ．
∴ ，
解得 .
当 时， ;
当 时， .
∴ 的通项公式为： ，或 ．
记 为 的前 项和．
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，无解；
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，
解得： ．
18.
【答案】
解： 根据茎叶图中的数据知，
最大值为 ，
16.
【答案】
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．
【解答】
解：函数
满足 ，
所以 是奇函数．
函数 ， ，
可得 ，可得 ，
则 ．
故答案为： ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
12.设 ， ， ， 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量 ， ， ．若 ，则 ＝________．
14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
【解答】
解： 根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在 之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在 之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
这 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是 和 ，计算它们的中位数为 ；
由此填写列联表如下；
超过
不超过
【解答】
解：首先根据函数 的图象，
可以判断出函数 的图象与 的图象关于 轴对称．
由于函数 的图象关于直线 对称，
则把函数 的图象向右平移 个单位即可得到： ．
即所求得解析式为： ．
故选 ．
8.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
圆的综合应用
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
求 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
根据 中的列联表，能否有 的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ，
19.如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
求 的通项公式；
记 为 的前 项和．若 ，求 ．
18.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 名工人，将他们随机分成两组，每组 人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位： ）绘制了如下茎叶图：
2018年四川省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.
A. B. C. D.
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
于是 .
由题Baidu Nhomakorabea得 ，
故 .
（2）由题意得 .
设 ，
则 .
由（1）及题设得 ，
.
又点 在 上，
所以 ，
从而 ， .
于是 .
同理 .
所以 .
故 .
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
椭圆中的平面几何问题
直线与椭圆的位置关系
【解答】
解：
．
故选 ．
3.
【答案】
A
【考点】
简单空间图形的三视图
【解析】
直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】
解：由题意可知，
如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，
小的长方体，是榫头，从图形看出，
轮廓是长方形，内含一个长方形，
并且一条边重合，另外 边是虚线，
所以木构件的俯视图是 ．
．
故选 .
6.
【答案】
C
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
三角函数的周期性及其求法
【解析】
利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
【解答】
解：函数
，
所以最小正周期为 ，
故选 .
7.
【答案】
B
【考点】
函数的图象变化
【解析】
直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】
解：函数过定点 ，排除 ， ．
函数的导数 ，
由 得 ，
得 或 ，此时函数单调递增，
由 得 ，
得 或 ，此时函数单调递减，排除C.
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
点到直线的距离公式
【解析】
第一种生产方式的工作时间主要集中在 之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在 之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
这 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是 和 ，计算它们的中位数为 ；
由此填写列联表如下；
超过
不超过
总计
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．
【解答】
解：通解由离心率 ，得 ，
又 ，得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ．
由点到直线的距离公式，
得点 到 的渐近线的距离为 ．
故选 ．
优解离心率 的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 ，
由点到直线的距离公式得点 到 的渐近线的距离为 ．
故选 ．
11.
【答案】
故选 ．
4.
【答案】
B
【考点】
求二倍角的余弦
【解析】
，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ ，
∴ ．
故选 ．
5.
【答案】
B
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．
【解答】
解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，
所以不用现金支付的概率为：
证明：平面 平面 ；
在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
20.
已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 .
证明： ；
设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明： .
21.已知函数 ．
求曲线 在点 处的切线方程；
证明：当 时， ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
求解不等式化简集合 ，再由交集的运算性质得答案．
【解答】
解：∵ ，
，
∴ ．
故选 ．
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
所以 半圆弦 所在平面，
半圆弦 所在平面，
∴ ，
是 上异于 ， 的点．
∴ ， ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ；
解：存在 是 的中点，
理由：
连接 交 于 ，取 的中点 ，
连接 ，可得 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
20.
【答案】
证明：（1）设 ， ，
则 ， .
两式相减，并由 得 .
由题设知 ， ，
【解答】
解：如图，设 是 的中点， 是 的重心， 为球心，
连结 ， ， ， ．
因为 ，
所以 ， ．
易知 平面 ，
所以在 中， ，
所以当 ， ， 三点共线且 时，
三棱锥 的体积取得最大值，
且最大值 ．
故选 ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
【答案】
【考点】
平行向量（共线）
【解析】
理由：
连接 交 于 ，取 的中点 ，
连接 ，可得 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
（1）通过证明 ， ，证明 平面 ，然后证明平面 平面 ；
（2）存在 是 的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可．
【解答】
证明：矩形 所在平面与半圆弦 所在平面垂直，
【解析】
求出 ， ， ，设 ，点 到直线 的距离： ，由此能求出 面积的取值范围．
【解答】
解：∵直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，
∴令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ， ， ，
∵点 在圆 上，
∴设 ，
∴点 到直线 的距离：
，
∵ ，
∴ ，
∴ 面积的取值范围是 ．
故选 ．
9.
【答案】
D
【考点】
函数的图象变化
15.若变量 ， 满足约束条件 ，则 ＝ 的最大值是________．
16.已知函数 ， ，则 ________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17.等比数列 中， ， ．
根据 中的列联表，计算
，
∴能有 的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．
22.在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ，（ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点．
求 的取值范围；
求 中点 的轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23.设函数 ．
画出 的图象；
当 时， ，求 的最小值．
参考答案与试题解析
2018年四川省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）