高考数学第八章立体几何初步测试解析版

第八章 立体几何初步测试

一．单选题（每题5分，共12题，共60分）

1．在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（ ） A ．

43

B ．

94

C ．

92

D ．3

【答案】B

【解析】设截面分别与棱,,,AD BD BC AC 交于点,,,E F G H .由直线//AB 平面EFGH ， 且平面ABC

平面EFGH GH =，平面ABD ⋂平面EFGH EF =

得//GH AB ，//EF AB ，所以//GH EF ，

同理可证//EH FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 又3AB BD AD CD ====，4AC BC ==， 可证得AB CD ⊥，四边形EFGH 为矩形.

设:::BF BD BG BC FG CD x ===，01x <<， 则3FG x =，()31HG x =-，于是2

199(1)9,0124EFGH S FG HG x x x x ⎛

⎫=⋅=-=--+<< ⎪⎝

⎭

当12x =

时，四边形EFGH 的面积有最大值9

4

. 故选：B.

2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥ABCD ，NB ⊥ABCD ．且MD ＝NB ＝1．则下列结论中：

①MC ⊥AN ②DB ∥平面AMN ③平面CMN ⊥平面AMN ④平面DCM ∥平面ABN

所有假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】B

【解析】由题画出该几何体外接的正方体.

对①,因为//MC EB ,AN EB ⊥,故MC ⊥AN 成立.故①正确.

对②,因为//,DB MN MN ⊂平面AMN,故DB ∥平面AMN 成立.故②正确.

对③,连接AC 易得A MNC -为正四面体.故平面CMN ⊥平面AMN 不成立.故③错误. 对④,正方体中平面DCM 与平面ABN 分别为前后两面,故④正确.

故选：B

3．已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则 A ．m ∥l B ．m ∥n

C ．n ⊥l

D ．m ⊥n

【答案】C

【解析】由题意知,l l αββ⋂=∴⊂，

,n n l β⊥∴⊥．故选C ．

4．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥

【答案】C

【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．

5．已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于（ ）

A ．2

3

B ．√33

C ．√23

D ．1

3

【答案】A

【解析】设AB =1 ∴BD =√2,BC 1=DC 1=√5，ΔBDC 1面积为3

2 ∵V C−BDC 1=V C 1−BCD ∴1

3×3

2×d =1

3×1

2×2∴d =2

3 ∴sinθ=d

CD =2

3

6．在Rt ABC 中，90ABC ∠=，P 为ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -中直角三角形的个数为（ ） A ．4 B ．3

C ．2

D ．1

【答案】A

【解析】由题意，知PA ⊥平面ABC 可得PAC PAB ∆∆，都是直角三角形，且PA BC ⊥， 又90ABC ∠=，所以ABC 是直角三角形，且BC ⊥平面PAB ， 所以BC PB ⊥，即PBC △为直角三角形. 故四面体P ABC -中共有4个直角三角形.

7．已知直线//l α，直线a α⊂，则l 与α必定（ ） A ．平行 B ．异面

C ．相交

D ．无公共点

【答案】D

【解析】已知直线//l α，所以直线l 与平面α无公共点， 又由a α⊂，所以直线l 与平面a 无公共点，故选D ．

8．如图,各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点,且MN //平面11ACC A ,则这样的MN 有 ( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．无数条

【答案】D

【解析】由题意得11A B CB ==．在11,BA CB 上分别取,M N ，使1BM B N =，过,M N 作

11,MM AB NN BC ⊥⊥，垂足分别为11,M N ，则1111,MM AA NN BB ，故

111

11,BM B N BN BM BA BA B C BC

==．

由于111B N BM BA B C =，故11

BM BN BA BC

=，从而11M N AC ，可得11M N 平面11ACC A ．又1MM 平面11ACC A ，可得平面11MM N N

平面11ACC A ．由于MN ⊂平面11MM N N ，

所以//MN 平面11ACC A ，从而满足条件的MN 有无数条．选D ．

9．正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为（ ）

A ．

12

B

C

D

【答案】C

【解析】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与11B C 平行，则直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值即为11B C 与平面11A BC 所成角正弦值.因为11A BC ∆为等边三角形，则1B 在平面11A BC 即为

11A BC ∆的中心，则11B C O ∠为11B C 与平面11A BC 所成角.可设正方体边长为1，

显然=33

BO ，

因此13

B O

，则111

110sin 3B B C O B C ∠==，故答案选

C.