22_2第二型曲面积分

第2节
第二型曲面积分
一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 四、两类曲面积分的联系
第22章
一、曲面的侧
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
数学分析
曲面分上侧和 下侧
曲面分左侧和 右侧
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2
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
数学分析
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Dxy R(x, y, z(x,y)) d x d y
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10
说明: 如果积分曲面 S 取下侧, 则
S R(x, y, z)d x d y Dxy R(x, y, z(x, y))d x d y
•若
则有
S P(x, y, z)d ydz
Dyz
P(x(
y,
z)
,
y, z) d y d z
Dx y : x2 y2 1
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14
xd ydz xd ydz xd ydz
前
后
z
1 y2 z d ydz
Dy z
o
y
（ 1 y2 z）(d ydz)
x
Dy z
前 ：x＝ 1 y2 z 前侧
2 1 y2 z d ydz
Dy z
后：x 1 y2 z 后侧
n
lim
0
i 1
P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )zx
R(i ,i , i )(Si )xy
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
n
lim 0 i1
S Pcos Qcos Rcos d S
数学分析
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19
S Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
2 dy
1 y2
1 y2 zdz
1
0
3
8
1
(1
y2
)
2
d
y
30
数学分析
2
1 y 1
Dyz
:
0
z
1
y
2
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15
由对称性可得：
ydxdz
2
I xd ydz ydzdx zdxd y 3 2
数学分析
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16
例3. 计算 S (x y)d y d z ( y z)d z d x (z x)d xd y
解: 利用两类曲面积分的联系, 有
S (z2 x)d y d z
S (z2 x) cos dS
S (z2 x)
cos d xd y cos
cos cos
oy x x 1 x2 y2 1 1 x2 y2
∴ 原式 = S ( z2 x) (x) z d x d y
数学分析
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若记 S 正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y) A (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
数学分析
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取上侧,
S R(x, y, z)d xd y
R(x, y, z(x, y)) d x d y
Dxy n
证:
S R(x, y, z)d x d y
lim 0 i1
∵S 取上侧, (Si )xy ( i )xy
i z(i , i )
n
lim
0
i 1
R(i ,i ,
) ( i )xy
数学分析
S Pcos Qcos Rcos d S
令 A (P, Q, R), n (cos , cos , cos )
dS n dS (dydz, dzdx, dxdy)
向量形式 S A d S S A nd S
An A n ( A 在 n 上的投影)
S An dS
数学分析
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n
E
lim
0
i 1
P(i
,i
,
i
)
cosi Q(i ,i , i R(i ,i , i )
) cos
cos
i
i Si
n
lim 0 i1
数学分析
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6
2. 定义. 设 S 为光滑的有向曲面, 在 S 上定义了一个
向量场 A (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), 若对S的任
第二类： 有向投影
(4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面
注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.
数学分析
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27
当
时，
f (x, y, z)d S
f (x, y, z(x, y))
1
zx2
z
2 y
d
x
d
y
S
Dxy
R(x, y, z)d x d y R(x, y, z(x, y)) d xd y
3a d x d y
数学分析
Dx y
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17
例4. 设S 是球面
的外侧 , 计算
I
S
2d yd x cos2
z x
解: 利用轮换对称性, 有
dxd y z cos2 z
S
2dxd y z cos2 z
,
S
dzdx y cos2 y
S
dxd y z cos2 z
0
I
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n
i1 Q(i ,i , i )(Si )zx
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
S Pdy d z Qd z d x Rdx dy
P, Q, R 叫做被积函数; S 叫做积分曲面.
dx dy dz
数学分析
20
例5. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为
求E 通过球面 S : r = R 外侧的电通量 .
解: S E d S
S E nd S
S
q r3
r
rdS r
S
q r2
d
S
q R2
S
dS
q。
数学分析
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21
例6. 设 夹成的锐角, 计算
解: I S z2 cos d S
思考: 两类曲线积分的定义一个与 S 的方向无关, 一个与 S 的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
数学分析
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26
2. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 转化 二重积分 第二类 (对坐标)
(1) 统一积分变量
代入曲面方程 (方程不同时分片积分)
第一类： 面积投影 (2) 积分元素投影
8
S P d y d z Q d z d x R d x d y
3. 性质
S A nd S S A d S
(1) 若
之间无公共内点, 则
S A d S
S i A d S
(2) 用Sˉ 表示 S 的反向曲面, 则
数学分析
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9
三、对坐标的曲面积分的计算法
定理 . 设光滑曲面 是 S 上的连续函数, 则
的面积为
则规定:
(S)xy
( )xy , ( )xy ,
0,
当cos 0时 当cos 0时 当cos 0时
类似可规定:
(S) yz , (S)zx
数学分析
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4
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 S 的流量E .
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例2.计算I xd ydz ydzdx zdxd y,
z 1 (x2 y2 ), z 0 的上侧.
其中 :
z
解：
zdxd y
1 (x2 y2) dxd y
Dx y
2
d
1
(1
r
2
)
r
d
r
0
0
2
数学分析
oy x
: z 1 (x2 y2 ) 上侧
是其外法线与 z 轴正向
z
n
1
1
1y
(1 x2 y2)d x d y
Dx y
x
2
d
1
(1
r
2
)
r
dr
0
0
数学分析
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22
例7. 计算曲面积分 S (z2 x)d y d z z d x d y, 其中S
旋转抛物面
介于平面 z= 0
z
2
及 z = 2 之间部分的下侧.
3
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
wk.baidu.com
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
• 设 S 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
(S )xy ,
23
将
z
1 2
(x2
y2)
代入,
得
原式 1 (x2 y2 )2 x(x) Dxy 4
1 2
(x2
y2
)
d
x
d
y
Dx y
x2
1 2
(x2
y 2 ) d
xdy
2
d
0
2
(r
0
2
cos2
1 2
r
2
)
r
dr
8
z
2
oy x
数学分析
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24
内容小结
1. 两类曲面积分及其联系
分析: 若 S 是面积为S 的平面,
n
v
法向量:
流速为常向量: 则流量
S
数学分析
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5
对一般的有向曲面S , 对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
ni vi
n
进行分析可得
E lim 0 i1
vi
ni Si
S
设 ni (cosi , cos i , cos i ), 则
xy ( 1 x2 y2 )d x d y Dx y
xy 1 x2 y2 d x d y
Dx y
z
2 xy 1 x2 y2 d x d y Dx y
S2
2 r 2 sin cos
Dxy
2 sin 2 d
1r3
1 r2 rd rd
1r2 dr
x
o
Dx y
1
S1
y
0
0
2 15
数学分析
思考: 下述解法是否正确:
z
根据对称性 S xyz d x d y 0
解: 把 S 分为上下两部分
S2
x o Dx y 1 y
S1
S1 : z 1 x2 y2
S2 : z 1 x2 y2
(x,
y)
Dxy
:
xx
2 0
y2 ,y
1 0
数学分析
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S x yz d x d y S1 x y z d x d y S2 x y z d x d y
其中 S 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用(轮换)对称性.
y
原式 3S (z x)d xd y
x
S 的顶部
S1
:
z
a 2
(x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
S 的底部
S2
:
z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
S2 (z x)d xd y
( a x)d x dy Dxy 2
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7
S P d y d z 称为P 在有向曲面S上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面S上对 z, x 的曲面积分;
S Rd xd y 称为R 在有向曲面S上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 S 的流体的流量为
E S Pdy d z Qd z d x Rdx dy
S
dxd y z cos2 z
2 x2 y2 1
dxd y 1 x2 y2 cos2 1 x2 y2
2
2 d
0
1
0
rdr 1 r2 cos2
1 r2
1
4
d
1 r2
0 cos2 1 r 2
4 tan1
数学分析
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18
四、两类曲面积分的联系
S Pdy d z Qdz d x Rdx d y
数学分析
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性质: S P d y d z Qd z d x R d xd y
P d y d z Q d z d x R d x d y
联系: S P d y d z Q d z d x R d xdy
S P cos Qcos R cos dS
(前正后负)
•若
则有
S Q(x, y, z)d z d x Dzx Q (x, y(z, x), z )d z d x (右正左负)
数学分析
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11
例1. 计算曲面积分 S xyz d x d y, 其中 S 为球面 x2
y2 z2 1 外侧在第一和第八卦限部分.
S
Dxy
（上侧取“+”, 下侧取“”)
类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .
数学分析
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思考与练习
1. 设
是平面
在第四卦限部分的上侧 , 计算
I S f (x, y, z) x dy dz
f (x, y, z) z dx dy
提示: 求出 S 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分
定义:
n
•
S
f (x, y, z)d S
lim
0 i1
f (i , i , i
) Si
• S P d y d z Q d z d x R d x d y
n
lim
0
P(i
i 1
, i
,
i
) Si
y
z
Q(i , i , i ) Si z x
R(i , i , i ) Si x y