概率论例题与详解
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例题
1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？
解 设),2,1,0(=i A i 表示箱中有i 件次品，B 表示顾客买下该箱玻璃杯
（1）由全概率公式
()()()94.01.01.018.04204184204192
0≈⨯+⨯+⨯=∑==C C C C A p A B P B P i i i （2）由贝叶斯公式
85.0)()
()()(000≈=B P A P A B P B A P
2.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求
（1）第一次取出的零件是一等品的概率；
（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.
解 设),2,1,0(=i A i 表示从第i 箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B 表示从第一箱中取零件，B 表示从第二箱中取零件
（1）由全概率公式
4.02
130********)()()()()(111=⨯+⨯=
+=B P B A P B P B A P A P （2）由全概率公式 2129173018214995010)()()()()(212121⨯⨯+⨯⨯=
+=B P B A A P B P B A A P A A P 因此有
)
()()(12112A P A A P A A P =4856.0)2129173018214995010(25=⨯⨯+⨯⨯= 3.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号
（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.
解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为
163.03.07.03.07.03.054452335≈+⋅+⋅C C
（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为
353.07.03.07.03.07.0152276177≈⋅+⋅--C C
4.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.
解：设321,,A A A 分别表示甲、乙、丙击中飞机，i B 表示有)3,2,1(=i i 个人击中飞机
=)(1B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
=)(2B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
41.07.05.04.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
=)(3B P )(321A A A P
)()()(321A P A P A P =
14.07.05.04.0=⨯⨯=
由全概率公式
)()()(11B B P B P B P =)()(22B B P B P +)()(33B B P B P +
458.0114.06.041.02.036.0=⨯+⨯+⨯=
5.随机地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4
π的概率. 解：以D 表示半圆220x ax y -<<，由题设，点),y x （应该落在如图的阴影部分G ，G 的面积为（在极坐标系中计算）
θθπθθπ
d r rdr d G S a a ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==40cos 202cos 204
02
1)( θθπd a ⎰=4
022cos 22402214)2cos 1(a d a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=⎰πθθπ
（或G 的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上
4
1个圆的面积） 故πππ1212