高中物理竞赛(静力学) (1)

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第一讲:力、物体的平衡
补充:杠杆平衡(即力矩平衡),对任意转动点都平衡。

一、力学中常见的三种力
1.重力、重心 重心的定义:
++++=g m g m gx m gx m x 212211,当坐标原点移到重心上,则两边的重力矩平衡。

问题:半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板,如图a 所示,求剩下部分的重心。

2.弹力、弹簧的弹力(F =kx ,或F =-kx )
(1)两弹簧串联总伸长x ,F =?
由x 1+x 2=x ,k 1x 1=k 2x 2,得2
112k k x k x +=,所以kx k k x k k x k F =+===212122. (2)并联时F =(k 1+k 2)x .
(3)把劲度系数为k 的弹簧均分为10段,每段劲度系数k '=?(10k )
1. 一个重为G 的小环,套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆上。

一个劲度系数为k ,自然长度为L (L <2R )的轻质弹簧,其上端固定在大圆环最高点,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为: . (答案:G
kR kL 22cos 1--)
3.摩擦力
(1)摩擦力的方向:
①静摩擦力的方向:跟运动状态与外力有关。

②滑动摩擦力的方向:跟相对运动方向相反。

2. 如图所示,在倾角θ=300的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G ,现用与斜面底边平行的水平作用力F (F =G /2)推物体,物体恰好在
斜面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . (答案:
3
6)
(2)摩擦角:f 和N 的合力叫全反力,全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角(f 达到最大)叫摩擦角,摩
擦角ϕ=tan -1f /N =tan -1μ。

摩擦角与摩擦力无关,对一定的接触面,ϕ是一定的。

水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为μ,则为使拉力F 最小,F 与水平地面间的夹角多大?F 的最小值为多少?
二、物体的平衡
1.三力平衡特点 (1)任意两个的合力与第三个力是一对平衡力
(2)三力汇交原理:互不平行的三个力处于平衡,这三个力的作用线必交于一点。

①确定墙壁或天花板对杆的弹力方向?
②若墙壁与杆间动摩擦因数为μ,物体只能挂在什么范围?
3. 如图所示,质量为M 的杆AB 静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为α.则容器面对杆A 点的作用力F 为多大?
2.力矩和力矩平衡:M =FL
(1)力矩的平衡条件:对任意点∑=0M
∑=0M 也常用来受力分析,如三个完全相同的小球叠放在水平地面上处于静止状态,则下面的球受到几个力作用? 对球心,根据力矩平衡可知,下面的球受到二个大小相等的摩擦力,共五个力作用
这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法。

又如板与墙之间夹一球,两边的摩擦力大小相等,若μ相同,对球心有∑
=0M 得板对球的弹力大,可判断沿墙滑动,沿板滚动。

4. 将重为30N 的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC 与水平面平行,C 点为球的最高点斜面倾角为370.求:
(1)绳子的张力.
(2)斜面对球的摩擦力和弹力.
5.一根质量均匀的米尺AB用细绳悬挂,现用重为米尺重量的5/3倍的砝码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态,
则此砝码距A点的距离应为多少? (答案:0.1m)
6.两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A、B,静止时如图所示,已知绳长OB=2OA,两球的质量关系是M A=2M B,α=450,求θ.
(2)二力杆:两端受力的杆,力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡)。

7.如图所示,每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内,已知A、B两处与地面间的动摩擦因数分别为
μA=0.2,μB=0.6,C点用光滑的铰链连接,不计梯重,求人最多能爬多高。

8.如图所示,一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连,下端用铰链与另一细棒相连,两棒的长度相等,两
棒限以图示的竖直平面内运动,且不计铰链处的摩擦,当在C端加一个适当的外力(在纸面内)可使两棒平衡在图示的位置处,即两棒间的夹角为90︒,且C端正好在A端的正下方。

(1)不管两棒的质量如何,此外力只可能在哪个方向的范围内?说明道理(不要求推算)。

(2)如果AB棒的质量为m1,BC棒的质量为m2,求此外力的大小和方向。

3.物体的平衡条件:F=0;M=0
9.质量为m的均匀柔软绳,悬挂于同一高度的两固定点A、B之间,已知绳的悬挂点处的切线与水平面夹角为α,求绳的悬挂点处及绳的
最低点处的张力.
10.如图所示,质量为m的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数为μ.则当斜面倾角α大于时,无论水平推力F多大,物
体不可能沿斜面向上运动
12.有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上
圆柱体,半径均为r,重均为G.木板与墙的夹角为θ(如图所示).一切摩擦均不计,求BC绳的张力.
13.一架均匀梯子,一端放置在水平地面上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数
分别为μ1、μ2。

求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。

部分参考答案
(答案:α
Mg
F=)
tan
解:F的作用线通过圆心
B点对杆的作用力N与相垂直
角度关系如图所示
根据正弦定理α
αsin )90sin(0F Mg
=- 得αtan Mg F =
解:若B 端开始滑动,AC 为二力杆,地面对A 端的作用力方向与竖直方向夹角为30︒,
而A 点对应的摩擦角αA =tan -1μA =tan -10.2<30︒。

AC 杆不能衡。

若A 端开始滑动,AB 为二力杆,地面对B 端的作用力方向与竖直方向夹角为30︒,而B 点对应的摩擦角αB =tan -1μB =tan -10.6>30︒。

AB 杆能衡。

所以人必须从A 点沿梯上爬,此时B 端受到地面的作用力沿着BC 方向。

对整体,根据三力共点,人的重力作用线必通过F A 和F B 的交点。

设人的水平距离为s ,有几何关系(两边高相等):s cot αA =(L -s )cot30︒,
得s =0.26L ,最大高度H =3s =0.45L 。

[答案:(1)F 的方向与AC 夹角范围18︒.24'-45︒间;(2)21222181024
1m m m m g F ++=
] 解(1)设F 的方向与AC 夹角为θ,如果当m 1质量很小时,AB 对BC 的作用力沿AB 方向,则F 的方向必交于AB 的中点,θ=45︒-tan -121
=18︒.24'; 如果当m 2质量很小时,则F 的方向沿BC 方向,θ=45︒。

所以F 方向的范围是θ=18︒.24'-45︒间。

(2)以A 为转轴,对两棒有:θsin 245sin 2
)(021L F L g m m ⨯=⨯+----① 以B 为转轴,对BC 有:)45sin(45sin 2
002θ-⨯=⨯L F L g m ----② sin(45︒-θ)=sin45︒cos θ-cso45︒sin θ----③
有①②③式得F 的大小:21222181024
1m m m m g F ++=; F 的方向与竖直线的夹角θ=12211
3tan m m m m ++-. 可见,m 1=0时,θ==-31tan 1
18︒.24';m 2=0时,θ==-1tan 145︒.
(答案:2
cot ,sin 2ααmg mg )
无论水平推力F 多大,物体不可能沿斜面向上运动,这种情况称为自锁。

如放在水平地面上的物体,跟水平面之间的动摩擦因数为μ.推力F 与水平面之间的夹角为α,则当α大于时,无论水平推力F 多大,物体不可能运动。

有F cos α=(mg +F sin α)μ,得α
μαμsin cos -=mg F ,推不动:cos α-μsin α=0,cot α=μ. 或F cos α(增加的动力)≤F sin αμ(增加的阻力),得cot α≤μ.
解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.
解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC 绳的张力.比较麻烦.
解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC 绳的张力.但弹力的力臂比较难求.
解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N 1=3G cot θ.
再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N 1,BC 绳的拉力T ,重力3G ,A 点的作用力N (N 对A 点的力矩为零).
对A 点,有力矩平衡)sin 2(31θr r G AD N TAC ++= 式中θθcos ,2
tan /L AC r AD == 有上述四式可行)cos sin 21cos 11(3θ
θθ++-=L Gr T . (答案:1
21121tan μμμα-=-) 解法1:设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为α,
则有f 1=μ1N 1, f 2=μ2N 2(同时达到最大,与上题有区别)
水平方向:μ1N 1=N 2,竖直方向:μ2N 2+N 1=G ,
得:G =μ2N 2+N 2/μ1------①
取A 点为转轴:0cos sin cos 2
222=--αμααN L LN G L -----② 解得12121tan μμμα-=,即1
21121tan μμμα-=-。

解法2:地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点(如图的D 点)
则有:tan ϕ1=μ1,tan ϕ2=μ2,
有几何关系:21tan 21cot 21222tan ϕϕα-=-=-==
EB DE AH DH AH DE DH AC BC , 可解得:121121tan μμμα-=-。

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