全等三角形培优专题训练

探索三角形全等

1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D

在同一条直线上.

⑴求证：AB⊥ED；

⑵若PB ＝BC ，请找出图中与此条件有

关的一对全等三角形，并给予证明

2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC，BE⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：

①AD＝BF ；②CF＝CD ；③AC＋CD ＝AB ；④BE＝CF ；⑤BF＝2BE.其中正确的是（ ）

3、如图，点C 在线段AB 上，DA

⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且

DA ＝BC ，EB ＝AC ，FC ＝AB ，∠AFB＝51°，求∠DFC 的度数.

B

4、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点

O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线M、N上，且OE＝OF.

⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来；

⑵求证：∠MAE＝∠NCF

全等三角形的应用

全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：

①线段和角的等量关系

②线段和角的和差倍分关系

③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P

在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.试判断AP与AQ的关系，并证明.

2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，

且BF＝AC，FD＝CD，

求证：BE⊥AC

B

E

3、如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°.

⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.

⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.

4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线 BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连

接CE.

⑴如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则

∠BCE＝_______度.

⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β

a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有

怎样的数量关系？请说明理由.

b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数

量关系？请直接写出你的结论.

①

B

①

①

辅助线作法之连接法

在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.

1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.

证明∶AC＝AB

2、已知AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，AF＝CD

求证：AC∥DF

3、如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA＝OC，EA＝EC.∠A＝∠C吗？点O在∠AEC的平分线上吗？

A

B

E

辅助线作法之倍长中线法

在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.

1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围.

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC上的中线

求证：AB＝AC

3、在△ABC中，D是边BC上的一点，且

CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.

求证∶AC＝2AE

B

B

B

4、△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB，AC于点

E，F.

求证：BE＋CF＞EF

辅助线作法之截长补短法

截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等.

补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等.

1、已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E

在CD上.

求证：AB＝AC＋BD

2、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝½（AB＋AD）.

求证∶∠B＋∠D＝180°

A

B

B

3、如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AC的

中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F.

求证：∠ADB＝∠CDF

4、如图，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的角平分线.

求证∶AC＋CD＝AB

12、如图，已知

AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE 的面积.

B

B

辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形

2、如图，在△ABC 中，AC ＝½AB ，AD 平分∠BAC，且AD ＝BD

求证：CD⊥AC

全等三角形在动态几何中的运用

1、如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC⊥BC，且AC ＝BC.△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP.

⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系;⑵将△EFP 沿直线l 向左平移到图②的位置时,EP 交AC 于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;

⑶将△EFP 沿直线l 向左平移到图③的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.

B