第二章正投影的基本知识

c′
c′
l1
l2 k1
d′ X
d
k
k′
d′
O
X
d
k
d1 O l2
l1
c
c
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图2-26 求直线上点的投影
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[例2-2] 已知直线AB和M点的正面投影和水平投影，问M点是否在直线上？
a′
解：分析：AB为侧平线，M在直
线上，必在直线AB的同面投影上
m′
，并满足定比规律。
作图：
方法一
分割线段成定比
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e′ d′
f′ c′
X e c
f d
图2-29 判断两直线是否平行
Z e″ d″
c″ O
f″ YW
YH
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2.相交
图2-30 两直线相交
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[例2-4] 判断两直线是否相交？
a′ d′
k′
c′
b′
X
c
a
k
Z a″ d″
k″ b″
c″ YW
O
b
d
YH
图2-31 判断两直线是否相交
2.平面的视图表示法
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二、平面的投影特性 1.平面对投影面的投影特性
投影面垂直面：
投影面平行面： 一般位置平面：
只垂直于某一个投影面而对另 外两个投影面倾斜的平面。
平行于某一个投影面的平面。 对三个投影面都倾斜的平面。
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图2-33 平面相对于投影面的位置
2.各种位置平面的投影及投影特性 ⑴投影面平行面： 水平面 正平面 侧平面
方法二
画第三投影
b′
X
b
z m″
b″ O
m
a
结论：M点不在直线上。
yH
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图2-27 判断点是否在直线上
a″ yW
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四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。 1.平行
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图2-28 两直线的平行
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[例2-3] 判断两直线是否平行？
结论：两直线不平行
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三、平面上的点和直线
直线在平面上的条件： 通过平面内两点； 或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。
点在平面上的条件： 点在平面内的某一直线上
故要在平面内取点，必须先在平面内取直线。
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1.平面内取点
a′ x
a
z b′
e′ a″
c′
c e
b″
e″
c″ yW
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2.点的三面投影
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图2-11 点的三面投影立体图
14
a′
x ax
a
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图2-12 点的投影图
z az o
ayH yH
a″ yW
ayW
15
3.点的投影规律 ⑴ aa'ox ⑵ a'a″oz ⑶ aax= a″az
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图2-13 点的投影规律
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4.根据点的两投影求第三投影
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1
§2-5平 面 的 投 影 §2-6基 本 几 何 体 的 投 影 §2-7几 何 体 的 尺 寸 注 法 §2-5几 何 体 的 轴 测 图
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2
§2-1 投影法的基本概念
1.投影法 如图，建立一个平面P和不 在该平面内的一点S，在平面P 和点S之间放一物体A。过点S 发射一束光线SA，SA与平面P的 交点a称为物体A在平面P上的 投影。这种确定空间物体投影的方法，称为投影法。
概述： 实际工程中的各种技术图样，都是按一定的投影方法绘制的，机械工程图样通常
是用正投影法绘制。本章首先学习介绍投影法的基本知识和物体三视图，再讨论点、线、 面等几何元素的投影原理，为学习后面的内容奠定基础。
§2-1 投影法的基本概念
§2-2 三视图及其对应关系
§2-3 点 的 投 影
§2-4 直 线 的 投 影
结论：两直线不相交。
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3.交叉
图2-32 两直线交叉
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[例2-5] 判断两直线是否交叉？
c′ a′ X
a
c
b′ d′
c′ a′
X O
a
d
c b
结论：两直线交叉。
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b′ d′
O d b
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§2-5 平 面 的 投 影 一、平面的表示法
1.平面的几何表示法
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a
b′
z
a″
投影特性：
b″
三个投影为倾斜线，均小于实长；
各投影与投影轴的夹角不反映直线
对投影面的夹角。
yW
பைடு நூலகம்
b yH
图2-24 一般位置直线的投影特性
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三、直线上取点的投影
b′ k′ a′
x
a
投影特性： ⑴直线上点的投影必在该直线同面投影上； ⑵同直线上两线段长度比等于其投影长度比。
b′ a′
a
b
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b″
a′
a″
b′
a″
b″
b′
a′
a
b
b
a
图2-21 投影面平行线的投影特性（续）
b″ a″
26
⑵垂直线
铅垂线： 正垂线： 侧垂线:
图2-22 投影面垂直线
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•投影面垂直线的投影特性 a′
x
z b′
a″(b″) yW
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a
b
yH
图2-23 投影面垂直线的投影特性
投影 a 坐标 XA ， YA
a′
XA , ZA
a″
YA , ZA
结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投影也就唯一确定。
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三、两点的相对位置与重影点 1.两点的相对位置
Za-b
Xa-b Ya-b
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图2-16 两点的相对位置
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2.重影点
图2-17 重影点
a′ x
a
b′
z
c′
b″
a″ c″
yW
bc yH
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图2-34 投影面平行面
投影面平行面的投影特性： •在其平行的投影面上的投影反映平面实形； •另外两个投影面上的投影积聚为直线，且平行于相应的投影轴。
b′
a′
b″
a′
b′
c′ a″ c″ b″
c′
c″
a″
a′
a″
c′
c″
a
b′ b″
b'
a'
e’
c'
d'
X
O
b
a
e
c
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d
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作图方法二：用//直线BC的辅助线作图
a' X
a
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b' e′ d'
b e
c' O
c
d
回 目 53 录
§2-6 基本几何体的投影
概述: 立体包含基本立体和组合体。柱、锥、球、圆环等几何体是组成机件的基本体，基本体的
组合称组合体，本章着重研究基本体、切割体和相贯体的形体特征，立体的投影与作图方法，在立 体表面上作点、作线的方法与三视图的画法。
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投影面垂直线投影特性： •在其垂直的投影面上的投影积聚为一点； •另外两个投影面上的投影反映空间线段的实长，且分别垂直于相应的投影轴。
a′ b′ a(b)
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a″
a′(b′)
b″ a
b
a″
b″
a′
b′
a″(b″)
a
b
图2-23 投影面垂直线的投影特性（续）
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⑶一般位置直线
a′ x
k b
z
k″ a″
b″ yW
yH
图2-25 直线上点的投影
AK : KB = ak : kb = a′k′ : k′b′ = a″k″ : k″b″
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[例2-1]已知直线CD的正面投影和水平投影和K点的水平投影，求K点的正面投影。
解：分析：CD为侧平线，K在直线上，必在直线AB的同面投影上， 作图：
a′
a″
c′
b′
b″ a′
x
c′ c″
x
c
a
a
b c
b′
b″
a″
b
c′ c″ a′
x c
a
c″
b′
b″
a″
b
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图2-37 投影面垂直面的投影特性
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⑶一般位置平面
图2-38 一般位置平面的投影特性
一般位置平面的投影特性： •平面与三个投影面都倾斜，三个投影为类似形 •各投影不反映平面对投影面倾角的大小
b yH
图2-39 平面内取点
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2.平面内取线
a′
m′ 1′
z
c′
n′ 2′
a″
c″
m″ n″
2″
1″
b″