第二章正投影的基本知识

b′ a′
a
b
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b″
a′
a″
b′
a″
b″
b′
a′
a
b
b
a
图2-21 投影面平行线的投影特性（续）
b″ a″
26
⑵垂直线
铅垂线： 正垂线： 侧垂线:
图2-22 投影面垂直线
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•投影面垂直线的投影特性 a′
x
z b′
a″(b″) yW
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a
b
yH
图2-23 投影面垂直线的投影特性
•方位对应关系： 主视图—物体的上、下和左、右俯视图—物体的前、后 和左、右 左视图—物体的上、下和前、后
11
§2-3 点 的 投 影 一、点的一个投影
图2-9 点的单面投影
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二、点的三面投影及投影特性 1.三面投影体系
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Ⅱ Ⅰ
Ⅲ Ⅳ
第三角
第一角
图2-10 三面投影体系
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1
§2-5平 面 的 投 影 §2-6基 本 几 何 体 的 投 影 §2-7几 何 体 的 尺 寸 注 法 §2-5几 何 体 的 轴 测 图
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2
§2-1 投影法的基本概念
1.投影法 如图，建立一个平面P和不 在该平面内的一点S，在平面P 和点S之间放一物体A。过点S 发射一束光线SA，SA与平面P的 交点a称为物体A在平面P上的 投影。这种确定空间物体投影的方法，称为投影法。
投影 a 坐标 XA ， YA
a′
XA , ZA
a″
YA , ZA
结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投影也就唯一确定。
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三、两点的相对位置与重影点 1.两点的相对位置
Za-b
Xa-b Ya-b
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图2-16 两点的相对位置
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2.重影点
图2-17 重影点
水平线： 正平线： 侧平线：
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图2-20 投影面平行线
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•投影面平行线的投影特性
z b′
a′ x
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a
b
yH
图2-21 投影面平行线的投影特性
b″ a″
yW
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投影面平行线投影特性： •在其平行的投影面上的投影反映实长，且投影与投影轴的夹角分别反映直线对另两个投影面的夹角； •另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度比空间直线短。
图2-4 影子和投影
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•仅有一个投影是不能准确、真实地表达物体的形状。
图2-5 不同物体得同一投影
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§2-1 三视图及其对应关系 1.三视图的形成及其投影规律
正面投影面——V面 水平投影面——H面 侧面投影面——W面
（正面投影） （水平投影） （侧面投影）
视图：把互相平行的投影线当作人的视线，用正投影 法所得物体的图形称为视图。
结论：两直线不相交。
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3.交叉
图2-32 两直线交叉
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[例2-5] 判断两直线是否交叉？
c′ a′ X
a
c
b′ d′
c′ a′
X O
a
d
c b
结论：两直线交叉。
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b′ d′
O d b
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§2-5 平 面 的 投 影 一、平面的表示法
1.平面的几何表示法
c′
c′
l1
l2 k1
d′ X
d
k
k′
d′
O
X
d
k
d1 O l2
l1
c
c
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图2-26 求直线上点的投影
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[例2-2] 已知直线AB和M点的正面投影和水平投影，问M点是否在直线上？
a′
解：分析：AB为侧平线，M在直
线上，必在直线AB的同面投影上
m′
，并满足定比规律。
作图：
方法一
分割线段成定比
z a′源自文库
x
O
yW
方法一：直接量取法 方法二：45º 斜线法
a yH a′
x
a
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z a′
a″ x
yW
a yH 图2-14 已知点的两投影求第三投影
z a″
yW
yH
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5.点的投影与坐标之间的关系
图2-15 点的投影与坐标之间的关系
A点坐标 （XA，YA，ZA）， A点投影 a，a′, a″
2.平面的视图表示法
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二、平面的投影特性 1.平面对投影面的投影特性
投影面垂直面：
投影面平行面： 一般位置平面：
只垂直于某一个投影面而对另 外两个投影面倾斜的平面。
平行于某一个投影面的平面。 对三个投影面都倾斜的平面。
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图2-33 平面相对于投影面的位置
2.各种位置平面的投影及投影特性 ⑴投影面平行面： 水平面 正平面 侧平面
a′ x
a
b′
z
c′
b″
a″ c″
yW
bc yH
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图2-34 投影面平行面
投影面平行面的投影特性： •在其平行的投影面上的投影反映平面实形； •另外两个投影面上的投影积聚为直线，且平行于相应的投影轴。
b′
a′
b″
a′
b′
c′ a″ c″ b″
c′
c″
a″
a′
a″
c′
c″
a
b′ b″
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2.点的三面投影
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图2-11 点的三面投影立体图
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a′
x ax
a
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图2-12 点的投影图
z az o
ayH yH
a″ yW
ayW
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3.点的投影规律 ⑴ aa'ox ⑵ a'a″oz ⑶ aax= a″az
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图2-13 点的投影规律
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4.根据点的两投影求第三投影
a
b′
z
a″
投影特性：
b″
三个投影为倾斜线，均小于实长；
各投影与投影轴的夹角不反映直线
对投影面的夹角。
yW
b yH
图2-24 一般位置直线的投影特性
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三、直线上取点的投影
b′ k′ a′
x
a
投影特性： ⑴直线上点的投影必在该直线同面投影上； ⑵同直线上两线段长度比等于其投影长度比。
B c
b
投影面P
B
c a
b 投影面P
中心投影法
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正投影法 图2-2 投影法分类
斜投影法
4
3.平行投影法的投影特性
⑴实形性（真迹性）：线段或平面图形平行于投影面， 其投影反映实形或实长。
V
⑵积聚性：直线或平面图形平行于投射线，其投影积 聚成点或直线。
⑶类似性（同形性）:当直线或平面图形不平行、也不垂 直投影面时，直线的投影仍为直线，平面图形的投影是 原图形的类似形。正投影时，其投影小于实长或实形。
方法二
画第三投影
b′
X
b
z m″
b″ O
m
a
结论：M点不在直线上。
yH
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图2-27 判断点是否在直线上
a″ yW
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四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。 1.平行
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图2-28 两直线的平行
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[例2-3] 判断两直线是否平行？
结论：两直线不平行
主视图 俯视图 左视图
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图2-6 三视图
图2-7 三视图的形成及其投影规律
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图2-7 三视图的形成及其投影规律
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2.三视图之间的对应关系
图2-8 三视图之间的对应关系
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•度量对应关系： 主、俯视图--长对正 主、左视图--高平齐 俯、左视图--宽相等
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思考: 空间点A（15，20，10），空间点B在点A的正后方5mm处，求做两点的三面投影。
（b′′ ）
z
a′ az
x
ax
o
b″ a″
yW ayW
b
5mm a
ayH
yH
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§2-4 直 线 的 投 影 一、直线
z
b′
b″
a′ x
a
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b
yH 图2-18 直线的投影
k b
z
k″ a″
b″ yW
yH
图2-25 直线上点的投影
AK : KB = ak : kb = a′k′ : k′b′ = a″k″ : k″b″
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[例2-1]已知直线CD的正面投影和水平投影和K点的水平投影，求K点的正面投影。
解：分析：CD为侧平线，K在直线上，必在直线AB的同面投影上， 作图：
b'
a'
e’
c'
d'
X
O
b
a
e
c
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d
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作图方法二：用//直线BC的辅助线作图
a' X
a
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b' e′ d'
b e
c' O
c
d
回 目 53 录
§2-6 基本几何体的投影
概述: 立体包含基本立体和组合体。柱、锥、球、圆环等几何体是组成机件的基本体，基本体的
组合称组合体，本章着重研究基本体、切割体和相贯体的形体特征，立体的投影与作图方法，在立 体表面上作点、作线的方法与三视图的画法。
a″ yW
22
二、直线的投影 1.三种位置直线 投影面平行线：
投影面垂直线 ： 一般位置直线：
平行于某一个投影面而对另外两个 投影面倾斜的直线。
垂直于某一个投影面的直线。 对三个投影面都是倾斜的直线。
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图2-19 直线相对于投影面的位置
2.各种位置直线的投影及投影特性
⑴平行线
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三、平面上的点和直线
直线在平面上的条件： 通过平面内两点； 或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。
点在平面上的条件： 点在平面内的某一直线上
故要在平面内取点，必须先在平面内取直线。
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1.平面内取点
a′ x
a
z b′
e′ a″
c′
c e
b″
e″
c″ yW
a′
a″
c′
b′
b″ a′
x
c′ c″
x
c
a
a
b c
b′
b″
a″
b
c′ c″ a′
x c
a
c″
b′
b″
a″
b
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图2-37 投影面垂直面的投影特性
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⑶一般位置平面
图2-38 一般位置平面的投影特性
一般位置平面的投影特性： •平面与三个投影面都倾斜，三个投影为类似形 •各投影不反映平面对投影面倾角的大小
b yH
图2-39 平面内取点
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2.平面内取线
a′
m′ 1′
z
c′
n′ 2′
a″
c″
m″ n″
2″
1″
b″
x
b′
yW
c
n2
a
m
1
b
yH
e′ x
e
a′ f′
1′ 2′ b′
c′
o c
a 1 2 b
f
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图2-40 平面内取线
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[例2-5]已知一平面ABCD，⑴判别K点是否在平面上；⑵已知平面上一点E的水平投影 e，作出其 正面投影。
⑷平行性：两相互平行直线，其投影平行。
投影面 正投影
投影线
B
D
CA
R
P
图2-3 平行投影法的投影特性
⑸定比性：两平行线段长度之比，等于其投影长之比。 直线上两线段长度之比，等于其投影长之比。
⑹从属性：直线上的点或平面上的点和直线，其投影必在直线或平面的投影上。
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注意：投影不等于影子
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投影面垂直线投影特性： •在其垂直的投影面上的投影积聚为一点； •另外两个投影面上的投影反映空间线段的实长，且分别垂直于相应的投影轴。
a′ b′ a(b)
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a″
a′(b′)
b″ a
b
a″
b″
a′
b′
a″(b″)
a
b
图2-23 投影面垂直线的投影特性（续）
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⑶一般位置直线
a′ x
b'
a' X
k' d'
b
c' O
a
e
c
k d
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图2-41 例5题图
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解：⑴分析：要找K点在不在平面内，先找 过K点的直线在不在平面内。
作图：
b'
f' a'
X f
k' d'
b
c' O
a
c
k
d
结论： K点不在平面内
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⑵分析：点E在平面内，必在平面内某一条直线上。 作图方法一：用过点E的任一辅助线作图。
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e′ d′
f′ c′
X e c
f d
图2-29 判断两直线是否平行
Z e″ d″
c″ O
f″ YW
YH
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2.相交
图2-30 两直线相交
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[例2-4] 判断两直线是否相交？
a′ d′
k′
c′
b′
X
c
a
k
Z a″ d″
k″ b″
c″ YW
O
b
d
YH
图2-31 判断两直线是否相交
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图2-1 投影法
3
2.投影法分类 中心投影法 ：投影线汇交一点的投影法。 平行投影法 ：所有投影线相互平行的投影法。
斜投影法：投影线与投影面相倾斜的平行投影法。 正投影法：投影线与投影面相垂直的平行投影法。
投影中心 S 投影线
A
C
B c
a
b 投影面P
投影方向 A
a
C
投影方向
C A
c
a
bc
c
b
b
a
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图2-35 投影面平行面的投影特性
⑵投影面垂直面 铅垂面 正垂面 侧垂面
a′
x a
c′
z
a″
b′
b
c
yH
c″
b″ yW
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图2-36 投影面垂直面
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投影面垂直面的投影特性：
•在其垂直的投影面上的投影积聚成与该投影面内的两根投影轴倾斜的直线； •另外两个投影面上的投影为空间平面的类似形。
概述： 实际工程中的各种技术图样，都是按一定的投影方法绘制的，机械工程图样通常
是用正投影法绘制。本章首先学习介绍投影法的基本知识和物体三视图，再讨论点、线、 面等几何元素的投影原理，为学习后面的内容奠定基础。
§2-1 投影法的基本概念
§2-2 三视图及其对应关系
§2-3 点 的 投 影
§2-4 直 线 的 投 影