有限单元法
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。
有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。
这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。
有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。
有限单元法在工程领域有着广泛的应用。
在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。
在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。
在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。
有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。
在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。
在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。
在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。
总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。
希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。
有限单元法
F2
x
1
2
e T
EP 0 eT e EP B T EAl B l e eT (F q( x)N dx) 0 0
单元是平衡的
eT T eT l e 0
eT T
k B
其中
EAl B
1 / l EAl 1 / l 1 / l 1/ l EA 1 1 l 1 1 --局部坐标系下的单元刚度矩阵
有限单元法初步
有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。 有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。 2 离散化： 3 4 1 水坝 5 6
单元分析：
整体分析： 求应力：
§1 杆系结构的有限单元法
§1.1 泛函与变分
“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）
§1.1 泛函与变分
y* ( x) y( x) y( x)
称 y ( x ) 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。 变分运算在形式上与微分运算相同。
y 2 ( x) 2 y( x)y( x)
微分与变分运算次序可以交换。 d dy (y ) ( ) dx dx 积分与变分运算次序也可以交换。
杆中任一点应变
三、应力分析 ---用杆端位移表示杆中内力
杆中任一点应力
du dx d N e dx dN2 e dN 1 dx dx
E
EB
e
杆中任一截面的轴力
N A
B
B2
e
EAB
有限单元法名词解释
有限单元法名词解释
有限单元法（Finite Element Method）是一种数值计算方法，常用于工程领域，用于求解复杂的物理问题。
该方法将连续体分割为有限个小区域，即“单元”，并在每个单元内近似求解。
在有限单元法中，首先将待解问题建模为数学上的形式，选择适当的数学模型
和边界条件。
然后，将物理区域分割为有限个单元，每个单元内的数学形式由逼近函数表示。
每个单元的近似解通过如三角形和四边形等简单形状来表示。
通过解决每个单
元内的数学形式，得到整个物理区域的近似解。
这些单元共同构成了一个有限元模型。
有限单元法的优势在于可以处理各种形状、复杂的物理特性和非线性问题。
它
能够准确地描述材料、结构、流体等领域的行为，并能够提供与实际现象相匹配的数值结果。
此外，有限单元法还能够提供对问题的优化和灵活性，通过改变单元的大小和
形状，可以在所需精度和计算效率之间进行权衡。
总之，有限单元法是一种强大的数值计算方法，应用广泛于各个领域，因其可
靠性和灵活性而受到广泛的青睐。
它是工程分析和设计中不可或缺的工具，为我们解决复杂问题提供了有效的数值模拟手段。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域中结构力学、流体力学、热传导等问题的数值求解。
它的基本思想是将一个复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对单元的力学行为进行建模，最终得到整个系统的数值解。
本文将围绕有限单元法的原理及其在工程领域中的应用进行详细介绍。
有限单元法的原理。
有限单元法的原理基于力学原理和数学方法，其基本步骤包括，建立数学模型、离散化、单元划分、建立单元刚度矩阵和载荷向量、组装和求解方程、计算结果后处理等。
在建立数学模型时，需要根据实际问题选择合适的数学方程和边界条件，将问题转化为求解一组代数方程。
离散化是指将连续的物理问题划分成若干个小单元，每个单元内的物理行为可以用简单的数学方程描述。
单元划分是将整个结构或领域划分成若干个有限单元，通常采用三角形、四边形、四面体、六面体等几何形状。
建立单元刚度矩阵和载荷向量是对每个单元进行力学行为的建模，根据材料性质和几何形状计算单元的刚度矩阵和载荷向量。
组装和求解方程是将所有单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量，然后通过数值方法求解代数方程组。
最后，计算结果后处理是对数值解进行分析和可视化，评估结构的性能和稳定性。
有限单元法的应用。
有限单元法在工程领域中有着广泛的应用，包括结构力学、流体力学、热传导等方面。
在结构力学中，有限单元法可以用于分析和设计各种结构，如桥梁、建筑、机械零件等。
通过对结构的受力分析，可以评估结构的安全性和稳定性，指导工程设计和施工。
在流体力学中，有限单元法可以用于模拟流体的流动行为，如水力学、空气动力学等问题的数值模拟。
在热传导中，有限单元法可以用于分析材料的热传导性能，评估材料的热稳定性和散热效果。
总结。
有限单元法作为一种数值分析方法，在工程领域中有着重要的应用价值。
通过对结构、流体、热传导等问题的数值模拟，可以为工程设计和科学研究提供重要的参考和支持。
有限单元法基础
性体在各节点处的位移解。
3、单元分析---三角形单元
y
3.1 单元的结点位移和结点力向量
从离散化的网格中任取一个单元。三个结点 按反时针方向的顺序编号为：i, j, m。
结点坐标: (xi,yi) , (xj,yj) , (xm,ym) 结点位移: (ui,vi) , (uj,yj) , (um,vm) 共有6个自由度
单元位移插值函数： u(x, y) a1 a2 x a3 y
(3.1)
v(x, y) a4 a5x a6 y
插值函数的系数： a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A,
a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A,
um a1 a2 xm a3 ym , vm a4 a5 xm a6 ym ,
求解以上方程组得到以节点位移和节点坐标表示的6个参数：
a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A, a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A, a3 ciui c ju j cmum / 2 A, a6 civi c jv j cmvm / 2 A,
研究方法
从数学上讲它是微分方程边值问题(椭圆型微分方程、抛物型微分方程和双曲型微 分方程)的一种的数值解法，是一种将数学物理问题化为等价的变分问题的解法，并作 为一种通用的数值解法成为应用数学的一个重要分支。从物理上讲是将连续介质物理 场进行离散化，将无限自由度问题化为有限自由度问题的一种解方法。从固体力学上 认识，是瑞利-里兹法的推广。
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
有限单元法基本步骤示例
有限单元法在电磁 场分析中用于求解 电磁场方程
通过对电磁场进行 离散化处理，将连 续的电磁场转换为 离散的有限单元
通过对有限单元进 行数学建模和求解 ，得到电磁场的分 布情况和相关参数
有限单元法在电磁 场分析中具有广泛 的应用，如电磁场 仿真、天线设计、 电磁兼容性分析等
06 总结与展望
总结有限单元法的优势和不足
关系等。
最小势能原理
定义：最小势能原理是指在物理系统中，系统的总势能总是趋向于最小 值 应用：有限单元法中，通过最小化总势能来求解物理问题
优势：能够考虑系统的约束条件，得到精确解
局限性：对于非线性问题，可能会出现求解困难的情况
虚功原理
定义：虚功原理是有限单元法的基本原则之一，它指出在结构分析中，如果结 构受到的载荷是虚的（即不真实的），则结构的位移和应力也将是虚的。
优势：适用于复杂形状 和边界条件的离散化， 能够解决各种工程问题。
不足：计算量大，需要 高性能计算机支持；对 初学者来说，掌握难度 较大。
展望有限单元法未来的发展方向和应用前景
研究方向：随着科技的不断进步，有限单元法在理论和应用方面将会有更多的突破和创新，例 如开发更加高效、精确的算法和模型，以解决更加复杂的问题。
进。
05 有限单元法的应用实例
结构分析中的应用
有限单元法在结构分析中用于建立离散化模型，将连续的结构离散为有限 个单元，以便进行数值计算和分析。
有限单元法在结构分析中可以模拟各种复杂的结构和边界条件，例如桥梁、 高层建筑和核反应堆等。
有限单元法在结构分析中可以用于评估结构的强度、刚度和稳定性等性能 指标，为结构设计提供依据。
应用领域：随着工业和科技的不断发展，有限单元法将会被应用到更多的领域中，例如航空航 天、汽车、建筑、生物医学等，解决各种复杂的问题和挑战。
有限单元法的基本原理
有限单元法的基本原理有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用于工程和科学领域中求解复杂问题的数值方法。
它的基本原理可以概括为将复杂的连续问题离散化为简单的有限个单元，然后利用数值方法对各个单元进行分析，最终得到整个问题的近似解。
以下将详细介绍有限单元法的基本原理。
1.连续问题的离散化：2.单元的建立：利用有限单元法，每个单元内部的位移和应力分布可以通过简单的变换关系来表示。
通常，在每个单元内部选择一种合适的形状函数来表示位移和应力的连续变化。
在线性有限元分析中，常用的形状函数为线性函数，而在非线性有限元分析中，常用的形状函数可以是二次或更高次函数。
3.边界条件的施加：在有限单元法中，为了求解问题的唯一解，必须施加适当的边界条件。
边界条件可以是约束位移、施加力或给定的位移等。
通过施加适当的边界条件，可以将问题转化为一个封闭的系统，方便求解。
4.系统的建立：利用有限单元法，可以将整个问题表示为一个线性或非线性的代数方程组。
构建这个方程组需要考虑到每个单元的位移和应力之间的关系。
通过组装每个单元的刚度矩阵和力向量，最终可以得到整个问题的刚度矩阵和力向量。
5.方程组的求解：得到整个问题的刚度矩阵和力向量后，可以使用各种数值方法求解代数方程组。
常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。
求解得到的位移和应力即为整个问题的近似解。
6.解的后处理：在有限单元法中，为了解决工程问题，通常需要进一步对位移和应力进行后处理。
后处理可以包括计算其他感兴趣的物理量、绘制应力和位移图等。
通过后处理，可以更好地理解问题的本质和它们的工程意义。
总结起来，有限单元法通过将连续问题离散化为有限个单元，然后使用适当的形状函数表示位移和应力的连续变化，通过施加边界条件和构建代数方程组，最终得到问题的近似解。
有限单元法在工程和科学领域中被广泛应用，可以有效地解决各种复杂问题。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值方法。
它将一个连续问题分割成一系列离散的有限单元，通过对每个单元进行局部的数值近似，再将它们组合起来得到全局解。
有限单元法的基本原理是根据假设的位移关系和应变能量原理，将连续介质离散为有限个单元，然后通过数学方法对每个单元进行近似。
在每个单元内，假设解的形式，并通过插值方法得到每个节点的未知位移。
根据边界条件的限制，将每个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解线性方程组，得到整个结构的位移和应力分布。
有限单元法广泛应用于求解各种工程领域的问题，如结构力学、电磁场、流体力学等。
它的应用范围包括但不限于以下几个方面：1. 结构分析：有限单元法可用于结构强度分析、振动分析、热传导分析等。
通过对结构进行离散，可以计算结构的应力、应变分布，以及结构的固有频率和模态形式。
2. 热传导分析：有限单元法可以用于求解具有复杂边界条件的热传导问题。
通过离散化连续介质，可以计算温度分布和热流量分布，进而获取材料的热传导性能。
3. 流体力学：有限单元法可用于求解流体动力学问题，如流体的流动、传热、传质等。
通过将流体域离散化为网格，在每个单元上建立基本流动方程的数值近似，可以计算流体的速度、压力分布，以及各种力学量和热力学量。
4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解电磁场分布及其对物体的影响。
通过离散化电磁场区域，可以计算电场、磁场和电流分布，以及物体的电磁参数。
5. 地下水流动：有限单元法可用于模拟地下水流动和污染传输。
通过离散化地下水流动域，并运用流体力学的基本方程，可以计算地下水的流动速度、压力分布，以及污染物的传输路径和浓度分布。
总之，有限单元法在工程领域有广泛的应用，可以用于求解各种复杂的力学、热学和流体学问题，并为工程设计和分析提供重要的数值仿真工具。
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析
方法，常用于求解复杂的物理问题。
它将连续物体的区域划分为许多小的离散单元，然后在每个单元内建立局部的数学模型和方程。
通过求解这些局部模型和方程，可以得到整个物体的行为和性能。
有限单元法的基本原理是将连续问题离散化为有限数目的独立子问题。
在每个小单元内，选择一个数学函数作为近似解，并通过将近似解与原问题的偏微分方程进行数值积分和数值迭代，得到近似解的解析解。
将每个小单元的解汇总起来，可以得到整个物体的解。
有限单元法的应用非常广泛，可以用于解决各种工程和科学领域的问题。
例如，它可以用来模拟结构的强度和刚度特性，预测材料的疲劳寿命，优化产品的设计，以及研究流体和热传导等问题。
在建筑工程中，有限单元法可以用来分析建筑结构的荷载和变形，评估结构的安全性。
在汽车制造业中，它可以用来模拟车辆的碰撞和破碎行为，提高车辆的安全性。
在航空航天领域，有限单元法可以用来优化飞机的结构和翼型，提高飞机的性能。
此外，有限单元法还可以应用于地震工程、地下水流动、电磁场分析等领域。
总之，有限单元法通过离散化连续问题，将其转化为独立的子问题，然后通过求解局部模型和方程，得到整体解。
它具有广泛的应用领域，为解决多种复杂问题提供了有效的数值分析方法。
有限单元法的基本概念和理论基础
可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示：
1
2
应变分量向量
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
01
02
03
04
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，可得
考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。
应变分量与位移分量的关系来自<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
简化得
剪应力互等
应力
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程：
平衡微分方程
可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。
有限单元法基础
有限单元法基础
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算
方法，常用于求解连续介质力学问题。
它将连续的物理域划分为有限数量的离散单元（finite elements），通过在每个单元内构建近似函数来描述物理场，再根据物理方程建立离散方程组，通过求解离散方程组来得到物理场的近似解。
有限单元法的基本思路是将连续域离散化为有限数量的小单元，每个小单元内使用适当的数学函数进行插值，将大问题分解为很多个小问题，并利用变量之间的连续性建立全局的离散方程组。
然后通过求解离散方程组得到近似解。
有限单元法的基本步骤包括：
1. 网格划分：将要求解的区域划分为多个离散单元，并在每个单元内选择适当的形状函数。
2. 形函数构造：在每个单元内选择适当的形状函数，用于描述物理场的分布。
3. 整体方程组：根据物理方程在每个单元上的积分，建立整个问题的离散方程组。
4. 边界条件：根据边界条件，将边界上的节点处的值固定为已知值。
5. 求解方程组：利用数值方法求解离散方程组，得到物理场的
近似解。
6. 后处理：根据求解结果，计算所需的物理量并进行分析和验证。
有限单元法具有广泛的应用，适用于各种连续介质力学问题的数值求解，如结构力学、固体力学、流体力学、热传导等。
它可以处理复杂的几何形状和边界条件，且精度和收敛性能较高。
有限单元法
有限单元法
答：一、定义
有限单元法的基本前提是：将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，这样的组合体能解析地模拟或逼近求解区域。
由于单元能按各种不同的连接方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的几何形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域，有限元法作为一种数值分析方法的另一重要步骤是利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。
单元内的近似函数通常由未知场函数在各个单元节点上的数值以及插值函数表达。
这样一来，一个问题的有限单元分析中，未知场函数的节点值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
一旦求解出这些未知量，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数。
显然，随着单元数日的增加，单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
二、有限单元法主要学什么
1、有限单元法主要讲述线弹性有限元法的基本理论、matlab编程实现及相应商业有限元软件的应用，对线弹性动力有限元法及材料、几何和接触三类非线性有限元法的基本概念和程序应用也进行了介绍。
2、主要内容是：matlab编程及符号运算、分部积分、泛函极值与变分法、直接刚度法、有限元求解方法、杆单元力学基础、单元组
装、弹性固体结构、板壳结构。
有限单元法原理及应用简明教程ppt课件
(a) 瞬变结构
(b) 分离体分析
(c) 平衡状态分析
图2-32 瞬变结构
24
第二章 结构几何构造分析
(2) 两刚片规则 两刚片用三根既不完全平行也不交于同一点的链杆 相联，所得结构是几何不变结构。
(a) 铰与链杆连接两刚片 (b) 三链杆连接两刚片 图2-33 两刚片连接规则
25
第二章 结构几何构造分析
章
生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，
节
反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可
目 录
变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分
析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
11
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
节
何不变结构上，由增加二元体而发展的结构，是一个
目
几何不变结构。铰接三角形是最简单的几何不变结构。
录
图2-31 铰接三角形
23
第二章 结构几何构造分析
结构的特征是：当它受载荷作用时会产生微小的 位移， 但位移一旦发生后， 即转变成一几何不变结 构，但结构的内力可能为无限大值或不定值，这样的 结构称为瞬变结构。显然，瞬变结构在工程结构设计 中应尽量避免。
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
4
第一章 概述
图1-2 工程问题有限单元法分析流程
5
第一章 概述
1.3 工程实例
返 回 章 节 目 录
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
有限单元法的解题思路
解有限元方程
选择合适的求解器
根据有限元方程的特点和求解规模，选择合适的求解器，如直接法、迭代法等。
求解有限元方程
利用选择的求解器，求解有限元方程，得到节点自由度的解。
结果后处理与验证
结果后处理
对求解结果进行后处理，提取有用的 信息，如位移分布、应力分布等。
结果验证
将求解结果与实验结果或已知解进行 对比，验证求解的正确性和精度。
边界条件可以分为两类：本质边界条件和自然边界条件。本质边界条件是指那些必须满足的 约束条件，如固定位移、固定载荷等；自然边界条件是指在某些特定条件下系统自动满足的 约束条件，如无滑动、无渗透等。
在有限元分析中，需要对每个单元的边界进行处理，将边界条件转化为对每个单元的约束， 以保证整个系统的能量平衡。
发展
随着计算机技术的进步，有限单元法 在20世纪60年代得到迅速发展，广泛 应用于各种工程领域。
02
有限单元法的基本原理
离散化与有限元
离散化
将连续的物理问题离散化，将连续域 划分为有限个小的单元，每个单元具 有特定的形状和大小。
有限元
在离散化的基础上，选取每个单元的 中心点或节点作为代表点，通过这些 代表点将各个单元连接起来，形成一 个整体的有限元模型。
建立数学模型
01
确定问题类型
明确问题是静态、动态还是流体 问题，以及问题的边界条件和初 始条件。
02
确定物理模型
03
建立数学方程
根据问题类型，建立相应的物理 模型，包括受力分析、位移分析 等。
根据物理模型，建立相应的数学 方程，如平衡方程、运动方程等。
离散化处理
选择合适的单元类型
根据问题特点和求解精度要求，选择合适的单元类型，如一维、 二维或三维单元。
有限单元法
M
e
AL
1
210
0
0
1
0
6
0
11 l 0 210
9 70
13 420
l
1 l2 0
13 l
1
l2
105
420 140
0
1
0
0
6
3
0
9 70
13 l 0 420
13 35
11 210
l
0
13 l 420
1 l2 140
0
11 l 210
1 l2 105
一、基本思想
2、单元矩阵
c0 w1, c1 l1, c2 3w1 3w2 2l1 l2
c3 2w1 2w2 l1 l2
w(x,t) w1(t)w1(x) 1w2 (x) w2 (t)w3 (x) 2 w4 (x)
w1(x) 1 3x l2 2x
w3(x) 3 x l 2 2 x
l
l
3 ,w2 (x) l
u(x,t)
w( x, t )
N
(
x)
q
e
N
u1
0
0
w1
0
w2
u 2
0
0
w3
0
w4
一、基本思想
2、单元矩阵
T 1 2
l 0
A
u 2
w2
Hale Waihona Puke dx1 2l
0
Au
w
u w
dx
1 2
l
A0
qeT
N
T
N
qe
dx
1 2
qe
T M e
有限单元法原理和算例
优点
• 适用于复杂几何形状 • 结果准确性高 • 可以精确模拟材料非线性行为
局限性
• 计算量大，对计算机性能要求高 • 需要经验丰富的工程师进行建模和解算 • 某些问题不适用，如高速撞击等动态响应
有限单元法在工程实例中的应 用
实例1：模拟汽车车身的刚度和振动特性，优化设计。 实例2：分析桥梁结构的受力分布和变形情况，提高结构的安全性。 实例3：计算机芯片散热分析，优化散热器设计。
有限单元法的基本原理
单元划分
将结构或物体划分为更小、更简单的几何单 元，如三角形、四边形。
单元变形分析
根据单元材料属性，在每个单元内进行变形 分析以求解各个单元的位移、应变和应力。
单元属性定义
为每个单元分配材料属性和边界条件，如弹 性模量和受力。
整体单元拼装
将所有单元的结果组合起来形成整个结构的 位移、应变和应力场。
对求解结果进行后处理，如位移云 图、应力分布。
有限单元法的应用领域
结构力学
用于分析和设计建筑、桥梁等结构的力学性 能。
流体力学
用于模拟流体在管道、容器中的流动场。
热传导
用于模拟热传导过程，如热传导板和散热器 的设计。
电磁场
用于计算电磁场在电机、变压器等电气设备 中的分布。
有限单元法的优点和局限性
结论和总结
有限单元法是一种强大的工程仿真方法，广泛应用于各个领域。通过离散化、 分析和求解，我们可以更好地理解和优化复杂结构和物体的行为。
有限单元法的算法流程
1
几何模型
描述结构的实际几何形状和尺寸。
网格划分
2
将结构划分为有限数量的单元，形
成网格。
3
边界条件
定义结构的边界条件，如约束和外力。
有限单元法基本原理和数值方法 (2)
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值计算方法。
它的基本原理是将连续体分割为离散的有限单元，通过建立有限单元间的关系，近似求解连续体的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法。
2. 有限单元法基本原理有限单元法基于两个基本假设：一是一个连续物体可以用小的有限单元来近似表示；二是连续物体在每个有限单元内有近似均匀的力和位移。
有限单元法的基本原理可以概括为以下几个步骤：2.1 离散化将连续物体划分为有限个离散的单元，每个单元都有自己的性质和参数。
通常采用三角形、四边形、四面体等简单形状的单元。
2.2 建立单元间的关系通过节点和单元之间的连接关系来构建整个有限元模型。
每个单元都与相邻的单元共享一些节点，通过共享的节点建立单元间的关系。
2.3 定义单元的属性为每个单元定义材料性质、几何属性和荷载条件等参数，这些参数将用于描述单元的行为。
2.4 定义求解问题的边界条件为有限元模型定义相应的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等。
2.5 利用单元间的关系建立方程通过应变能最小原理，利用单元间的关系建立求解整个结构的方程。
2.6 求解方程将建立的方程离散化，采用数值方法求解得到解。
3. 有限单元法数值方法有限单元法中常用的数值方法有直接法和迭代法。
3.1 直接法直接法是指直接求解线性方程组的方法，通常使用高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是计算简单，稳定性好。
但是当方程组规模较大时，计算量会很大。
3.2 迭代法迭代法是指通过迭代逼近求解方程组的方法，常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
迭代法的优点是计算量相对较小，适用于大规模方程组。
但是迭代法的收敛性需要保证，且需要选择合适的迭代停止准则。
4. 有限单元法应用有限单元法广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、电磁场分析等。
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水下爆炸
核工业
预应力混凝 土压力容器 安全性分析
轻水反应堆中管道的安全分析
军事工业
子弹穿甲模拟
生物力学 人体颈椎后仰应力分析骨头静力分析 Nhomakorabea3.
怎样学习有限元 ？
两条原则
一、掌握有限元的基本理论和概念，这是灵活 使用有限元方法的基础。 二、掌握一种有限元分析软件（ANSYS）， 做工程实际课题，在实践中提高。
主要内容：
一、理论部分 第一章 绪论 第二章 弹性里蹙额基础知识 第三章 平面问题的有限单元法 第四章 空间问题和轴对称问题有限单元法 第五章 等参数单元 二、ANSYS软件 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 ansys软件简介 实体建模 网格划分与创建有限元模型技术 施加载荷与求解 通用后处理技术 ansys有限元分析实例
力边界条件：
混合边界条件：
初始条件：初始条件是结构响应前所施加的如初始温度 及预应力等。
1.2 有限元法的基本步骤 化整为零 1、结构的离散化 ——把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。
注意：
（1）离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来。 （2）单元的类型及形状的选择。
（3）网格的大小及疏密的合理布置。
数值模拟技术—
用计算机来获得 满足工程要求的 数值解
有限单元法的基本思想
• 离散化：将原结构划分成许多小块（单元）； • 单元分析：用这些离散单元的集合体代替原结构； • 整体分析：用近似函数表示单元内的真实场变量， 从而给出离散模型的数值解。
2.
为什么要学有限元 ？
有限元法的应用使设计水平发生了质的飞跃，在机 械工程领域表现在以下几个方面： 1、增加设计功能，减少设计成本； 2、缩短设计和分析的循环周期； 3、增加产品和工程的可靠性； 4、采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 5、在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6、模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7、进行机械事故分析，查找事故原因。
单元拼装 离散化
单元分析
1.7 有限元的特点 （1）理论基础简明，物理概念清晰。 （2）计算方法通用，应用范围广。 （3）可以处理任意复杂边界的结构。 （4）计算格式规范，易于程序化。
2.有限元的力学基础
2.1 变形体的描述、变量定义以及基本方程
变形体：在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生
相对移动，这样的物体叫做变形体。它与材料的物理性质密 切相关。材料力学和结构力学的研究对象是简单变形体，如 杆、梁、柱等。弹性力学处理的是任意形状变形体。有限元 法所处理的对象为任意形状变形体。因而弹性力学中有关变 量和方程的描述将是有限元法的重要基础。 对于一个待分析的对象，包括复杂的几何形状、给定的材 料类型、指定的边界条件（受力和约束状况）。描述这样的 对象需要三大类变量、三大类方程和边界条件。
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
ROTX UX
结构 DOFs
结构 热 电 流体 磁
1.5常用术语 节点、单元、载荷
载荷
节点:用于确定单元形状、表述单元 特征及连接相邻单元的点。节点是 有限元模型中的最小构成元素。多 个单元可以共用1个节点，节点起 连接单元和实现数据传递的作用。 单元:有限元模型中每一个小的块体 称为一个单元。单元有线、面或实 体以及二维或三维的单元等种类。 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元简介
• 1. 什么是有限单元法 ？(What ?) • 2. 为什么要学有限元 ？(Why ?) • 3. 怎样学习有限元 ？ (How ?)
1.
什么是有限单元法？
一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以 求解连续体力学问题的数值方法。
有限元分析—— FEA (Finite Element Analysis) 使用有限元法，以计算机为工具，对实际物理问题进 行模拟求解。 有限单元法
管材的弯曲和回弹 板材的深拉
加工模拟技术是应用有限元技术对加工过程中工件的变形， 材料的流向，成形后的形状尺寸进行模拟仿真。 用途：预测加工缺陷;预测回弹;辅助模具和零件设计;优化 加工工艺参数;参数变化研究等。 板料深拉及弯曲；管材及异型截面型材的弯曲和回弹；
受内压圆筒斜接管
锥壳径向接管
加工成型
二维或轴对称实体单元 UX, UY I
J P M L I N K J O
K J
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维实体热单元 TEMP
P
O
三维实体结构单元 UX, UY, UZ
M L I
N
K J
节点和单元
边界条件：边界条件是指结构边界上所受到的外加约束。 在有限元分析过程中，施加正确的边界条件是获得正确的 分析结果和较高的分析精度的关键。 常见边界条件类型： 位移边界条件：
3D模型 2D图纸
虚拟装配 零部件加工
装配
传统设计
FEA、CAE分析
现代设计
虚拟制造 试验
数控加工
产品 产品
有限元的应用范围
结构力学（航空、航天、建筑、机械、大应变） 动力学分析（桥梁、固有频率、机械振动、大位移） 温度场（温度分布、传导、辐射、耦合）
流场（流体、空气）
医学工程（骨生物力学、血液血管、牙齿）
连续体 离散体 连续体
所以,有限元法实质上是把具有无限个自由度的连续 系统,理想化为只有有限个自由度的单元集合体,使问 题转化为适合于数值求解的结构型问题。
1.3有限元模型 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
真实系统
有限元模型
1.4自由度（DOF）
自由度用于描述一个物理场的响应特性
问题
UY ROTY
有限单元法 finite element analysis (FEA)
课程安排及预备知识
40学时，24学时上机学习ansys软件 教材： 《ANSYS有限元基础教程》王新荣，初旭宏主编。 电子工业出版社 预备知识： 数学：线性代数、矩阵论、数值分析 力学：材料力学、结构力学、弹性力学 计算机：软件应用、编程
汽车工业
汽车碰撞实验
机体系统—缸体温度场分析
刹车制动时底盘的应力分布：
重力荷载下的底盘的应力分布：
超高车辆与立交桥梁碰撞的有限元仿真
发动机缸体热应力分析
汽车的流体动力学分析
单缸曲柄连杆有限元分析
轴承强度分析
水轮机叶轮的受力分析模拟
航空航天
整机强度和副翼疲劳强度
飞机的紧急水面迫降
参考教材：
1.机械结构有限元分析，张志文等，哈尔滨工业大学出版社 2.有限单元法基础，王定焕。焦兆平编著，高等教育出版社 3.有限元基础理论与ANSYS11.0应用，张宏信，管殿柱主编， 机械工业出版社 4.ANSYS10.0有限元分析自学手册，邓凡平编，人民邮电 出版社 5.ANSYS机械工程应用精华50例，刘学杰主编，电子工业 出版社 相关网站： 中国机械CAD网--CAD/CAM/CAE/AUTOCAD/CAXA/UG软 件学习，机械制造... /
圆锥管成型加工过程进 行模拟与仿真
冲压成型的模拟
工字钢成形过程模拟
高层建筑 深圳某民用住宅转换层抗震分析
桥梁工程
桥梁施工过程模拟
美国金门桥地震响应分析
桥梁基础沉降分析
电子行业
冲击和跌落问题
热传导和热 应力问题：
显示器玻壳强度分析
船舶工程
5万吨集装箱船船体整体结构强度有限元分析
船舶的频率分析
基本变量：在材料确定的情况下，基本的力学变 量有——位移、应变、应力
图2.1 变形体的描述
图2.2 变形体的描述及所需要的变量
基本方程：受外部作用的任意变形体，在其微小体元 dxdydz 中，基于位移、应变、应力这三类变量，可 以建立以下三大类方程： 受力状况的描述：平衡方程 变形程度的描述：几何方程 材料的描述：物理方程（应力应变或本构方程） 边界条件： 位移方面、外力方面
载荷
载荷
载荷---工程结构所受到外加力或力 矩称为载荷，包括集中力、力矩及 分布力等。在不同的学科中，载荷 的含义有所差别。在通常结构分析 过程中，载荷为力、位移等，在温 度场分析过程中，载荷是指温度等。
载荷
节点和单元
单元之间的信息是通过单元之间的公共节点传递的。 2 nodes
.
.
A
.
. .
B
图2.3 变形体的基本变量、基本方程及边界条件
2. 单元分析： 对每个单元由分块近似的思想,按一定的 规则(由力学关系或选择一个简单函数)建 立求解未知量与节点相互作用(力)之间的 关系(力—位移、热量—温度、电压—电 流等)。
1.2有限单元法的基本思想
3.整体分析： 把所有单元的这种特性关系按一定的条件(变形协调 条件、连续条件或变分原理及能量原理)集合起来,引 入边界条件,构成一组以节点变量(位移、温度、电压 等)为未知量的代数方程组,求解之就得到有限个节点 处的待求变量。
e e e
（3）计算等效节点力
3. 整体分析 集零为整 有限元法的分析过程是先分后合。即先进行单元分析， 在建立了单元刚度方程以后，再进行整体分析，把这些方程 集成起来，形成求解区域的刚度方程，称为有限元位移法基 本方程。 Kδ F 式中 K
F
——整体结构的刚度矩阵； ——整体节点位移向量； ——整体载荷向量。
.
. .
A
1 node
.
.
.
B
.
.
.
分离但节点重叠的单元A 和B之间没有信息传递（ 需进行节点合并处理）