函数单调性教案(第1课时)
函数的单调性教案
数学公开课教案课题：函数的单调性时间：2013.11.21第一节课型：新授课地点：13电子技术教师：达代方【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力．【教学重点】函数单调性的概念及判断方法．【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义判断函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、电视机．【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：杭州市年生产总值统计、淳安县日平均出生人数等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知问题：以下是函数2,1,1xyxyxy=+-=+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数1+=xy在整个定义域内y随x的增大而增大；函数1+-=xy在整个定义域内y随x的增大而减小．(2)函数2xy=在),0[+∞上y随x的增大而增大，在]0,(-∞上y随x的增大而减小．引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．2．探究规律，理性认识问题：下图是一个函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置．OOyyyxxx123-1-2-3-1123456123-1-2-1-2123412-1-2-3-112345O通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．法一：作出图像，通过观察图像判断出此函数是增函数 法二（定义法）：即归纳判断单调性的步骤：1. 任取x 1，x 2∈A ，且x 1<x 2；2. 作差f (x 1)－f (x 2)；3. 变形（通常是因式分解和配方）；4. 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；5. 下结论练习：试判断函数 在区间 R 的单调性。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。
举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。
1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。
通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。
引导学生学会识别函数图像中的单调区间。
2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。
教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。
第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。
通过例题让学生掌握求解极值的方法。
3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。
通过例题让学生理解最值的求解过程。
第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。
通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。
4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。
第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。
引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。
5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。
提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。
通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。
6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。
通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。
函数的单调性 教案-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
函数的单调性【第1课时】【教学目标】【核心素养】1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．（重点）2．会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．（重点、难点）3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．（重点、难点）1．借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．【教学过程】一、新知初探条件一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，且M⊆A：如果对任意x1，x2∈M，当x1＞x2时都有f（x1）＞f（x2）都有f（x1）＜f（x2）结论y＝f（x）在M上是增函数（也称在M上单调递增）y＝f（x）在M上是减函数（也称在M上单调递减）图示思考1：增（减）函数定义中的x1，x2有什么特征？提示：定义中的x1，x2有以下3个特征（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；（2）有大小，通常规定x1＞x2；（3）属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在M上具有单调性（当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y＝1x在（－∞，0）上递减，在（0，＋∞）上也递减，但不能说y＝1x在（－∞，0）∪（0，＋∞）上递减．最大值最小值条件一般地，设函数f（x）的定义域为D：且x0∈D，如果对任意x∈D 都有f（x）≤f（x0）都有f（x）≥f（x0）结论称f（x）的最大值为f（x0），记作f max ＝f（x0），而x0称为f（x）的最大值点称f（x）的最小值为f（x0），记作f min＝f（x0），而x0称为f（x）的最小值点统称最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点二、初试身手1．函数y＝f（x）的图像如图所示，其增区间是（）A．[－4，4]B．[－4，－3]∪[1，4]C．[－3，1]D．[－3，4]答案：C解析：由题图可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为[－3，1]，选C．2．下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（）A．y＝－1x B．y＝xC．y＝x2D．y＝1－x答案：D解析：函数y ＝1－x 在区间（0，＋∞）上是减函数，其余函数在（0，＋∞）上均为增函数，故选D ．3．函数y ＝f （x ）在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2D ．12，2答案：C解析：由题图可知，f （x ）的最大值为f （1）＝2，f （x ）的最小值为f （－2）＝－1．4．函数f （x ）＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________． 答案：（－∞，1]解析：因为f （x ）＝x 2－2x ＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以函数f （x ）的单调减区间是（－∞，1]． 三、合作探究类型1：定义法证明（判断）函数的单调性例1：证明：函数f （x ）＝x ＋1x 在（0，1）上是减函数． 思路点拨：设元任取x 1，x 2∈0，1且x 1＞x 2―→作差：fx 1－fx 2――→变形判号：fx 2>fx 1――→结论减函数证明：设x 1，x 2是区间（0，1）上的任意两个实数，且x 1＞x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝（x 1－x 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝（x 1－x 2）＋x 2－x 1x 1x 2＝（x 1－x 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2，∵0<x 2<x 1<1，∴x 1－x 2＞0，0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴x1－x2－1＋x1x2x1x2＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）＝x＋1x在（0，1）上是减函数．规律方法利用定义证明函数单调性的步骤1．取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＞x2．2．作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．3．定号：确定f（x1）－f（x2）的符号．4．结论：根据f（x1）－f（x2）的符号及定义判断单调性．提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．跟踪训练1．证明：函数y＝xx＋1在（－1，＋∞）上是增函数．证明：设x1>x2>－1，则y1－y2＝x1x1＋1－x2x2＋1＝x1－x2x1＋1x2＋1．∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴x1－x2x1＋1x2＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝xx＋1在（－1，＋∞）上是增函数．类型2：求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f（x）＝－1x；（2）f（x）＝⎩⎨⎧2x＋1，x≥1，5－x，x<1；（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3．解：（1）函数f（x）＝－1x的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函数．（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），[1，＋∞），并且函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f （x ）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f （x ）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f （x ）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f （x ）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．规律方法求函数单调区间的方法1．利用已知函数的单调性求函数的单调区间． 2．利用函数图像求函数的单调区间．提醒：1．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．2．理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系． 跟踪训练2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．解：函数在[－1，0]，[2，4]上是减函数，在[0，2]，[4，5]上是增函数． 3．写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． 解：先画出f （x ）＝⎩⎨⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－（x 2－2x －3），－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间为（－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞）．类型3：函数单调性的应用 探究问题1．若函数f （x ）是其定义域上的增函数，且f （a ）>f （b ），则a ，b 满足什么关系．如果函数f （x ）是减函数呢？提示：若函数f （x ）是其定义域上的增函数，那么当f （a ）>f （b ）时，a >b ；若函数f （x ）是其定义域上的减函数，那么当f （a ）>f （b ）时，a <b ．2．决定二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a 的符号及－b2a 的大小．例3：（1）若函数f （x ）＝－x 2－2（a ＋1）x ＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．（2）已知函数y ＝f （x ）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f （2x －3）>f （5x －6），则实数x 的取值范围为________．思路点拨：（1）分析fx 的对称轴与区间的关系数形结合，建立关于a 的不等式――→求a 的范围（2）f2x －3>f5x －6f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，建立关于x 的不等式――→求x 的范围答案：（1）（－∞，－4] （2）（－∞，1）解析：（1）∵f （x ）＝－x 2－2（a ＋1）x ＋3的图像开口向下，要使f （x ）在（－∞，3]上是增函数，只需－（a ＋1）≥3，即a ≤－4．∴实数a 的取值范围为（－∞，－4]．（2）∵f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f （2x －3）>f （5x －6），∴2x －3>5x －6，即x <1．∴实数x 的取值范围为（－∞，1）．]母题探究1．（变条件）若本例（1）的函数f （x ）在（1，2）上是单调函数，求a 的取值范围．解：由题意可知－（a ＋1）≤1或－（a ＋1）≥2，即a ≤－3或a ≥－2． 所以a 的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）．2．（变条件）若本例（2）的函数f （x ）是定义在（0，＋∞）上的减函数，求x 的取值范围．解：由题意可知，⎩⎨⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32．∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞．规律方法函数单调性的应用1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．2．若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．类型4：求函数的最值（值域）例4：已知函数f （x ）＝2x ＋1x ＋1．（1）判断函数在区间（－1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：（1）f （x ）在（－1，＋∞）上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2（x 1＋1）（x 2＋1），因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0， 所以f （x 1）－f （x 2）<0⇒f （x 1）<f （x 2）， 所以f （x ）在（－1，＋∞）上为增函数． （2）由（1）知f （x ）在[2，4]上单调递增，所以f （x ）的最小值为f （2）＝2×2＋12＋1＝53， 最大值为f （4）＝2×4＋14＋1＝95． 规律方法1．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤 （1）判断函数的单调性．（2）利用单调性求出最大（小）值． 2．函数的最大（小）值与单调性的关系（1）若函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增（减）函数，则f （x ）在区间[a ，b ]上的最小（大）值是f （a ），最大（小）值是f （b ）．（2）若函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增（减）函数，在区间[b ，c ]上是减（增）函数，则f （x ）在区间[a ，c ]上的最大（小）值是f （b ），最小（大）值是f （a ）与f （c ）中较小（大）的一个．提醒：（1）求最值勿忘求定义域．（2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．跟踪训练4．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1＜x ≤1，1x ，x >1，求（1）f （x ）的最大值、最小值；（2）f （x ）的最值点．解：（1）作出函数f （x ）的图像（如图）．由图像可知，当x ＝1时，f （x ）取最大值为f （1）＝1．当x ＝0时，f （x ）取最小值f （0）＝0，故f （x ）的最大值为1，最小值为0．（2）f （x ）的最大值点为x 0＝1，最小值点为x 0＝0． 四、课堂小结1．定义单调性时应强调x 1，x 2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性（利用定义）一定要严格遵循设元、作差、变形、定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：（1）图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值； （2）单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识． 五、当堂达标1．思考辨析（1）若函数y ＝f （x ）在定义域上有f （1）<f （2），则函数y ＝f （x ）是增函数．（ ）（2）若函数y ＝f （x ）在区间[1，3]上是减函数，则函数y ＝f （x ）的单调递减区间是[1，3]．（ ）（3）任何函数都有最大（小）值．（ ）（4）函数f （x ）在[a ，b ]上的最值一定是f （a ）（或f （b ））．（ ） 答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2．下列函数中，在（0，2）上是增函数的是（ ）A ．y ＝1x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝1－2x D ．y ＝（2x －1）2答案：B解析：对于A ，y ＝1x 在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减；对于B ，y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C ，y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D ，y ＝（2x －1）2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B ．3．函数y ＝x 2－2x ，x ∈[0，3]的值域为________． 答案：[－1，3]解析：∵函数y ＝x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ∈[0，3]，∴当x ＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x ＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]．4．试用函数单调性的定义证明：f （x ）＝2xx －1在（1，＋∞）上是减函数．证明：f （x ）＝2＋2x －1，设x 1>x 2>1，则f （x 1）－f （x 2）＝2x 1－1－2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）．因为x 1>x 2>1，所以x 2－x 1<0，x 1－1>0，x 2－1>0， 所以f （x 1）<f （x 2），所以f （x ）在（1，＋∞）上是减函数．【第2课时】【教学目标】【核心素养】1．理解斜率的含义及平均变化率的概念．（重点） 2．掌握判断函数单调性的充要条件．（重点、难点）通过利用函数f （x ）的平均变化证明f （x ）在I 上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．【教学过程】一、新知初探 1．直线的斜率（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1≠x 2时，称y 2－y 1x 2－x 1为直线AB 的斜率；（若记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，当Δx ≠0时，斜率记为ΔyΔx ），当x 1＝x 2时，称直线AB 的斜率不存在．（2）作用：直线AB 的斜率反映了直线相对于x 轴的倾斜程度． 2．平均变化率与函数单调性若I 是函数y ＝f （x ）的定义域的子集，对任意x 1，x 2∈I 且x 1≠x 2，记y 1＝f（x 1），y 2＝f （x 2），Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫即Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，则 （1）y ＝f （x ）在I 上是增函数的充要条件是ΔyΔx ＞0在I 上恒成立；（2）y ＝f （x ）在I 上是减函数的充要条件是ΔyΔx ＜0在I 上恒成立．当x 1≠x 2时，称Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1为函数y ＝f （x ）在区间[x 1，x 2]（x 1＜x 2时）或[x 2，x 1]（x 1＞x 2时）上的平均变化率．通常称Δx 为自变量的改变量，Δy 为因变量的改变量．3．平均变化率的物理意义（1）把位移s 看成时间t 的函数s ＝s （t ），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1．（2）把速度v 看成时间t 的函数v ＝v （t ），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1，t 2]上的平均加速度，即a ＝v （t 2）－v （t 1）t 2－t 1．二、初试身手1．已知点A （1，0），B （－1，1），则直线AB 的斜率为（ ）A ．－12B ．12C ．－2D ．2 答案：A解析：直线AB 的斜率1－0－1－1＝－12．2．如图，函数y ＝f （x ）在[1，3]上的平均变化率为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案：B解析：Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－33－1＝－1．3．一次函数y ＝－2x ＋3在R 上是________函数．（填“增”或“减”） 答案：减解析：任取x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2．∴y 1＝－2x 1＋3，y 2＝－2x 2＋3，∴Δy Δx ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2＜0，故y ＝－2x ＋3在R 上是减函数．4．已知函数f （x ）＝2x 2＋3x －5，当x 1＝4，且Δx ＝1时，求Δy 的平均变化率Δy Δx ．解：∵f（x）＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，∴Δy＝f（x2）－f（x1）＝2（x1＋Δx）2＋3（x1＋Δx）－5－（2x21＋3x1－5）＝2（Δx）2＋（4x1＋3）Δx．当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21．则ΔyΔx＝211＝21．三、合作探究类型1：平均变化率的计算例1：一正方形铁板在0℃时边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．思路点拨：由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．解：设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2，所以平均膨胀率ΔSΔt＝200（a＋a2t）＋100a2Δt．规律方法1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．2．求平均变化率只需要三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量；（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量；（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．跟踪训练1．路灯距地面8m，一个身高为1．6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．（1）求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；（2）求人离开路灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率．解：（1）如图所示，设此人从C点运动到B点的位移为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，即yy＋x＝1.68，所以y＝0．25x．（2）84m/min＝1．4m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0．25×1．4t＝0．35t，所以10 s内平均变化率ΔyΔt＝3.510＝0．35（m/s），即此人离开灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0．35m/s．类型2：利用平均变化率证明函数的单调性例2：若函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数且f（x）＞0，求证：g＝1f（x）在I上为减函数．思路点拨：由y＝f（x）在I上为增函数的充要条件可得ΔyΔx＞0，再证ΔgΔx＜0即可．证明：任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1），∵函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数，∴Δy＞0，ΔyΔx＞0，∴Δg＝g（x2）－g（x2）＝1f（x2）－1f（x1）＝f（x1）－f（x2）f（x1）f（x2）．又∵f（x）＞0，∴f（x1）f（x2）＞0且f（x1）－f（x2）＜0，∴Δg＜0，∴ΔgΔx＜0，故g＝1f（x）在I上为减函数．规律方法单调函数的运算性质若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则：1．f（x）与f（x）＋C （C为常数）具有相同的单调性．2．f（x）与a·f（x），当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性．3．当f（x）恒为正值或恒为负值时，f（x）与1f（x）具有相反的单调性．（4f（x）g（x）f（x）＋g（x）f（x）－g（x）增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数跟踪训练2．已知函数f（x）＝1－3x＋2，x∈[3，5]，判断函数f（x）的单调性，并证明．解：由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f（x）＝1－3x＋2为增函数．证明过程如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－3x2＋2－⎝⎛⎭⎪⎫1－3x1＋2＝3x1＋2－3x2＋2＝3（x2－x1）（x1＋2）（x2＋2）．∵（x1＋2）（x2＋2）＞0，∴Δy＞0，∴ΔyΔx＞0，故函数f（x）在[3，5]上是增函数．类型3：二次函数的单调性最值问题探究问题1．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f（x）在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．例3：已知函数f （x ）＝x 2－ax ＋1，求f （x ）在[0，1]上的最大值． 思路点拨：解：因为函数f （x ）＝x 2－ax ＋1的图像开口向上，其对称轴为x ＝a2， 当a 2≤12，即a ≤1时，f （x ）的最大值为f （1）＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f （x ）的最大值为f （0）＝1． 母题探究1．在题设条件不变的情况下，求f （x ）在[0，1]上的最小值．解：（1）当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，1]上单调递增，∴f （x ）min ＝f （0）＝1．（2）当a2≥1，即a ≥2时，f （x ）在[0，1]上单调递减，∴f （x ）min ＝f （1）＝2－a ．（3）当0<a 2<1，即0<a <2时，f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递增，故f （x ）min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24．2．在本例条件不变的情况下，若a ＝1，求f （x ）在[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值．解：当a ＝1时，f （x ）＝x 2－x ＋1，其图像的对称轴为x ＝12， ①当t ≥12时，f （x ）在其上是增函数，∴f （x ）min ＝f （t ）＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f （x ）在其上是减函数，∴f （x ）min ＝f （t ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f （x ）min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34．规律方法二次函数在闭区间上的最值设f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），则二次函数f（x）在闭区间[m，n]上的最大对称轴与区间的关系－b2a＜m＜n，即－b2a∈（－∞，m）m＜－b2a＜n，即－b2a∈（m，n）m＜n＜－b2a，即－b2a∈（n，＋∞）图像最值f（x）max＝f（n），f（x）min＝f（m）f（x）max＝max{f（n），f（m）}，f（x）min＝f⎝⎛⎭⎪⎫－b2af（x）max＝f（m），f（x）min＝f（n）四、课堂小结1．平均变化率中Δx，Δy，ΔyΔx的理解（1）函数f（x）应在x1，x2处有定义；（2）x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；（3）注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f（x2）－f（x1），而不是Δy ＝f（x1）－f（x2）；（4）平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．2．判断函数y＝f（x）在I上单调性的充要条件（1）y＝f（x）在I上单调递增的充要条件是ΔyΔx＞0恒成立；（2）y＝f（x）在I上单调递减的充要条件是ΔyΔx＜0恒成立．五、当堂达标1．思考辨析（1）一次函数y＝ax＋b（a≠0）从x1到x2的平均变化率为a．（）（2）函数y＝f（x）的平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1的几何意义是过函数y＝f（x）图像上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））所在直线的斜率．（）（3）在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c（a≠0）任意两点的平均变化率都相等．（）答案：（1）√（2）√（3）×2．函数f（x）＝x从1到4的平均变化率为（）A．13B．12C．1 D．3 答案：A解析：Δy＝4－1＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为ΔyΔx＝13．3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内倒入的饮料量相同），那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h（t），则函数h（t）的图像可能是（）答案：B解析：由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）．求该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度．解：该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝8－3（1＋Δt）2－8＋3×12Δt＝（－6－3Δt）（m/s）．。
函数的单调性(教案)
参赛教案教材和教学内容分析：本堂课选用的教材是新课标人教版，数学必修1。
教学内容为教材第一章第三节的第一课时函数的单调性。
函数单调性是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法参考。
函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等初等函数的基础。
此外在比较数的大小、确定极值等函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。
本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合等数学思想方法，这对培养学生的逻辑推理能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
学情分析：在义务教育阶段,学生已经学习了一次函数、二次函数及反比例函数熟悉了函数图象及性质。
多数同学对数学有相当的兴趣及积极性，但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，需要在学习实践中进一步加强。
从左往右，沿着图象策马前行，先走上坡后走下坡从左往右，在整个实数范围内一直在走上坡路； 函数 ，在整个定义域内 y 随x 的增大而增大。
12)(+=x x f从左往右，在整个实数范围内一直在走下坡路；函数,在整个定义域内 y 随x 的增大而减小。
12)(+-=x x f x x f 2)(=(1)(≠=x x f问题4：你能用准确的数学符号语言表述出函数 在[)+∞,0上图象的特征吗?xx f )(=[)()()()的，所以即且任取x x f x x x x x x x x x x x x =<<-+=<+∞∈0-,,,0,222212122212121解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.1.3.1函数的单调性一、定义例2、证明步骤注：。
课时1 函数的单调性
关于函数单调性的教学，建议教师先通过图象观察分析图象的特 征，让学生说出图象分别反映的函数的性质．然后教师再借助学生所熟 悉的二次函数的图象来研究函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性 质，给出这一性质就是函数的单调性．最后将这一性质用数学符号语言 描述出来，进而给出函数的增、减性概念，通过例题让学生掌握判断函 数单调性的步骤和方法．
的图象向左平移一个单位，再向上平移两个
单位得到，如图：
要使函数f(x)＝
2x－1 x＋1
在区间[m，＋∞)上为增函数，则需满足m∈(－
1，＋∞)．
(备选题)已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－ a)<f(2a－1)，求实数a的取值范围．
－1<1－a<1，
解：由题知－1<2a－1<1， 1－a>2a－1，
一、导入新课 如图为某地2020年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气 温变化图：
二、提出问题 1．温度在哪个时间内是逐步升高的或下降的？
2．怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的增长气温逐渐升 高”这一特征？
3．对于任意的t1，t2∈[4,16]时，当t1<t2时，是否都有f(t1)<f(t2)呢？
(1)求f(－2)，f
1 2
的值；(2)试判断函数在
－1，＋∞
上的单调性，并
给予证明． 解：(1)由函数f(x)＝axx＋－11的图象过点(1,2)，得f(1)＝a－2 1＝2，解得a
＝5，所以f(x)＝5xx＋－11，所以f(－2)＝－－111＝11，f12＝5×12＋12－1 1＝1.
(2)函数在(－1，＋∞)上是增函数，证明如下：任取x1，x2，且－ 1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝5xx11＋－11－5xx22＋－11＝ 5x1－1x2＋1－5x2－1x1＋1
函数的单调性教案
函数的单调性教案第一章：函数单调性的基本概念1.1 引入：引导学生回顾初中阶段学过的函数概念，复习一次函数、二次函数的图像和性质。
提问：函数的图像是否具有单调性？如何描述函数的单调性？1.2 单调性的定义：讲解函数单调性的定义，引导学生理解单调递增和单调递减的概念。
举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调性。
1.3 单调性的判断：教授如何判断函数的单调性，引导学生掌握利用导数或图像判断单调性的方法。
第二章：单调递增函数的性质2.1 单调递增的定义：复习单调递增的定义，强调函数值随着自变量的增加而增加的特点。
举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调递增性质。
2.2 单调递增函数的图像：讲解单调递增函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而上升的趋势。
2.3 单调递增函数的性质：教授单调递增函数的性质，如凹凸性、极值等。
第三章：单调递减函数的性质3.1 单调递减的定义：复习单调递减的定义，强调函数值随着自变量的增加而减少的特点。
举例说明：如y=-x，y=-2x-1等函数的单调递减性质。
3.2 单调递减函数的图像：讲解单调递减函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而下降的趋势。
3.3 单调递减函数的性质：教授单调递减函数的性质，如凹凸性、极值等。
第四章：单调性的应用4.1 最大值和最小值：讲解如何利用函数的单调性求解最大值和最小值问题。
4.2 函数的单调区间：讲解如何确定函数的单调递增区间和单调递减区间。
4.3 函数的单调性与方程的解：讲解如何利用函数的单调性来解决方程的解的问题。
第五章：单调性的综合应用5.1 函数图像的变换：讲解如何利用单调性来分析和理解函数图像的平移、翻折等变换。
5.2 函数的单调性与实际问题：引导学生将函数的单调性应用于解决实际问题，如优化问题、经济问题等。
5.3 单调性的进一步探讨：引导学生思考单调性的局限性，如非单调函数的特殊情况。
第六章：复合函数的单调性6.1 复合函数的概念：引导学生回顾复合函数的定义，理解复合函数是由两个或多个基本函数通过函数运算组合而成的。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及定义1.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如商品价格的变化、物体运动的速度等。
1.2 讲解：单调性的定义，函数单调递增和单调递减的概念。
1.3 练习：判断几个简单函数的单调性，如f(x)=x, f(x)=-x, f(x)=x^2等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 引入：通过实际例子，让学生理解单调性判断的重要性。
2.2 讲解：利用导数、图像、定义等方法判断函数的单调性。
2.3 练习：判断一些复杂函数的单调性，并进行验证。
第三章：函数单调性的应用3.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如最优化问题、不等式的证明等。
3.2 讲解：函数单调性在解决最优化问题、不等式证明等方面的应用。
3.3 练习：解决一些实际问题，如求函数的最值、证明不等式等。
第四章：函数单调性的性质与定理4.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如函数的周期性、奇偶性等。
4.2 讲解：函数单调性的性质与定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
4.3 练习：运用性质与定理解决一些实际问题。
第五章：函数单调性与导数的关系5.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如函数的极值点。
5.2 讲解：函数单调性与导数的关系，如单调递增的充分必要条件是导数大于0，单调递减的充分必要条件是导数小于0。
5.3 练习：判断函数的单调性，并找出其极值点。
第六章：复合函数的单调性6.1 引入：通过实际例子，让学生感受复合函数单调性在实际生活中的应用，如温度随高度和纬度的变化。
6.2 讲解：复合函数单调性的定义和判断方法。
6.3 练习：判断复合函数的单调性，并进行验证。
第七章：反函数的单调性7.1 引入：通过实际例子，让学生感受反函数单调性在实际生活中的应用，如坐标系的转换。
7.2 讲解：反函数单调性的性质和判断方法。
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
函数单调性教学设计
函数单调性教学设计学校：新邵职业中专教材版本：《数学基础模块》高教版教师周欣年级高一学生人数54授课时间2024.4教学内容3.3.1函数单调性课时安排一课时第1课时授课类型新授课一、学情分析从学生整体的学情方面来讲，本班学生整体学习基础及态度相对较好，学生态度参差不齐。
从学生知识掌握程度来说，学生在初中通过一次函数，二次函数，反比例函数已经初步接触了函数的增减情况。
只是未对函数增减情况又更加“抽象”“严格”的过程。
而本节课就是对函数图像从左到右上升（下降）转化为y随x的增大而增大（减小）进行刻画。
同时学生在完成函数的概念这一节内容后，已经初步具备了用集合语言来描述概念的能力。
从学生活动经验基础方面来讲，学生已经逐渐养成通过小组合作讨论探究得到概念的习惯，所以学生具备了一定的交流与合作能力。
二、教材分析本节课选自高等教育出版社《数学基础模块》第三章函数的性质，是学生学习了函数的概念后学习的函数第一个性质。
函数的单调性是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质，相对于初中用自然语言来刻画函数的性质抽象许多。
在函数单调性的研究过程中，经历观察函数图像，结合图表用自然语言描述函数图像特征，用严谨的数学符号语言定义函数性质的过程。
既有从图像上观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法。
是函数研究的深化与提高，也为后阶段研究函数的其他性质提供了方法依据。
三、教学目标设计知识目标1.能够借助函数图像，会用符号表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义；2.会用定义证明简单函数的单调性；3.会根据问题的实际意义，求函数的单调性。
能力目标1.通过观察函数图像，培养数形结合的能力；2.在抽象函数单调性的过程中，感悟数学概念的抽象过程以及符号表示的作用。
素质目标通过生活中的实例，体会函数增减的变化，感受数学来源于生活的思想。
四、教学重点难点·教学重点1.能够借助函数图像，会用符号表达函数的单调性；2.会根据问题的实际意义，求函数的单调性。
教案设计函数的单调性教案
教案设计函数的单调性教案（第一课时）江苏省南通中学唐仁霞江苏教育出版社（必修1）教学目标：1.知识技能目标：（1）通过生活实例感受函数单调性的意义；（2）理解函数单调性及其几何意义；（3）能判别或证明一些简单函数的单调性；（4）掌握数形结合的数学思想方法。
2.过程性目标：通过生活实例感受数学，培养识图能力与数形语言转换的能力，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
3.情感体验目标：养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯。
教学重点：（1）函数单调性及其几何意义的理解；（2）从“形”和“数”两个方面理解单调性教学难点：（1）函数单调性定义的理解；（2）证明一些简单函数的单调性教学方法：引导、探究、交流教学手段：多媒体辅助教学教学过程：回顾1：书P21/问题（3）某市一天24小时的气温变化图。
说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？回顾2：一次函数、二次函数、反比例函数的图像说出图像在哪些区间内是逐渐升高的或下降的？若图像在某个区间上从左到右是上升的（下降）的，即y随x的增大而增大（减小），则具有这样性质的函数就具有单调性。
这就是我们今天所要研究的课题。
2 如：函数在上为增函数；函数在上是(,),,，,(,0],,yx2,，y3x2,，减函数，在上是增函数。
[0,)，,2[2,)，,问：函数在上是增函数吗？ yx2,，1y,, 函数在其定义域内是增函数吗？ x通过以上两个问题，讲解定义的关键词：定义域、区间、任意、都有。
问：我们如何用符号语言来刻画y随x的增大而增大（减小）的特征？通过图形语言转化为文字语言，再进一步转化为符号语言，由此引出函数单调性的定义。
, 一般的，设函数 y=f(x) 的定义域为A,区间IA，x,xf(x)f(x), 如果对于区间I内的任意两个值,当时，都有，那xx,121212么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数。
x,xf(x)f(x), 如果对于区间I内的任意两个值,当时，都有，那xx,121212么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数。
《函数的单调性》说课稿(附教案)
《函数的单调性》说课稿一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数概念等基础知识后，学习函数的第一个性质，主要刻画了函数在某区间上图象的变化趋势（上升或下降），为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
而且在解决解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标的确定：根据本课教材内容的特点、学生现有知识基础、认知能力以及所任教班级学生的特点，本节课从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的理解；强调判断、证明函数单调性的方法的落实；突出逻辑思维能力、类比化归、数形结合能力的培养。
三、教学诊断分析:在函数单调性这节课中，对于函数的单调性，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：（1）“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难。
困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述。
即把某区间上“随着x 的增大，y 也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的21x x <，有)()(21x f x f <”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的12x x 、。
（2）利用定义证明函数的单调性过程中，对学生在代数方面严格推理能力的要求对高一的学生同样比较困难。
针对这两方面学生存在的困难，在教学中我所采用的教师启发引导，学生探究学习的教学方法，以及多媒体直观教学和反例的恰当应用，较好的解决了学生在这两方面的困惑。
此外，在教学过程中，单调性定义还需要注意以下易错点和疑点：（1）单调性是函数的一个区间上的性质，函数在不同的区间上可以有不同的单调性。
3.1.2函数的单调性(第1课时)课件-高一数学(人教B版必修第一册)
的斜率都大于 0 ,函数递减的充要条件是其图像上任意两
点连线的斜率都小于 0.
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
一般地, 若 是函数
的定义域的子集, 对任意
且
,记
(1) 恒成立; (2) 成立.
，
, 则:
在 上是增函数的充要条件是
在上
在 上是减函数的充要条件是
在 上恒
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
【训练 1】(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A.y＝－1 B.y＝2x－1 C.y＝1－2x D.y＝(2x－1)2 x
【解析】对于 A，y＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调
递增；对于 B，y＝2x－1 在 R 上单调递增；对于 C，y＝1
－2x 在 R 上单调递减；
对于
＝（x2－x1x）21（x22x2＋x1）.当 x1<x2<0 时，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数.当 0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
【解析】∵f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)， ∴2m>－m＋9，即 m>3，故选 C.
课堂练习
【训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2∈R(x1
≠x2)，有f（x2）x2－－fx（1 x1）<0，则(
)
A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)
5.3.1函数的单调性(第一课时)(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性)
h h(t)=-4.9t2+4.8t+11 Oa b t
v
v(t)=-9.8t+4.8
Oa b t
运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
观察图像可以发现:
(1)从起跳到最高点, 运动员的重心处于上升状态, 离水 面的高度h随时间t的增加而增加, 即h(t)是单调递增. 相应的 v(t)=h′(t)>0 .
观察！观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与 其导函数正负的关系.
解析：图(1)中，f′(x)=1>0，函数f(x)在R上是增函数. 图(2)中，f′(x)=2x，x<0时, f′(x)<0 ，函数f(x)在区间(-∞, 0) 上是减函数； x>0时, f′(x)>0, 函数f(x)在(0, +∞)是增函数. 图(3)中，f′(x)=3x2≥0，函数f(x)是增函数.
运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
观察图像可以发现: (1)从起跳到最高点, h(t)是单调递增, v(t)=h′(t)>0. (2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离 水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减. 相 应地，v(t)=h'(t)<0.
y y x2 ox
复习引入
回顾用定义法证明单调性的步骤？
f ( x) x3 3x
判断函数单调性的一般步骤 ：
1). 取 值 2). 作 差 3).变 形 4). 判断正负 5).结论
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 思考? 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的 高度h随时间t变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图像.
3.2.1+函数的单调性(第1课时2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
区间I为f(x)的单调递增区间.
区间I为f(x)的单调递减区间.
图
示
注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间I上单调递增(减)，则称f(x)在区间I具有（严格的）单调性.
概念辨析：单调性的定义
思考1：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I,∀x1, x2∈D,且x1<x2
，
如果都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递增;
如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减.
函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数；
函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
于是 1 − 2 > 0, 1 > 2 ,
1
此时函数 = 在 (−∞, 0) 上单调递减;
2 −1
,
1 2
练习（第79页）
讨论函数 = 的单调性.
∀1 , 2 ∈ 0, +∞ , 且1 < 2 ,则 1 − 2 =
1
1
−
2
=
2 −1
单调递减
增函数
减函数
学习新知 【例1】根据定义,研究函数 f (x)=kx+b(k≠0) 的单调性．
解 ： 函 数 f ( x ) kx b ( k 0)的 定 义 域 是 R , x 1 , x 2 R ,
且 x 1 x 2 , 则 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( kx 1 b ) ( kx 2 b ) k ( x 1 x 2 )
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：引言1.1 现实背景(1) 学生通过观察生活中的实例，如商品价格与销售量的关系，了解函数的单调性在实际问题中的应用。
(2) 引导学生思考：如何判断一个函数在其定义域内的单调性？1.2 知识准备(1) 回顾函数的定义及其图像表示。
(2) 复习导数的概念及其性质。
第二章：函数单调性的定义与性质2.1 函数单调性的定义(1) 介绍函数单调递增和单调递减的定义。
(2) 引导学生通过实例理解单调性的概念。
2.2 函数单调性的性质(1) 分析单调性在函数图像上的表现。
(2) 引导学生总结单调性的基本性质。
第三章：利用导数判断函数单调性3.1 导数与单调性的关系(1) 讲解导数在判断函数单调性方面的应用。
(2) 引导学生理解导数正负与函数单调性的关系。
3.2 利用导数判断函数单调性(1) 举例说明如何利用导数判断函数的单调性。
(2) 学生分组讨论，尝试自行判断给定函数的单调性。
第四章：单调性在实际问题中的应用4.1 实际问题建模(1) 引导学生将实际问题转化为函数单调性问题。
(2) 分析实际问题中函数单调性的应用。
4.2 求解最值问题(1) 讲解如何利用函数单调性求解最值问题。
(2) 学生练习求解具有单调性的最值问题。
第五章：总结与拓展5.1 课堂小结(1) 引导学生回顾本章所学内容，总结函数单调性的概念、性质及应用。
(2) 学生分享自己在实际问题中应用函数单调性的心得体会。
5.2 课后拓展(1) 布置课后习题，巩固函数单调性的相关知识。
(2) 鼓励学生探索函数单调性在其他领域的应用。
第六章：函数单调性的进一步探讨6.1 连续函数的单调性(1) 引入连续函数的概念，讨论连续函数的单调性。
(2) 引导学生理解连续函数单调性的重要性。
6.2 单调函数的图像特征(1) 分析单调函数图像的形状和位置。
(2) 学生通过绘制函数图像，加深对单调性的理解。
第七章：利用单调性解决实际问题7.1 最大值和最小值问题(1) 讲解如何利用单调性求解函数的最大值和最小值。
函数的单调性(第一课时)(Word)
函数的单调性（第一课时）【学习目标】1．了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法．2．能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．【学习障碍】1．由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质，实质上是区间内的性质． 2．利用定义论证单调性时，推理过程不严密不规范． 3．函数单调性的应用意识不强．【学习策略】 Ⅰ．学习导引1．预习课本第P 58~59页2．本课时重点是单调性的概念，难点是判断函数的单调性．3．对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出函数解析式时，会确定函数在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图．Ⅱ．知识拓宽应用函数的单调性可以求解不等式，求函数的最值等． Ⅲ．障碍分析1．若函数f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，f （x ）一定是D 1∪D 2上的增函数吗？ 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．若 f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，但f （x ）不一定在区间D 1∪D 2上是增函数．例如y ＝－x 1在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是增函数，f （1）＜f （－1）便是一例． 2．函数的单调性定义中的x 1，x 2能否用特殊值来代替？单调性是函数在某一区间上的“整体性质”，因此，定义中的x 1，x 2具有任意性，不能用特殊值替代．3．函数的单调性可解决什么样的问题？已知函数在某区间内的单调性，可以比较两个函数值的大小，也可用来求函数在某区 间内的值域或最大（小）值，这时常结合函数的图象，运用数形结合的思想方法．［例1］判断函数f （x ）＝x ＋x 1在区间（0，＋∞）上的单调性，并求出函数的值域．解：任取x 1，x 2∈（0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（x 1＋11x ）－（x 2＋21x ）＝212121)1)((x x x x x x ⋅--∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0． 且当1≤x 1＜x 2时，x 1x 2－1＞0， 当0＜x 1＜x 2≤1时 x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0∴当x 1，x 2∈［1，＋∞］时，f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）∴函数y ＝x ＋x 1在区间（0，1）上是减函数，在区间［1，＋∞］上是增函数．易知y ＝x ＋x 1（x ＞0）时恒有y ＞0且当x ＝1时，y min ＝2． 从而值域为［2，＋∞）点评：函数y ＝x ＋x a（a ≠0）是一类经常用到的函数，当a ≠0时，它有两个减区间［－a ，0］，（0， a ）．同时有两个增区间［a ，＋∞），（－∞，－a ］． ［例2］判断下列函数的单调性（1）f （x ）＝－x 2＋3x －2；（2）f （x ）＝3|x |．解：（1）f （x ）＝－（x －23）2＋41∵f （x ）＝－（x －23）2＋41的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝23∴f （x ）在（－∞，23）上是增函数，在［23，＋∞］上是减函数．（2）f （x ）＝⎩⎨⎧<-≥)0(3)0(3x x x x ∴由f （x ）的图象可知，f （x ）在（－∞，0］上是减函数，在［0，＋∞）上是增函数． Ⅲ．思维拓展［例3］判定并证明下列函数在指定区间内的单调性 （1）y ＝－x 3＋1（x ∈R ）．（2）y ＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞），x ∈［0，＋∞））．（1）解法一：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝（－x 13＋1）－（－x 23＋1）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12） ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0若x 1·x 2＞0，则x 22＋x 1x 2＋x 12＞0， 若x 1·x 2＝0，由x 1≠x 2，则x 12＋x 22＞0 也有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0若x 1·x 2＜0，x 22＋x 1x 2＋x 12＝（x 1＋x 2）2－x 1x 2＞0 ∴对于任意的x 1＜x 2都有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＞0即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数．解法二：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＝（x 2－x 1）［（x 2＋21x ）2＋43x 12］∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，且x 1，x 2不同时为零，∴（x 2＋21x ）2与43x 12不同时为零，即（x 2＋21x ）2＋43x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数． （2）解：任取x 1，x 2∈［0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（121+x －ax 1）－（122+x －ax 2） ＝（112221+-+x x ）－a （x 1－x 2）＝11))((22212121++++-x x x x x x －a （x 1－x 2）＝（x 1－x 2）（11222121++++x x x x －a ）∵x 1，x 2∈［0，＋∞］，且x 1＜1,122221+<+x x x ∴x 1＋x 2＜112221+++x x从而11222121++++x x x x ＜1，又a ∈［1，＋∞］∴11222121++++x x x x －a ＜0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 1－x 2）（ 11222121++++x x x x －a ）＞0即f （x 1）＞f （x 2）∴y ＝f （x ）＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞））在区间［0，＋∞）上是单调减函数． 点评：证明函数单调性的一般步骤为：①取点 ②作差 ③变形 ④定号．Ⅴ．探究学习已知函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数，且满足f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），f （2）＝91，试求不等式f （x ）f （3x 2－1）＜271的解集．参考答案：解：函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数且满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）∴f （2）＝f （1＋1）＝f （1）·（1）＝91＜f （1） ∴f （1）＝31由f （x ）·f （3x 2－1）＜271得f （x ＋3x 2－1）＜271而271＝31×91＝f （1）f （2）＝f （3）∴f （x ＋3x 2－1）＜f （3），x ＋3x 2－1＞3解得x ＜－34或x ＞1故所求不等式的解为{x |x ＜－34或x ＞1＝【同步达纲练习】一、选择题1．在区间（－∞，0）上为增函数的是A ．y ＝－（x ＋1）2B ．y ＝1＋x 2C ．y ＝x -1D ．y ＝x x-12．若函数f （x ）＝x 2＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a 的取值范围是A ．a ≥3B ．a ≥－3C ．a ≤－3D ．a ≤5 3．函数y ＝245x x --的单调递增区间是A ．（－∞，－2）B ．［－5，－2］C ．（－2，＋∞）D ．［－2，1］ 4．已知函数y ＝f （x ）定义在［－2，1］上，且有f （－1）＞f （0），则下列判断正确的是A ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调增函数B ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调增函数C ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调减函数D ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调减函数二、填空题5．已知f （x ）在定义域内是减函数，且f （x ）＞0在其定义域内，y ＝a －f （x ）的单调性为______________函数．y ＝)(x f 的单调性为____________函数．6．函数y ＝x x+-11的减区间为______________．7．已知（－∞，a ）是函数f （x ）＝11-x （x ≠1）的反函数的一个单调递减区间，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题8．函数f（x）当x＞0时有意义，且满足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（1）求证：f（1）＝0．（2）求f（4）．（3）如果f（x）＋f（x－3）≤2，求x的取值范围．9．已知函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数，a和b为实数．（1）求证：命题“如果a＋b≥0，那么f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”成立．（2）判断（1）的逆命题是否成立，并说明为什么．参考答案【同步达纲练习】一、1．D 提示：y ＝－（x ＋1）2在（－∞，0）上是先增后减的函数，y ＝1＋x 2，y ＝x-1在（－∞，0）上为减函数，故选D ．2．C 提示：由－2)1(2-a ≥4得a ≤－33．B 提示：由5－4x －x 2≥0得－5≤x ≤1且5－4x －x 2在［－5，－2］上是增函数，故y ＝245x x --的单调递增区间为［－5，－2］．4．B 提示：根据增函数的定义知选B二、5．增 减 提示：由定义知y ＝a －f （x ）为增函数y ＝)(x f 为减函数6．（－∞，－1）及（－1，＋∞） 提示：作出y ＝x x+-11的图象知减区间为（－∞，－1）及（－1，＋∞） 7．a ≤0 提示：由反函数图象可得a ≤0三、8．（1）由f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），令x ＝2，y ＝1，得f （2）＝f （2）＋f （1），∴f （1）＝0．（2）令x ＝y ＝2，∴f （4）＝f （2）＋f （2）＝2． （3）f （x ）＋f （x －3）＝f （x （x －3）），且f （4）＝2，∴f （x ）＋f （x －3）≤2＝f （4）可化为f （x （x －3））≤f （4）．依题有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,4)3(,03,0x x x x 解得3＜x ≤4．9．（1）a ＋b ≥0，则a ≥－b 或b ≥－a ．∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，∴f（a）≥f（－b），f（b）≥f（－a），∴f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．（2）逆命题为“若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0”．反证法：假设a＋b＜0，则a＜－b或b＜－a，依题有f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a），∴f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b），与已知矛盾，∴假设不成立，a＋b≥0．友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
2.2.1 函数的单调性 第1课时 教学案
2.2.1函数的单调性第1课时 函数的单调性 教学案 2012.9.21备课教师：一、教学目标1、通过已接触过的实例，理解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3、能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性。
二、教学重点 判断函数的单调性 三、教学难点函数单调性概念的理解四、上课时间： 五、教学过程（一）、教材·知识·研读 一、问题情景§2.1.1小结开头的第三个问题：下图是某市一天24小时内的气温图：思考：1、说出气温在哪些时间段内是升高的？2、怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步提高”这一特征？ 二、学生活动问题1：观察下列三个函数的图象，指出它们图象变化的趋势。
图1 图2 图3图1：在区间 内，函数12+=x y 图象在该区间内呈逐渐 趋势；图2：在区间 内，函数1)1(2--=x y 图象在该区间内呈逐渐 趋势； 在区间 内，函数1)1(2--=x y 图象在该区间内呈逐渐 趋势。
图3：在区间 内，函数xy 1=图象在该区间内呈逐渐 趋势。
三、建构数学函数的这种呈“上升”与“下降”趋势的性质称为函数的单调性。
问题2：如何用数学语言来准确地描述函数的单调性呢？例如，在区间),1(+∞上当x 的值增大时，函数y 的值也增大的事实应当如何表述？能不能由于1=x 时，3=y ；2=x 时，5=y ，就说随着x 的增大，函数值y 也随着增大？1、定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆：如果对于区间．．I 内的任意．．两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间；如果对于区间．．I 内的任意．．两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间。
《函数的单调性》优秀教案
课题：函数的单调性（一）教材：苏教版必修（1）扬州大学附属中学陆萍一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．教学环节教学过程设计意图问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为宿迁市2021年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“随的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x xx f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．。
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《函数单调性》教案
教学目标
(1)知识与技能目标：
①理解函数单调性的概念；
②能指出一些简单基本初等函数的单调区间。
(2)过程与方法：
通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，理解单调性概念的形成过程，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受数形结合的思想。
(3)情感态度与价值观：
通过对单调性的研究和应用培养学生对数学知识形成实事求是的科学态度和勇于探索敢于创新的钻研精神；领会局部与整体的辨证关系，崇尚数学的理性精神。
教学重点：函数单调性概念的理解及应用
教学难点：函数单调性的判定与证明
授课类型：新授课
课时安排：2课时;第一课时：单调性的概念与判定；第二课时：单调性的应用
教学方法：讨论、讲授
教学过程
一、创设情景，引入课题
1、课件演示：展示已绘制的NBA球星姚明四个赛季的得分、篮板数据表
赛季赛季
注：图象是由点构成的，连线是为了体现变化趋势。
问：你还能举出生活中有哪些利用图象进行分析的实例吗？
2、分析一组成语：
蒸蒸日上一落千丈跌宕起伏
3、能否用图象表示以上成语？
(二)、归纳探索、形成概念问题1：画出下列函数的图象，并且观察当自变量X 变化时，函数值有什么变化规律？
(1) y=x+1 (2) y=-x+1
（1）当自变量x 增大时，因变量y 也增大，图象呈上升趋势 （2）当自变量x 增大时，因变量y 反而减小，图象呈下降趋势 问题2：下图是函数)0(2
>+=x x
x y 的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
问题3.如何从解析式角度说明函数y=x 2
在[)+∞,0上是增函数？ 问题4.你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？
①观察：在某一区间内，当
的值增大时,函数值y 也增大⇔图像在该区间内呈逐渐上升的趋势；当x 的值增大时,函数值y 反而减小⇔图像在该区间内呈逐渐下降的趋势。
函数的这种性质称为函数的单调性。
②归纳：单调性定义
一般地，设函数()y f x = 的定义域为A ，区间I A ⊆
如果对于区间
I 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x < 时 ，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间
如果对于区间I 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x < 时 ，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间 强调三点
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在
上是增（或减）函数．（如反比例函数）
（三）掌握证法、适当延展
例1．下图是定义在区间[)5,5-上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在相应区间上是增函数还是减函数？
例2、 下列函数在什么数集上是增函数？ (1) f(x)=7x+2
(2) f(x)=x 2
(3) 自变量x 与应变量y 的对应关系如下表所示
解1：函数y=7x+2的定义域为R 对任意2121,,x x R x x <∈如果
f(x 1)-f(x 2)=(7x 2+2)-(7x 1+2)=7(x 2-x 1)
因为x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)>0 即f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)=7x+2在R 上是增函数。
问题：你能根据上面的证明过程指出证明函数单调性的关键步骤吗？ 学生讨论老师归纳得到证明函数单调性的一般步骤：
○
1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○
2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3变形（通常是因式分解和配方）； ○4定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；
○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）．
B A Y
例3.下列函数在什么数集上是减函数？ （1） f(x)=3-2x (2) f(x)=
x
1 (3) 自变量x 与应变量y 的对应关系如下表所示
巩固练习：
1.指出下列函数的单调区间 （1）f(x)=x+5 （2）f(x)=2x2 （3）f(x)=x
1
（4）f(x)=6-5x （5）f(x)=-x2
四、归纳小结、提高认识 课堂小结：
1.这节课学习了什么？函数单调性的定义，其中有哪些关键词？
2.这节课我感到最困难的是什么？
3.我学会了什么？ 五、作业布置
1． 教材P82 习题。